Konsep Bilangan, dan Lambang Bilangan,

Bilangan Cacah dan Pembelajarannya di SD

Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas

Mata Kuliah Pendidikan Matematika 1

Dosen Pengampu: Amilla Fidyah Astuti, S.Pd

Disusun oleh:

1. Muhammad Luthfi Azmi 12.0305.0043

2. Eka Noviana 13.0305.0015

3. Ani Qutsiyati 13.0305.0023

4. Pamungkas Mei 13.0305.0025

5. Siti Nurrohmah Laila 13.0305.0027

6. Aprilia Hestiningsih 13.0305.0036

7. Agus Suradi 13.0305.0048

8. Septi Puji A 13.0305.0052

3 A / Reguler

Program Studi Pendidikan Guru Sekolah Dasar

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Muhammadiyah Magelang

2014

1

Daftar Isi

Halaman Judul.................................................................................................. 1

Daftar Isi........................................................................................................... 2

Bab I Pendahuluan............................................................................................ 3

A. Latar Belakang...................................................................................... 3

B. Rumusan Masalah................................................................................. 3

C. Tujuan................................................................................................... 3

D. Manfaat................................................................................................. 4

Bab II Isi........................................................................................................... 5

Bab III Penutup................................................................................................. 41

Daftar Pustaka................................................................................................... 42

2

Bab I

Pendahuluan

A. Latar Belakang

Pembelajaran mengenai bilangan pun menjadi bagian vital yang

dilaksanakan di persekolahan dasar. Oleh karenanya, setiap guru dan calon guru

SD harus “lebih dalam” menguasai konsep dan sistem bilangan. Di samping itu

juga, setiap guru dan calon guru SD harus pandai pula menyuguhkan

pembelajaran mengenai bilangan kepada setiap anak didiknya dengan bentuk

pemecahan masalah, sehingga ke depannya nanti diharapkan agar para siswa

tersebut mampu memecahkan persoalan kehidupan sehari-harinya yang berkenaan

dengan konsep bilangan.

Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di

berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial

seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang

melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain,

mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan

kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang

sepenuhnya baru, seperti statistika dan teori permainan.

B. Rumusan Masalah

1. Apa yang dimaksud dengan bilangan dan lambang bilangan ?

2. Apa yang dimaksud dengan konsep bilangan ?

3. Apa yang dimaksud dengan bilangan cacah dan bagaimana cara

pembelajarannya di SD ?

C. Tujuan

1. Untuk memberikan informasi mengenai bilangan dan lambang

bilangan.

2. Supaya mengetahui yang dimaksud dengan konsep bilangan.

3. Supaya mengetahui yang dimaksud dengan bilangan cacah serta cara

pembelajarannya di SD.

3

D. Manfaat

Dapat menambah pengetahuan bagi mahasiswa mengenai konsep bilangan

dan lambang bilangan, bilangan cacah dan pembelajarannya di SD

4

Bab II

Isi

A. Bilangan dan lambangnya

Bilangan adalah suatu idea. Sifatnya abstrak. Bilangan bukan simbol atau

lambang dan bukan pula lambang bilangan. Bilangan memberikan keterangan

mengenai banyaknya anggota suatu himpunan. (Sumber: Ensiklopedia

Matematika, 1998).

1. Penulisan lambang bilangan dengan huruf dilakukan dengan cara

memisahkan tiap-tiap bagian kata.

a. Bilangan utuh

Contoh:

23 = dua puluh tiga (benar)

duapuluh tiga (salah)

508 = seratus tiga puluh empat

508 = lima ratus delapan

b. Penulisan bilangan pecahan

Contoh:

1/2    =  setengah

3/4    = tiga perempat

4/16  = empat perenam belas

3 2/3 = tiga dua pertiga

10%  = sepuluh persen

0,2    = dua perpuluh

2,5    = dua lima perpuluh, atau dua setengah

1,09  = satu sembilan perseratus

Lambang bilangan yang dapat dinyatakan dengan satu atau dua kata ditulis

dengan huruf (tidak dengan angka biasa), kecuali jika terdiri atas beberapa

lambang bilangan yang dirinci secara berurutan sebagaimana halnya dalam bentuk

paparan.

Contoh:

5

Dalam sehari ia makan dua kali. Usianya dua puluh tahun. Dari 50 peserta,

15 orang ikut, dan 35 orang lainnya tidak ikut. 30 remaja putri, 15 remaja putra,

dan 10 balita.

Lambang bilangan pada awal kalimat harus senantiasa ditulis dengan

huruf.

Contoh:

1) Enam belas tahun yang lalu ia meninggal.

2) Lima saudaranya laki-laki semua.

3) Dua ratus para calon mahasiswa diterima.

Catatan:

Harus diingat bahwa angka biasa tidak dapat diletakkan pada awal kalimat.

Oleh sebab itu harus diupayakan dengan mengubah susunannya sehingga

memungkinkan tidak adanya angka biasa pada awal kalimat.

Dalam proses pembelajaran ini hendaknya disiapkan kartu bilangan

masing-masing bertuliskan lambang bilangan seperti : 1, 10, 100, 1.000, 10.000,

100.000. Misalnya dalam subpokok bahasan mengenal bilangan 100.001 –

500.000, langkah-langkah yang perlu dilakukan adalah :

1) Guru menjelaskan ulang nilai tempat yang di tempati oleh angka-angka

suatu lambang bilangan 5 angka, dengan pertolongan kartu bilangan 1, 10,

100, 1.000, 10.000.

2) Mengulang membaca dan menulis lambang bilangan 5 angka, misalnya

guru menulis di papan tulis beberapa lambang bilangan 5 angka, siswa

disuruh menulis nama bilangannya.

3) Guru menjelaskan bahwa 10 kartu bilangan 10.000 dapat dinyatakan

dengan sebuah kartu bilangan 100.000. dengan pertolongan kartu bilangan

1, 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, guru membantu siswa cara membaca

dan menulis bilangan 6 angka.

6

4) Guru menulis beberapa lambang bilangan 6 angka di papan tulis, secara

lisan siswa disuruh mengucapkan nama bilangan itu satu persatu.

5) Guru mengucapkan nama beberapa bilangan 6 angka satu persatu, siswa

disuruh menulis lambang bilangannya di buku masing-masing.

6) Guru menulis beberapa lambang bilangan 6 angka di papan tulis, siswa

disuruh menulis lambang bilangan itu di buku masing-masing.

Untuk memahami bilangan-bilangan bernilai besar, siswa diminta

menyusun kalimat tentang pengalaman mereka sehari-hari yang berhubungan

dengan bilangan-bilangan bernilai besar kurang dari 500.000. Misalnya tabungan

Amin di bank BNI mencapai 365.000 rupiah.

2. Bilangan kardinal dan ordinal

Bilangan yang digunakan untuk menyatakan banyaknya suatu objek

disebut bilangan kardinal. Dengan demikian ciri bilangan kardinal adalah

digunakan dalam menjawab pertanyaan, “berapa banyak?” Aspek penting lainnya

dari bilangan adalah digunakan untuk menyatakan urutan dari suatu objek.

Bilangan yang demikian disebut bilangan ordinal. Bilangan ordinal biasanya

digunakan untuk menjawab pertanyaan, “yang mana?”

Contoh dalam penanaman konsepnya:

Nomor rumah di sebelah barat di jalan Sunda bernomor genap. Nomor-

nomor rumah tersebut berturut-turut adalah 2, 4, 6, ..., 40. Urutan nomor-nomor

rumah tersebut terurut dengan baik. Sehingga bilangan ordinal dari himpunan {2,

4, 6, ..., 40} adalah 20. Banyaknya anggota dari himpunan {2, 4, 6, ..., 40} adalah

20, sehingga kardinal dari {2, 4, 6, ..., 40} adalah 20.

Nilai tempat dan ketidaksamaan

Langkah-langkah pembelajarannya :

a) Guru menjelaskan ulang mengenai nilai tempat yang di tempati oleh

angka-angka suatu lambang bilangan 5 angka.

7

b) Guru menjelaskan bahwa angka-angka suatu lambang bilangan 6 angka

berturut-turut dari kiri menempati tempat ratus ribuan, puluh ribuan,

ribuan, ratusan, puluhan dan satuan.

c) Guru menulis beberapa lambang bilangan 6 angka siswa disuruh

menentukan nilai setiap angka.

Misalnya : 382.657

Angka 3 nilainya 300.000

Angka 8 nilainya 80.000

Angka 2 nilainya 2.000

Angka 6 nilainya 600

Angka 5 nilainya 50

Angka 7 nilainya 7

Jadi, 382.657 = 300.000 + 80.000 + 2.000 + 600 + 50 + 7

3. Konsep kurang dari (<) dan lebih dari (>) antara 2 bilangan

Misalkan dua bilangan yang akan dibandingkan, yaitu bilangan 5 angka.

Perhatikan angka puluh ribuannya. Bilangan yang angka puluh ribuannya lebih

besar, nilainya lebih besar. Jika angka puluh ribuannya sama, perhatikan angka

ribuannya. Bilangan yang angka ribuannya lebih besar, nilainya lebih besar. Jika

angka ribuannya sama, dilihat angka ratusannya. Bilangan yang angka ratusannya

lebih besar, nilainya lebih besar, demikian seterusnya.

B. Bilangan Cacah

Bagaimana cara kita menyatakan banyaknya anggota suatu himpunan?

Sebagai contoh kita pandang kumpulan siswa di suatu kelas. Banyaknya siswa

yang ada dalam kelas tersebut kita nyatakan dengan suatu bilangan.

Setiap kumpulan dapat dihubungkan dengan suatu bilangan. Bilangan-

bilangan itu masing-masing mempunyai nama. Kita juga menggunakan lambing

untuk setiap bilangan. Misalnya lambang “5” mewakili bilangan lima. Kata

“lima” adalah nama untuk bilangannya.

8

Pengertian-pengertian itu kita perkenalkan kepada murid tahap demi tahap.

Mula-mula kita perkenalkan kumpulan. Anggota-anggotanya adalah menyatakan

banyaknya anggota kumpulan. Murid-murid harus berlatih sampai mereka dengan

mudah dapat menemukan bilangan yang tepat untuk setiap kumpulan, setiap

kumpulan dihubungkan dengan satu bilangan. Tetapi setiap bilangan dapat

dihubungkan dengan banyak sekali kumpulan barang-barang.

Sekarang, bayangkanlah kumpulan sapi-sapi hijau atau kumpulan semua

orang yang berkepala tiga. Kumpulan-kumpulan itu tidak mempunyai anggota.

Kita sebut kumpulan demikian itu himpunan kosong. Bilangan untuk himpunan

kosong adalah nol, lambangnya adalah “0”. Anak-anak dapat melihat bahwa

kumpulan gajah dalam ruang kelas mereka adalah himpunan kosong. Banyaknya

anggota himpunan itu adalah nol. Bilangan-bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5 dan seterusnya

disebut bilangan cacah.

Kita bandingkan dua bilangan yang tidak sama, 3 < 8 dan 9 > 5 dibaca 3

kurang dari 8 dan 9 lebih dari 5. Pernyataan-pernyataan itu disebut

ketidaksamaan. Apakah sifat-sifat urutan bilangan? Pernyataan itu kita jawab

setelah melakukan beberapa percobaan dengan urutan bilangan. Misalnya, kita

minta dua anak masing-masing memilih suatu bilangan. Tanpa mengetahui

bilangan-bilangan yang dipilih itu kita dapat menentukan hal-hal berikut ini:

a) Dua bilangan itu sama atau tidak sama. Jika tidak sama, tentulah salah

satu lebih kecil daripada yang lain. Dengan demikian telah kita

temukan satu sifat urutan bilangan, yakni: Jika a dan b bilangan cacah,

maka tepat satu dari yang di bawah ini harus benar.

a = b atau a < b atau b < a

Pada garis bilangan, sifat urutan itu dapat dikatakan sebagai berikut:

Pilihlah sebuah titik pada garis bilangan. Kemudian pilihlah sebuah titik lagi.

Maka kedua titik itu berimpit atau berlainan.

Sekarang, kita cari suatu sifat lagi dari urutan bilangan. Jika mengetahui

bahwa suatu bilangan n lebih kecil daripada 6 dan 6 lebih kecil daripada 9, apakah

9

yang kita ketahui tentang urutan n dan 9? Dapatkah pertanyaan itu dijawab tanpa

mengetahui berapakah n itu? Kita dapat menggunakan garis bilangan untuk

menjawab pertanyaan tersebut. Jawabnya secara umum dapat dikatakan sebagai

berikut:

Jika a < b dan b < c, tentu a < c. pada garis bilangan yang mendatar

tampak bahwa jika titik a terletak di sebelah kiri b, tentu titik a terletak di sebelah

kiri c.

a b c

Jika kita menjumlah bilangan-bilangan, maka dapatlah kita menemukan

suatu sifat urutan lagi.

Kita mengetahui bahwa 3 < 8. Sekarang 3 kita tambah 4 dan 8 kita tambah

4. Apakah urutan antara jumlah-jumlahnya, yakni 7 dan 12 sama dengan urutan

antara 3 dan 8? Dengan kata lain apakah 3 + 4 < 8 + 4 ? Kita dapatkan bahwa jika

antara dua bilangan terdapat suatu urutan dan kedua bilangan itu ditambah

bilangan yang sama, maka urutan jumlahnya sama dengan urutan bilangan-

bilangan yang sama. Dengan kata lain: urutan dua bilangan tidak berubah jika

kedua bilangan itu ditambah dengan bilangan yang sama. Sifat itu berlaku untuk

semua bilangan cacah.

Jika a < b tentu a + c < b + c itu dapat diperlihatkan pada garis bilangan

a a + c a < b b b + c

a + c < b + c

Kita dapat melakukan percobaan-percobaan untuk menyelidiki sifat urutan

hasil kali bilangan-bilangan asli, misalnya:

10

c c

Jika 2 < b, apakah 2 x 3? Mereka dapat memahami sifat-sifat itu dengan

jalan menyelidiki banyak contoh pada garis bilangan.

C. Operasi Bilangan, Teknik Penyelesaiannya dan Pembelajarannya di SD

1. Penjumlahan

Pengerjaan jumlah atau penjumlahan merupakan pengerjaan hitung yang

pertama kali dikenal anak-anak. Bukan saja dikenal di sekolah tetapi juga

mungkin di masyarakat sebelum anak mengenal sekolah. Hal demikian itu terjadi

misalnya di lading, di warung, dan di lapangan permainan. Misalnya:

a. Di ladang ada 3 ekor kerbau yang digembalakan, kemudian Budi

membawa 2 ekor lagi untuk digembalakan pula. Berapa ekor kerbau

yang ada di ladang sekarang?

b. Di rumah ibu Ani terdapat sebutir telur. Ia pergi ke warung untuk

membeli 3 butir telur lagi untuk menjamu tamunya. Berapa butir

telur yang ada sekarang di rumah ibu Ani?

c. Ada 2 orang anak sedang bermain di halaman sebuah rumah.

Kemudian datang temannya 4 orang bergabung. Berapa anak yang

ada di halaman rumah itu sekarang?

Itulah contoh-contoh persoalan sehari-hari yang untuk penyelesaiannya

memerlukan pengetahuan tentang operasi jumlah atau penjumlahan.

Fakta-fakta dasar Penjumlahan

Yang dimaksud dengan fakta-fakta dasar penjumlahan ialah penjumlahan

atau kombinasi bilangan dari 0 sampai 9, misalnya 9+1, 6+3, 9+9. Adapun 12+9

bukan fakta dasar penjumlahan sebab 12 bukan bilangan yang lambangnya terdiri

dari satu angka. Jadi ada 100 kombinasi fakta dasar penjumlahan, yaitu:

0 + 0, 0 + 1, 0 + 2, …, 0 + 9,

1 + 0, 1 + 1, 1 + 2, …, 1 + 9,

2 + 0, 2 + 1, 2 + 2, …, 2 + 9,

11

…, …, , … , …,

…, …, , … , …,

…, …, , … , …,

9 + 0, 9 + 1, 9 + 2, …, 9 + 9

Anak-anak untuk pertama kali memperoleh pengajaran penjumlahan pada

umumnya di kelas I SD. Jadi taraf berpikirnya masih konkret. Oleh karena itu,

pengajaran akan lebih dipahami bila diberikan dengan menggunakan benda-benda

konkret atau alat peraga dan dikaitkan dengan kehidupan sehari-hari. Soal cerita

itu kemudian diubah ke dalam model konkret atau model diagram (gambar)

kemudian baru dilanjutkan ke dalam symbol.

Perhatikanlah contoh berikut:

12

ADA 3 ANAK SEDANG BERMAIN. KEMUDIAN 2

TEMANNYA DATANG.

3+2 =

“Ada 3 anak sedang bermain. Kemudian 2 temannya datang bergabung.

Ada berapa anak sekarang?” Soal cerita tersebut diterangkan kepada anak melalui

langkah-langkah berikut

Ada 4 pendekatan atau jalan untuk menerangkan penjumlahan, yaitu

dengan kumpulan, dengan pengukuran, dengan mesin fungsi, dan dengan cara

bersusun panjang/ bersusun dengan kumpulan, dengan pengukuran, dengan mesin

fungsi, dan dengan cara bersusun panjang/ bersusun pendek.

a. Penjumlahan melalui Kumpulan

13

MODEL KONKRIT

SIMBOL

MODEL DIAGRAM

Penjumlahan dengan menggunakan dasar kumpulan didasarkan kepada

gabungan dua kumpulan lepas. Mengingat dua anak-anak masih real maka

kumpulan yang diambil harus kumpulan dengan anggota real atau gambar dengan

anggota real. Misalnya:

(1) Saya punya kelerang dua buah. Kemudian saya membeli lagi tiga buah.

Berapa buah kelerang sekarang yang saya miliki? Pada saat kita

menceritakan hal ini kepada anak, kita supaya membawa lima buah

kelereng dan seutas tali atau semacamnya untuk batas kumpulan.

Gambarnya kira-kira sebagai berikut:

2 + 3 = 5

Catatan:

Sebagai pengganti kelereng dalam soal cerita itu kita dapat menggunakan

benda-benda lain, seperti: mobil-mobilan, pensil, buku, dan lain-lain. Dan anak

supaya diikutkan secara aktif dalam menyelesaikan soal tersebut.Misalnya; Saya

punya dua buah kelereng. Coba nak ambil lagi tiga buah. Setelah anak mengambil

dan menyatukannya, kita bertanya lagi. Berapa banyaknya kelereng sekarang?

(2) Di halaman rumah saya ada tiga ekor ayam. Kemudian datang dua ekor

lagi. Ada berapa ekor ayam di halaman rumah saya sekarang? Ayam

sukar untuk diadakan. Bila adapun pasti takut lepas. Sebagai

penggantinya, kita dapat menggunakan ayam sebagai model (ayam-

ayaman dari tanah liat misalya). Lambangnya kira-kira sebagai berikut:

14

3 + 2 = 5

Selain dengan menggunakan model konkret, ayam dengan kumpulan

seperti di atas kita dapat pula menggunakan papan flannel dengan gambar-gambar

ayam (model diagram) atau yang lainnya yang dapat ditempelkan pada papan

flannel itu. Anak-anak dapat menjawab dengan aktif pertanyaan Anda bila mereka

menempelkan gambar ayam itu pada papan flannel. Pertanyaan-pertanyaan itu

misalnya:

Coba ambil dua ekor ayam, kemudian tempelkan pada papan flannel itu.

Kemudian ambil tiga ekor lagi dan tempelkan pula pada papan flannel itu. Ada

berapa ekor sekarang? Jadi, 2 + 3 =

b. Penjumlahan melalui Pengukuran

Pada penjumlahan dengan pengukuran, yang dijumlahkan itu bukan

bilangan cardinal dari kumpulan-kumpulan tetapi ukuran panjangnya.

Penjumlahan dengan pengukuran dapat diperagakan dengan garis bilangan,

timbangan bilangan atau batang Cuisenaire (berwarna).

Dengan Garis Bilangan

Dengan cara ini yang dihitung itu bukan titik-titik pada garis bilangan

tetapi jaraknya.

15

(a) Sebagai langkah pertama kita mulai dengan keadaan real. Karena

itu kita buat garis bilangan pada kertas dalam bentuk tangga

bilangan sebagai berikut.

(b) Langkah berikutnya kita dapat menggunakan kertas bergaris

bilangan yang ditempelkan pada dinding atau papan tulis. Sebagai

pelompatnya dapat dibuat gambar kodok dari kertas kemudian

digunting, atau dibuat dari tanah liat. Ceritanya misalnya sebagai

berikut. Coba ambil kodokmu nak. Suruh ia melompat 2 kotak

mulai dari nol dan suruhlah ia melompat 3 kotak lagi. Berapa

kotak kodokmu telah melompat? Jadi berapakah 2+3?

(c) Setelah diperagakan dengan benda-benda real atau modelnya, kita

dapat menggunakan yang lebih abstrak yaitu hanya dengan garis

bilangan.

Dengan Timbangan Bilangan

Timbangan bilangan dapat kita gunakan untuk peragaan penjumlahan

bilangan.

Timbangan bilangan dengan posisi 2+3= 5 atau 3+2= 5. Cara

menggunakan alat itu dalam penjumlahan 2 dan 3 adalah sebagai berikut. Mula-

mula diambil satu kepingan batu timbangan dan dikaitkan pada posisi 3 pada

tangan-tangan yang sama. Agar timbangan itu seimbang lagi kita harus

mengambil satu keping batu timbangan dan dikaitkan pada posisi 5 pada tangan-

tangan yang berbeda (di sebelah kanan). Ini berarti 2+3= 5.

Dengan Batang Kuisener

Ambil satu batang duaan, yaitu batang yang berwarna hijau muda.

Kemudian ambil satu batang tigaan, yaitu batang yang berwarna merah.

Tempatkan kedua batang di atas ujung-ujungnya saling melekat.

Kemudian cari sebuah batang lain yang persis dapat menutup kedua batang

di muka. Ternyata batang yang dapat menutup persis kedua batang di atas

16

berwarna kuning. Panjang batang berwarna kuning itu lima satuan. Ini berarti

2+3=5. Untuk memudahkan penggambaran, pada buku-buku pelajaran atau papan

tulis, kedua penyajian di muka digambar dua dimensi sebagai berikut.

2+3 2+3=5

c. Penjumlahan melalui Mesin Fungsi

Pada umumnya mesin fungsi tidak dipergunakan untuk menerangkan

penjumlahan atau pegerjaan hitung lainnya, tetapi lebih banyak dipergunakan

untuk latihan dan pengenalan pada fungsi.

Ambillah sebuah kotak mesin fungsi “+3” yang menggunakan kartu, pada

muka kartu yang keluar kita harus menulis lambang bilangan untuk bilangan yang

ketiga lebih besar dari bilangan yang dimasukkan. Misalnya bila pada muka kartu

yang dimasukkan itu ditulis 2, maka pada bagian belakangnya harus ditulis 5, bila

pada mukanya ditulis 6, maka pada bagian belakang kartu yang akan keluar harus

ditulis 9, dan seterusnya.

Konstruksi mesin itu seperti berikut.

17

32 32

5

2

3

Aturannya +3

Masukan 1 2 3 6 10 15 …… ……

Hasil 4 5 6 9 13 18 …… ……

Bila yang dimasukkan kita misalkan x, maka hubungan antara yang masuk

dengan yang keluar itu adalah f: x -- x+3. Ini tidak lain daripada fungsi. Dengan

kata lain, bila yang masuk kita misalkan x dan yang keluar kita misalkan y, maka

hubungan antara x dan y adalah y= x+3, ini adalah fungsi (linear).

d. Penjumlahan dengan cara bersusun panjang dan bersusun pendek

Pak Agus mempunya kebun kelapa. Pada bulan Januari, ia memetik 2.438

buah. Pada bulan Februari, ia memetik 1.562 buah. Pada bulan Maret, ia memetik

3.724 buah. Jumlah kelapa yang dipetik selama 3 bulan adalah 2.438 + 1.562 +

3.724. Jumlah ini dapat kita tentukan dengan;

1) Cara bersusun panjang

2.438 = 2.000 + 400 +30 + 8

1.562 = 1.000 + 500 + 60 + 2

3.724 = 3.000 + 700 + 20 + 4

= 6.000 + 1.600 +110 + 14

= 6.000 + (1.000+600) + (100+10) + (10+4)

= (6.000 + 1.000) + (600 + 100) + (10 + 10) + 4

= 7.000 + 700 + 20 +4

= 7.724

2) Cara bersusun pendek/ penjumlahan berdasarkan nilai tempat dengan

menyimpan.

111

2.438

1.562

3.724 +

7.724

18

Langkah-langkahnya sebagai berikut. Jumlahkan bilangan satuan: 8 + 2 +

4 = 14 tulis angka 4 pada tempat satuan, kita simpan 1 pada tempat puluhan.

Jumlahkan bilangan puluhan: 1 + 3 + 6 + 2 = 12 tulis angka 2 pada tempat

puluhan, kita simpan 1 pada tempat ratusan. Jumlahkan bilangan ratusan: 1 + 4 +

5 + 7 = 17 tulis angka 7 pada tempat ratusan, kita simpan 1 pada tempat ribuan.

Jumlahkan bilangan ribuan: 1 + 2 + 1 + 3 = 7 tulis angka 7 pada tempat ribuan.

Kita peroleh 2.348 + 1.562 + 3.724 = 7.724

Sifat-sifat Penjumlahan

Pada bagian ini akan ditunjukkan sifat-sifat penjumlahan yang berlaku

pada himpunan bilangan cacah. Sifat-sifat itu ialah: tertutup, pertukaran

(komutatif), dan pengelompokan (asosiatif).

Untuk tahap ini siswa jangan dituntut untuk bisa menyebutkan sifat-sifat

itu dan himpunan bilangan mana yang memenuhi sifat-sifat itu, tetapi cukup

diminta dapat memahami bahwa bila kita ambil beberapa buah bilangan cacah 2,

3, dan 5 misalnya, maka 3 + 5 itu adalah bilangan cacah, 2 + 3 = 3 + 2, dan (2 +3)

+ 5 = 2 + (3 + 5). Siswa akan mengatakan bahwa 2 + 3 itu sama dengan 3 + 2

karena 2 + 3 = 5 dan 3 + 2 = 5 pula. Sama halnya dengan (2 +3) + 5 = 2 + (3 + 5)

karena (2 +3) + 5 = 10 dan 2 + (3 + 5) = 10 juga.

(a) Tertutup

Ambillah dua bilangan cacah, misalnya 3 dan 6. Apakah jumlah dua

bilangan cacah itu bilangan cacah? Dari contoh di atas 3+6 diperoleh hasil 9. Itu

juga merupakan bilangan cacah.

Jumlah setiap dua bilangan cacah sebarang adalah bilangan cacah pula.

Dikatakan bahwa bilangan cacah itu tertutup di bawah penjumlahan. Apakah

bilangan cacah tertutup di bawah pengurangan? Tidak, sebab selisih dua bilangan

cacah tidak selalu hasilnya bilangan cacah lagi. Misalnya dalam 9 – 10 = -1,

meskipun 9 dan 10 itu bilangan cacah tetapi -1 bukan bilangan cacah. Begitu pula

dalam 2 – 6 = -4, meskipun 2 dan 6 itu bilangan cacah tetapi -4 bukan bilangan

cacah.

19

(b) Pertukaran

Ambillah dua bilangan cacah, misalnya 3 dab 6. Apakah 3 + 6 = 6 + 3? Ya

betul, hasilnya tidak berubah. Jadi, apakah dua bilangan cacah yang dijumlahkan

itu letaknya (tempatnya) selalu dapat dipertukarkan? Ya, betul. Oleh karena itu

setiap dua bilangan cacah sebarang, bila dijumlahkan, letaknya selalu dapat

dipertukarkan, maka dikatakan bahwa bilangan cacah itu memenuhi sifat

pertukaran (komutatif) jumlah.

2. Pengurangan

Pada penjumlahan, kita mencari jumlahnya.

Pada pengurangan, kita mencari selisihnya.

Pada 5 – 3 = ..... kita harus mencari bilangan yang bila ditambahkan

kepada 3 diperoleh 5.

Fakta-fakta Dasar Pengurangan

Pada fakta-fakta dasar pengurangan, bilangan yang dikurangi harus kurang

atau sama dengan 18, sedangkan pengurangnya ialah bilangan cacah dari 0 sampai

9, dengan catatan bahwa selisihnya harus bilangan cacah dan besarnya dari 0

sampai dengan 9. Perhatikan contoh berikut.

18 - 9, 16 - 7, 9 - 8, dan 2 - 1 adalah fakta dasar

18 - 2, dan 15 - 4 bukan fakta dasar sebab selisihnya lebih besar dari 9

16 - 12 dan 17 - 10 bukan fakta dasar sebab pengurangnya lebih besar dari

9

8 - 9 dan 4 - 7 bukan fakta dasar sebab selisihnya bilangan negatif

20

4 + 6 =

Suku suku jumlah

5 - 3 =

Yang pengurang selisihDikurangi

Seperti pada penjumlahan, soal cerita sehari-hari mengenai pengurangan

yang akan diterangkan itu supaya diubah dulu kedalam model, baru kemudian ke

dalam simbol. Ini sangat penting terutama pada saat-saat permulaan anak-anal

mengenal konsep pengurangan. Untuk jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

Ada 4 buah roti, yang satu dimakan adik. Ada berapa roti sekarang?

Langkah-langkah mengerjakannya sebagai berikut

Kita ketahui penjumlahan itu berkaitan dengan penggabungan atau

penyatuan himpunan benda-benda sejenis. Oleh karena itu pengurangan berkaitan

dengan pemisahan himpunan benda-benda sejenis. Pada umumnya persoalan

pengurangan dapat dilihat dalam 3macam keadaan, yaitu membuang, mencari

suku yang hilang, dan membandingkan.

a. Membuang

Dodi punya 5 buah kelereng, ia berikan pada adiknya 2 buah. Berapa

kelereng sisanya ?

5 – 2 =

b. Mencari suku yang hilang

Dedi punya jeruk 3 buah, setelah di beri lagi oleh neneknya, ia mempunyai 6 buah

jeruk. Berapa jeruk yang di beri oleh neneknya?

21

Ada 4 buah roti, yang satu dimakan adik.

Persoalan sehari-hari

Model konkret

Model diagram

4 - 1 =

Simbol

=

3 + = 5

c. Membandingkan

Budi punya kelereng 3 buah

Anton punya kelereng 5 buah

Berapa buah lebihnya kelereng anton?

Anton Budi

Pendekatan dalam pengurangan

a. Pengurangan melalui kumpulan

Banyak cerita sehari-hari yang pemecahannya memerlukan pemahaman

pengurangan. Misalnya:

Adik punya 5 buah kelereng, ia berikan pada kakaknya 2 buah. Berapa

kelereng sisanya ?

22

5 - 2 = 3

Pengurangan melalui pengukuran

Pengurangan dengan pengukuran dapat dilakukan dengan 3 cara, yaitu dengan

garis bilangan, timbangan bilangan, dan batang kuisener.

a. Pengurangan dengan garis bilangan. Meragakan penjumlahan pada garis

bilangan ialah dengan bergerak maju (ke sebelah kanan). Oleh karena

pengurangan adalah lawan penjumlahan maka pengurangan pada garis

bilangan ialah bergerak mundur (ke sebelah kiri).

Seperti pada penjumlahan, kita dapat menggunakan tangga garis bilangan,

pita garis bilangan dan garis bilangan. Cerita realnya misalnya sebagai berikut.

Pada tangga garis bilangan berikut Rini mencoba melompat 5 kotak (satuan) ke

depan (ke kanan). Kemudian mundur sebanyak 2 kotak. Apa yang terjadi?

5

0 1 2 34

5 6 7 8 9

5 – 2 = 3

Dengan garis bilangan 5 – 2 = 3 itu adalah sebagai berikut:

23

7 8321 40 5 6

5 – 2 = 3b. Pengurangan dengan timbangan bilangan

c. Pengurangan dengan batang kuisener

Batang kuisener atau batang berwarna dapat kita pergunakan untuk

meragakan pengurangan. Untuk melihat peragaannya kita ambil contoh:

Dodi memiliki 6 buah kelereng, empat kelereng diberikan kepada adiknya.

Berapa kelereng yang sekarang dimiliki Dodi? Mari kita jawab dengan

menggunakan batang kuisener;

Cara menjawab soal tersebut adalah sebagai berikut. Ambil sebuah batang

berwarna 6 satuan (batang berwarna hijau tua). Kemudian ambil sebuah batang

berwarna 4 satuan (berwarna ungu), tempelkan di samping batang berwarna hijau

tua itu sehingga salah satu ujung-ujungnya pas (posisis ini menunjukkan 6-4).

Kemudian cari batang berwarna lain yang dapat menutup tempat yang kosong

dengan pas. Batang tersebut adalah berwarna merah. Jadi 6 – 4 = 2

(a) Pengurangan dengan cara bersusun pendek

Contoh:

Didi mengikuti perlombaan jalan cepat. Jarak yang harus ditempuh adalah

8.743 meter. Ia sudah menempuh jarak 5.281 meter. Berapa jarak yang harus

ditempuh Didi?

Penyelesaian:

Diketahui: jarak tempuh dalam lomba lari adalah 8.743 meter

Jarak yang sudah ditempuh adalah 5.281 meter

Ditanya: berapa jarak yang masih harus ditempuh?

Jawab: Didi masih harus menempuh jarak (8.743-5.281) meter. Untuk

menentukannya dapat mencapainya dengan cara bersusun pendek seperti berikut

24

Langkah-langkahnya:

a) Kurangi bilangan satuan: 3 – 1 = 2. Tulis angka 2 pada tempat satuan

b) Kurangi bilangan puluhan: 4 – 8 (karena 4<8 maka kita pinjam satu

ratusan, sehingga bilangan ratusannya 7-1 jadi tinggal 6. Dan bilangan

puluhannya 10+4 menjadi 14). Sehingga menjadi 14 – 8 = 6. Tulis angka 6

pada tempat puluhan.

c) Kurangi bilangan ratusan: 6 – 2 = 4. Tulis angka 4 pada tempat ratusan.

d) Kurangi bilangan ribuan: 8 – 5 = 3. Tulis angka 3 pada tempat ribuan.

Jadi, Didi masih harus menempuh jarak 3.462 meter.

Sifat-sifat pengurangan

1. Apakah operasi pengurangan tertutup pada bilangan cacah? Dengan

mengambil beberapa pasangan bilangan cacah sembarang, kita akan

mengatahui bahwa sifat pengurangan itu tidak tertutup pada bilangan

cacah. Sebab selisih dua bilangan cacah tidak selalu hasilnya bilangan

cacah lagi. Misalnya dalam 4 – 9 = -5, meskipun 4 dan 9 adalah bilangan

cacah tetapi -5 bukan bilangan cacah.

2. Apakah operasi pengurangan memenuhi sifat pertukaran? Ambillah dua

bilangan cacah, misalnya 3 dan 5. Apakah 3 – 5 = 5 – 3? Tidak, karena 3 –

5 = -2 sedangkan 5 – 3 = 2. Oleh karena tidak setiap bilangan cacah, bila

dikurangkan, letaknya dapat dipertukarkan, maka sifat pengurangan pada

bilangan cacah tidak memenuhi sifat pertukaran.

3. Perkalian

Pada tingkat sekolah dasar, penjumlahan dan pengurangan dikenalkan

melalui benda-benda konkret atau gambarnya. Ini adalah suatu keyakinan dan

25

6 148 7 4 35 2 8 13 4 6 2

kepercayaan dari sejak lama bahwa konsep matematika supaya ditanamkan

kepada anak-anak melalui contoh-contoh dunia nyata.

Begitu pula perkalian bagi anak-anak di tingkat rendah supaya dijelaskan

melalui benda-benda konkret atau gambar benda-benda konkret dan dikaitkan

pula dengan kehidupan sehari-hari. Dari keadaan kehidupan nyata sehari-hari itu

dibuat dulu ke tahap model konkret atau model gambar dan kemudian dilanjutkan

kepada tahap akhir yaitu tahap simbolik.

Contoh:

Ibu Ani punya 2 dus telur. Masing-masing dus berisi 6 biji. Berapa biji

telur bu Ani? Soal tersebut dapat diperagakan seperti berikut

Fakta dasar perkalian

Yang dimaksud dengan fakta-fakta dasar perkalian ialah perkalian

bilangan 0 sampai dengan 9, misalnya 8 x 3, 1 x 9, 6 x 0, dan 5 x 4.

Adapun 3 x 15 bukan fakta dasar perkalian sebab 15 bukan bilangan yang

lambangnya terdiri dari satu angka. Pada perkalian ada 100 kombinasi fakta dasar

yaitu:

26

Ibu Ani punya 2 dus telur dengan masing-masing berisi 6 telur

Persoalan sehari-hari

Model konkret

Model gambar

2 x 6 =

simbol

0 x 0, 0 x 1, 0 x 2, ..., 0 x 9

1 x 0, 1 x 1, 1 x 2, ..., 1 x 9

2 x 0, 2 x 1, 2 x 2, ..., 2 x 9

.....................................

.....................................

.....................................

9 x 0, 9 x 1, 9 x 2, ..., 9 x 9

Untuk menerangkan perkalian, ada 7 pendekatan yang dapat ditempuh,

yaitu kumpulan, pengukuran, jajaran, produk Cartesius, kartu nilai tempat, blok

model Dienes, kantong nilai tempat, abakus, mesin fungsi, dan cara

mendatar/bersusun panjang/bersusun pendek.

1) Perkalian melalui himpunan (kumpulan)

Perkalian dapat diterangkan dengan menggunakan pendekatan himpunan,

yaitu himpunan-himpunan lepas yang ekuivalen dan sejenis.

Contoh:

Fajar mempunyai 3 bungkus permen karet, masing- masing bungkus berisi

4 buah permen karet. Berapa buah permen karet yang dimiliki Fajar? Perhatikan

gambar berikut!

Gambar dibawah menunjukkan 3 himpunan yang masing-masing

anggotanya 4 buah.

3 x 4 = 12

27

Banyak anggota himpunan dari 3 himpunan yang masing-masing anggotanya 4

buah adalah 12 (3 x 4 = 12).

Pemahaman konsep perkalian dapat diilustrasikan sebagai pemasangan

silang antara dua himpunan, yaitu: Jika a dan b bilangan cacah, A dan B adalah

himpunan yang terhingga sedemikian hingga n(A) = a dan n(B) = b, maka a x b =

n (A x B). Misalkan perkumpulan bulu tangkis mempunyai pemain putra

sebanyak 3 orang, yaitu: Rudi, Candra, dan Gunawan, serta mempunyai 2 orang

pemain putri, yaitu: Susi dan Yeni. Jika akan diturunkan bermain dalam pasangan

ganda campuran, maka pasangan yang mungkin terjadi adalah: (1) Rudi dan Susi;

(2) Rudi dan Yeni; (3) Candra dan Susi; (4) Candra dan Yeni; (5) Gunawan dan

Susi; dan (6) Gunawan dan Yeni. Jadi banyaknya pasangan atau kombinasi yang

mungkin terjadi adalah 6 pasang. Banyaknya pasangan tersebut didapat dari

pemasangan silang dua anggota himpunan atau didapat dari perkalian bilangan 3

dan bilangan 2.

Contoh lain, ambil dua himpunan A dan B yang saling lepas, A dengan a

anggota dan B dengan b anggota, kemudian bentuklah A x B. Maka banyaknya

anggota (pasangan) dalam A x B disebut a x b. Misalkan A = {a, b, c} dan B =

{k, l, m, n}. Maka A x B = {(a, k), (a, l), (a, m), (a, n), (b, k), (b, l), (b, m), (b, n),

(c, k), (c,l), (c, m), (c, n)}. Hasil perkalian tersebut dapat dilihat pada tabel di

bawah ini:

Tabel 6.1.2: Perkalian silang dua anggota himpunan

X k L m N

A a, k a, l a, m a, n

B b, k b, l b, m b, n

C c, k c, l c, m c, n

28

Atau perkalian tersebut dapat digambarkan sebagai persilangan 3 baris dengan 4

garis, seperti gambar berikut:

Gambar 6.1.1: Persilangan 3 garis dengan 4 garis

Perkalian dapat pula dinyatakan sebagai penjumlahan berulang, dengan

definisi: Jika a dan b bilangan cacah, maka a.b = b + b + b + ... + b atau ab adalah

penjumlahan berulang yang mempunyai a suku dan tiap-tiap suku adalah b. Atau

perkalian axb ialah penjumlahan atau penjumlahan berganda yang mempunyai a

suku dan tiap-tiap suku sama dengan b. Definisi ini dapat pula dilihat pada

Bell(1962), Atau dapat dinyatakan: Jika N + N = 2 x N, maka N + N + N = 3 x

N dan seterusnya. Dan pada Grossnickle (1959), definisi perkalian ini

diilustrasikan dengan: 2 x 5 = 10, sebagai “2 groups of 5`s are 10”. Misal: Jika

ada 4 kandang ayam, dalam setiap kandangnya terdapat 5 ekor ayam, maka

jumlah ayam tersebut adalah 5 + 5 + 5 + 5 = 4 x 5 = 20 ekor ayam.

Perkalian dapat pula dipandang sebagai gabungan suatu himpunan atau dengan

perkataan lain, a x b ialah banyaknya anggota dalam persatuan (gabungan) a

himpunan, yang sepasang-sepasang lepas dan masing-masing mempunyai b

anggota.

Misal: Jika A1, A2, A3, ... An adalah himpunan-himpunan yang sepasang-sepasang

lepas dan masing-masing mempunyai b anggota, maka a x b adalah banyaknya

anggota : A1 A2 A3 ... An. Contoh Perkalian 3 x 4 dapat diperagakan

sebagai berikut:

29

Gambar 6.1.2: Perkalian 3 x 4 anggota

Atau dengan jajaran yang terdiri dari 3 baris masing-masing dengan 4 anggota

(pesawat) seperti gambar berikut:

Gambar 6.1.3: Perkalian 3 x 4 anggota

Definisi lain dalam hal perkalian dapat digunakan dengan pendekatan kelipatan

suatu bilangan, atau dengan istilah lain yaitu membilang loncat, seperti terlihat

pada tabel berikut ini.

Tabel 6.1.3: Kelipatan suatu bilangan

Kelipatan Kelipatan ke …

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

30

Penggunaan kelipatan pada proses perkalian misalnya 2 x 4 , yaitu mencari

kelipatan 4 pada langkah ke dua (pada tabel di atas adalah 8, karena pada

kelipatan 4 kita temukan: 4, 8, .....). Contoh lain, 4 x 5 , bilangan yang dimaksud

adalah bilangan pada kelipatan 5 dalam langkah ke 4 ( pada tabel di atas adalah

20, karena pada kelipatan 5 kita temukan: 5, 10, 15, 20, ..... ).

Fakta dasar perkalian adalah perkalian bilangan 0 sampai dengan 9. Sedangkan

fakta dasar pembagian adalah pembagian bilangan dimana bilangan yang

dibaginya dari 0 sampai dengan 81, pembaginya bilangan asli dari satu sampai

dengan 9, dan hasil baginya adalah bilangan cacah dari 0 sampai dengan 9.

Dalam kalimat matematik seperti 6 x 9 = 54, 6 dan 9 disebut faktor sedangkan 54

hasil kali dan semuanya menyusun apa yang disebut fakta perkalian.

Fakta dasar perkalian dalam bilangan cacah dapat dimisalkan sebagai berikut,

yaitu ada sembarang bilangan a x b = c, dengan keterangan sebagai berikut :

0 a 9 (a tidak lebih kecil dari 0 dan tidak lebih besar dari 9),

0 b 9 (b tidak lebih kecil dari 0 dan tidak lebih besar dari 9),

0 c 81 (c tidak lebih kecil dari 0 dan tidak lebih besar dari 81), dengan

keterangan a, b, dan c elemen (anggota) bilangan cacah.

Contoh-contoh perkalian fakta dasar dapat dilihat pada tabel perkalian di bawah

ini.

31

Tabel 6.1.4: Perkalian Fakta Dasar

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81

Untuk memantapkan penguasaan fakta dasar perkalian dan pembagian

dapat digunakan tabel, jari tangan, dan mengaitkan suatu perkalian dengan fakta

yang mudah diingat, seperti kelipatan dua yang hasil perkaliannya selalu bilangan

genap, kelipatan lima sering ada pada penggaris atau bilangan menit pada jam

(satu bilangan nilainya 5 menit, dan kelipatan tujuh yang ada pada perhitungan

hari dalam satu mingu.

Sifat Operasi Hitung Perkalian

Dalam perkalian bilangan cacah berlaku sifat-sifat, yaitu: (1) tertutup, (2)

komutatif, (3) asosiatif, (4) elemen identitas, (5) perkalian dengan bilangan nol,

dan (6) distributif perkalian terhadap penjumlahan (Soewito, 1991/1992: 40-42).

Juga dapat dilihat pada Wheeler (1973), yang memiliki: Commutative,

Assosiative, Identity, Distributive (distributif perkalian terhadap penjumlahan),

32

dan sifat perkalian dengan bilangan nol. Berikut ini penjelasan sifat-sifat

perkalian tersebut, yaitu:

1) Sifat Tertutup

Sifat tertutup dalam perkalian bilangan cacah maksudnya ialah, jika ada

dua bilangan cacah atau lebih diperkalikan, maka hasilnya bilangan cacah pula

(tidak keluar dalam konteks bilangan cacah). Misalnya: 2 x 4 = 8 , 3 x 7 = 21 dan

lain lain, 8 dan 21 adalah anggota bilangan cacah.

2) Sifat Pertukaran (Commutative)

Sifat pertukaran (komutatif) didefinisikan: Untuk semua bilangan cacah a

dan b berlaku a.b = b.a. Atau dengan perkataan lain, hasil suatu perkalian tidak

berubah bila pengali dan yang terkalikan dipertukarkan. Untuk bukti secara

umum, dapat diambil himpunan A dan B sedemikian hingga n(A) = a, n(B) = b.

Karena A x B = B x A maka, n ( A X B) = n (B x A) atau a.b = n ( A x B) = n

( B x A) = b.a. Misalkan 3 x 4 = 4 x 3 = 12. Karena 4 + 4 + 4 = 3 + 3 + 3 + 3 =

12

Bukti lain adalah sebagai berikut: Ambil himpunan H dengan a anggota dan I

dengan b anggota. H dan I saling lepas, a x b adalah banyaknya anggota himpunan

H x I, yaitu himpunan { (x,y) : x H, y I }. b x a adalah banyaknya anggota

himpunan I x H , yaitu himpunan { (y,x) : y I, x H}. Karena setiap (x, y) H x I

dapat dipasangkan dengan ( y, x) I x H dan sebaliknya, maka H x I sama dengan I

x H, dengan kata lain a x b = b x a. Sebagai contoh diambil: H = {k, l, m, n} dan

I = {s, t }, maka perkalian silang kedua himpunan tersebut menjadi: {(k,s), (k,t),

(l,s), (l,t), (m,s), (m,t), (n,s), (n,t)}. Sedangkan Jika perkalian himpunannya

tersebut dipertukarkan (dibalikkan posisi), maka menjadi seperti berikut, yaitu:

{(s, k), (s, l), (s, m), (s, n), (t, k), (t, l), (t, m), (t, n)}. Dalam kasus ini dapat

disimpulkan bahwa perkalian dua himpunan tersebut adalah sama, karena masing-

masing menghasilkan 8 kemungkinan pemasangan anggota himpunan. Dengan

adanya sifat komutattif perkalian, maka perbedaan antara pengali dan terkalikan

tidak berarti, dan untuk menyatakan masing-masing disebut faktor.

33

Pemakaian sifat komutatif dapat dilihat pada contoh berikut:

a). Seorang yang harus mengalikan 439 x 8 akan lebih mudah kalau ia

melakukannya sifat pertukaran, yaitu 8 x 439 dari pada 439 x 8

b). 2 x 9 berarti 9 + 9

9 x 2 berarti 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Dengan demikian seorang yang harus menghitung 9 x 2 akan mengubahnya

dengan 2 x 9 karena bentuk 2 x 9 ini lebih mudah dihitung.

c). Penggunaan sifat komutatif sering digunakan dalam perhitungan luas suatu

daerah (bangun datar/dua dimensi), contohnya seperti gambar berikut, bahwa luas

gambar di sebelah kiri sama dengan luas daerah di sebelah kanannya:

5 cm 3 cm

3 cm 5 cm

Gambar 6.1.4: Luas suatu daerah dalam dua posisi

3) Sifat Pengelompokan (Assosiative)

Untuk mengalikan tiga bilangan cacah, misalnya 2 x 3 x 4, dapat

digunakan pengelompokan yang berbeda, yaitu:

2 x 3 x 4 = (2 x 3) x 4 = 6 x 4 = 24 atau,

2 x 3 x 4= 2 x (3 x 4) = 2 x 12 = 24

Dengan demikian didapat (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4). Dari contoh tersebut nampak

adanya sifat asosiatif dalam perkalian.

34

Cara lain untuk memperlihatkan sifat assosiatif adalah dengan membuat alat

peraga tiga dimensi, yang terdiri dari panjang, lebar dan tinggi. Contoh berikut

perkalian (4 x 3) x 2 = 4 x (3 x 2), seperti gambar berikut:

2 cm 4 cm

4 cm 3 cm 2 cm 3 cm

Gambar 6.1.5: Bangun ruang dalam dua posisi

Sifat asosiatif tersebut dapat dikatakan sulit diterima oleh siswa kelas III

sekolah dasar sebab kemampuan siswa masih terbatas, yaitu harus memahami

terhadap benda ruang tiga dimensi, pemahaman terhadap benda ruang tiga

dimensi tersebut siswa harus memiliki daya tilik ruang, seperti pada kubus ada

istilah sisi, rusuk dan titik sudut, maka dari itu sifat tersebut tidak akan diajarkan

dalam penelitian tindakan kelas ini.

4) Elemen Identitas dan Sifat Perkalian degan Bilangan 0 (nol)

Bilangan 1 (satu) adalah elemen identitas perkalian sehingga untuk setiap

bilangan cacah a berlaku 1.a = a dan a.1 = a. Sedangkan untuk bilangan 0 (nol)

berlaku 0. a = 0 dan a.0 = 0

Contoh:

4 x 1 = 4 ; 6 x 1 = 6 ; 1 x 8 = 8 ; 1 x 10 = 10 ; dsb.

4 x 0 = 0 ; 2 x 0 = 0 ; 5 x 0 = 0 ; 0 x 10 = 0; dsb.

35

5) Sifat Penyebaran (Distributive) Perkalian terhadap Penjumlahan

Untuk setiap bilangan cacah a, b, dan c berlaku: a x (b + c) = (a x b) + (a x c) dan

(b + c) x a = (b x a) + (c x a). Sifat distributif ini dapat diilustrasikan sebagai

berikut, dengan contoh 3 x 8 menjadi (3 x 5) + (3 x 3):

Gambar 6.1.6.: Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

Contoh: 7 x 13 = 7 x (10 + 3) = (7 x 10) + (7 x 3)

8 x 13 = 8 x (10 + 3) = (8 x 10) + (8 x 3)

63 x 4 = (60 + 3) x 4 = (60 x 4) + (3 x 4) = 240 + 14 = 254

34 x 21 = (34 x 20) + (34 x 1) = 680 + 34 = 714

Sifat-sifat tersebut di atas fungsinya untuk mempermudah penyelesaian suatu soal,

seperti contoh soal berikut:

87 x 34 = 34 x 87 (sifat komutatif)

= (30 + 4) x (80 + 7) (sifat distributif)

= 30 x (80+7) + 4 x (80+7) (sifat distributif)

= (30 x 80) + (30 x 7) + (4 x 80) + (4 x 7) (sifat distributif)

= 2400 + 210 + 320 + 28

= 2400 + 530 + 28

= 2400 + 558

= 2958

36

6). Pemberian Contoh dan Penggunaan dalam Kehidupan Sehari-hari

Dalam pemberian contoh perkalian, hendaknya mengacu pada definisi yang sudah

dipahami siswa, yaitu definisi penjumlahan berulang. Dalam hal ini guru dapat

menggunakan sejumlah himpunan dan garis bilangan. Misalkan untuk

menjelaskan 3 x 2=.... dengan pendekatan himpunan:

=

Gambar 6.1.7: Perkalian sebagai penggabungan himpunan

Sedangkan jika menggunakan pendekatan garis bilangan untuk perkalian

seperti 3 x 2 dapat digambarkan sebagai berikut:

0 1 2 3 4 5 6

Gambar 6.1.8: Perkalian dalam garis bilangan

Penggunaan perkalian dalam kehidupan sehari-hari dapat dikaitkan dengan jumlah

siswa, jumlah orang yang berbaris, dan lain-lain yang memperlihatkan adanya

keteraturan. Misalkan: jika jumlah meja di dalam kelas ada 20 dan setiap satu

meja dipakai 2 kursi, maka jumlah kursi dapat diprlihatkan oleh perkalian 20 x 2

kursi = 40 kursi.

3. Pengurangan dan Pembagian

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemukan istilah-istilah kebalikan atau

invers, begitupu dalam matematika. Seperti pengurangan dapat didefinisikan

sebagai kebalikan penjumlahan, sedangkan pembagian didefiniskan sebagai

kebalikan dari perkalian. Atau dengan kalimat lain pengurangan didefinisikan

sebagai berikut:

37

Pengurangan bilangan b dari bilangan cacah a, ditulis a – b menghasilkan bilangan

cacah c, jika dan hanya jika c – b = a atau c – a = b.

Contoh:

7 + 2 = 9 sebab 9 – 2 = 7

12 + 3 = 15 sebab 15 – 12 = 3

24 + 23 = 47 sebab 47 – 23 = 24

Pengurangan ini sering dijadikan sebagai pemeriksaan hasil dari penjumlahan,

untuk meyakinkan bahwa hasil penjumlahan tersebut benar. Misalkan, apakah

benar 12 + 13 = 25, maka untuk meyakinkan hasil penjumlahan tersebut cobalah

balikan, berapkah 25 – 13 = … ? Jika hasil 12, maka hasil penjumlahan tersebut

adalah benar.

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai masalah yang melibatkan

penyelesaiannya berhubungan dengan pengurangan. Misalanya dalam contoh soal

berikut.

Contoh Soal

Amin disuruh ibunya membeli 10 butir telur, ketika dalam perjalanan pulang tiba-

tiba terjatuh, sehingga telur yang dibelinya ada yang pecah. Adapun telur yang

masih tersisa 7 butir. Berapa butir telor yang pecah?

Jawab:

Soal tersebut dapat diselesaikan dengan pendekan model matematika seperti

berikut: 10 – 7 = 3 sebab 7 + 3 = 10

Misalkan x adalah telur yang pecah, maka

10 – x = 7

x = 3

38

A B C D E

Jadi telur yang pecah adalah 3 butir.

Sedangkan pembagian didefinikan sebagai berikut:

Jika x bilangan cacah dan y bilangan asli, maka x dibagi y sama dengan

bilangan cacah z, jika dan hanya jika z.y = x

Contoh:

12 : 3 = 4 sebab 4 x 3 = 12

42 : 7 = 6 sebab 6 x 7 = 42

20 : 5 = 4 sebab 4 x 5 = 20

Contoh Soal

Ibu membagikan kue sebanyak 30 biji kepada anaknya yang berjumlah 5 orang,

masing mendapatkan bagian yang sama. Berapakah anaknya masing-masing

mendapatkan kue?

Jawab:

Misalkan A, B, C, D, dan E adalah nama-nama anak, jika 30 kue dibagi habis

kepada 5 orang, maka masing-masing mendapatkan 6 biji kue. Dan gambar yang

da[at dibuat adalah sebagai berikut

Contoh soal

39

Pak Ahmad membagikan uang sodaqoh kepada sejumlah pakir miskin sebanyak

Rp. 50.000,00, masing-masing medapatkan Rp. 12.500,00. Berapakah jumlah

pakir miskin yang diberi uang oleh Pak Ahmad?

Jawab:

Misalkan jumlah orang pakir miskin adalah p.

Rp. 50.000,00 : p = Rp. 12.500,00 atau ditulis

50000p

=12500

12500 p = 50000

p =

5000012500

p = 4

Jadi banyaknya pakir miskin yang dibagi uang sebanyak 4 orang

40

Bab III

Penutup

A. Kesimpulan

Jadi, bilangan cacah adalah sebagai gabungan bilangan asli dengan

bilangan 0 (nol), bilangan asli itu sendiri adalah himpunan A = {1, 2, 3, …..),

jadi bilangan cacah terdiri dari {0, 1, 2, 3, …..}. Sifat-sifat Penjumlahan yaitu:

tertutup, komutatif, asosiatif, dan sifat penjumlahan dengan nol. Fakta dasar

penjumlahan terdapat 100 yaitu dimulai dari 0 + 0 sampai dengan 9 + 9.

Penguasaan konsep perkalian sedikitnya dapat dilakukan dengan empat

pendekatan, yaitu: (1) pendekatan pemasangan dari dua anggota himpunan; (2)

pendekatan penjumlahan berulang; (3) pendekatan gabungan dua himpunan; dan

(4) pendekatan membilang loncat. Sifat perkalian adalah: tertutup, komutatif,

asosiatif, distributive, adanya Elemen Identitas dan Sifat Perkalian degan

Bilangan 0 (nol). Fakta dasar perkalian sebanyak 100, dimuali dari 0 x 0 sampai

dengan 9 x 9. Pengurangan bilangan b dari bilangan cacah a, ditulis a – b

menghasilkan bilangan cacah c, jika dan hanya jika c – b = a atau c – a = b.

Pembgian didefinikan: Jika x bilangan cacah dan y bilangan asli, maka x dibagi y

sama dengan bilangan cacah z, jika dan hanya jika z.y = x

41

Daftar pustaka

http://p4tkmatematika.org/downloads/sd/BilanganACB.pdf

http://file.upi.edu/Direktori/

http://www.academia.edu/3330678/Teori_Bilangan_Sejarah_

http://www.academia.edu/5400153/SEJARAH_TEORI_BILANGAN

http://repository.upi.edu/3389/

Karso, dkk, 2004, Modul Pendidikan Matematika 1, Universitas Terbuka, Jakarta

Heruman, 2007, Model Pembelajaran Matematika Di Sekolah Dasar, Bandung:

PT Remaja Rosdakarya

42