PROBABILITASDefinisi :Probabilitas dari suatu kejadian adalah kemungkinan yang terjadi dari suatu peristiwaProbabilitas terjadinya suatu peristiwa (event) sama dengan jumlah hasil yang menguntungkan dibagi dengan semua kemungkinan hasil, dengan ketentuan bahwa semua kemungkinan hasil tersebut harus :- saling asing- sama hak- exhaustipHal-hal tersebut dikenal sebagai probabilitas matematik

Saling asing : antara kejadian yang satu dengan yang lain tidak dapat terjadi bersama-samaContoh : Lemparan mata uang logam yang mempunyai sisi A & B, apabila sudah muncul A tidak mungkin muncul BSama hak : antara kejadian yang satu dengan yang lain mempunyai kesempatan / peluang yang samaContoh : Uang logam dengan campuran bahan homogen, sehingga tidak berat sebelah akan memberikan kesempatan yang sama bagi kedua sisinya untuk munculExhaustip : eksperimennya tidak mungkin terjadi hasil yang lainContoh : Dadu 1-6 , tidak mungkin muncul 7

Jadi apabila keungkinan terjadinya peristiwa A = p(A)

Probabilitas disusun dari skala 0 sampai 1Secara umum apabila p merupakan probabilitas dari suatu kejadian dan q yang tidak terjadi, maka p = 1 qContoh :Pada pelemparan mata uang, misal sisi A gambar (g) B angka (a)

Apabila 2 uang, kemungkinan yang muncul adalah :{ (a,g) , (a,a) , (g,g) , (g,a) }p (a,a) = 1/4

Dalam kotak tertutup terdapat 5 kelereng warna merah dan 8 kelereng warna biru.p (merah) = 5/13, yang tidak muncul q (biru) = 8/13p (biru) = 8/13, yang tidak muncul p (merah) = 5/13

Kejadian Bebas (independent) dan Tidak BebasApabila peristiwa dari suatu kejadian tidak mempengaruhi kejadian lain, maka kejadian tersebut dikatakan kejadian bebas- Apabila peristiwa pertama mempengaruhi peristiwa selanjutnya, maka kejadian tersebut disebut kejadian tidak bebas

Kejadian Saling Memisah / Asing dan Tidak MemisahSaling asing kejadian satu dengan lainnya tidak dapat terjadi bersama-sama p (A u B ) = p (A) + p (B)Tidak Saling Memisah / Asingp (A u B) = p (A) + p (B) p (A n B)

Hukum Probabilitas :- Hukum penjumlahan- Hukum perkalianHukum Penjumlahan p (A u B)Digunakan untuk peristiwa yang saling memisah / asing, dengan ciri-ciri kata atauJika kemungkinan peristiwa pertama yang terjadi p1, dan kemungkinan peristiwa kedua yang terjadi adalah p2, maka kemungkinan yang terjadi peristiwa pertama atau peristiwa kedua adalah p1 + p2 p ( p1 u p2)Hukum Perkalian p (A n B)Digunakan untuk peristiwa bebas dan tidak bebas, dengan ciri-ciri kata danJika kemungkinan peristiwa pertama yang terjadi p1, dan kemungkinan peristiwa kedua yang terjadi adalah p2, maka kemungkinan kedua peristiwa pertama dan peristiwa kedua adalah p1 x p2 p ( p1 n p2)

Contoh :1. Pada pengambilan bola pingpong yang bernomor 1 s.d. 10, tentukan nilai kemungkinan bola yang terambil adalah nomor ganjil atau bernomor prima Jawab :Misal A = ganjil ( 1 , 3 , 5 , 7 , 9 ) B = prima ( 2 , 3 , 5 , 7 )P ( A u B ) = p (A) + p ( B ) p ( A n B ) = 5/10 + 4/10 - 3/10 = 6/10 = 3/52. Tiga buah baut diambil secara random dari 100 buah baut, 10 di antaranya rusak. Tentukan kemungkinan 3 buah baut yang diambil semuanya baik, jika :a. tanpa dimasukkan kembalib. dimasukkan kembali Jawab : a. Tanpa dimasukkan kembali p(A1 n A1 n A3) = (90/100) x (89/99) x (88/98) = 0,7265 b. Dimasukkan kembali p(A1 n A2 n A3 ) = (90/100) = 0,729

Permutasi dan Kombinasi :Permutasi :Suatu permutasi x unsur yang diambil dari n unsur yang berlainan, adalah banyaknya cara penempatan x unsur itu dalam satu urutan (array)

Kombinasi :Suatu kombinasi x unsur yang diambil dari n unsur yang berlainan, adalah banyaknya cara pemilihan x unsur itu tanpa memperhatikan urutannya.

Apabila kita punya tiga huruf A, B, C, maka dari 3 huruf itu dapat dibuat susunan beberapa huruf, yaitu :

Cara penempatan (permutasi) :AB AC BA BC CA CB = 6 permutasi

Cara pemilihan (kombinasi) :AB AC BC = 3 kombinasi

Beberapa Aturan pada Permutasi & Kombinasi :Aturan 1 :Jumlah permutasi yang dapat dibentuk dari n buah obyek yang berbeda satu sama lain adalah = n! (n fakultet) atau

Contoh :Berapa banyak permutasi yang dapat dibentuk dari 4 orang ?

Aturan 2 :Jika kita mempunyai n buah obyek yang terdiri dari 2 atau lebih jenis, misal a, b, dst., maka banyaknya permutasi yang beranggotakan n buah obyek yang terdiri dari a & b jenis :atau

Aturan 3 :Banyaknya cara pembuatan permutasi dari x buah obyek yang diambil dari n buah obyek yang berbeda-beda adalah :atau Contoh :Berapa banyak kombinasi yang dapat dibentuk dari 4 orang ?Catatan :Bila kita hendak menghitung banyak kombinasi yang berbeda satu dengan yang lain, yang terdiri dari x obyek, yang dipilih dari n buah obyek dan setiap kombinasi terdiri dari x obyek, menghasilkan x !

maka :Banyak kombinasi yang beranggotakan x dengan simbul :

Oleh karena di dalam setiap kombinasi terdapat x !, maka pada kombinasi terdapat permutasiBanyak kombinasi kali banyak permutasi pada suatu kombinasi =banyak permutasi yang dapat dibentuk dari seluruh obyek

atau sehingga

Contoh :Banyaknya permutasi yang beranggotakan 2 orang yang dapat dibentuk dari 5 orang adalah :

Banyaknya kombinasi yang beranggotakan 2 orang yang dapat dibentuk dari 5 orang adalah :

Soal-soal :Seseorang mempunyai 7 buah buku yang berlainan, ada berapa macam carakah orang tersebut dapat mengatur ke dalam rak buku ?Politeknik memberikan kesempatan kepada 3 mahasiswanya untuk mengikuti seminar nasional di Jakarta, sedangkan yang memenuhi syarat ada 9 orang mahasiswa. Ada berapa carakah dalam menentukan 3 orang mahasiswa dari 9 orang mahasiswa tersebut ?Mahasiswa pecinta alam Polines memiliki 5 jenis tanaman penghijauan masing-masing diberi kode A, B, C, D, & E yang berturut-turut terdiri dari 3 batang, 2 batang, 4 batang, 2 batang, & 5 batang. Jika akan ditanam pada suatu deretan di tepi jalan, ada berapa cara pelaksanaannya ?a. tanpa syarat apa-apab. dengan syarat batang jenis E tidak boleh diselingi oleh jenis batang yang lain4. Berapa jumlah pelat mobil yang dapat dibuat untuk daerah semarang, apabila ketentuannya adalah : 1 huruf, 4 angka, dan 2 huruf belakang ?