statistik & probabilitas

Cheng Shan Noe – Diktat Kuliah Statistik dan Probabilitas

hal. 1

1 Probabilitas (probability)

1.1 Sample Space. Dalam melaksanakan kajian statistik, pada dasarnya, yang menjadi perhatian adalah presentasi (penyajian) dan interpretasi (penafsiran) peluang/kemungkinan/kesempatan terjadinya/munculnya suatu hasil atau keadaan tertentu.

Terjadinya/munculnya suatu hasil atau keadaan tertentu dalam statistik biasa disebut sebagai outcome, atau outcomes

• experimental data, yang menyajikan hasil-hasil hitungan (counts) atau hasil-hasil pengukuran (measurements), atau

bila lebih dari satu.

Pekerja statistik sering kali berurusan dengan :

• categorical data, yaitu data-data yang dapat di-katagori/kelompok-kan menurut kriteria tertentu.

Data/Informasi yang tercatat baik yang sifatnya numerical maupun categorical disebut sebagai observation.

Para pekerja statistik memakai kata experiment sebagai satu istilah yang artinya : segala proses yang dilakukan untuk menghasilkan sekumpulan data.

Contoh sederhana suatu statistical experiment (eksperimen statistik) adalah the tossing of a coin (meng-undi dengan cara melempar uang logam). Pada eksperimen ini hanya ada 2 jenis outcomes yang mungkin muncul,, yaitu : heads dan tails . Pilihan-pilihan Partai dari Para Pemilih dalam PEMILU juga dapat dipandang sebagai observation of an experiment.

Yang lebih akan diperhatikan adalah observasi-observasi yang diperoleh dengan cara meng-ulang-ulang eksperimen beberapa kali.

Dalam kebanyakan kasus outcomes akan tergantung pada peluang/kemungkinan/kesempatan, dan oleh karena itu tidak dapat diperkirakan dengan pasti. Bila seorang pekerja kimia melakukan analisis beberapa kali pada kondisi yang sama, dia akan memperoleh hasil pengukuran yang berbeda, yang menunjukan adanya unsur kemungkinan ( peluang / kesempatan ) dalam prosedur eksperimen yang dilakukan. Bahkan bila uang logam di-toss ber-ulang-ulang, kita tidak akan pernah yakin suatu toss tertentu pasti akan menghasilkan head misalnya. Walaupun demikian, kita selalu mengetahui seluruh alternatif kemungkinan yang akan terjadi dalam masing-masing toss yang dilakukan yaitu kalau tidak heads pasti tails atau kalau tails tidak pasti

Definisi 1.1. :

Kumpulan seluruh outcomes yang mungkin muncul dari suatu statistical experiment (eksperimen statistik) disebut sebagai

heads.

sample space dan dinyatakan dengan simbol : S.

Masing-masing outcome dalam sample space disebut element atau member (anggota) dari sample space tersebut dan biasanya juga disebut sebagai sample point (titik sample). Bila suatu sample space jumlah element-nya berhingga (ada batasnya), maka akan dapat


hal. 2

dijajarkan (disusun suatu daftar) seluruh element dengan cara antara satu dengan lainnya dipisahkan dengan koma dan di-ujung-ujung-nya ditutup dengan “kurawal”. Dengan cara demikian maka sample space S dari outcomes yang mungkin muncul bila uang logam di-toss dapat ditulis sebagai berikut : S = { H, T } dimana H dan T masing-masing berarti heads dan tails.

Contoh 1.1. :

Tinjau eksperimen pelemparan dadu.

Bila yang diperhatikan adalah nilai yang terlihat pada muka atas, maka sample space akanlah sebagai berikut :

S1 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

Bila yang diperhatikan adalah ganjil atau genap nilai yang terlihat pada muka atas, maka sample space akanlah sbb. :

S2 = { ganjil , genap }

Contoh 1.1. menggambarkan kenyataan bahwa ternyata untuk satu eksperimen dapat dipakai lebih dari satu cara menyatakan sample space untuk menggambarkan outcomes dari eksperimen yang dilakukan. Dalam kasus ini S1 menyajikan informasi lebih banyak dibanding S2 . Bila diketahui elemen yang mana dalam S1 yang muncul, maka akan dapat disebutkan outcome dalam S2 yang mana yang muncul, akan tetapi, apabila telah diketahui outcome S2 yang mana yang muncul, informasi ini tidak akan dapat membantu untuk dapat menunjukan outcome S1 mana yang muncul.

Untuk kondisi-kondisi tertentu, dengan bantuan apa yang disebut sebagai tree diagram (diagram pohon), upaya penjajaran secara sistematis elemen-elemen sample space akan menjadi termudahkan.

Contoh 1.2. :

Eksperimen terdiri dari melempar uang logam dan kemudian melemparnya untuk ke dua kali bila yang muncul head. Bila tail yang muncul pada lemparan pertama, maka kemudian yang dilempar bukan uang logam tapi dadu.

Untuk menjajarkan seluruh elemen sample space, dibuat tree diagram seperti yang diperlihatkan dalam Fig. 1.1. ,dimana masing-masing cabang, ujungnya adalah sample points (sample point yang satu harus berbeda dengan sample point yang lainnya).


hal. 3

Dimulai dari cabang kiri atas dan terus ke kanan mengikuti cabang pertama (atas) diperoleh sample point HH, yang menyatakan kemungkinan munculnya head pada dua kali lemparan berturut-turut. Contoh lain adalah sample point T3 yang menyatakan kemungkinan muncul tail pada saat melempar uang logam, kemudian muncul nilai 3 pada lemparan dadu setelahnya. Dengan menggambar seluruh garis cabang yang mungkin ada, maka diperoleh sample space sbb. :

S = { HH , HT , T1 , T2 , T3 , T4 , T5 , T6 }

Contoh 1.3. :

Andaikan 3 buah barang dipilih secara acak (random) dari suatu proses yang berjalan di pabrik. Setiap barang tersebut diperiksa dan sesuai dengan kondisinya dinyatakan D atau N, dimana D = defective (rusak) dan N = non-defective (tidak rusak).

Untuk menjajarkan elemen-elemen sample space yang lengkap dibuat tree diagram seperti diperlihatkan dalam Fig. 1.2.


hal. 4

Dari tree diagram ini diperoleh kesimpulan bahwa sample space adalah :

S = { DDD , DDN , DND , DNN , NDD , NDN , NND , NNN }

Sample space dengan jumlah sample point yang banyak atau tak-berhingga paling tepat dijelaskan dengan suatu statement (pernyataan) atau rule (aturan). Sebagai contoh, jika outcome dari suatu eksperimen yang mungkin muncul adalah sekelompok kota yang ada di dunia dengan penduduk lebih dari 1 juta jiwa, maka sample space ditulis sbb. :

S = { x | x adalah sebuah kota dengan penduduk lebih dari 1 juta }

dimana pernyataan diatas dibaca sbb. :

“S adalah kumpulan seluruh x dimana x adalah sebuah kota dengan penduduk lebih dari 1 juta jiwa”.

Garis vertikal dibaca sebagai “dimana”.

Hal yang serupa, bila S adalah kumpulan dari seluruh titik (x, y) pada batas atau didalam sebuah lingkaran ber-jari-jari 2 dengan pusat pada titik pusat salib sumbu, maka :

S = { (x, y) | x2 + y2 ≤ 4 }

1.2 Events. Dalam suatu eksperimen mungkin saja terjadinya event-event (events) tertentu lebih menjadi perhatian dibanding munculnya satu elemen tertentu dari sample space. Sebagai contoh, kita tertarik akan terjadinya event A, yaitu keadaan dimana pada saat setelah melempar dadu nilai


hal. 5

yang muncul habis dibagi 3. Event A ini akan terjadi bila outcome yang muncul merupakan elemen dari subset A = { 3 , 6 } yang merupakan bagian daripada sample space S1 seperti yang dimaksud dalam Contoh 1.1.

Contoh lainnya, kita tertarik pada event B, yaitu bila dalam Contoh 1.3. jumlah yang defective > 1. Event ini terjadi bila outcome merupakan elemen dari subset B = { DDN , DND , NDD , DDD } yang merupakan bagian dari sample space S.

Dalam contoh diatas masing-masing event dinyatakan dengan sekumpulan sample points yang membentuk satu subset yang merupakan bagian dari sample space, dimana subset tersebut merupakan kumpulan dari semua element pada mana event yang dimaksud terjadi.

Definisi 1.2. : Event adalah subset dari suatu sample space.

Contoh 1.4. :

Suatu sample space S = {t | t ≥ 0 } , dimana t = jumlah tahun masa pakai suatu komponen elektronik.

Sebut event A, yaitu bila komponen telah rusak sebelum akhir tahun ke 5, maka subset A = { t | 0 ≤ t < 5 }

Mungkin saja suatu event merupakan subset yang berisi seluruh sample space S, dan mungkin juga merupakan subset dari S yang disebut sebagai null set yang dilambangkan dengan simbol ∅ , yaitu bila tidak ada sama sekali element dalam subset tersebut.

Sebagai contoh, bila kita sebut A adalah event dalam eksperimen biologi dimana dapat mendeteksi organisme mikroskopik dengan mata telanjang, maka A = ∅.

Juga bila B = {x | x adalah faktor bilangan 7 yang merupakan bilangan genap } maka B haruslah null set, karena faktor bilangan dari 7 yang mungkin adalah bilangan ganjil yaitu 1 dan 7.

Tinjau sebuah eksperimen dimana kebiasaan merokok para pekerja pabrik dicatat. Satu sample space yang mungkin adalah Pengelompokkan individu karyawan sebagai tidak merokok, perokok ringan, perokok biasa, perokok berat.

Bila subset perokok dijadikan beberapa event, maka seluruh yang tidak merokok terkait dengan event yang berbeda, namun masih tetap sebuah subset dari S.

Set yang tidak merokok ini disebut complement dari set yang merokok.

Definisi 1.3. :

Complement satu event A dari S adalah satu set yang terbentuk dari seluruh element S yang tidak termasuk dalam A. Complement A dinyatakan dengan notasi A/

Contoh 1.5. :


hal. 6

Sebut R sebagai suatu event dimana kartu merah terambil dari setumpukan kartu (kartu “troof / remi” yang jumlahnya 52) dan sebut seluruh kartu = S. Maka R/ adalah suatu event dimana kartu yang terambil dari tumpukan kartu bukan yang merah.

Contoh 1.6. :

Tinjau sample space S = { book , catalyst , cigarette , precipitate , engineer , rivet }. Sebut A = { catalyst, rivet , book , cigarette }, maka A/ = { precipitate , engineer }.

Sekarang kita meninjau operasi-operasi tertentu dengan event-event yang akan membentuk event-event yang baru. Event-event yang baru ini akan merupakan subset subset dari sample space yang sama dengan event-event pembentuknya.

Misalkan A dan B adalah dua event yang terkait dengan suatu eksperimen. Dengan kata lain, A dan B adalah subset dari sample space yang sama.

Contoh : dalam melempar dadu, kita dapat menyebut A sebagai event dimana muncul angka genap, dan B sebagai event dimana muncul angka yang lebih besar dari 3, maka subset A = { 2 , 4 , 6 } dan subset B = { 4 , 5 , 6 } adalah subset subset dari sample space yang sama yaitu S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

Perhatikan bahwa baik event A maupun event B akan terjadi pada lemparan yang sama bila outcome (yang muncul) adalah element dari subset { 4 , 6 }, yang demikian ini disebut sebagai intersection dari event A dengan event B.

Definisi 1.4. :

Intersection dari dua event A dan B, yang dinotasikan dengan simbol A ∩ B adalah event yang berisi seluruh element yang sama-sama termasuk event A maupun event B.

Contoh 1.7. :

Sebut P adalah event dimana pengunjung kafetaria yang dipilih secara acak adalah pembayar pajak, dan sebut Q adalah event dimana pengunjung kafetaria tersebut berusia lebih dari 65 tahun. Maka event P ∩ Q adalah set seluruh pembayar pajak yang pengunjung kafetaria tersebut yang berusia lebih dari 65 tahun.

Contoh 1.8. :

Sebut M = { a , e , i , o , u z } dan N = { r , s , t } maka M ∩ N = ∅ , yaitu kondisi dimana tidak ada element yang sama-sama ada di M maupun di N, event M tidak dapat secara bersamaan dengan event N.

Keadaan event M dan keadaan event N seperti diatas disebut mutually exclusive.

Definisi 1.5. :

Dua event A dan B disebut mutually exclusive atau disjoint bila A ∩ B = ∅, yaitu bila dalam event A dan event B sama sekali tidak terdapat element yang dapat secara bersamaan


hal. 7

terjadi.

Contoh 1.9. :

Sebuah perusahaan televisi kabel menawarkan program-program dalam 8 saluran berbeda, tiga diantaranya bergabung dengan ABC, dua dengan NBC, satu dengan CBS, satu saluran pendidikan, dan satu saluran olahraga ESPN.

Misal seorang pelanggan menyalakan TV-nya tanpa terlebih dahulu memilih saluran. Sebut A sebagai event dimana program yang muncul di layar TV termasuk jaringan dalam NBC, dan sebut B sebagai event dimana program yang muncul di TV termasuk dalam jaringan CBS. Karena program yang muncul di TV tidak dapat berasal dari lebih dari satu program, maka event A dan event B tidak dapat terjadi bersamaan, sehingga intersection A ∩ B = ∅ , oleh karena itu event A dan event B mutually exclusive atau disjoint.

Dalam eksperimen melempar dadu, bila A = { 2 , 4 , 6 } dan B = { 4 , 5 , 6 }. Yang menjadi perhatian dapat saja suatu event dimana event A atau event B yang terjadi atau kedua event A maupun event B bersamaan terjadi. Event yang demikian disebut union event A dan event B, yaitu bila outcome adalah salah satu element dari subset { 2 , 4 , 5, 6 }

Definisi 1.6. :

Union dari dua event A dan event B, dinyatakan dengan simbol A ∪ B , adalah suatu event yang mencakup semua element event A atau event B atau ke-dua-dua-nya.

Contoh 1.10. :

Sebut A = { a , b , c } dan B = { b , c , d , e } maka A ∪ B = { a , b , c , d , e }

Contoh 1.11. :

Sebut P sebagai event dimana seorang pegawai yang dipilih secara acak adalah perokok, dan sebut Q sebagai event dimana seorang pegawai yang dipilih secara acak adalah yang suka minum jamu.

Event P ∪ Q adalah set (kumpulan) seluruh pegawai yang suka minum jamu atau perokok atau suka minum jamu dan juga perokok.

Contoh 1.12. :

Bila M = { x | 3 < x < 9 } dan N = { y | 5 < y < 12 }, maka M ∪ N = { z | 3 < z < 12 }

Hubungan antara event-event yang ada dalam satu sample space dapat digambarkan secara grafis dalam apa yang disebut sebagai diagram Venn.


hal. 8

Dalam diagram Venn, sample space digambarkan dengan bentuk empat persegi panjang dan event-event berupa lingkaran-lingkaran didalam empat persegi panjang sample space tersebut seperti yang diperlihatkan dalam Fig. 1.3.

Dalam Fig. 1.3. kita lihat bahwa :

A ∩ B = region 1 dan region 2

B ∩ C = region 1 dan region 3

A ∪ C = region 1 , 2 , 3 , 4, 5 , dan 7.

B/ ∩ A = region 4 dan region 7

A ∩ B ∩ C = region 1

( A ∪ B ) ∩ C/ = region 2 , 6 , dan 7


hal. 9

Dalam Fig. 1.4.:

• event A, event B dan event C ke-tiga-tiga-nya adalah subset dari sample space S,

• juga jelas terlihat bahwa event B merupakan subset dari event A;

• event B ∩ C tidak ada element-nya, sehingga event B dan event C mutually exclusive;

• event A ∩ C paling tidak mempunyai satu element,

• event A ∪ B = A,

• event A ∩ B = B

Fig. 1.4. menggambarkan suatu situasi dimana sebuah kartu (kartu “troof / remi” yang jumlahnya 52) dipilih secara acak dari tumpukannya, kemudian ditinjau terjadinya event-event sebagai berikut :

• A : kartu merah yang terpilih,

• B : kartu jack, queen atau king diamond (tempe) yang terpilih,

• C : kartu as yang terpilih.

Bila definisi sample space, event A, event B, dan event C adalah seperti yang diuraikan diatas, maka A ∩ C hanya terdiri dari 2 kartu as merah.

Dengan memperhatikan definisi 1.1. s.d. 1.6. maka :

1. A ∩ ∅ = ∅

2. A ∪ ∅ = A

3. A ∩ A/ = ∅

4. A ∪ A/ = S

5. S/ = ∅

6. ∅/ = S

7. (A/)/ = A

8. (A ∩ B) / = A/ ∪ B/

9. (A ∪ B) / = A/ ∩ B/

Soal-soal Tugas 1. 1. Jajarkan element-element dari masing-masing sample space berikut :

a. kumpulan bilangan bulat antara 1 s.d. 50 yang habis dibagi 8,

b. S = { x | x2 + 4x – 5 = 0 }

c. kumpulan outcomes bila uang logam dilempar sehingga muncul tail atau 3 kali head.


hal. 10

d. S = { x | x adalah benua }

e. S = { x | 2x – 4 ≥ 0 dan x < 1 }

2. Pakai rule method untuk menjelaskan sample space S yang berisi semua titik dalam kwadran pertama yang terletak didalam lingkaran ber-jari-jari 3 dengan pusat lingkaran terletak pada pusat salib sumbu.

3. Manakah event-event berikut dibawah ini yang sama :

a. A = { 1 , 3 }

b. B = { x | x adalah angka-angka yang ada pada dadu }

c. C = { x | x2 - 4x + 3 = 0 }

d. D = { x | x jumlah head bila 6 uang logam di-toss }

4. Eksperimen dilakukan dengan melempar sepasang dadu yang berwarna hijau dan merah, kemudian mencatat angka yang muncul. Bila x adalah outcome dadu hijau dan y adalah outcome dadu merah, jelaskan sample space dengan cara :

a. menjajarkan element-element ( x , y ),

b. menggunakan rule method.

5. Eksperimen terdiri dari melempar dadu dan melempar uang logam satu kali, bila angka dadu yang muncul genap. Bila angka dadu yang muncul ganjil, uang logam dilempar dua kali. Dengan menggunakan notasi 4H, sebagai contoh, untuk menyatakan suatu event diman angka dadu yang muncul adalah 4 kemudian uang yang dilempar, yang muncul diatas adalah head , dan 3HT untuk menyatakan event dimana angka dadu yang muncul adalah 3 diikuti dengan head dan tail pada dua kali pelemparan uang logam berturut-turut setelah itu. Gambarkan tree diagram yang menunjukkan ke-delapan-belas element sample space dari eksperiment yang dijelaskan diatas.

6. Untuk melaksanakan suatu tugas, 2 karyawan akan ditunjuk dari 4 calon yang ada. Untuk menggambarkan event dimana calon ke 1 dan calon ke 3 yang dipilih dipakai notasi A1A3 . Jajarkan 6 element dari sample space dimaksud diatas.

7. Empat orang siswa dipilih secara acak dari kelas kimia dan dikelompokkan sebagai laki-laki (male) dan wanita (female).

a. Jajarkan element-element sample space dengan menggunakan kode huruf M untuk laki-laki dan F untuk wanita.

b. Rumuskan sample space ke 2, sebut sebagai S2 dimana element-element-nya memperlihatkan jumlah siswa wanita yang terpilih.

8. Untuk sample space seperti soal no. 4.

a. jajarkan element-element event A yaitu event dimana jumlah angka kedua dadu yang muncul lebih besar dari 8,

b. jajarkan element-element event B yaitu event dimana angka 2 muncul paling tidak di satu dadu,

c. jajarkan element-element event C yaitu event dimana angka lebih besar dari 4 muncul pada dadu hijau,


hal. 11

d. jajarkan element-element event A ∩ C

e. jajarkan element-element event A ∩ B

f. jajarkan element-element event B ∩ C

g. gambarkan Venn diagram yang menggambarkan intersection dan union dari event A, event B dan event C.

9. Untuk sample space seperti no. 5

a. jajarkan element-element even A, yaitu event dimana angka lebih kecil dari 3 muncul pada dadu,

b. jajarkan element-element even B, yaitu event dimana muncul 2 tails,

c. jajarkan element-element even A/,

d. jajarkan element-element even A/ ∩ B

e. jajarkan element-element even A ∪ B.

10. Suatu eksperimen dilakukan dengan cara bertanya kepada 3 wanita yang dipilih secara acak : “apakah anda mencuci dengan detergent X ? “

a. jajarkan element sample space S dengan mempergunakan huruf Y untuk menyatakan jawaban “ya” dan huruf N untuk menyatakan jawaban “tidak”,

b. jajarkan element sample space S yang menyatakan event E, yaitu keadaan dimana paling tidak 2 wanita memakai merk X,

c. definisikan suatu event dimana element-element-nya adalah { YYY , NYY , YYN , NYN }

11. Pelamar untuk menjadi dosen di suatu fakultas ada 2 pelamar pria dan 2 pelamar wanita. Yang akan diterima ada 2 orang, 1 orang sebagai asisten profesor, yang akan dipilih 1 dari 4 orang secara acak, yang 1 orang lagi sebagai instruktur, juga akan dipilih secara acak dari 3 pelamar lainnya. Dengan menggunakan notasi, sebagai contoh, M2F1 untuk menyatakan event dimana yang terpilih untuk posisi pertama adalah pelamar pria ke dua, dan untuk posisi ke dua terpilih pelamar wanita yang pertama,

a. jajarkan element-element sample space S,

b. jajarkan element-element sample space S yang merupakan event A yaitu event dimana untuk posisi asisten profesor terpilih pelamar wanita,

c. jajarkan element-element sample space S yang merupakan event B yaitu event dimana untuk 1 dari 2 posisi terpilih pelamar pria,

d. jajarkan element-element sample space S yang merupakan event C yaitu event dimana tidak di satu posisi-pun pelamar wanita terpilih,

e. jajarkan element-element sample space S yang termasuk dalam event A ∩ B

f. jajarkan element-element sample space S yang termasuk dalam event A ∪ C.

g. buat Venn diagram untuk menggambarkan intersection dan unions dari event A, B dan C.


hal. 12

12. Investor dari Saudi Arabia memutuskan untuk meng-investasikan modal di bidang real estate. 4 negara bagian yaitu : Virginia, New York, Connecticut dan Massachusetts adalah calon-calon negara bagian dimana pembangunan hotel, motel dan condominium akan dilaksanakan. Hotel, motel dan condominium dapat berlokasi di pantai atau dapat pula di suatu resort di pegunungan. Dengan memakai notasi, sebagai contoh : CmB untuk menyatakan event dimana investor memilih untuk membangun motel di pantai (beach) di negara bagian Connecticut, atau Mcm untuk menyatakan event dimana investor memilih untuk membangun condominium di pegunungan (mountain) di negara bagian Massachusetts. Buat tree diagram untuk memperlihatkan ke 24 element sample space.

13. Buat Venn diagram untuk menggambarkan intersections dan unions yang mungkin adanya untuk event-event sebagai berikut : J: mahasiswa yunior, M : mahasiswa matematik, W : mahasiswi, dari suatu sample space S yaitu seluruh mahasiswa di Roanoke College.

14. Bila S = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } dan A = { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 }, B = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 }, C = { 2 , 3 , 4 , 5 }, D = { 1 , 6 , 7 }. Jajarkan element-element yang termasuk dalam event-event sebagai berikut :

a. A ∪ C

b. A ∩ B

c. C/

d. (C/ ∩ D) ∪ B

e. (S ∩ C) /

f. A ∩ C ∩ D/

15. Tinjau sample space S = { copper , sodium , nitrogen , potassium , uranium , oxygen , zinc }dan event-event sebagai berikut : A = { copper , sodium, zinc }, B = { sodium , nitrogen , potassium }, C = { zinc }. Jajarkan element-element kumpulan (set) yang termasuk dalam event-event sbb. :

a. A/

b. A ∪ C

c. (A ∩ B/) ∪ C/

d. B/ ∩ C

e. A ∩ B ∩ C

f. (A/ ∩ B/) ∩ (A/ ∩ C)

16. Bila S = { x | 0 < x < 12 }, M = { x | 1 < x < 9 } dan N = { x | 0 < x < 5 }, bagaimanakah :

a. M ∪ N

b. M ∩ N

c. M/ ∩ N/


hal. 13

17. Sebut A, B, dan C sebagai event-event sehubungan dengan sample space S. Dengan menggunakan Venn diagram arsir bidang kertas yang menyatakan event-event sbb. :

a. ( A ∩ B )/

b. ( A ∪ B )/

c. ( A ∩ C ) ∪ B

18. ..................... soal dibatalkan ..................

19. Suatu keluarga yang berlibur ke Bali dan berencana menginap di Hotel Sheraton, M adalah event dimana di jalan mobil yang ditumpangi mengalami kerusakan mesin, T adalah event dimana di jalan melakukan pelanggaran lalu lintas dan di tilang polisi, V adalah event dimana sesampainya di Bali ternyata Hotel Sheraton penuh. Mengacu pada diagram Venn seperti Fig. 1.5. nyatakan dengan kata-kata :

a. region 5,

b. region 3,

c. kesatuan region 1 + region 2,

d. kesatuan region 4 + region 7,

e. kesatuan region 3 + region 6 + region 7 + region 8

20. Mengacu pada soal no. 19 dan diagram Venn seperti diperlihatkan dalam Fig. 1.5.

jajarkan nomor-nomor region yang menyatakan event-event sbb. :

a. Keluarga tersebut seperti dimaksud dalam soal no. 19 mobilnya tidak mengalami kerusakan mesin, tidak kena tilang, namun sesampainya di Bali menghadapi keadaan Hotel Sheraton penuh.

b. Keluarga tersebut seperti dimaksud dalam soal no. 19 di jalan mengalami kerusakan mesin, dan sesampainya di Hotel Sheraton ternyata hotel tersebut penuh, namun di jalan melakukan pelanggaran lalu lintas dan kena tilang.


hal. 14

1.3 Counting Sample Points (menghitung titik sample)

Salah satu hal yang perlu mendapat perhatian dan per dievaluasi para praktisi statistik adalah element of chance (elemen peluang) yang terkait dengan terjadinya suatu event tertentu pada saat dilakukan suatu experiment.

Hal yang demikian ini berada pada bidang kajian probabilitas (kemungkinan-nya), yang akan dibahas dalam sub bab 1.4.

Dalam banyak kasus permasalahan probabilitas perlu dapat diselesaikan dengan menghitung jumlah titik dalam sample space, tanpa benar-benar secara lengkap menjajarkannya, misalnya dalam bentuk tabel.

Prinsip dasar menghitung sample space sering kali disebut sebagai multiplication rule (aturan perkalian), yang dinyatakan sebagai berikut :

Theorem 1.1.

Bila suatu operasi dapat dijalankan dengan n1 cara, dan bila untuk masing-masing-nya dapat dijalankan operasi ke dua dengan n2 cara, maka kedua operasi tersebut dapat dijalankan bersama dalam ( n1 x n2 ) cara.

Contoh 1.13.

Berapa banyak titik-titik sample (sample points) dalam sample space bila sepasang dadu dilempar satu kali.

Jawab :

Dadu pertama dapat mendarat dalam 6 cara. Untuk masing-masing 6 cara ini dadu kedua juga dapat mendarat dalam 6 cara. Dengan demikian sepasang dadu yang dilempar tersebut mempunyai 6 x 6 = 36 sample points.

Contoh 1.13.

Pengembang perumahan, kepada calon-calon pembeli prospektif pembeli rumah, menawarkan jenis-jenis gaya exterior : Tudor, Rustic, Colonial dan Tradisional, dengan bentuk rumah : Ranch, Two story (2 tingkat) dan Split level (2 lantai terpisah). Dalam berapa cara seorang pembeli dapat memesan rumah ?

Jawab :

jenis-jenis gaya exterior : Tudor, Rustic, Colonial dan Tradisional → n1 = 4, bentuk rumah : Ranch, 2 tingkat dan 2 lantai terpisah → n2 = 3, jadi pembeli dapat memesan rumah dalam n1 x n2 = 12 cara (bentuk + gaya) yang mungkin.

Jawaban terhadap dua pertanyaan terdahulu kebenarannya dapat diperiksa dengan membuat tree diagram –nya dan menghitung jumlah lintasan yang ada. Sebagai contoh, dalam contoh 1.14. jika dibuat tree diagram –nya : mengacu pada gaya exterior yang mungkin ( = 4 ) dibuat


hal. 15

4 cabang pertama, kemudian, karena untuk masing-masing gaya exterior ini ada 3 kemungkinan bentuk rumah yang dapat diminta, maka dari masing-masing cabang pertama yang empat ini dibuat 3 cabang . Tree diagram yang dibuat ini mempunyai jumlah cabang akhir = 12 seperti yang diperlihatkan dalam Figure 1.6. dibawah ini :

Multiplication rule (aturan perkalian) Theorem 1.1. dapat diperluas mencakup berapapun jumlahnya operasi-operasi. Sebagai contoh, seorang pelanggan telepon ingin memasang telepon dan ia dapat memilih 10 pilihan warna (n1) , 3 pilihan panjang kabel (n2) , dan 2 pilihan cara menyambungkan ke telepon lain yaitu : diputar atau ditekan (n3).

Tiga klasifikasi pilihan ini menghasilkan n1 x n2 x n3 = 10 x 3 x 2 = 60 kemungkinan pilihan.

Multiplication rule (aturan perkalian) yang mencakup sejumlah k operasi dinyatakan dalam theorem seperti berikut dibawah ini :


hal. 16

Theorem 1.2.

Bila suatu operasi dalam dilakukan dalam n1 cara, dan bila dari masing-masing-nya dapat dilakukan operasi ke dua dalam n2 cara, kemudian dari masing-masing kedua operasi terdahulu dapat dilakukan operasi ke tiga dalam n3 cara, kemudian dari masing-masing ketiga operasi terdahulu dapat dilakukan operasi ke empat dalam n4 cara, kemudian ... dan seterusnya ... hingga dilakukan secara berurutan k operasi, maka sejumlah k operasi yang dilakukan secara berturutan tersebut dapat dilakukan dalam n1 x n2 x n3 x .................... x nk cara.

Contoh 1.5.

Ada berapa kemungkinan pilihan makan siang yang terdiri dari sop, sandwich, dessert, dan minuman bila tersedia 4 macam sop, 3 macam sandwich, 5 macam dessert, dan 4 macam minuman.

Jawab :

n1 = 4 , n2 = 3 , n3 = 5 , n4 = 4 ,

maka untuk makan siang tersebut ada n1 x n2 x n3 x n4 = 240 kemungkinan pilihan.

Contoh 1.6.

Berapa bilangan genap yang terdiri dari 3 angka yang mungkin dibentuk dari angka-angka : 1 , 2 , 5 , 6 , dan 9 bila masing-masing angka hanya dipakai satu kali saja.

Jawab :

Karena bilangan tiga angka yang diminta adalah bilangan genap maka angka yang dapat dipakai untuk posisi satuan hanya 2 dan 6 , jadi ada dua kemungkinan untuk posisi satuan → n1 = 2 .

Untuk masing-masing posisi satuan ada 5 – 1 = 4 kemungkinan untuk posisi ratusan → n2 = 4 .

Untuk masing-masing posisi satuan dan posisi ratusan yang terdahulu ada 5 – 2 = 3 kemungkinan posisi puluhan → n3 = 3.

Jadi bilangan genap terdiri dari 3 angka yang mungkin dibentuk dari angka-angka : 1 , 2 , 5 , 6 , dan 9 , bila masing-masing angka hanya dipakai satu kali saja adalah :

n1 x n2 x n3 = 2 x 4 x 3 = 24 buah bilangan genap.

Sering kali , kita tertarik pada sample space yang elemen-elemen-nya adalah semua kemungkinan urutan atau susunan dari sekumpulan obyek-obyek. Sebagai contoh : berapa macam susunan posisi duduk yang mungkin ada kalau 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja , atau berapa kemungkinan macam urutan 2 kartu yang diambil dari 20 kartu yang berbeda. Macam urutan atau susunan yang berbeda-beda ini disebut sebagai permutations (permutasi).


hal. 17

Definisi 1.7.

Permutation (permutasi) adalah suatu susunan dari seluruh atau sebagian dari sekumpulan obyek-obyek.

Tinjau huruf a , b , dan c . Permutasi yang mungkin adalah : abc , acb , bac , bca , cab , dan cba . Jadi ada 6 kemungkinan susunan yang berbeda.

Mempergunakan theorem 1.2. kita akan memperoleh jawaban = 6 , tanpa harus menjajarkan kesemua kemungkinan, yaitu dengan cara sebagai berikut :

Untuk posisi huruf pertama ada 3 kemungkinan → n1 = 3 , untuk masing-masing keadaan posisi pertama ada 2 kemungkinan → n2 = 2, kemudian untuk masing-masing keadaan posisi pertama dan kedua ada 1 kemungkinan → n3 = 1 , sehingga menghasilkan :

n1 x n2 x n3 = 3 x 2 x 1 = 6 permutasi.

Secara umum , n obyek yang berbeda mungkin disusun atau diurut dalam :

n x (n-1) x (n-2) x ... ................ x 3 x 2 x 1 cara.

Perkalian semacam ini dinyatakan dengan simbol n! , yang dibaca “n factorial” (faktorial n).

Tiga obyek dapat disusun dalam 3! = 3 x 2 x 1 = 6 cara.

Menurut definisinya 1! = 1 , 0! = 1.

Theorem 1.3. Jumlah permutasi dari n obyek-obyek yang berbeda adalah n!.

Jumlah permutasi dari empat huruf a , b , c , d adalah 4! = 24 .

Sekarang kita tinjau permutasi yang mungkin bila dari 4 huruf yang ada seperti diatas dibuat susunan yang terdiri dari dua huruf . Susunan 2 huruf yang mungkin adalah : ab , ac , ad , ba , ca , da, bc , cb , bd , db , cd , dc .

Bila dipergunakan theorem 1.1. , maka pemecahannya adalah sebagai berikut : untuk posisi huruf pertama ada 4 kemungkinan → n1 = 4 , kemudian, untuk masing-masing posisi huruf pertama ini, untuk posisi huruf ke dua ada 4 – 1 = 3 kemungkinan → n2 = 3 , sehingga 2 huruf yang disusun dari 4 huruf seperti dimaksud diatas mempunyai n1 x n2 = 4 x 3 = 12 permutasi.

Secara umum , r buah yang diambil dari n obyek yang berbeda dapat disusun dalam :

n x (n-1) x (n-2) x .................. x (n-r + 1) cara.

perkalian seperti diatas dinyatakan dengan simbol nPr = n! / (n-r)!


hal. 18

Theorem 1.4.

Jumlah permutasi bila disusun r buah yang diambil dari n obyek yang berbeda adalah

: r)!-(n

n!=rn P

Contoh 1.17.

Untuk menentukan pemenang pertama dan kedua , dua kupon lotere diambil dari 20 kupon yang ada. Hitung jumlah sample points dari sample space S.

Jawab :

28019202)!-(20

20!220 =×==P

Contoh 1.17.

Untuk tiga acara ceramah, oleh 3 orang penceramah, ada berapa kemungkinan penjadwalan bila tersedia 5 kemungkinan waktu ceramah.

Jawab :

603453)!-(5

5!35 =××==P

Permutasi yang terjadi dengan menyusun obyek-obyek dalam suatu lingkaran (putaran) disebut circular permutations (permutasi sirkular). Dua permutasi sirkular dipandang sama atau tidak berbeda

Theorem 1.5. Jumlah permutasi dari n obyek yang berbeda yang disusun dalam suatu lingkaran (putaran) adalah = (n-1)!

kecuali kalau obyek-obyek yang ditinjau dalam dua susunan tersebut diawali atau dimulai dengan suatu obyek yang berbeda jika ditinjau mengikuti arah jarum jam.

Sebagai contoh, bila 4 orang bermain bridge, kita tidak memperoleh permutasi yang baru bila semua pemain berpindah ke satu posisi berikutnya dalam arah jarum jam. Bila satu pemain tidak pindah-pindah tempat, menempatkan tiga pemain lainnya dalam 3! cara, akan diperoleh 6 susunan tempat duduk pemain yang berbeda satu sama lainnya.

Sejauh ini yang ditinjau adalah permutasi dari obyek-obyek yang berbeda. Bila huruf b dan c keduanya sama dengan x , maka 6 permutasi huruf a , b , c menjadi axx , axx , xax , xxa , dan xxa sehingga hanya ada 3 yang saling berbeda, atau 3!/2!=3 permutasi yang dapat diperbedakan. Dengan empat huruf yang berbeda a , b , c , dan d ada 24 permutasi yang


hal. 19

dapat diperbedakan. Bila a = b =x dan c = d = y , yang dapat dijajarkan dan saling berbeda adalah sebagai berikut : xxyy , xyxy , yxxy , yyxx , xyyx , dan yxyx. atau 4!/(2!2!)=6 permutasi yang dapat diperbedakan.

Theorem 1.6. Jumlah permutasi yang dapat diperbedakan dari n obyek, dimana sejumlah n1 adalah jenis ke satu yang sama , sejumlah n2 adalah jenis ke dua yang sama , ....................... , sejumlah nk adalah jenis ke k yang sama adalah :

!!........!

!

21 knnnn

Contoh 1.19.

Dalam berapa cara 3 lampu merah, 4 lampu kuning, dan 2 lampu biru dapat disusun pada seutas kabel lampu hias dimana padanya terdapat 9 soket lampu.

Jawab :

Jumlah total susunan yang dapat diperbedakan adalah 1260!2!4!3

!9=

Sering kali berurusan dengan sejumlah cara mem-partisi set (kumpulan) n obyek menjadi r subset (sub kumpulan) yang disebut sebagai cells (sel). Suatu partisi dikatakan telah berhasil dibentuk bila intersection dari setiap pasangan dari r subset adalah set kosong Ø serta bila union dari seluruh subset adalah set aslinya. Urutan elemen dalam set tidaklah penting.

Tinjau set { a , e , i , o , u }. Partisi menjadi dua sel dimana sel pertama berisi 4 elemen dan sel kedua berisi 1 elemen adalah : { (a,e,i,o) , (u) } , { (a,i,o,u) , (e) } , { (e,i,o,u) , (a) } , { (a,e,o,u) , (i) } , dan { (a,e,i,u) , (o) } .

Dapat dilihat bahwa ada 5 cara mem-partisi suatu set yang berisi 5 elemen menjadi 2 subset atau sel yang berisi 4 elemen dalam sel pertama dan berisi 1 elemen dalam sel kedua.

Jumlah partisi untuk contoh yang diuraikan diatas ditulis dengan simbol sebagai berikut :

5!1!4

!51,4

5==

dimana, angka yang tertulis diatas menunjukkan jumlah total elemen, dan angka yang tertulis dibawah menunjukan jumlah elemen yang dimasukkan kedalam masing-masing sel. Yang demikian ini dinyatakan lebih umum dalam theorem berikut :


hal. 20

Theorem 1.7.

Apabila suatu set (kumpulan) n obyek di-partisi menjadi r sel , dimana pada sel ke 1 terdapat n1 elemen , pada sel ke 2 terdapat n2 elemen ,............. dst ...., maka jumlah cara mem-partisi yang mungkin adalah :

!......!.........!

!.....,.........., 2121 nnn

nnnn

n

r

=

dimana : nnnn r =+++ ............21

Contoh 1.20 :

Dalam berapa cara 7 ilmuwan dapat ditempatkan di 1 buah ruang kerja berkapasitas 3 orang dan 2 ruang kerja berkapasitas 2 orang ?

Jawab :

Jumlah total cara penempatan yang mungkin adalah : 210!2!2!3

!72,2,3

7==

Dalam banyak masalah kita berkepentingan dengan jumlah cara memilih r obyek dari n obyek dengan mengabaikan urut-urutannya. Pemilihan seperti ini disebut combination (kombinasi) . Kombinasi sebenarnya mem-partisi menjadi 2 sel, dimana sel pertama berisi r obyek, dan sel lainnya berisi (n-r) obyek.

Jumlah kombinasi seperti ini dinyatakan dengan :

− rnr

n,

yang biasanya disingkat menjadi

rn

karena jumlah elemen dari sel ke dua haruslah n-r .

Theorem 1.8.

Jumlah kombinasi r obyek yang diambil dari n obyek yang berbeda adalah :

)!(!

!rnr

nrn

−=

Contoh 1.21. :

Dari 4 akhli kimia dan 3 akhli fisika dibentuk suatu komite yang terdiri dari 2 orang akhli kimia dan 1 orang akhli fisika. Ada berapa kemungkinan komposisi personil dalam komite tersebut ?


hal. 21

Jawab :

Kemungkinan komposisi 2 personil akhli kimia yang dipilih dari 4 akhli kimia adalah :

6!2!2

!424

==

, kemungkinan 1 personil akhli fisika yang mana yang terpilih dari 3 akhli

fisika adalah : 3!2!1

!313

==

,

dengan mempergunakan multiplication rule theorem 1.1. , n1 = 6 , n2 = 3 ,

jadi jumlah kemungkinan komposisi personil = n1 x n2 = 6 x 3 = 18.

Soal-soal Tugas 2. 1. Panitia suatu seminar menawarkan 3 kali wisata , dimana masing-masing wisata acaranya

dapat dipilih dari 6 kemungkinan jenis acara wisata. Ada berapa kemungkinan susunan jenis acara wisata untuk 3 kali wisata tersebut yang dapat dipilih ?

2. Dalam suatu studi medis, pasien diklasifikasikan dalam 8 cara tergantung pada jenis darahnya : AB+ , AB- , A+ , A- , B+ , B- , O+ , O- , juga diklasifikasikan berdasarkan tekanan darahnya : rendah, normal , atau tinggi. Dalam berapa cara pasien dapat terklasifikasi ?

3. Bila suatu eksperimen terdiri dari melempar sebuah dadu dan kemudian mengambil satu huruf latin secara acak, berapakah jumlah titik dalam sample space ?

4. Siswa sebuah sekolah diklasifikasikan sebagai : freshmen, sophomore, juniors, atau seniors, dan juga diklasifikasikan tergantung siswa tersebut laki-laki atau wanita. Berapakah jumlah klasifikasi yang mungkin ada ?

5. Di sebuah toko, sepatu dijual dalam 5 model yang berbeda , dan untuk masing-masing model tersedia 4 warna pilihan. Bila toko tersebut ingin memajang sepatu-sepatu dengan memperlihatkan semua model dan warnanya, berapa buah sepatu yang perlu dipajang oleh toko tersebut ?

6. Dalam program suatu sekolah setiap siswa perlu mengambil pelajaran , ilmu pengetahuan , ilmu kemanusiaan dan matematik. Bila masing-masing siswa dapat memilih salah satu dari 6 mata kuliah ilmu pengetahuan , kemudian memilih satu dari 4 mata kuliah kemanusiaan , dan memilih satu dari 4 mata kuliah matematik. Dalam berapa cara seorang siswa dapat memilih program sekolahnya ?

7. Dari rumah-rumah yang dapat dipesan, pembeli rumah dapat memilih untuk memesan sebuah rumah dari 4 pilihan model , 3 macam model penghangat ruangan , garasi atau carport , dan patio atau screened porch . Berapa jenis rencana rumah yang tersedia untuk pemesan ?

8. Sebuah obat asma diproduksi oleh 5 pabrik yang berbeda, yang tersedia berbentuk cairan dan berbentuk tablet, serta dengan dosis biasa dan keras. Dalam berapa cara seorang dokter dapat menulis resep obat asma untuk seorang pasiennya ?


hal. 22

9. Dalam suatu studi bahan bakar, masing-masing dari 3 mobil balap , di-uji mempergunakan 5 merk bensin , di 7 lokasi yang berbeda , dan 2 orang pengemudi. Pengujian dilakukan untuk masing-masing kondisi yang berbeda , berapa jumlah test yang perlu dilakukan ?

10. Dalam berapa cara test benar-salah yang terdiri dari 9 pertanyaan dapat dijawab ?

11. Bila test pilihan ganda terdiri dari 5 pertanyaan dimana masing-masing mempunyai 4 kemungkinan jawaban dimana hanya 1 yang benar :

a. dalam berapa cara seorang siswa dapat memilih jawaban di masing-masing pertanyaan ?

b. dalam berapa cara seorang siswa dalam memilih satu jawaban di masing-masing pertanyaan yang berakibat seluruh jawaban pertanyaan salah ?

12.

a. Berapa permutasi yang dapat diperbedakan dapat dibuat dari huruf-huruf yang ada dalam kata columns ?

b. Berapa permutasi dari huruf-huruf ini yang dimulai dengan huruf m ?

13. Seorang saksi dalam kasus tabrak lari di Amerika Serikat, menceritakan bahwa nomor polisinya terdiri huruf RLH diikuti dengan 3 angka, dimana angka pertamanya 5. Bila saksi tersebut tidak dapat mengingat 2 angka terakhir, namun yakin bahwa ketiga angka tersebut saling berbeda, berapakah jumlah maksimum nomor polisi yang datanya perlu di periksa oleh polisi ?

14.

a. 6 orang yang antri masuk kedalam bus, dalam berapa cara antri mereka dapat masuk kedalam bus ?

b. bila ada 3 orang tertentu (dari 6 orang yang antri tersebut) antri-nya pasti berurutan langsung , berapa cara antri yang mungkin ada ?

c. bila ada 2 orang yang menolak untuk antri-nya berurutan langsung , berapa cara antri yang mungkin ada ?

15. Suatu kontraktor ingin membangun 9 rumah masing-masing dengan disain yang berbeda, Dalam berapa cara kontraktor tersebut dapat menempatkan rumah-rumah ini di sebuah jalan bila di salah satu tepi terdapat 6 lot dan di tepi seberangnya terdapat 3 lot ?

16.

a. Berapa nomor 3 angka dapat dibentuk dari angka-angka 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , dan 6 , bila masing-masing angka hanya dapat dipakai satu kali ?

b. Berapa dari nomor seperti dimaksud dalam a. ganjil ?

c. Berapa dari nomor seperti dimaksud dalam a. lebih besar dari 330 ?

17. Dalam berapa cara 4 laki-laki dan 5 wanita dapat duduk berjajar ber-selang-seling ?

18. Empat pasangan suami istri membeli 8 karcis untuk pertunjukan konser yang tempat duduknya dalam berjajar berurutan dalam satu baris, dalam berapa cara mereka dapat duduk


hal. 23

a. bila tidak ada batasan-batasan siapa harus duduk disebelah siapa ,

b. bila masing-masing pasangan harus duduk berdampingan ,

c. bila semua pria duduk bersama di sebelah kanan seluruh wanita.

19. Dalam suatu pertandingan ada 8 finalist yang terdiri dari 3 pria dan 5 wanita. Berapa jumlah sample point dari sample space S yang merupakan kumpulan dari kemungkinan urutan pemenang untuk :

a. pemenang ke 1 sampai pemenang ke 8,

b. pemenang ke 1 sampai pemenang ke 3.

20. Dalam berapa cara 5 posisi awal dalam tim basket dapat diisi dari 8 pemain yang dapat ditempatkan di posisi mana saja ?

21. Dalam berapa cara 6 orang dosen dapat ditugaskan mengajar 4 bagian mata kuliah pengenalan psikologi , bila seorang dosen tidak dapat ditugaskan mengajar lebih dari 1 bagian.

22. Pemenang pertama , kedua , dan ketiga suatu undian ditetapkan dari 40 kupon undian yang ada. Setiap orang hanya memiliki tidak lebih dari satu kupon. Hitung jumlah sample point dari sample space S yang menjadi pemenang !

23. Dalam berapa cara 5 pohon yang berbeda dapat ditanam secara melingkar ?

24. Dalam berapa cara 8 buah kemah dapat ditempatkan secara melingkar ?

25. Berapa permutasi yang berbeda dapat disusun dari huruf-huruf yang terdapat dalam kata infinity ?

26. Dalam berapa cara 3 pohon oak , 4 pohon pinus , dan 2 pohon maples dapat disusun dalam suatu baris bila antara 1 pohon dengan pohon lainnya yang berjenis sama tidak bisa dibedakan ?

27. Suatu tim sekolah dalam suatu musim pertandingan bermain 12 kali. Dalam berapa cara dalam akhir musim pertandingan tim tersebut 7 kali menang , 3 kali kalah , dan 2 kali seri.

28. Sembilan orang akan bepergian mempergunakan 3 mobil, dimana masing-masing mobil maksimum dapat mengangkut 2 , 4 dan 5 penumpang. Bila semua mobil dipergunakan ada berapa cara menempatkan penumpang dalam masing-masing mobil ?

29. Ada berapa cara untuk memilih 3 orang pegawai dari 8 calon yang tingkat kualifikasinya sama

30. Ada 7 aturan kesehatan untuk memperpanjang umur : tidak merokok , latihan rutin , tidak minum alkohol , tidur 7 sampai 8 jam sehari , mempertahankan berat badan yang tepat , melakukan makan pagi , tidak makan diantara waktu makan. Dalam berapa cara seseorang dapat menjalankan 5 aturan bila sebelumnya :

a. sama sekali belum satu aturanpun yang dijalankan,

b. bila telah tidak pernah minum alkohol dan telah biasa makan pagi.


hal. 24

1.4 Probability of an Event (probabilitas suatu event)

Mungkin karena kesukaan sebagian orang untuk berjudi yang menjuruskan menjadi berkembangnya probability theory (teori probabilitas) . Dalam upayanya meningkatkan kemenangan , para penjudi berkonsultasi dengan akhli matematik untuk memperoleh strategi yang optimum dalam berbagai permainan yang melibatkan untung-untungan (ada peluang untung) . Beberapa orang akhli matematik yang pernah memberikan strategi-strategi yang demikian adalah : Pascal , Leibniz , Fermat dan James Bernoulli. Sebagai hasil dari pengembangan awal dari teori probabilitas , statistical inference , dengan semua perkiraan dan generalisasinya , terus berkembang ke bidang di luar permainan untung-untungan , ke bidang-bidang yang terkait dengan chance of occurrences (peluang terjadinya), seperti politik , bisnis , peramalan cuaca, dan berbagai penelitian ilmiah. Untuk prediksi dan generalisasi semacam ini , untuk dapat dipandang memenuhi syarat teliti , pemahaman dasar teori probabilitas menjadi suatu hal yang penting.

Apakah artinya bila kita membuat pernyataan-pernyataan sebagai berikut : “ John mungkin akan memenangkan pertandingan tenis itu “ , “ Saya mempunyai peluang fifty-fifty memperoleh angka genap kalau melempar dadu “ . “ Kebanyakan dari yang ada di kelas ini kemungkinan besar akan menikah dalam 5 tahun mendatang “. Dalam masing-masing kasus diatas kita menyatakan suatu outcome dimana kita tidak yakin benar akan terjadinya , namun berdasarkan pengalaman terdahulu atau dari pemahaman struktur “eksperimen-nya

Definisi 1.8.

” , kita mempunyai suatu tingkat keyakinan (walaupun tidak sepenuhnya) tentang keabsyahan apa yang dinyatakan.

Dalam bab ini yang akan ditinjau hanyalah eksperimen-eksperimen dimana sample space berisi jumlah elemen yang berhingga. Kemungkinan terjadinya suatu event yang dihasilkan dari eksperimen statistik seperti ini dinilai dengan suatu set bilangan nyata yang disebut sebagai weights atau probabilities yang nilainya berkisar dari 0 sampai 1. Untuk masing-masing titik dalam sample space kita memberikan suatu nilai probability (probabilitas) –nya sedemikian rupa sehingga jumlah seluruhnya = 1. Bila kita mempunyai alasan untuk meyakini bahwa titik sample tertentu sangat mungkin terjadi bila eksperimen dilaksanakan, maka angka probabilitas yang diberikan untuk titik sample ini haruslah mendekati 1. Di sisi lain , angka probabilitas yang mendekati 0 diberikan untuk sample point yang sangat diragukan akan terjadi , namun tidak dapat dipastikan tidak terjadi. Dalam banyak eksperimen semacam : mengundi dengan melempar uang logam atau dengan melempar dadu , seluruh sample point mempunyai chance (peluang atau kesempatan) yang sama untuk terjadi dan oleh karenanya setiap sample point dalam hal yang demikian mempunyai probabilitas yang sama. Untuk titik-titik diluar sample space, yaitu event-event yang tidak mungkin terjadi, angka probabilitasnya = 0.

Untuk dapat mengetahui (menghitung) probabilitas suatu event A, kita jumlahkan seluruh probabilitas dari seluruh sample point dalam event A. Perjumlahan ini disebut probability of A (probabilitas A) yang ditulis dengan cara P(A).

Probability of an event A (probabilitas event A) adalah jumlah weights atau probabilities


hal. 25

(probabilitas-probabilitas) seluruh sample point dalam A.

Jadi : 0 ≤ P(A) ≤ 1 , P(∅) = 0 , dan P(S) = 1

Contoh 1.22.

Sebuah uang logam di-toss dua kali. Berapakah probabilitas paling tidak satu head muncul ?

Jawab :

Sample space untuk eksperimen ini adalah :

S = { HH , HT , TH , TT }.

Bila uang logam yang dipakai seimbang, masing-masing outcomes akan mempunyai peluang yang sama untuk terjadi. Oleh karena ini , probabilitas masing-masing adalah sama sebut = w , maka 4w = 1 atau w = ¼. Bila A adalah event dimana paling tidak satu head muncul maka :

A ={ HH , HT , TH }

dan

P(A) = ¼ + ¼ + ¼ = ¾

Contoh 1.23.

Sebuah dadu di rekayasa sehingga angka genap berpeluang muncul dua kali lebih mungkin dibanding angka ganjil. Bila E adalah event dimana angka yang muncul lebih kecil dari 4 dalam 1 lemparan , hitung P(E).

Jawab :

Sample space S = { 1 , 2 , 3 ,4 ,5 , 6 } ,

untuk setiap angka ganjil sebut probabilitasnya = w , maka untuk bilangan genap probabilitasnya = 2w .

Karena jumlah seluruh probabilitas dari titik sample harus = 1

maka 9w =1 atau w = 1/9 ,

jadi probabilitas untuk angka ganjil = 1/9 , sementara untuk angka genap = 2/9.

E = { 1 , 2 , 3 }

P(E) = 1/9 + 2/9 + 1/9 = 4/9

Contoh 1.24.

Dalam contoh 1.23. sebut A adalah event angka genap muncul dan sebut B event dimana angka yang muncul habis dibagi 3. Carilah P(A∪B) , dan P(A∩B).

Jawab :

A = { 2 , 4 , 6 } dan B = {3 , 6 } sehingga (A∪B) = { 2 , 3 ,4 , 6 } dan (A∩B) = {6}, jadi :


hal. 26

P(A∪B) = 2/9 +1/9 + 2/9 +2/9 =7/9

P(A∩B) = 2/9

Bila sample space S untuk suatu eksperimen terdiri dari N elemen dan masing-masing elemen ini equally likely to occur (mempunyai peluang / kesempatan yang sama untuk terjadi ) , maka probabilitas untuk masing-masing elemen = 1/N.

Tinjau event A yang merupakan subset S yang jumlah elemennya = n. Probabilitas event A adalah rasio antara jumlah element dalam A terhadap jumlah element dalam S.

Theorem 1.9.

Bila suatu eksperimen hasilnya adalah salah satu dari N equally likely

NnAP =)(

outcomes , dan bila n dari outcomes ini merupakan event A , maka probabilitas event A adalah :

Contoh 1.25.

Suatu campuran permen terdiri dari 6 mints , 4 toffees , dan 3 chocolates. Bila seseorang mengambil secara acak satu buah permen dari campuran permen ini . Berapakah probabilitas mengambil (a) mints , (b) toffee atau coklat.

Jawab :

Sebut M , T , dan C sebagai event dimana masing-masing yang terambil adalah mint , toffee , dan chocolate. Jumlah permen seluruhnya adalah 13 , masing-masing dari seluruhnya equally likely

136)( =MP

dapat terpilih.

(a) karena 6 dari 13 permen adalah permen mints, probabilitas terjadinya event M ,

terpilihnya permen mint secara acak adalah :

(b) karena 7 dari 13 permen adalah toffee atau chocolate, maka : 137)( =∪CTP

Contoh 1.26.

Bila dalam bermain kartu dimana masing-masing pemain masing-masing dibagi 5 kartu. Berapakah probabilitas mendapat 2 as dan 3 jack.

Jawab :

Jumlah cara memperoleh 2 as dari 4 as yang ada = 6!2!2

!424

==

, dan jumlah cara

memperoleh 3 jack dari 4 kartu jack yang ada = 4!1!3!4

34

==

, dengan mempergunakan


hal. 27

multiplication rule theorem 1.1. , maka terdapat n = 6 x 4 = 24 cara memperoleh 2 kartu as dan 3 kartu jack. Bila masing-masing dari seluruh kartu equally likely

2598960!47!5

!525

52==

=N

dapat terbagikan, maka jumlah cara mendapat 5 kartu dari 52 kartu yang ada = N dimana :

, dengan demikian probabilitas even C dimana memperoleh 2

kartu as dan 3 kartu jack dalam 5 kartu yang dibagikan = 5109.02598960

24)( −×==CP

Bila outcomes dari suatu eksperimen tidak equally likely

1.5 Additive Rules.

untuk terjadi , probabilitas haruslah ditetapkan dengan dasar pengetahuan terdahulu atau bukti-bukti eksperimental. Sebagai contoh, bila sebuah uang logam tidak seimbang (balanced) , untuk mengetahuinya kita perlu melempar uang logam tersebut sekian banyak kali yang cukup banyak dan mencatat outcomes –nya. Menurut definisi relative frequency dari probabilitas , probabilitas yang benar adalah fraksi-fraksi head dan tails yang muncul dalam the long run (yang panjang atau banyak).

Untuk dapat menentukan nilai numerik yang menyatakan dengan sepatutnya probabilitas memenangkan suatu permainan tenis, maka penentuan haruslah didasarkan pada kinerja kita dalam permainan yang lalu dan juga yang akan menjadi lawan , serta juga sampai batas tertentu tergantung pada keyakinan kita untuk dapat memenangkan permainan itu. Hal yang serupa , untuk dapat menentukan probabilitas seekor kuda dapat memenangkan balapan, probabilitas yang dibuat haruslah didasarkan pada catatan-catatan terdahulu dari semua kuda yang telah mengikuti balapan yang terdahulu, dan juga catatan-catatan tentang joki-joki penunggang kuda-kuda tersebut. Dalam kasus-kasus penetapan probabilitas , intuisi ikut terlibat sangatlah mungkin. Penggunaan intuisi , keyakinan pribadi , dan informasi-informasi tidak langsung lainnya dalam menetapkan probabilitas , disebut sebagai cara penetapan probabilitas secara subyektif.

Yang kebanyakan dibahas dalam pelajaran ini adalah interpretasi frekwensi relatif dari probabilitas yang didasarkan lebih terhadap eksperimen statistik dari pada terhadap subyektifitas.

(aturan perjumlahan)

Sering kali lebih mudah menghitung probabilitas dari beberapa event dari probabilitas event-event lainnya yang diketahui. Yang demikian ini akan terasa benar bila event yang dipertanyakan dapat dinyatakan sebagai union dari dua event lainnya atau sebagai complement dari beberapa event.

Additive Rule (aturan perjumlahan) berlaku pada union dari event-event.

Theorem 1.10. P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A ∩ B )


hal. 28

Bukti : Tinjau diagram Venn seperti dalam Fig. 1.7. P(A ∪ B) adalah jumlah probabilitas sample points dalam A ∪ B . Sementara P(A) + P(B) adalah jumlah seluruh probabilitas dalam A ditambah jumlah seluruh probabilitas dalam B . Oleh karena ini kita telah menambahkan probabilitas dalam A ∩ B dua kali . Oleh karena itu untuk memperoleh jumlah probabilitas dalam A ∪ B kita harus mengurangkan P ( A ∩ B )

Corollary 1. Bila A dan B mutually exclusive, maka : P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B )

Corollary1 adalah hasil langsung dari theorem 1.10 , karena jika A dan B mutually exclusive maka A ∩ B = ∅ sehingga P (A ∩ B) = P (∅) = 0. Secara umum , dapat ditulis :

Corollary 2.

Bila A1 , A2 , A3 ,.............. An mutually exclusive, maka :

P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ .................∪ An) = P (A1) + P (A2) + P (A3) + ................ + P (An)

Corollary 3.

Bila A1 , A2 , A3 ,.............. An adalah partisi dari suatu sample space S, maka :

P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ .................∪ An) = P (A1) + P (A2) + P (A3) + ................ + P (An)

= P (S) = 1

Theorem 1.11. Untuk tiga event : A , B dan C

P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(A∩C) – P(B∩C) + P(A∩B∩C)

Contoh 1.27.

Probabilitas Paula lulus ujian matematik = 2/3 , dan probabilitas Paula lulus ujian English = 4/9 . Bila probabilitas lulus kedua ujian tersebut = ¼ . Berapakah probabilitas Paula lulus paling tidak satu ujian ?

Jawab :

Bila M adalah event dimana Paula lulus matematik dan E adalah event dimana Paula lulus English , maka probabilitas Paula lulus paling tidak satu ujian = P(M∪E),


hal. 29

dengan mempergunakan additive rule diperoleh :

P(M∪E) = P(M) + P(E) – P(M∩E)

41

94

32

−+=

3631

=

Contoh 1.28.

Berapakah probabilitas memperoleh total angka = 7 atau = 11 apabila sepasang dadu dilemparkan ?

Jawab :

Sebut event A bila terjadi total angka = 7 , dan event B bila terjadi total angka =11 . Bila dihitung (dengan dibantu oleh tree diagram misalnya) total angka = 7 terjadi pada 6 titik sample dari 36 sample point yang ada dalam sample space , sementara total angka 11 terjadi hanya pada 2 titik sample . Karena seluruh titik-titik sample equally likely , diperoleh P(A) = 1/6 dan P(B) = 1/18. Event A dan event B mutually exclusive, karena total angka = 7 tidak dapat terjadi bersamaan dengan total angka = 11, oleh karena itu : P(A∪B) = P(A) + P(B)

(probabilitas memperoleh total angka = 7 atau = 11) = P(A∪B) = P(A) + P(B)

181

61+=

92

=

Hasil seperti diatas dapat juga diperoleh dengan cara : total titik sample untuk event (A∪B) =

n = 8 , probabilitas memperoleh total angka = 7 atau = 11 = P(A∪B) 92

368===

Nn

Contoh 1.29.

Bila probabilitas seseorang pembeli mobil memilih warna hijau , putih , merah atau biru adalah 0.09 , 0.15 , 0.21 , dan 0.23 , berapakah probabilitas seorang pembeli mobil memilih salah satu dari empat warna tersebut ?

Jawab :

Sebut H , P , M dan B sebagai event-event dimana pembeli mobil memilih warna hijau, putih , merah , atau biru

Probabilitas seorang pembeli mobil memilih salah satu dari empat warna tersebut = P(H∪P∪M∪B).

Karena ke empat event H , P , M , dan B mutually exclusive maka :

P(H∪P∪M∪B) = P(H) + P(P) + P(M) + P(B) = 0.09 + 0.15 + 0.21 + 0.23 = 0.68


hal. 30

jadi probabilitas seorang pembeli mobil memilih salah satu dari empat warna tersebut = 0.68

Theorem 1.12. Bila A dan A/ adalah complementary events (event-event yang komplementer) , maka : P(A) + P(A/) = 1

Contoh 1.30. :

Bila probabilitas seorang montir mobil melayani 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , dan 8 atau lebih mobil dalam suatu hari kerja tertentu , masing-masing –nya adalah : 0.12 , 0.19 , 0.28 , 0.24 , 0.10 . dan 0.07 , berapakah probabilitas si montir tersebut akan melayani paling tidak 5 mobil dalam hari kerja esok-nya ?

Jawab :

Sebut E sebagai event dimana si montir paling tidak melayani 5 mobil . , E/ adalah event dimana si montir melayani kurang dari 5 mobil. Dari data yang diketahui diperoleh P(E/) = 0.12 + 0.19 = 0.31 . Dengan mempergunakan theorem 1.12. dimana P(E) = 1 – P(E/) , maka diperoleh P(E) = 1 –0.31 = 0.69.

Probabilitas si montir paling tidak melayani 5 mobil = P(E) = 0.69

Soal-soal Tugas 3. 1. Temukan kesalahan dalam pernyataan-pernyataan dibawah ini :

a. Probabilitas seorang penjual mobil dapat menjual mobil 0 , 1 , 2 atau 3 buah pada hari tertentu di bulan Februari, masing-masing adalah : 0.19 , 0.38 , 0.29 , dan 0.15.

b. Probabilitas besok akan hujan adalah 0.40 dan probabilitas besok tidak akan hujan adalah 0.52.

c. Probabilitas sebuah printer akan membuat 0 , 1 , 2 , 3 , dan 4 atau lebih kesalahan pada saat mencetak sebuah dokumen adalah : 0.19 , 0.34 , -0.25 , 0.43 , dan 0.29.

d. Dalam pengambilan 1 buah kartu dari setumpuk kartu lengkap, probabilitas yang terambil kartu heart adalah ¼ , probabilitas yang terambil kartu hitam adalah ½ , dan probabilitas terambil kartu heart dan hitam adalah 1/8.

2. Eksperimen dilakukan dengan melempar sepasang dadu yang berwarna hijau dan merah, kemudian mencatat angka yang muncul. Bila x adalah outcome dadu hijau dan y adalah outcome dadu merah. Event A adalah event dimana jumlah angka kedua dadu yang muncul lebih besar dari 8. Event C adalah event dimana angka lebih besar dari 4 muncul pada dadu hijau. Dengan anggapan seluruh elemen dari sample space S adalah equally likely to occur , carilah :

a. probabilitas event A

b. probabilitas event C

c. probabilitas event A ∩ C

3. Sebuah kotak berisi 500 amplop dimana : 75 amplop diantaranya berisi $ 100 , 150 amplop diantaranya berisi $ 25 , dan 275 amplop berisi $ 10 . Setiap amplop dapat


hal. 31

dibeli seharga $ 25 .. Bagaimanakah sample space untuk isi amplop yang berbeda-beda ini. Hitung probabilitas untuk masing-masing titik sample , kemudian hitung probabilitas amplop pertama yang dibeli berisi kurang dari $ 100.

4. Sebuah dadu dibuat sedemikian rupa sehingga 1 atau 2 yang dua kali lebih sering dari 5 , yang muncul tiga kali lebih sering dari 3 , 4 atau 6. Bila dadu dilempar satu kali , berapakah probabilitas :

a. angka yang muncul genap ,

b. angka yang muncul adalah kuadrat sempurna,

c. angka yang muncul lebih besar dari 4.

5. Bila A dan B adalah event-event yang mutually exclusive, dan P(A) = 0.3 dan P(B) = 0.5 , carilah :

a. P(A∪B)

b. P(A/)

c. P(A/∩B)

6. Bila A , B , dan C adalah event-event yang mutually exclusive, dan P(A) = 0.2 , P(B) = 0.3 , P(C) = 0.2 , carilah :

a. P(A∪B∪C)

b. P[A/∩ (B∩C)]

c. P(B∪C)

7. Bila satu huruf dipilih secara acak dari alfabet latin , carilah probabilitas huruf yang terambil adalah :

a. huruf hidup atau y.

b. dalam urutan abjad sebelum huruf j.

c. dalam urutan abjad setelah huruf g.

8. Bila permutasi huruf-huruf dari kata white dipilih secara acak , carilah probabilitas dari permutasi :

a. dimulai dengan huruf mati,

b. diakhiri dengan huruf hidup,

c. huruf mati dan huruf hidup bergiliran.

9. Bila masing-asing kode barang dalam suatu katalog dimulai dengan 3 huruf yang berbeda diikuti dengan 4 bukan nol yang berbeda , carilah probabilitas mengambil secara acak satu dari kode-kode barang ini yang huruf pertamanya huruf hidup dan angka terakhirnya adalah bilangan genap.

10. Sepasang dadu dilempar. Carilah probabilitas memperoleh :

a. total angka = 8

b. tidak lebih dari 5


hal. 32

11. Dua kartu diambil secara berurutan dari tumpukannya . Berapakah probabilitas bahwa kedua kartu yang terambil tersebut lebih besar dari 2 dan lebih kecil dari 8.

12. Bila 3 buah buku diambil secara random dari sebuah rak yang berisi 5 novel , 3 buku puisi dan sebuah kamus , berapakah probabilitas :

a. kamus terambil.

b. 2 novel dan 1 buku puisi yang terambil.

13. Dalam suatu permainan kartu, kartu yang dibagikan adalah 5 buah per pemain, carilah probabilitas bahwa 5 kartu yang dipegang oleh seorang pemain :

a. as –nya ada 3 buah,

b. ada 4 heart dan 1 club.

14. Dalam suatu permainan dimana 5 dadu dilempar bersamaan, berapa probabilitas :

a. 2 buah dadu angka yang keluarnya sama,

b. 4 buah dadu saling berbeda.

15. Dalam suatu sekolah yang terdiri dari 100 siswa , 54 siswa mempelajari matematik , 69 siswa mempelajari sejarah , dan 35 siswa mempelajari baik matematik maupun sejarah. Bila salah seorang siswa ini dipilih secara acak , carilah probabilitas :

a. siswa mempelajari matematik atau sejarah.

b. siswa tidak mempelajari matematik dan juga tidak mempelajari sejarah.

c. siswa mempelajari sejarah tapi tidak mempelajari matematik.

statistik & probabilitas

Documents

Transcript of statistik & probabilitas