Teori Probabilitas
-
Upload
hidjazy-hamidi -
Category
Documents
-
view
272 -
download
14
description
Transcript of Teori Probabilitas
Teori Probabilitas Sukardi Malik, M.Si
Konsep Dasar Probabilitas
Percobaan random :
Adalah percobaan yang hasilnya tidak dapat diketahui/diramalkan
sebelum eksperimen tersebut dilakukan namun dapat diketahui
semua hasil yang mungkin dari percobaan random dapat.
Ruang Sampel (S):
Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan random
Kejadian (Event) : Merupkan himpunan bagian dari ruang sampel
Contoh-contoh percobaan random, ruang sampelnya
dan kejadian (Event ):
1. Eksperimen dilakukan dengan melemparkan mata uang kemungkinan hasil
S={G,A} G= Gambar, A= Angka
E = {G} atau E = {A}
2. Melemparkan sebuah dadu, kemungkinan hasilnya:
S={1,2,3,4,5,6}
E himpunan hasil yang ganjil sehingga E={1,3,5,}
3. Melemparkan 2 buah mata uang, dimana 2 mata uang tesebut dibedakan
S= {(G,A), (A,G) , (G,G), (A,A)}
E= {(G,G), (A,A)}
Contoh-contoh percobaan random, ruang sampelnya dan
kejadian (Event ):
4. Percobaan mengukur „life time’ dari sebuah komponen listrik . Misalkan X
menyatakan „life time’ (dalam bulan)
S= {x; x 0}
E = adalah kejadian dimana „life time’ dari komponen listrik maksimum 10 bulan
E = {x; 0 x 10 }
5. Percobaan mengukur jumlah kendaraan yang lewat di pintu gerbang tol tiap lima
menit.
S = { x; x: 0,1,2,3,4…….}
E = adalah kejadian dimana jumlah kendaraan yang lewat paling tidak 5 E = {x; x 5 }
Gabungan (UNION) dan Irisan (INTERSECTION) dari 2 Kejadian
F
𝑬 ∪ 𝑭
Misalkan E dan F adalah kejadian-kejadian
dari sebuah percobaan random, maka
gabungan E dan F ditulis 𝑬 ∪ 𝑭
Irisan E dan F ditulis 𝐸 ∩ 𝐹 adalah
himpunan yang anggotanya merupakan
anggota E dan anggota F
Contoh :
E= {0, 1,2,3} F= {2,3,4,5}
Maka ∶ 𝑬 ∩ 𝐹 = {2,3}
𝑬 ∪ 𝑭 = {0,1,2,3,4,5}
Contoh :
Dua buah dadu berbeda warna dilemparkan, E1 adalah
kejadian dimana jumlah kedua mata dadu genap sedangkan E2
adalah kejadian dimana selisih kedua mata dadu maksimum
sama dengan 2.
a. Tuliskan E1 dan E2 berapa jumlah anggota masing-masing?
b. Tuliskan E1 E2 dan E1 E2 Berapakah jumlah anggota
masing-masing
c. Apakah E1 dan E2 saling asing?
Operasi Dari Union, Intersection, Complement Dari Sebuah
Kejadian (Event)
Operasi Dari Union, Intersection, Complement Dari Sebuah Kejadian (Event)
[Lanjutan….]
1. Idempoten
a. E ∩ E = E
b. E ∪ E = E
2. Identitas E U E = E, E ∩ Ø = Ø, E U Ø = E ,
E ∩ S =E , E U S =S, (EC)C = E
3. De Morgan a. (E U F)C = EC ∩ FC
b. (E ∩ F)C = EC U FC
4. Absorpsi
a. E ∩(E U F)= E b. E U(E ∩ F)= E
Menghitung Titik Sampel
1. Aturan Perkalian
Contoh persoalan: Akan dibentuk sebuah regu yang terdiri dari dua anggota, yaitu satu orang
laki-laki dan satu orang perempuan. Anggota laki-laki akan dipilih dari 4 laki-
laki dan anggota perempuan dipilih dari 8 perempuan yang terdaftar.
Berapa banyak kemungkinan regu yang terjadi?
Dengan menganggap pemilihan laki-laki sebagai hasil percobaaan 1, dan pemilihan perempuan sebagai hasil percobaan 2, maka banyaknya kemungkinan regu yang
terjadi adalah 4x8 = 32 kemungkinan regu
Jika operasi pertama dapat dilakukan dengan n1 cara dan setiap
cara ini dilanjutkan dengan operasi kedua yang dapat dilakukan
dengan n2 cara, dan setiap cara sebelumnya dilanjutkan lagi
dengan operasi ketiga yang dapat dilakukan dengan n3 cara
dan seterusnya sampai deretan k buah operasi, maka semua
operasi tersebut dapat dikerjakan secara bersama-sama dengan
n1 x n2 x n3 x …. x nk cara
Contoh
Sebuah plat nomor kendaraan untuk kota Surabaya teridi dari
3 huruf dan 4 angka. Huruf pertama adalah L diikuti dengan 4
angka (angka pertama tidak boleh dimulai dengan 0) dan 2
huruf. Berapa banyaknya jenis plat nomor dapat dibuat ?
Definisi : Permutasi adalah susunan yang dapat dibentuk dari
sekumpulan objek yang dipilih sebagian atau seluruhnya.
Teorema :
Jika ada n buah benda yang berbeda maka banyaknya
permutasi dari n benda tersebut adalah P(n,n)=n!
Catatan : P(n,n) dibaca permutasi tingkat n dari n
n! = n x(n-1) x(n-2) x … (3) x (2) x (1)
0! =1
2. Permutasi (susunan berbeda)
1. Misalkan dalam suatu kelas terdiri dari 6 mahasiswa dan 4
mahasiswi, semua akan disusun berdasarkan hasil ujiannya.
Jika tidak ada dua atau lebih yang mendapat nilai yang
sama, maka banyaknya urutan yang mungkin adalah ?
2. Misalkan kita memiliki 3 buah buku matematika, 4 buku fisika
dan 5 buku kimia. Jika semua buku-buku tersebut akan
disusun memanjang dalam suatu rak buku dan tiap buku
dibedakan, maka berapa banyaknya susunan berbeda yang
mungkin?
Jika ditambahkan satu aturan lagi bahwa buku yang sejenis
harus dikelompokkan,maka berapa susunan berbeda yang
mungkin?
Contoh
Teorema :
Jika benda sejenis tidak dibedakan, banyaknya permutasi dari n
buah benda denga n1 benda memiliki jenis pertama, n2 benda
memiliki jenis kedua dan seterusnya hingga nk benda memiliki jenis
ke-k adalah :
n !
n1! x n2! x … x nk !
Dengan n1 + n2 + … + nk = n
Contoh : Tentukan banyaknya permutasi (susunan huruf yang
berbeda) yang dapat dibuat dengan menggunakan huruf-huruf
yang terdapat pada kata “MATEMATIKA”
Teorema :
Banyaknya permutasi dari n benda yang berbeda jika diambil r
benda sekaligus (disebut permutasi tingkat r dari n) adalah :
P(n,r) =
Contoh
Suatu panitia yang terdiri atas 3 orang dengan perincian seorang
sebagai ketua, seorang sebagai sekertaris dan seorang sebagai
bendahara akan dipilih dari 8 orang yang tersedia. Maka banyaknya
susunan panitia yang berbeda yang mungkin adalah ?
n ! (n - r) !
Jawab : P(8,3) = 8 !
(8 - 3) ! = 336 buah
3. Kombinasi
Definisi : Kombinasi adalah kelompok yang dapat dibentuk dari
sekumpulan obyek yang dipilih sebagian atau seluruhnya.
Ilustrasi. “Misalkan kita memiliki empat huruf yaitu A, B, C, D dan
dari huruf tersebut dipilih tiga buah huruf tanpa memperhatikan
susunan huruf terpilih. Maka banyaknya kombinasi dari huruf yang
terpilih adalah : ABC, ABD, ACD, BCD, yaitu 4 buah kombinasi.
Sebenarnya dapat juga dihitung sebagai :
4 !
3! x (4-3) ! = 4 kombinasi
Teorema :
Banyaknya kombinasi dari n benda yang berbeda jika dipilih
sebanyak r buah benda adalah :
C(n,r) = n !
r ! x (n-r)!
Contoh. “Misalkan sebuah panitia yang terdiri atas 3 orang akan
dipilih dari 4 pasang suami istri yang tersedia. Maka banyaknya
panitia berbeda yang dapat dibentuk adalah :
C(8,3) = 8 !
3 ! x (8-3)! = 56 buah
Jika contoh soal diatas ada syarat tambahan bahwa panitia yang
terbentuk harus terdiri atas 2 pria dan 1 wanita, maka banyaknya
panitia berbeda yang mungkin adalah??
Latihan
1. Tentukan banyaknya cara berbeda untuk melakukan kegiatan
berikut :
a. Menanam 8 pohon yang berbeda dalam posisi memanjang?
b. Menanam 4 pohon akasia, 3 pohon cemara dan 5 pohon
mangga dalam posisi memanjang jika pohon sejenis tidak
dibedakan?
2. Dari 4 laki-laki dan 5 perempuan, berapa banyak kemungkinan
kelompok belajar yang terdiri atas 3 orang yang dapat dibentuk
a. Jika tidak ada syarat apa-apa?
b. dengan 1 laki-laki dan 2 perempuan?
Aksioma Probabilitas
Jika sebuah dadu dilempar, maka
himpunan semua kejadian yang mungkin
adalah:
S= {1,2,3,4,5,6}
Perhatikan suatu kejadian E yaitu
munculnya permukaan dadu bermata
ganjil, maka
E= {1,3,5}
Lakukan percobaan berulang dengan merubah jumlah pelemparan (n), maka
akan diperoleh jumlah munculnya E (n(E))
yang berbeda-beda. Misalnya hasilnya
dapat dilihat pada Tabel berikut:
n n(E) n(E)/n = frekuensi relatif
munculnya E
10 3 3/10 =0,3
100 45 45/100 =0,45
1000 505 505/1000=0,505
10000 4957 4957/10000=0,4957=0,5
Dari contoh di atas terlihat bahwa frekuensi relatif munculnya E atau
n(E)/n akan cenderung semakin stabil keangka tertentu (dalam contoh
ini stabil ke angka 0,5) seiring dengan bertambahnya jumlah
pelemparan (n).
S= ruang sampel
E= event (E ⊂ S)
n(E) = jumlah kejadian E muncul dalam sebuah experiment Secara umum nilai peluang meunculnya E dapat di nyatakan sebagai :
Aksioma Probabilitas 1. Probabilitas adalah nilai antara 0 dan 1 yang merupakan hasil
suatu proses atau eksperimen/pengamatan
2. Peristiwa bahwa A tidak terjadi disebut komplemen A dengan lambang A‟. Jika P(A) merupakan probabilitas kejadian A maka P(A‟)= 1- P(A)
3. Jika peristiwa A dan B ME, maka probabilitas A dan B terjadi bersama adalah 0
4. Jika persitiwa A dan B ME, maka probabilitas baik A atau B terjadi adalah jumlah probabilitas masing-masing
P(A atau B) = P(A U B) = P(A) + P (B)
Aksioma probabilitas (lanj.) 5. Jika peristiwa A dan B not ME, maka probabilitas baik A atau B terjadi
adalah P(A atau B)= P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
6. Jika dua peristiwa saling dependen, maka probablilitas kondisional B terjadi setelah A terjadi adalah P(B/A)= P(A dan B)/P(A)
7. Jika peristiwa A dan B independen, probabilitas bahwa baik peristiwa A
dan B akan terjadi adalah:
P(A dan B) = P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
5. Jika peristiwa A dan B dependen, probabilitas bahwa A dan B akan terjadi adalah:
P(A dan B)= P(A ∩ B) = P (A) x P(B/A)
Menghitung Probabilitas
Peluang = jumlah kemungkinan hasil suatu kejadian
jumlah total kemungkinan hasil
2. Sebuah regu bola basket 3 orang terdiri atas seorang guard,
seorang forward, dan seorang center. Jika seorang pemain
diambil secara acak dari masing-masing tiga regu yang ada,
berapa peluang memperoleh sebuah regu yang lengkap ?
Berapa peluang bahwa ketiga orang yang terpilih bermain
pada posisi yang sama ?
3. Akan diselenggarakan malam kesenian di fakultas MIPA dan
untuk tujuan itu dibentuk kepanitiaan yang terdiri yang terdiri
atas 4 orang yang dipilih dari 3 mahasiswa Biologi, 4 mahasiswa
Kimia, 4 mahasiswa Matematika, dan 3 mahasiswa Fisika.
Hitunglah peluang bahwa panitia itu terdiri atas
a. 1 orang dari setiap program studi,
b. 2 mahasiswa Kimia dan 2 mahasiswa matematika saja,
c. Mahasiswa biologi dan mahasiswa Fisika saja
soal
Peluang Bersyarat
Contoh persoalan
Misalkan 2 buah dadu merah dan biru dilemparkan, kejadian-kejadian yang
mungkin dapat dilihat pada tabel berikut
Contoh soal 3.1
Dari 35 pasangan suami isteri, tinggi suami dapat di katagorikan kedalam 2
katagori, yaitu kurang atau sama dengan 165 cm dan diatas 165 cm
sedangkan tinggi isteri dibagi atas : diatas 150 cm dan maksimum 150 cm .
Jumlah masing-masing pasangan untuk setiap katagori dapat dilihat pada
tabel berikut.
Diantara pasangan-pasangan yang tinggi suaminya lebih dari 165 cm,
berapakah peluang isteri dari pasangan tersebut memiliki tinggi diatas 150 cm?