KONSEP DASAR PROBABILITASMata kuliah : Statistika Terapan

Pengajar : Dany Juhandi, S.P, M.Sc

Semester : II

Pertemuan : VII

Pokok Bahasan : Konsep Dasar Probabilitas

PROGRAM STUDI AKUNTANSI PERPAJAKAN

Sub Pembahasan

1. Arti dan Pendekatan Probabilitas

2. Kosep-konsep dan Dalil-dalil Probabilitas

3. Kejadian, Ruang Sampel dan Probabilitas

4. Gabungan dan Irisan

5. Aturan Kejadian dan Penjumlahan Saling Ekslusif

6. Aturan Perkalian dan Kejadian Independen

7. Distribusi Probabilitas

8. Probabilitas Diskrit dan Kontinu

ARTI DAN PENDEKATAN PROBABILITAS

Probabilitas dinyatakan dalam pecahan (1/4, ½, ¾) ataupersen (25%, 50%, 75%) dan besarnya antara 0 dan 1. Tidakpernah ada probabilitas negatif atau lebih besar dari 1.Probabilitas sama dengan 0 berarti suatu tidak pernah terjadidan probablitas sama dengan 1 berarti sesuatu akan selaluatau pasti terjadi.

Pendekatan Probabilitas

Pendekatan Klasik

• Jika probabilitas suatu peristiwa akan terjadi sudah dapat diketahui sebelum dilakukan percobaan didasarkan pada pemikiran logis tanpa percobaan.

Pendekatan Frekuensi Relatif

• Probabilitas menurut pendekatan ini sering dinamakan probabilitas empiris karena bersarnya probabilitas ditentukan melalui percobaan.

Pendekatan Subyektif

• Probabilitas suatu peristiwa yang ditentukan dengan perasaanatau kepercayaan sesorang yang didasarkan pada fakta-faktayang ada.

KONSEP-KONSEP DASAR DAN DALIL-DALIL PROBABILITAS

Peristiwa Bersama (Joint Event)

Peristiwa Mutually Exclusive

Probabilitas Bersyarat

Peristiwa Bebas dan Bergantung (Independent & Independent Event)

Peristiwa Pelengkap (Complementary Event)

Contoh:Kasus pemilihan petani di suatu daerah

Dari 80 wanita, menanam:• 40 menanam (K)• 30 menanam (B)• 10 menanam (T)

Dari 120 pria, menanam:• 30 menanam (K)• 50 menanam (B)• 40 menanam (T)

Pemberi SuaraKontestan

JumlahKangkung (K) Bayam (B) Timun (T)

Pria (L) 30 50 40 120

Wanita (W) 40 30 10 80

Jumlah 70 80 50 200

• P(K) → Probabilitas terpilihnya seorang petaniyang menanam K jika dilakukan sampel secararandom.

P K =70

200= 0,35

• P(W) → Probabilitas terpilihnya seorang petaniwanita jika ditarik sampel secara random.

P W =80

200= 0,4

1. Peristiwa Bersama (Joint Event)

• Peristiwa bersama adalah terjadinya dua atau lebih peristiwa dalamsatu percobaan.

• Probabilitas peristiwa bersama antara persitiwa penanam adalahwanita dan menanam Kangkung dilambangkan dengan P(WK). Karenairisan W dan K sama dengan irisan K dan W, maka:

𝑃 𝑊𝐾 = 𝑃 𝐾𝑊 =40

200= 0,2

• Dengan cara yag sama diperoleh P(LT) = P(TL) = 40/200 = 0,2, P(LT)artinya probabilitas terpilihnya seorang petani pria dan menanamtimun jika dilakukan sampel secara random.

Lanjutan....• Pada peristiwa bersama, dua atau lebih peristiwa dapat terjadi bersama-sama,

seperti gambar di bawah:

• Untuk mencegah perhitungan ganda dalam peristiwa X dan Y yang terjadi bersama maka diikuti aturan sebegai berikut:

P (X or Y) = P (X) + P(Y) – P(XY)

Di mana: P ( X or Y) = Probabilitas terjadinya X atau Y atau X dan Y bersama-samaP (XY) = Probabilitas peristiwa X dan Y terjadi bersama-samaP (X) = Probabilitas terjadinya XP (Y) = Probabilitas terjadinya Y

yx xy

yx

z

xyz

Contoh:• Berapa probabilitas seorang petani yang terpilih secara random yaitu wanita atau

kangkung atau wanita dan kangkung.

𝐏 𝐖 𝐚𝐭𝐚𝐮 𝐊 = 𝑷 𝑾 + 𝑷 𝑲 − 𝑷 𝑾𝑲 =𝟖𝟎

𝟐𝟎𝟎+

𝟕𝟎

𝟐𝟎𝟎−

𝟒𝟎

𝟐𝟎𝟎=

𝟏𝟏𝟎

𝟐𝟎𝟎= 𝟎, 𝟓𝟓

• Untuk menjegah perhitungan ganda dalam tiga peristiwa bersama XYZ, maka diikutiaturan sebagai berikut:

P(X atau Y atau Z) = P(X) + P(Y) + P(Z) – P(XY) – P(XZ) – P(YZ) + P(XYZ)

• Dalam teori probablilitas dinyatakan bahwa probabilitas terjadinya peristiwa X adalahjumlah probabilitas dari semua peristiwa bersama yang melibatkan X atau secara simbolisdinyatakan P(X) = P(XY) + P (XY’), Y’ menunjukkan semua peristiwa yang bukan Y.

• Contoh: Probabilitas petani wanita P(W) = 0,4 adalah jumlah probabilitas dari peristiwabersama WG, WP dan WD atau

P(W) = P(WK) + P(WB) + P(WT)

0,4 = 0,2 + 0,15 + 0,05

0,4 = 0,4

2. Peristiwa Mutually Exclusive• Peristiwa Mutually Exclusive (disjoint), jika

hanya satu dari dua (atau lebih) peristiwayang dapat terjadi. Sehingga dua peristiwamutually exclusive tidak dapat terjadibersamaan dalam satu percobaan.

• Dua peristiwa X dan Y yang mutuallyexclusive mengikuti aturan P(XY)=0. Artinyaseorang petani tidak dapat pria dan wanitasekaligus. Karena itu L dan W adalahmutually exclusive, sehingga P(WP)=0

• Jika dua peristiwa X dan Y adalah mutuallyexclusive, maka hukum probabilitasnya:

P (X atau Y) = P(X) + P(Y) – P(XY)

karena P(XY) = 0, maka:

P (X atau Y) = P(X) + P(Y)

yx

Contoh:

a. P(P or W) = P(L) + P(W) = 0,6 + 0,4 = 1Karena P (LW) = 0

b. P(K or B) = P(K) + P(B) = 0,35 + 0,4 = 0,75Karena P(KB) = 0

c. P (K or B or T ) = P(K) + P(B) + P(T) = 0,35 +0,4 + 0,25 = 1Karena P(KB), P(KT), P(BT), P(KBT) = 0

3. Probabilitas Bersyarat• P(X|Y) merupakan simbol untuk probabilitas

bersyarat yang berarti probabilitas peristiwa X akan terjadi dengan syarat peristiwa Y telah terjadi.

• Misalkan, ingin diketahui probabilitas petani wanita yang menanam kangkung. Jumlah petani wanita sebanyak 80, dari jumlah tersebut yang menanam kangkung 40 petani wanita, sehingga probabilitas yang diingikan adalah P 𝐾 𝑊 =

40

80= 0,5

• Sebaliknya, ingin diketahui probabilitas kangkung yang ditanam petani wanita. Pada tabel sebelumnya, menunjukkan ada sebanyak 70 yang menanam kangkung, dari jumlah tersebut 40 diantaranya ditanam wanita. Sehingga probabilitas yang diinginkan adalah P 𝑊 𝐾 =

40

70= 0,57

• Dari kedua contoh tersebut dapat disimpulkan bahwa P(K|W) mempunyai makna yang berbeda dengan P(W|K), namun besarnya P(K|W) dan P(W|K) kadang-kadang bisa sama, meskipun dalam contoh ini mereka berbeda yaitu 0,5 dan 0,57.

• Sehingga diperoleh bentuk umum probabilitas bersyarat:

𝑃(𝑋|𝑌) =𝑃(𝑋𝑌)

𝑃(𝑌)

4. Peristiwa Bebas dan Bergantung

• Dua peristiwa dikatakan independen jika probabilitas terjadinya suatuperistiwa tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa lain. Dalam hal iniP(X|Y) sama dengan P(X) karena terjadinya X tidak dipengaruhi oleh Y, danP(Y|X) sama dengan P(Y).

• Untuk mengetahui apakah dua peristiwa bersifat indepenent, dapat dilihatdari probabiltas persitiwa bersamanya. Jika X dan Y indepenent:

• Kita tahu bahwa P(XY) = P(X).P(Y|X) karena P(Y|X)=P(X) jadi P(XY) = P(X).P(Y)

• Jika terdapat tiga peristiwa X, Y, Z yang independen maka P(XYZ) =P(X).P(Y).P(Z)

• Dua peristiwa dikatakan dipenden jika probabilitas terjadinya suatuperistiwa mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya peristiwa lain.Peristiwa X dan Y adalah dependen jika P X𝑌 ≠ 𝑃 𝑋 . 𝑃 𝑌 karena P 𝑌 ≠𝑃 𝑌|𝑋

5. Peristiwa Pelengkap• Misalkan X’ berarti peristiwa bukan X.

kemudian dalam suatu percobaan X dan X’ saling melengkapi dalam arti jika peristiwa X tak terjadi maka X’ pasti terjadi. Sehingga P(X) + P(X’) = 1 atau P(X) = 1 – P(X’).

• Ilustrasi digagram venn untuk peristiwa pelengkap.

• Contoh probabilitaas terjadinya hujan setelah cuaca berawan adalah 20%. Berapa probabilitas setelah cuaca berawan tidak terjadi hujan?

Dari perosalan ini hujan dan tidak hujan adalah dua peristiwa komplementaritas. Kedua peristiwa itu bisa terjadi dengan syarat yang sama yaitu terjadinya cuaca berawan. Dalam teori probabilitas ada dalil tentang dua peristiwa komplementaritas dengan syarat sebuah peristiwa, dalil itu adalah: P(Y|X) + P(Y’|X) = 1Dengan menggunakan rumus terakhir ini, besarnya probabilitas setelah cuaca berawan tidak terjadi hujan bisa dicari. Misal Y hujan dan Y’ tidak hujan sedangkan X cuaca berawan, maka:0,2 + P(Y’|X) = 1

P (Y’|X) = 0,8Tetapi jika P (Y|X) diketahui, ia tak dapat menerangkan berapa P(Y|X’) karena biasanya P(Y|X) + P(Y|X’) ≠ 1

Apa itu distribusiprobabilitas?

Sebuah daftar seluruh hasil percobaan dan probabilitas dari setiap hasilyang bersangkutan.

Contoh:

• Sebuah daftar dari keseluruhan hasil suatu percobaan yang disertaidengan probabilitas masing-masing hasil tersebut.

• Contoh : Misal kita ingin mengetahui banyaknya sisi “angka” yang muncul pada 3 Uang Logam dilemparkan ke udara. Hasil-hasil yang mungkin adalah nol angka, satu angka, dua angka dan tiga angka. Jadiberapakah distribusi probabilitas angka muncul?

Ruang sampel

Percobaan Pertama Kedua Ketiga Jumlah mata

angka

1 A A A 3

2 A A G 2

3 A G G 1

4 G G G 0

5 G A A 2

6 G G A 1

7 G A G 1

8 A G A 2

HASIL DISTRIBUSI PROBABILITAS

JUMLAH MATA

ANGKA

PROBABILITAS

0 1/8 = 0.125

1 3/8 = 0.375

2 3/8 = 0.375

3 1/8 = 0.125

TOTAL 8/8 = 1

Probabilitas dari:• Nol angka adalah 1/8• Satu angka adalah 3/8• Dua angka adalah 3/8• Tiga angka adalah 1/8.

Ciri-ciri probabilitas:

1. Probabilitas dari sebuah hasil adalah antara 0 sampai dengan 1

2. Hasil-hasilnya adalah kejadian yang tidak terikat satu sama lain.

3. Daftar hasilnya lengkap. Jadi jumlah probabilitas dari berbagaikejadian adalah 1.

DISTRIBUSI DISKRITAdalah fungsi probabilitas dari variable random diskrit yang dinyatakan

dalam formula matematik tertentu.

DISTRIBUSI KONTINUFungsi densitas probabilitas dari variable random kontinu yang

dinyatakan pula dalam formula matematik tertentu.

Referensi:• Somantri, Ating et al.2006.Aplikasi Statistika Dalam

Penelitian.Bandung:Pustaka Setia

• Mulyono, Sri.1998.Statistika Untuk Ekonomi.Universitas Indonesia:Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia