ALJABAR LINEARELIMINASI GAUSSIAN

Disusun Oleh :ANNISA SEFTIKA FIKRI 10130024LIA ASTRIANA10130164RIA AGUSTINA10130265OKTO BERIANTO 10130237

A. BENTUK ESELON BARIS TEREDUKSI

• Jika suatu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka angka tak nol pertama dalam baris tersebut adalah sebuah angka 1. (Kita sebut ini utama 1)

• Jika ada sembarang baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini dikelompokkan bersama di bagian bawah matriks.

• Jika sembarang dua baris yang berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari nol, utama 1 dalam baris yang lebih bawah terletak di sebelah kanan utama 1 dalam baris yang lebih atas.

• Masing-masing kolom yang berisi sebuah utama 1 mempunyai nol di tempat lainnya.

Sebuah matriks harus mempunyai sifat-sifat berikut ini:

Suatu matriks yang mempunyai sifat 1, 2, dan 3 (tetapi tidak perlu 4) disebut matriks berbentuk eselon baris.

• Contoh 1. Matriks-matriks berikut ini berada dalam bentuk eselon baris tereduksi.

100

010

001

1100

7010

4001

00

00,

00000

00000

31000

10210

Matriks-matriks berikut ini berada dalam bentuk eselon baris, tetapi bukan dalam bentuk eselon baris tereduksi

000

010

011

5100

2610

7341

10000

01100

06210

• Contoh 2.

4100

2010

5001

a

23100

62010

14001

b

000000

251000

130100

240061

c

1000

0210

0001

d

Selesaikan sistem tersebut.

B. Eliminasi GaussianLangkah 1. Tempatkan kolom paling kiri yang tidak seluruhnya terdiri dari nol.Langkah 2. Pertukarkan baris teratas dengan baris lainnya, jika perlu, untuk membawa salah satu entri tak nol ke posisi paling atas dari kolom yang didapatkan dalam Langkah 1

Langkah 3. Jika entri yang sekarang berada di posisi paling atas pada kolom yang ditemukan dalam Langkah 1 adalah a, kalikan baris pertama dengan 1/a untuk mendapatkan utama 1

Langkah 4. Tambahkan hasil kali yang sesuai dari baris teratas ke baris-baris di bawahnya sedemikian sehingga semua entri di bawah utama 1 menjadi nol.

Langkah 5. Sekarang tutup baris teratas matriks tersebut dan mulai lagi dengan Langkah 1 yang diterapkan pada submatriks yang tersisa. Lanjutkan cara ini sampai semua matriks berada dalam bentuk eselon baris

Langkah 6. Mulai dengan baris tak nol terakhir dan kerjakan ke atas, tambahkan perkalian yang sesuai dari masing-masing baris ke baris di atasnya untuk mendapatkan nol di atas utama 1

Jika kita hanya menggunakan lima langkah pertama, prosedur tersebut menghasilkan bentuk baris-eselon dan disebut Eliminasi Gaussian.

515105 643 xxx

Contoh . Selesaikan dengan eliminasi Gauss-Jordan

0223 5321 xxxx

1342562 654321 xxxxxx

6184862 65421 xxxxx

C. SUBTITUSI BALIKSystem persamaan yang berpadanan bisa diselesaikan dengan suatu teknik yang disebut substitusi-balik.Langkah-langkah:Langkah 1. Selesaikan persamaan pertama untuk peubah-peubah utamaLangkah 2. Mulai dengan persamaan yang paling bawah dan lanjutkan ke atas, secara berturut-turut substitusikan setiap persamaan ke semua persamaan di atasnya

Langkah 3. Tetapkan sembarang nilai untuk peubah-peubah bebas, jika ada.

Contoh. Selesaikan bentuk baris Eselon

00000003

1100000

1302100

0020231

D. SISTEM LINEAR HOMOGEN• Suatu sistem persamaan linear dikatakan homogen jika

semua konstantanya adalah nol; yaitu jika sistem tersebut mempunyai bentuk

0

0

0

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

Setiap sistem persamaan linear homogen mempunyai sifat konsisten, karena semua sistem seperti itu mempunyai sebagai penyelesaiannya. Penyelesaian ini disebut penyelesaian trivial; jika ada penyelesaian yang lain, maka penyelesaiannya disebut penyelesaian tak trivial.

0,,0,0 21 nxxx

Karena sistem linear homogen selalu mempunyai penyelesaian trivial, hanya ada dua kemungkinan untuk penyelesaiannya.

1. Sistem tersebut hanya mempunyai satu penyelesaian trivial.2. Sistem tersebut mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian di samping penyelesaian trivial.

Dalam kasus khusus pada sistem linear homogen dari dua persamaan dengan dua peubah, katakanlah

0

0

22

11

ybxa

ybxa

(a1, b1 keduanya tidak nol)

(a2, b2 keduanya tidak nol)

grafik persamaannya berupa garis-garis yang melalui titik asal, dan penyelesaian trivialnya berpadanan dengan

perpotongan di titik asal (Gambar 1).y

x

y

x

a1x + b1ydana2x + b2y

011 ybxa

022 bxa

Gambar 1 Tak hingga banyaknya penyelesaianHanya satu penyelesaian trivial

Tak hingga banyaknya penyelesaian

Ada suatu kasus dimana suatu sistem homogeny dijamin mempunyai penyelesaian tak trivial, yaitu jika sistem tersebut mencakup jumlah peubah yang lebih banyak daripada jumlah persamaannya

Contoh. Selesaikan sistem persamaan linear homogeny berikut ini dengan eliminasi Gauss-Jordan.

022 5321 xxxx

(1)

0

0

032

543

5321

54321

xxx

xxxx

xxxxx

TERIMA KASIHWASSALAM