ANALISIS PEMAHAMAN KONSEP BILANGAN BERPANGKAT BERDASARKAN

TEORI APOS BAGI SISWA KELAS X ADMINISTRASI PERKANTORAN III

SMK NEGERI 1 SALATIGA TAHUN PELAJARAN 2016/2017

JURNAL

Disusun untuk memenuhi sebagian persyaratan mencapai Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh

LAMTIAR FRAMIKA SILALAHI

202009107

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA

SALATIGA

2016

ANALISIS PEMAHAMAN KONSEP BILANGAN BERPANGKAT

BERDASARKAN TEORI APOS BAGI SISWA KELAS X

ADMINISTRASI PERKANTORAN III SMK NEGERI 1 SALATIGA

TAHUN AJARAN 2016/2017

Lamtiar Framika Silalahi1, Tri Nova Hasti Yunianta

2

Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52 – 60 Salatiga 50711 1Mahasiswa Pendidikan Matematika FKIP UKSW, email:lamtiarsigiro46@gmail.com

2Dosen Pendidikan Matematika FKIP UKSW, email: trinova.yunianta@staff.uksw.edu

Abstrak

Hasil ulangan siswa pada materi bilangan berpangkat kelas X Administrasi Perkantoran III SMK Negeri 1

Salatiga tahun ajaran 2016/2017 menyatakan 84% siswa tidak lulus. Hasil ini terjadi diduga oleh karena

kemampuan siswa dalam memahami konsep materi matematika masih kurang. Tujuan penelitian ini adalah

perlu melihat lebih lanjut tentang pemahaman siswa kelas X Administrasi Perkantoran III SMK Negeri 1

Salatiga berdasarkan teori APOS terhadap konsep bilangan berpangkat yang terdiri dari topik bilangan

berpangkat dan topik sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat. Teori APOS mengasumsikan bahwa

konsep matematika yang dimiliki oleh seseorang merupakan hasil interaksi dengan orang lain dan hasil

konstruksi-konstruksi mental dalam memahami ide-ide matematika. Konstruksi-konstruksi mental tersebut

adalah aksi, proses, objek, skema yang disingkat dengan APOS. Jenis penelitian ini adalah penelitian deskriptif

kualitatif untuk mendeskripsikan kemampuan pemahaman siswa. Subyek penelitian ini adalah 2 siswa yang

sudah mempelajari materi bilangan berpangkat sebelumnya. Instrumen penelitian ini menggunakan instrument

tes dan lembar pedoman wawancara. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa tahap pemahaman kedua siswa

tentang materi bilangan berpangkat berada pada tahap objek.

Kata kunci: Analisis, Pemahaman, APOS

PENDAHULUAN

Belajar matematika dengan pemahaman konsep memerlukan daya nalar yang tinggi

dikarenakan objek matematika yang bersifat abstrak, sehingga belajar matematika harus

diarahkan pada pemahaman konsep-konsep yang akan mengantarkan individu untuk berpikir

secara matematis dengan jelas dan pasti berdasarkan aturan-aturan yang logis dan sistematis

(Hudojo, 1993). Pencapaian pemahaman suatu konsep matematika bukan suatu hal yang

mudah, dikarenakan kemampuan dalam memahami suatu konsep matematika setiap individu

berbeda-beda. Proses belajar matematika di kelas pada saat ini masih cenderung berlangsung

satu arah yaitu guru lebih memfokuskan diri pada upaya penuangan pengetahuan kepada para

siswa. Guru mendominasi kegiatan di kelas, pembelajaran hanya terpusat pada guru sehingga

tidak terjadi interaksi yang baik antara siswa dengan siswa, dan orientasi guru lebih banyak

tercurah pada target tercapainya materi pembelajaran. Proses belajar matematika yang

dilakukan secara terisolasi tidak memberikan hasil yang positif. Pembelajaran matematika

harus dihayati dan ditekankan untuk menanamkan konsep matematika berdasarkan

pemahaman, karena pemahaman merupakan kemampuan untuk menangkap makna dan arti

dari bahan yang dipelajari, sehingga pemahaman memudahkan terjadinya transfer (Hiebert

dan Carpenter, 1992).

Keberhasilan siswa dalam memaknai dan memahami suatu konsep matematika perlu

diupayakan. Konsep bilangan berpangkat (eksponen) sebelumnya telah dipelajari siswa di

tingkat SD sehingga dapat membantu siswa kelas X SMK (sekolah Menengah Kejuruan)

semester satu untuk mencapai pemahaman konsep bilangan berpangkat. Kurangnya

pemahaman konsep bilangan berpangkat tentunya akan mempengaruhi bagaimana siswa

menerapkan aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari. Kenyataannya bilangan berpangkat

masih sulit dipahami oleh siswa karena siswa masih belum memahami konsep. Hasil ulangan

siswa pada materi bilangan berpangkat kelas X Administrasi Perkantoran III SMK Negeri 1

Salatiga tahun ajaran 2016/2017 menyatakan 84% siswa tidak lulus. Hasil ini terjadi diduga

oleh karena kemampuan siswa dalam memahami konsep materi matematika masih kurang.

Guru mengharapkan pemahaman yang dicapai siswa tidak terbatas pada pemahaman

yang bersifat menghubungkan, akan tetapi diharapkan pemahaman matematis siswa penting

dalam mempelajari matematika secara bermakna. Purwanto (1994) mengemukakan

pemahaman adalah tingkat kemampuan yang mengharapkan siswa mampu memahami arti

atau konsep situasi serta fakta yang diketahui. Virlianti (2002) menyatakan pemahaman

adalah konsepsi yang bisa dicerna atau dipahami oleh siswa sehingga siswa mengerti apa

yang dimaksudkan, mampu menemukan cara untuk mengungkapkan konsepsi tersebut, serta

dapat mengeksplorasi kemungkinan yang terkait. Derajat pamahaman ditentukan oleh tingkat

keterkaitan suatu gagasan, prosedur atau fakta matematika dipahami secara menyeluruh jika

hal-hal tersebut membentuk jaringan dengan keterkaitan yang tinggi. Siswa dikatakan

memahami sesuatu jika siswa telah dapat mengorganisasikan dan mengutarakan kembali apa

yang dipelajari siswa dengan menggunakan kalimat siswa itu sendiri. Siswa tidak hanya

dapat mengingat dan menghafal informasi yang telah diperoleh, melainkan siswa harus dapat

memilih dan mengorganisasikan informasi tersebut. Pemahaman bukan hanya sekedar

mengingat fakta, akan tetapi berkenaan kemampuan menjelaskan, menerangkan, menafsirkan

atau kemampuan menangkap makna atau arti suatu konsep (Sanjaya, 2008).

Konsep diperoleh dari fakta, peristiwa, pengalaman, melalui generalisasi dan bersifat

abstrak. Menurut Gagne (Suherman, 2003) mengemukakan bahwa konsep adalah ide abstrak

yang memungkinkan siswa dapat mengklarifikasikan atau mengelompokkan objek atau

kejadian ke dalam contoh dan bukan contoh. Depdiknas (2003) berpendapat konsep diartikan

sebagai ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan sekumpulan objek. Siswa

dapat mengembangkan suatu konsep ketika siswa telah mampu mengelompokkan objek atau

kejadian serta dapat mengasosiasikan suatu nama dengan kelompok objek atau kejadian

tertentu. Menanamkan pemahaman konsep terhadap siswa merupakan bagian yang sangat

penting dalam proses pembelajaran matematika, karena dengan memahami konsep akan

memudahkan siswa dalam mempelajari matematika. Menurut Skemp dan Pollatsek

(Sumarmo, 1987) terdapat dua jenis pemahaman konsep yaitu pemahaman instrumental dan

pemahaman rasional. Pemahaman instrumental dapat diartikan sebagai pemahaman atas

konsep yang saling terpisah dan hanya rumus yang dihafalkan dalam melakukan perhitungan

sederhana, sedangkan pemahaman rasional termuat satu skema atau struktur yang dapat

digunakan pada penyelesaian masalah yang lebih luas. Siswa yang memahami suatu konsep

matematika jika siswa telah mampu mendefinisikan, mengidentifikasi, memberi contoh dan

bukan contoh dari suatu konsep matematika serta mampu mengembangkan kemampuan

koneksi matematika antar berbagai ide dan memahami ide-ide matematika yang saling terkait

satu dengan yang lain sehingga terbangun pemahaman secara menyeluruh. Pemahaman

terhadap suatu konsep dapat berkembang dengan baik jika konsep yang paling umum

disajikan terlebih dahulu dan dapat sebagai jembatan antar informasi baru dengan informasi

yang telah ada pada kognitif siswa. Menurut Ausabel (Andriyani, 2008) informasi yang

dipelajari siswa disusun sesuai dengan kognitif yang dimiliki siswa sehingga siswa dapat

mengkaitkan informasi barunya dengan struktur kognitif yang dimilikinya. Oleh karena itu,

untuk mengetahui tingkat pemahaman siswa terhadap konsep matematika dibutuhkan suatu

pemecahan permasalahan yaitu melalui suatu analisis dekomposisi genetik sebagai

operasionalisasi dari teori APOS (Action, Process, Object, and Schema).

Dubinsky & Tall (1991) berpendapat pemahaman terhadap suatu konsep matematika

yang dimiliki oleh seseorang merupakan hasil interaksi dengan orang lain dan hasil

konstruksi-konstruksi mental orang tersebut dalam memahami ide-ide matematika.

Konstruksi-konstruksi mental tersebut adalah aksi (action), proses (process), objek (object),

skema (schema) yang disingkat dengan APOS. Sejumlah kontruksi merupakan rekonstruksi

dari sesuatu yang sudah ada, tetapi rekontruksinya tidak persis sama seperti yang sudah ada

sebelumnya. Sependapat dengan Dubinsky & Tall (1991), Asiala, dkk (1997)

mengungkapkan bahwa teori APOS adalah sebuah teori untuk mempelajari bagaimana

seseorang belajar suatu konsep matematika. Teori APOS dapat digunakan sebagai suatu alat

analisis untuk mendeskripsikan perkembangan skema seseorang pada suatu topik matematika

yang merupakan totalitas suatu pengetahuan yang saling terkait (secara sadar atau tidak

sadar) terhadap topik tersebut sehingga dapat digunakan untuk menginterpretasikan tahap

pemahaman siswa melalui empat tahap yaitu tahap aksi, tahap proses, tahap objek dan tahap

skema.

Suryadi (2011) menjelaskan teori APOS adalah sebuah teori konstruktivisme tentang

bagaimana seseorang belajar memahami konsep matematika. Pembelajaran dengan

menggunakan teori APOS menekankan pada perolehan pengetahuan melalui konstruksi

mental. Konstruksi mental dalam teori APOS adalah terbentuknya aksi, yang direnungkan

menjadi proses, selanjutnya dirangkum menjadi objek, objek dapat diuraikan kembali

menjadi proses. Akhirnya aksi, proses, dan objek dapat diorganisasikan menjadi suatu skema

untuk memecahkan masalah matematika. Berikut ini akan diberikan gambaran secara singkat

aplikasi kerangka kerja teori APOS dengan menggunakan analisis dekomposisi genetik yang

diartikan sebagai analisis pemahaman siswa dalam merespon suatu masalah tentang konsep

bilangan berpangkat berdasarkan teori APOS.

1. Aksi

Suryadi (2011) berpendapat aksi adalah suatu transformasi objek-objek mental untuk

memperoleh objek mental lainnya. Seseorang yang mengalami suatu aksi, apabila orang

tersebut memfokuskan proses mentalnya pada upaya untuk memahami suatu konsep yang

diberikan.

Misalkan: Siswa diberikan soal, “Berapakah hasil dari . . . ?”.

Aksi siswa terhadap soal tersebut adalah siswa akan mencoba memahami suatu konsep yang

diberikan atau pengertian terhadap soal tersebut. Pengertian dari suatu bilangan berpangkat

secara umum seperti dan

2. Proses

Suryadi (2011) menyatakan berbeda dengan aksi yang dapat terjadi manipulasi benda

atau sesuatu yang bersifat konkrit, proses terjadi secara internal di bawah kontrol individu

yang melakukannya. Seseorang dikatakan mengalami suatu proses tentang sebuah konsep,

apabila berpikirnya terbatas pada ide matematika yang dihadapinya serta ditandai dengan

munculnya kemampuan untuk melakukan refleksi terhadap ide matematika tersebut.

Misalkan: Berapakah hasil dari . . . ?

Siswa tidak melakukan aksi dalam menginteriorisasikan pencarian hasil perkalian bilangan

berpangkat, siswa akan melakukan aksi tersebut dalam imajinasi serta dapat menjelaskan

proses mencari perkalian bilangan berpangkat tersebut, meskipun siswa masih menggunakan

definisi dari suatu bilangan berpangkat secara umum, sehingga dapat dinyatakan bahwa

3. Objek

Suryadi (2011) menyatakan bahwa seseorang dikatakan telah memiliki konsepsi objek

dari suatu konsep matematika apabila seseorang telah mampu memperlakukan ide atau

konsep tersebut sebagai sebuah objek kognitif yang mencakup kemampuan untuk melakukan

aksi atas objek tersebut, serta memberikan alasan atau penjelasan tentang sifat-sifatnya.

Selain itu individu itu telah mampu melakukan penguraian kembali suatu objek yang

dimaksud dan digunakan.

Misalkan: Berapakah hasil dari . . . ?

Siswa yang telah mampu memperlakukan/memahami ide atau konsep bilangan berpangkat

sebagai objek, siswa akan dapat menjelaskan bahwa penentu dari perkalian bilangan

berpangkat diperoleh dengan hanya menjumlahkan pangkatnya saja, dikarenakan bilangan

pokoknya sama, maka dapat ditentukan dengan menggunakan rumus yang didapat dari

definisi perkalian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama yaitu

4. Skema

Suryadi (2011) menyatakan bahwa suatu skema dari suatu materi matematika tertentu

adalah suatu koleksi aksi, proses, objek, skema lainnya yang saling terhubung sehingga

membentuk suatu kerangka kerja saling terkait di dalam pikiran atau otak seseorang.

Misalkan: Berapakah hasil dari . . . ?

Siswa yang telah mampu mentematisasikan bilangan berpangkat serta dapat menjelaskan

bahwa penentu perkalian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama tersebut

merupakan proses mencari perkalian bilangan berpangkat. Perkalian bilangan berpangkat

yang bilangan pokoknya sama merupakan salah satu sifat-sifat pengoperasian bilangan

berpangkat, dan siswa mampu mengkaitkan pemahaman konsep bilangan berpangkat dengan

konsep matematika lainnya yaitu bentuk akar.

Keempat komponen dari teori APOS yaitu aksi, proses, objek, dan skema telah dibahas

pengertiannya secara berurutan karena setiap pembahasan satu komponen saling berkaitan

dengan komponen yang lainnya, namun pada kenyataannya ketika seseorang

mengembangkan pemahamannya terhadap suatu konsep matematika, konstruksi-konstruksi

tersebut tidaklah selamanya dilakukan secara linear (Nurdin, 2005). Misalnya, ketika

seseorang dihadapkan pada suatu bilangan berpangkat dan sifat-sifat pengoperasian bilangan

berpangkat, maka kemungkinan seseorang tersebut tidak mulai dari tahap aksi tapi mulai dari

tahap objek kemudian baru tahap lainnya.

Kerangka teori APOS sangat berguna dalam menganalisis kemampuan pemahaman

siswa bagaimana pemahaman siswa mempelajari konsep-konsep matematika. Menggunakan

teori APOS untuk mengetahui tahap pemahaman siswa tentang konsep materi bilangan

berpangkat akan sangat menolong guru dalam mengembangkan pembelajaran yang lebih

efektif sehingga masalah pemahaman konsep siswa terhadap materi bilangan berpangkat

dapat diatasi. Berdasarkan uraian diatas, maka penting untuk dilakukan penelitian tentang

analisis pemahaman siswa kelas X Administrasi Perkantoran III SMK Negeri 1 Salatiga

terhadap konsep bilangan berpangkat berdasarkan teori APOS.

METODE PENELITIAN

Jenis penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah penelitian kualitatif yang

memiliki karakteristik bersifat deskriptif atau sering disebut penelitian deskriptif kualitatif.

Penelitian deskriptif kualitatif bertujuan untuk memperjelas fenomena dan mengumpulkan

data dengan sedalam-dalamnya (Sugiyono, 2012). Data yang dikumpulkan dalam penelitian

ini yaitu menjelaskan cara-cara yang digunakan siswa dalam menyelesaikan soal-soal uraian

serta menganalisis tahap pemahaman konsep bilangan berpangkat berdasarkan kerangka teori

APOS bagi siswa kelas X Administrasi Perkantoran III SMK Negeri 1 tahun ajaran

2016/2017 Salatiga.

Instrumen dalam penelitian ini berupa 7 soal tes uraian yaitu terdiri dari 4 soal uraian

bilangan berpangkat yaitu soal nomor 1 sampai nomor 4 sedangkan 3 soal uraian sifat-sifat

pengoperasian bilangan berpangkat yaitu soal nomor 5 sampai nomor 7. Subjek juga

diwawancarai untuk menggali pemahaman subjek tentang jawaban-jawaban yang sudah

dituliskan subjek pada lembar jawab siswa. Kisi-kisi instrumen pemahaman siswa tentang

bilangan berpangkat berdasarkan kerangka teori APOS dapat dilihat sebagai berikut.

Tabel 1. Kisi-kisi Instrumen Pemahaman Siswa tentang Bilangan Berpangkat

Berdasarkan Kerangka Teori APOS.

Topik

Kerangka

Teori

APOS

Indikator

Butir soal

Bilangan

Berpangkat

Aksi

Siswa dapat:

Membedakan suatu bilangan berpangkat positif dengan

bilangan lainnya (bilangan berpangkat negatif, bilangan

berpangkat nol, serta bilangan berpangkat pecahan) dengan

memperhatikan bentuk dari beberapa pemangkatan dari

suatu bilangan berpangkat.

Menyatakan perbedaan bentuk bilangan berpangkat antara

bilangan berpangkat positif dengan bilangan berpangkat

lainnya (bilangan berpangkat negatif, bilangan berpangkat

nol, serta bilangan berpangkat pecahan).

1

1

Proses

Siswa dapat menjelaskan cara menentukan nilai

pemangkatan tertentu dari suatu bilangan berpangkat positif,

bilangan berpangkat negatif, bilangan berpangkat nol, serta

bilangan berpangkat pecahan.

2

Objek

Siswa dapat menyatakan contoh suatu bilangan berpangkat

positif, bilangan berpangkat negatif, bilangan berpangkat

pecahan, bilangan berpangkat nol

3a

Skema

Siswa dapat:

Menghubungkan aksi, proses, objek, bilangan berpangkat

dengan objek matematika lainnya yaitu bentuk akar.

Menentukan bilangan tertentu (nilai ) dari suatu hasil

pemangkatan bilangan dengan menghubungkan aksi,

proses, objek dari bilangan berpangkat.

3b

4

Sifat-Sifat

Pengoperasian

Bilangan

Berpangkat

Aksi

Siswa dapat:

Membedakan sifat-sifat pengoperasian bilangan

berpangkat seperti sifat perkalian bilangan berpangkat

yang bilangan pokoknya sama, sifat pembagian bilangan

berpangkat yang bilangan pokoknya sama, sifat

pemangkatan bilangan berpangkat, sifat pemangkatan dari

perkalian dua bilangan, sifat pemangkatan dari pembagian

dua bilangan.

Menyatakan perbedaan sifat-sifat pengoperasian bilangan

berpangkat antara sifat perkalian bilangan berpangkat yang

bilangan pokoknya sama dengan sifat bilangan berpangkat

lainnya (sifat pembagian bilangan berpangkat yang

bilangan pokoknya sama, sifat pemangkatan bilangan

berpangkat, sifat pemangkatan dari perkalian dua bilangan,

sifat pemangkatan dari pembagian dua bilangan).

5a

5a

Proses

Siswa dapat menjelaskan cara menentukan nilai

pemangkatan tertentu dari suatu sifat-sifat pengoperasian

bilangan berpangkat.

5b

Objek

Siswa dapat:

Menyatakan sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat.

Menyatakan contoh suatu sifat-sifat pengoperasian

bilangan berpangkat.

6a

6a

Skema

Siswa dapat:

Menghubungkan aksi, proses, objek, bilangan berpangkat

dengan objek matematika lainnya yaitu bentuk akar.

Menentukan sifat-sifat pengoperasian bilangan tertentu

dengan menghubungkan aksi, proses, objek, dan skema

dari suatu bilangan berpangkat.

6b dan 6c

7

Data tersebut kemudian dianalisis mengunakan alur analisis data yang dikembangkan

oleh Miles dan Huberman (1992) dengan langkah-langkah sebagai berikut: (1) menelaah

terlebih dahulu semua data yang terkumpul dan sumber data yang hasilnya berupa deskripsi

data meliputi hasil tes tertulis dan hasil wawancara, (2) membuat klarifikasi dari hasil tes

tertulis menurut konstruksi mental tertentu siswa dalam menyelesaikan soal tes tertulis dari

kerangka kerja teori APOS, (3) menstranskipkan data hasil wawancara yang dibuat menurut

urutan pemahaman siswa tentang bilangan berpangkat berdasarkan kerangka kerja teori

APOS, kemudian (4) menarik kesimpulan data dan sumber data yang sudah diklarifikasi dan

ditranskipkan pada penyajian data. Adapun tahap-tahap pelaksanaan penelitian yang

dilakukan yaitu (1) peneliti terlibat secara langsung melihat lokasi/latar subjek, (2) peneliti

menyiapkan soal uraian tes tertulis pemahaman siswa pada materi bilangan berpangkat

berdasarkan kerangka teori APOS, (3) peneliti memberikan waktu 90 menit kepada siswa

yang terpilih untuk menyelesaikan tes tertulis berupa soal uraian, (4) peneliti memeriksa hasil

pekerjaan siswa, (5) peneliti akan melakukan wawancara kepada siswa yang terpilih dengan

memberikan pertanyaan yang berkaitan dengan jawaban tes tertulis siswa, (6) peneliti

kemudian mengumpulkan data dan sumber data sehingga data dapat dianalisis dan ditarik

kesimpulan sesuai perolehan hasil data tes tertulis dan wawancara siswa.

HASIL DAN PEMBAHASAN PENELITIAN

Penelitian ini dilakukan di SMK Negeri 1 Salatiga. Peneliti mengadakan pertemuan

dengan guru matematika kelas X, setelah itu melakukan wawancara dengan guru matematika.

Guru yang mengajar matematika di kelas X menyarankan mengambil Kelas X Administrasi

Perkantoran III SMK Negeri 1 Salatiga, dari penjelasan guru matematika tersebut, peneliti

hanya mengambil satu kelas yaitu kelas X Administrasi Perkantoran III yang terdiri dari 32

siswa kemudian diambil 2 siswa sebagai subjek penelitian secara acak. Siswa yang pertama

berinisial ACD, siswa yang kedua berinisial FKD.

Berdasarkan 7 soal tes uraian yaitu terdiri dari 4 soal uraian bilangan berpangkat (soal

nomor 1 sampai nomor 4) dan 3 soal uraian sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat

(soal nomor 5 sampai nomor 7) serta hasil wawancara, maka ditemukan pemahaman siswa

tentang bilangan berpangkat (bilangan berpangkat dan sifat-sifat pengoperasian bilangan

berpangkat) menurut teori APOS adalah umumnya pemahaman siswa terhadap topik bilangan

berpangkat berada pada tahap objek sedangkan topik sifat-sifat bilangan berpangkat berada

pada tahap proses, siswa sudah mengetahui adanya hubungan yang berkaitan erat dengan

bentuk akar namun belum dapat menjelaskan pendapatnya dengan baik.

Kemampuan siswa menyelesaikan soal pemahaman terhadap konsep bilangan

berpangkat, ada empat tahap tertentu menurut teori APOS yaitu aksi, proses, objek dan skema

terhadap topik bilangan berpangkat dan topik sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat.

1. Tahap Aksi

Penyelesaian pada soal nomor 1a pada topik bilangan berpangkat diketahui bahwa ,

, , , ... merupakan bilangan berpangkat yang pangkatnya positif sedangkan pada soal

nomor 1b diketahui bahwa , , , , ... merupakan bilangan berpangkat yang

pangkatnya negatif. Dilihat dari penyelesaiannya, subjek mampu memahami apa yang sudah

diketahui dalam soal nomor 1a dan 1b dengan memperhatikan kumpulan bilangan berpangkat

yang bilangan pokoknya sama namun bilangan pangkatnya berbeda. Oleh karena itu subjek

dengan mudah mengetahui adanya perbedaan pangkat pada soal 1a dan 1b.

Pemahaman berdasarkan teori APOS pada tahap aksi, penyelesaian dengan pemahaman

yang diketahuinya, subjek dapat melakukan penyelesaian pada soal nomor 1a dan 1b dengan

langkah hanya melihat perbedaan pangkatnya saja dan menyatakan perbedaan pangkat suatu

bilangan berpangkat dengan pangkat suatu bilangan berpangkat lainnya. Hasil yang diperoleh

dari kedua subjek menunjukkan bahwa subjek ACD dan FKD mampu memahami dan

melakukan penyelesaian soal nomor 1 seperti pada Gambar 1.

a) Subjek ACD

b) Subjek FKD

Gambar 1. Pemahaman pada Tahap Aksi Soal Nomor 1a dan 1b

Soal nomor 5 pada topik sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat diketahui bahwa

“Perhatikan operasi dari bilangan berikut! Bagian pertama yaitu ; bagian kedua

yaitu ; bagian ketiga yaitu ”. Soal nomor 5a diketahui bahwa “Sebutkan

sifat-sifat operasi bilangan berpangkat tersebut!”. Langkah penyelesaiannya, subyek terlebih

dahulu mengetahui perbedaan sifat-sifat operasi bilangan berpangkat. Penyelesaian soal

nomor 5a bagian pertama yaitu termasuk sifat operasi perkalian bilangan berpangkat

yang bilangan pokoknya sama; bagian kedua yaitu termasuk sifat operasi pembagian

bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama; dan bagian ketiga adalah termasuk

sifat operasi pemangkatan bilangan berpangkat. Subjek ACD dan FKD bisa melihat

perbedaan sifat-sifat pengoperasi bilangan berpangkat namun belum mampu menyatakan

perbedaan sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat terhadap apa yang sudah diketahui

dalam soal nomor 5a.

Pemahaman berdasarkan teori APOS pada tahap aksi, penyelesaian dengan pemahaman

yang diketahuinya, subjek dapat melakukan penyelesaian pada soal nomor 5a dengan langkah

hanya melihat perbedaan sifat-sifat pengoperasi bilangan berpangkat dan dapat menyatakan

perbedaan sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat antara sifat perkalian bilangan

berpangkat yang bilangan pokoknya sama, sifat pembagian bilangan berpangkat yang

bilangan pokoknya sama, sifat pemangkatan bilangan berpangkat, sifat pemangkatan dari

perkalian dua bilangan, dan sifat pemangkatan dari pembagian dua bilangan. Pemahaman

konsep subyek pada tahap aksi ini belum dipahami subjek ACD dan FKD dengan benar.

Subjek ACD dan FKD mengaku hanya dapat melihat perbedaan sifat-sifat pengoperasian

melalui penghafalan rumus sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat yang telah

diajarkan guru matematika subjek ACD dan FKD belum bisa menyatakan perbedaan sifat-

sifat pengoperasian bilangan berpangkat. Kedua subjek bisa menuliskan jawaban setelah

peneliti memberitahu maksud soal nomor 5a pada saat diwawancara seperti pada Gambar 2.

a) Subjek ACD

b) Subjek FKD Gambar 2. Pemahaman pada Tahap Aksi Soal Nomor 5a

2. Tahap Proses

Soal nomor 2a pada topik bilangan berpangkat diketahui sedangkan pada soal

nomor 2b diketahui Langkah penyelesaiannya, subjek terlebih dahulu memahami

definisi dari bilangan berpangkat tersebut kemudian subjek mengetahui adanya perbedaan

pangkat dari suatu bilangan berpangkat yang telah diketahui pada soal nomor 2a dan 2b agar

subjek dapat menentukan nilai pemangkatan. Subjek mengetahui bahwa definisi dari bilangan

berpangkat adalah perkalian suatu bilangan dengan dirinya sendiri sebanyak faktor,

sebagai pangkat. Penyelesaian soal nomor 2a diketahui merupakan bilangan berpangkat

positif dan dapat langsung diselesaikan dengan definisi perkalian 5 dengan dirinya sendiri

sebanyak 2 faktor sehingga diperoleh . Adapun penyelesaian soal nomor 2b

diketahui merupakan bilangan berpangkat pecahan. Namun ada cara-cara tersendiri untuk

menyelesaikan soal bilangan berpangkat pecahan yaitu mengubahnya dalam operasi akar atau

mengubah bilangan pokok menjadi bilangan yang berpangkat sama dengan penyebut pada

pangkat pecahan. Pada penyelesaian soal 2b subjek menggunakan cara mengubah bilangan

pokok menjadi bilangan yang berpangkat sama dengan penyebut. bilangan pokoknya 4

diubah menjadi bilangan yang berpangkat sama dengan penyebutnya 2 dari pangkat

pecahan yaitu kemudian subjek mengalikan pangkatnya saja maka hasilnya

dengan definisi perkalian 2 dengan dirinya sendiri sebanyak 3 faktor sehingga diperoleh

.

Pemahaman berdasarkan teori APOS pada tahap proses ini subjek ACD dan FKD dapat

menyelesaikan soal nomor 2a dan 2b seperti pada Gambar 3 dalam tahap proses sesuai

dengan pemahaman konsep yang dimilikinya. Subjek dapat menuliskan cara menentukan

nilai pemangkatan tertentu dari suatu bilangan berpangkat positif dan bilangan berpangkat

pecahan.

a) Subjek ACD

b) Subjek FKD

Gambar 3. Pemahaman pada Tahap Proses Soal Nomor 2a dan 2b

Soal nomor 5b pada topik sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat digunakan untuk

mengetahui apakah subjek berada pada pemahaman tahap proses. Soal nomor 5b

membutuhkan pemahaman dari kedua subjek ACD dan FKD dalam menginteriosasikan

kemampuan menjadi suatu proses dengan menjelaskan cara bagaimana subjek menentukan

hasil penyelesaian sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat. Penyelesaian soal nomor 5a

diketahui: bagian pertama yaitu merupakan sifat perkalian bilangan berpangkat yang

bilangan pokoknya sama. Langkah penyelesaiannya, subyek dapat secara langsung

menuliskan definisi dari bilangan berpangkat dari dan . Definisi bilangan berpangkat

adalah perkalian bilangan 2 dengan dirinya sendiri sebanyak 5 faktor (

sedangkan definisi bilangan berpangkat adalah perkalian bilangan 2 dengan dirinya

sendiri sebanyak 2 faktor ( sehingga dapat dituliskan sesuai definisinya dan sifat

pengoperasiannya perkalian maka kemudian dapat

dilihat bahwa hasilnya menjadi perkalian bilangan 2 dengan dirinya sendiri sebanyak 7 faktor

sehingga dapat diperoleh . Bagian kedua yaitu merupakan sifat pembagian

bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama. Langkah penyelesaiannya, subyek

dapat secara langsung menuliskan definisi dari bilangan berpangkat dan . Definisi

bilangan berpangkat adalah perkalian bilangan 2 dengan dirinya sendiri sebanyak 5 faktor

( sedangkan definisi bilangan berpangkat adalah perkalian

bilangan 2 dengan dirinya sendiri sebanyak 2 faktor ( sehingga dapat dituliskan

sesuai definisinya dan sifat pengoperasiannya pembagian maka kemudian

dapat dilihat bahwa hasilnya menjadi perkalian bilangan 2 dengan dirinya sendiri sebanyak 3

faktor sehingga dapat diperoleh . Bagian ketiga yaitu merupakan

pemangkatan bilangan berpangkat. Langkah penyelesaiannya , subyek dapat secara

langsung menuliskan definisi dari bilangan berpangkat . Definisi bilangan berpangkat

adalah perkalian bilangan 2 dengan dirinya sendiri sebanyak 5 faktor (

kemudian dipangkatkan kembali sebanyak 2 faktor

kemudian dapat dilihat hasilnya menjadi perkalian 2 dengan

dirinya sendiri sebanyak 10 faktor ( sehingga diperoleh .

Pemahaman berdasarkan teori APOS pada tahap proses pada soal nomor 5b terdapat

subjek ACD dan FKD memiliki penyelesaian yang sama pada tahap proses karena kedua

subjek terlebih dahulu memahami bahwa soal nomor 5b seperti pada Gambar 4 dapat

dikerjakan dengan mengunakan rumus yang telah diajarkan guru matematika namun pada

tahap proses subjek ACD dan FKD belum mampu membuktikan rumus sifat-sifat

pengoperasian bilangan berpangkat tersebut.

a) Subjek ACD

b) Subjek FKD

Gambar 4. Pemahaman pada Tahap Proses Soal Nomor 5b

3. Tahap Objek

Soal nomor 3 terdiri dari 2 tipe soal yaitu 3a dan 3b. Penyelesaian soal nomor 3

membutuhkan kemampuan melakukan pemahaman tahap aksi atas tahap objek. Tahap objek

ini, subjek terlebih dahulu memahami perbedaan pangkat dari suatu bilangan berpangkat dan

menuliskan cara menentukan nilai pemangkatan sehingga subjek dapat menyatakan contoh

suatu bilangan berpangkat serta dapat memberikan penjelasan. Soal nomor 3a digunakan

untuk mengetahui apakah subjek mampu menyatakan contoh suatu bilangan berpangkat dan

subyek telah menjadi suatu objek dalam diri subjek karena subjek akan melakukan

pembuktian dalam menyelesaikan permasalahannya. Oleh karena itu, pemahaman pada tahap

objek diperlukan penyelesaian dengan baik untuk menyelesaikan soal nomor 3a, yaitu apabila

bilangan berpangkat telah menjadi objek dan dapat dibandingkan dengan objek lainnya.

Soal nomor 3a diketahui “Berikan masing-masing 1 contoh bilangan berpangkat yang

termasuk bilangan berpangkat positif, bilangan berpangkat negatif, bilangan berpangkat nol,

bilangan berpangkat pecahan?”. Langkah penyelesaiannya, subjek terlebih dahulu

mengetahui adanya perbedaan pangkat dari suatu bilangan berpangkat sehingga subjek dapat

memberikan masing-masing contoh bilangan berpangkat. Pemahaman tahap objek

berdasarkan teori APOS, subjek telah memahami dan melihat dari soal-soal sebelumnya

sebagai contoh untuk menyatakan contoh suatu bilangan berpangkat sebagai langkah yang

dilakukan untuk menyelesaikan soal 3a seperti pada Gambar 5.

a) Subjek ACD

b) Subjek FKD

Gambar 5. Pemahaman pada Tahap Objek Soal Nomor 3a

Soal nomor 6 pada topik sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat terdiri dari 3 tipe

soal yaitu 6a, 6b, 6c. Penyelesaian soal nomor 6a membutuhkan kemampuan melakukan

pemahaman tahap aksi atas tahap objek. Tahap objek ini, subjek harus memahami terlebih

dahulu sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat sehingga subyek dapat menyatakan dan

memberikan contoh sifat-sifat bilangan berpangkat tersebut. Soal nomor 6a akan

membuktikan apakah subjek mampu menyatakan dan memberikan contoh sifat-sifat

pengoperasian bilangan berpangkat. Oleh karena itu, pemahaman pada tahap objek

diperlukan penyelesaian dengan baik untuk menyelesaikan soal nomor 6a, yaitu apabila sifat-

sifat pengoperasian bilangan berpangkat telah menjadi suatu objek dalam diri subyek, maka

objek tersebut dapat dibandingkan dengan objek lainnya.

Soal nomor 6a diketahui “Tuliskan sifat-sifat operasi bilangan berpangkat yang kamu

ketahui dan berilah masing-masing 1 contoh!”. Pada soal nomor 6a, subjek ACD dan FKD

belum mampu menyatakan sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat namun subjek

dapat memberikan contoh sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat karena kedua subjek

hanya mengandalkan hafalan rumus sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat.

Berdasarkan teori APOS pada tahap objek ini terhadap kedua subjek ACD dan FKD

menunjukkan subjek belum memahami dari soal sebelumnya (soal nomor 5) dalam

menyatakan sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat namun subjek dapat memberikan

contoh sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat sebagai langkah yang dilakukan untuk

menyelesaikan soal 6a seperti pada Gambar 6. Tahap objek terhadap kedua subjek ACD dan

FKD, subjek belum mencapai tahap aksi atas objek serta belum mampu menyatakan tentang

sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat.

a) Subjek ACD

b) Subjek FKD

Gambar 6. Pemahaman pada Tahap Objek Soal Nomor 6a

4. Tahap Skema

Soal nomor 3b dan soal nomor 4 pada topik bilangan berpangkat membutuhkan

pemahaman tahap skema berdasarkan teori APOS. Soal nomor 3b dan soal nomor 4

melibatkan bentuk akar dan menentukan bilangan tertentu (nilai ) dari suatu hasil

pemangkatan bilangan untuk memecahkan masalah. Subjek harus mampu menghubungkan

aksi, proses, dan objek yang dimiliki untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan

bilangan berpangkat. Subjek juga harus mampu mengkaitkan konsep bilangan berpangkat

dengan konsep-konsep yang lainnya. Soal nomor 3b bilangan berpangkat erat kaitannya

dengan permasalah bentuk akar sedangkan soal nomor 4 subjek menentukan bilangan

tertentu dari suatu persamaan (menentukan nilai ) dengan menghubungkan aksi, proses,

objek, skema dari bilangan berpangkat.

Soal 3b diketahui “Apakah bilangan berpangkat sangat erat kaitannya dengan bentuk

akar? Jelaskan Pendapatmu!”. Langkah yang harus dilakukan adalah memahami hubungan

antara bilangan berpangkat dengan bentuk akar karena bilangan berpangkat sangat erat

kaitannya dengan bentuk akar, suatu bilangan berpangkat jika ditentukan nilai pemangkatan

tertentu dari suatu bilangan berpangkat maka hasil nilai pemangkatan tersebut dapat diubah

ke dalam bentuk akar dan begitupun sebaliknya kemudian jika suatu bilangan berpangkat

pecahan juga dapat diubah ke dalam bentuk akar.

Subjek ACD dan FKD pada soal 3b sama-sama menuliskan jawaban bilangan

berpangkat sangat berkaitan erat dengan bentuk akar. Namun kedua subjek memiliki

pendapat yang berbeda. Subjek ACD berpendapat hubungan bilangan berpangkat sangat erat

dengan bentuk akar karena bilangan berpangkat merupakan satu unsur dengan bentuk akar

dan saling melengkapi satu sama lain untuk mencari jawaban. Subjek FKD berpendapat

bilangan berpangkat sangat erat kaitannya dengan bentuk akar karena bilangan berpangkat

nanti hasilnya akan memerlukan bentuk akar supaya menentukan jawaban. Kedua subjek

mengaku sudah memahami bilangan pangkat dan bentuk akar akan tetapi setelah ditanyakan

alasannya, kedua subjek masih bingung untuk mengungkapkan pendapatnya mengenai

hubungan bilangan berpangkat dengan bentuk akar. Subjek ACD menjelaskan hubungan

bilangan berpangkat dengan bilangan bentuk akar yang nantinya bilangan berpangkat kalau

ada hasilnya tinggal diakar. Subjek ACD juga memberi contoh jika diakarkan

untuk membuktikan bilangan berpangkat sangat erat kaitannya dengan bentuk akar

namun subjek ACD belum mampu memberikan contoh bilangan berpangkat pecahan yang

diubah ke bentuk akar. Adapun subjek FKD menjelaskan alasan hubungan bilangan

berpangkat dengan bentuk akar yaitu bilangan berpangkat itu bisa dijadikan ke dalam bentuk

akar. Subjek FKD memberi contoh , jika diakarkan . Selain itu, subjek FKD

mampu memberikan contoh bilangan berpangkat yang pangkatnya pecahan yang dapat

diubah ke bentuk pecahan yaitu diubah ke dalam bentuk akar .

a) Subjek ACD

b) Subjek FKD Gambar 7. Pemahaman pada Tahap Skema Soal Nomor 3b

Soal nomor 4 pada topik bilangan berpangkat subjek ACD dan FKD melakukan

penyelesaian yang sama dalam menentukan nilai dari suatu hasil pemangkatan bilangan.

Subjek ACD dan FKD menyederhanakan terlebih dahulu kedua ruas bilangan pokok

sehingga kedua ruas bilangan pokoknya sama yaitu 25 dan , disederhanakan menjadi

(bilangan berpangkat positif) sedangkan disederhanakan menjadi (bilangan

berpangkat negatif) setelah kedua ruas bilangan pokoknya sama kemudian

subjek ACD dan FKD menentukan nilai dengan menghitung pangkatnya saja

lalu menjadi sehingga dengan hasil maka diperoleh

nilai . Berdasarkan teori APOS pada tahap skema diperoleh kesimpulan, pada soal

nomor 4 seperti pada Gambar 8 yaitu untuk menentukan nilai dari suatu hasil pemangkatan

bilangan dengan menghubungkan aksi, proses, objek sehingga membentuk skema lainnya

a) Subjek ACD

b) Subjek FKD

Gambar 8. Pemahaman pada Tahap Skema Soal Nomor 4

Soal nomor 6b, 6c dan 7 pada topik sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat

membutuhkan pemahaman tahap skema berdasarkan teori APOS. Soal nomor 6b dan 6c

melibatkan bentuk akar sedangkan nomor 7 menentukan bilangan tertentu (nilai ) dari suatu

hasil pemangkatan bilangan untuk memecahkan masalah. Soal 6b dan 6c subjek harus

mampu menghubungkan aksi, proses, dan objek yang dimiliki untuk menyelesaikan masalah

yang berkaitan dengan sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat. Subjek juga harus

mampu mengkaitkan konsep bilangan berpangkat dengan konsep-konsep sifat-sifat

pengoperasian bilangan berpangkat serta konsep bentuk akar. Adapun soal nomor 7 subjek

mampu menentukan sifat-sifat pengoperasian bilangan tertentu dengan menghubungkan aksi,

proses, objek dan skema dari suatu bilangan berpangkat.

Soal 6b diketahui “Dapatkah dinyatakan ke dalam bentuk akar. Langkah

penyelesaiannya, subjek terlebih dahulu memahami definisi dari bentuk akar, menyelesaikan

perkalian yang terdapat dalam kurung kemudian mengubahnya dalam bentuk akar. Definisi

bentuk akar adalah penyebutan untuk bilangan berakar yang hasil akarnya merupakan

bilangan irrasional. (hasilnya berbentuk bilangan berpangkat pecahan)

kemudian diubah ke dalam bentuk akar sehingga menjadi . merupakan

bilangan irrasional sehingga penyelesaiannya dapat dinyatakan dalam bentuk akar.Subjek

ACD dan FKD pada soal nomor 6b seperti pada Gambar 9, subjek sama-sama belum

memahami soal sehingga subjek tidak dapat menentukan soal nomor 6b ke dalam bentuk

akar.

a) Subjek ACD

b) Subjek FKD

Gambar 9. Pemahaman pada Tahap Skema Soal Nomor 6b

Soal nomor 6c diketahui “Apakah sifat-sifat operasi bilangan berpangkat sangat erat

kaitannya dengan bentuk akar? Jelaskan pendapatmu!” Langkah penyelesaiannya adalah

memahami hubungan antara sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat dengan bentuk

akar karena sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat sangat erat kaitannya dengan

bentuk akar, bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buahh akar pangkat

bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi jika dan jika – jika

kemudian juga dapat mengubah bilangan berpangkat pecahan ke dalam bentuk akar

dengan bilangan bulat tidak negatif dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil

kuadratnya sama dengan dan sebaliknya.

a) Subjek ACD

b) Subjek FKD

Gambar 10. Pemahaman Subjek pada tahap skema soal nomor 6c

Subjek ACD dan FKD pada soal nomor 6c seperti pada Gambar 10, subjek sama-sama

menjawab sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat sangat berkaitan erat dengan bentuk

akar, namun kedua subjek memiliki alasan yang berbeda untuk mengungkapkan pendapatnya.

Subjek ACD berpendapat sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat sangat erat kaitannya

dengan bentuk akar karena menyelesaikan bilangan berpangkat diubah ke dalam bentuk akar

supaya mudah dalam menyelesaikannya. Subjek FKD berpendapat sifat-sifat operasi bilangan

berpangkat sangat erat kaitannya dengan bentuk akar karena bilangan berpangkat nanti

hasilnya akan memerlukan bentuk akar supaya menemukan jawabannya. Dari pendapat

kedua subjek tersebut, kedua subjek belum memahami sifat-sifat operasi bilangan berpangkat

dan bentuk akar sehingga subjek tidak dapat menjelaskan pendapatnya dengan benar pada

soal nomor 6c yang telah diketahui.

Soal nomor 7 diketahui “Tentukan nilai dari jika !”.

Langkah penyelesaianya sebagai langkah awal, subjek memasukan nilai yang telah

diketahui menjadi , setelah itu menyelesaikan bilangan berpangkat yang terdapat

dalam kurung kemudian menyelesaikan pengurangan sehingga diperoleh

.

a) Subjek ACD

b) Subjek FKD

Gambar 11. Pemahaman Subjek pada tahap skema soal nomor 7

Subyek ACD dan FKD pada soal nomor 7 seperti pada Gambar 11, subjek telah

memahami soal dalam menentukan sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat. Subjek

FKD melakukan kesalahan dalam melakukan perhitungan. Subyek FKD memasukan nilai

yang telah diketahui pada soal nomor 7 jika , , , sehingga

subjek FKD menyelesaikan bilangan berpangkat yang terdapat di dalam kurung

kemudian menyelesaikan pengurangan yang ada di dalam kurung dan

diperoleh , namun subjek FKD melakukan kesalahan dalam menyederhanakan

bilangan pecahan sehingga diperoleh . Berbeda dengan subjek ACD

menyederhanakan bilangan berpangkat dengan benar sehingga diperoleh .

Pemahaman berdasarkan teori APOS dalam tahap skema, kesimpulan analisis yang

dicapai pada soal nomor 7 untuk menentukan sifat-sifat pengoperasian bilangan tertentu.

Kedua subjek ACD dan FKD sudah mencapai kemampuan pemahaman pada tahap skema.

PENUTUP

Pemahaman siswa kelas X Administrasi Perkantoran III SMK Negeri 1 Salatiga

berdasarkan teori APOS pada topik bilangan berpangkat dan sifat-sifat pengoperasian

bilangan berpangkat bervariasi. Berdasarkan hasil penelitian ini, kedua siswa pada topik

bilangan berpangkat sama-sama memiliki pemahaman pada tahap objek. Siswa yang

memiliki pemahaman tahap aksi dapat membedakan suatu bilangan berpangkat positif

dengan bilangan lainnya dan menyatakan perbedaan bentuk bilangan berpangkat. Siswa yang

memiliki pemahaman tahap proses menjelaskan cara menentukan nilai pemangkatan tertentu

dari suatu bilangan berpangkat. Siswa yang memiliki pemahaman tahap objek menyatakan

contoh suatu bentuk bilangan berpangkat.

Topik sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat, kedua siswa sama-sama memiliki

pemahaman pada tahap proses. Siswa yang memiliki pemahaman aksi membedakan sifat-

sifat pengoperasian bilangan berpangkat dan menyatakan perbedaan sifat-sifat pengoperasian

bilangan berpangkat. Siswa yang memiliki pemahaman pada tahap proses menjelaskan cara

menentukan nilai pemangkatan tertentu dari suatu sifat-sifat pengoperasian bilangan

berpangkat.

DAFTAR PUSTAKA

Aga. 2014. Analisis Kesalahan Siswa Kelas X SMA 1 Islam Gamping Yogyakarta dalam

Menyelesaikan Soal Matematika yang Berkaitan dengan Bilangan Berpangkat dan

Bentuk Akar. Skripsi diterbitkan. Yogyakarta: FMIPA UNY

Andriyani, Dewi. 2008. Teori Belajar dan Pembelajaran. Jakarta: Universitas Terbuka.

Asiala, M., Cottril, J., Dubinsky, E., & Schwingendorf, K.E. 1997. The Development of

Students’ Graphical Understanding of the Derivative. Journal of Mathematical

Behavior. Vol 16(4) pp. 399-431.

Depdiknas. 2003. Pedoman Khusus Pengembangan Sistem Penilaian Berbasis Kompetensi

SMP. Jakarta: Depdiknas.

Dubinsky, E. and Tall, D. 1991. Adveced Mathematical Thinking and Computer. Dalam D.

Tall (ed) Adveced Mathematical Thinking. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Hiebert, J. Carpenter, P. 1992. Learning and Teaching with Understanding. Dalam Douglas

A Growns (Ed.). Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. New

York: Mac millian Publising Company.

Hudojo, Herman. 1993. Mengajar Belajar Matematika. Surabaya: Usaha Nasional.

Nurdin, Lasmi. 2005. Analisis Pemahaman Siswa SMA Laboratorium Universitas Negeri

Malang Tentang Barisan dan Deret Berdasarkan Teori APOS. Thesis tidak diterbitkan.

Malang: Program Pasca Sarjana Universitas Negeri Malang.

Miles, M.B & Huberman, A.M. 1992. Analisis Data Kualitatif Terjemahan oleh Tjetjep R.

Rohidi. Jakarta: Universitas Indonesia (UI-Press).

Purwanto, M. N. 1994. Prinsip-prinsip dan Teknik Evaluasi Pengajaran Pendidikan.

Bandung: Remaja Rosdakarya.

Sanjaya, Wina. 2008. Kurikulum dan Pembelajaran Teori dan Praktik Pengembangan

Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP). Jakarta: Kencana.

Sugiyono. 2012. Metode Penelitian Kuantitatif, Kualitatif dan R&D. Bandung: ALFABETA

Sumarmo, U. 1987. Kemampuan Pemahaman dan Penalaran Matematik Siswa SMA

Dikaitkan dengan Penalaran Logik Siswa dan Beberapa Unsur Proses Belajar Mengajar.

Disertasi tidak diterbitkan. Bandung: Pascasarjana IKIP Bandung.

Suryadi, D. 2011. Membangun Budaya baru dalam Berpikir Matematika. Bandung: Rizqi

Press. (online).

http://www.scribd.com/doc/93456342/Membangun-Budaya-Baru-Dalam-Berpikir-

Matematika.Diakses 5 Juli 2016.

Virlianti, Y. 2002. Analisis Pemahaman Konsep Siswa dalam Memecahkan Masalah

kontekstual pada Pembelajaran Matematika Melalui Pendekatan Realistik. Skripsi tidak

diterbitkan. Bandung: Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UPI.