Teori Probabilitas

Masing-masing outcome dari ruang sampel disebut dengan unsur atau anggota atau titik sampel. Jika ruang sampel mempunyai jumlah anggota yang terbatas maka kita dapat menyatakan ruang sampel tersebut dengan “men-jejer” anggotanya, antara masing-masing dipisahkan dengan koma dan meletakan semuanya didalam kurung kurawal.

Contoh 4.1.

a. Sebuah mata uang dilempar 1 X, maka

S = ( H , T )

Dimana :H = Heads ( atau gambar burung )T = Tails ( atau gambar angka )

b. Dadu dilempar 1 X maka :

S = ( 1, 2, 3, 4, 5, 6 )

c. Dadu dilempar 1x, maka :

S = ( bilangan ganjil, Bilangan genap )

Dalam beberapa eksperimen maka untuk mengetahui unsur-unsur dari ruang sampel secara sistematis dapat digunakan teknik diagram pohon (tree diagram).

Contoh 4.2.

a. Sebuah mata uang dilempar 2 kali, maka kejadian dari eksperimen ini dapat digambarkan sebagai berikut :

Sehingga ruang sampel S-nya adalah :S = ( HH, HT, TH, TT )

H

T

H

T

H

T

HH

HT

TH

TT

b. Sebuah mata uang dilempar tiga kali :

S = ( HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT )

c. Tiga mata uang dilempar 1 X, maka kejadian ekperimen ini sama dengan b.

d. Perhatikan eksperimen berikut ini : Sebuah mata uang dilempar, jika muncul HEAD, maka mata uang tersebut dilempar

untuk yang kedua kalinya. Akan tetapi jika muncul TAIL, maka sebuah dadu dilempar dua kali.

S = ( HH, HT, T1, T2, T3, T4, T5, T6 )

H

T

H

T

H

T

H

T

H

T

H

T

H

T

H

T

H

T

1

2

3

4

5

6

HH

HT

T1

T2

T3

T4

T5

T6

HHH

HHT

HTH

HTT

THH

THT

TTH

TTT

Contoh 4.3.

Misal empat buah produk diambil secara random dari suatu hasil proses produksi. Produk tersebut diperiksa dan kemudian diklasifikasikan ke dalam produk baik ( B ) atau cacat ( C ). Bagaimana ruang sampel dari eksperimen ini ?

S = ( BBBB, BBBC,……………………..CCCC )

Contoh 4.4.

Ruang sampel yang anggotanya banyak sekali atau tidak terhingga dinyatakan dengan menggunakan aturan tertentu, Sebagai contoh, misal “out come” yang mungkin dari suatu eksperimen adalah himpunan dari kata-kata didunia yang jumlah penduduknya diatas satu juta, maka ruang sampel S-nya kita tulis sebagai berikut :

B

B

C

BBBB

BBBC

BBCB

BBCC

BCBB

BCBC

BCCB

BCCC

CBBB

CBBC

CBCB

CBCC

CCBB

CCBC

CCCB

CCCC

B

C

B

C

B

B

B

CB

C

B

C

B

B

CB

C

B

C

B

B

B

CB

C

B

C

S ( x/x = kata didunia dengan penduduk > 1 juta )

Contoh 4.5.

Himpunan titik-titik yang berada didalam lingkaran yang terpusat di ( 0 , 0 ) dan berjari-jari lebih kecil atau sama dengan 2 adalah :

S = {(x,y) / x2+y2 ≤ 4 }

5.1. KONSEP VARIABEL RANDOM

Misal tiga buah produk diambil dari suatu proses produksi untuk diperiksa apakah produk tersebut cacat atau tidak. Ruang sampel dari eksperimen ini adalah sebagai berikut

B = BaikC = Cacat

Misal X adalah variabel yang menyatakan banyaknya produk cacat didalam tiga produk yang diperiksa diatas. Maka harga X adalah dapat sama dengan 0, 1, 2 atau 3. Sebagai contoh, pada titik sampel BBB maka harga X = 0 dan pada titik sampel BBC, BCB, atau CBB harga X adalah = 1. Karena terjadinya B atau C ini bersifat random maka variabel X merupakan variabel yang juga bersifat random.

Definisi 5.1.

Untuk menyatakan variabel random akan digunakan huruf besar-besar X, sedangkan nilainya yang terkait dengan huruf kecil x.

B

C

B

CB

C

B

B

C

B

C

B

C

C

Suatu fungsi bernilai riil yang harganya ditentukan oleh tiap unsur dalam suatu ruang sampel disebut dengan variabel random.

BBB

BBC

BCB

BCC

CBB

CBC

CCB

CCC

Contoh 5.1. Sebuah kotak berisi 4 bola merah, dan 3 bola hitam. Dua bola diambil secara

berurutan tanpa dikembalikan. Misal X adalah variabel random yang menyatakan banyaknya bola merah yang terambil, maka harga dari adalah :

Titik Sampel XMM 2MH 1HM 1HH 0

Contoh 5.2.

Misal sepasang dadu dilempar dan X adalah variabel random yang menyatakan nilai jumlah dari kedua mata dadu yang muncul.

a. Gambarkan ruang sampelb. Tentukan harga-harga dari x

Jawab

a. Ruang sampel dapat digambarkan sebagai berikut :

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

b. Dari ruang sampel di atas dapat di lihat bahwa harga dari variabel random X adalah : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 dan 12

Dadu 1 Dadu 2

Jumlah dari duaMata dadu

( 6 + 3 )

Dalam dua contoh diatas ruang sampelnya mengandung jumlah unsur yang terbatas sehingga harga variabel random X yang dihasilkan juga terbatas. Ruang sampel dengan jumlah unsur yang terbatas ini disebut dengan ruang sampel diskrit.

Ada beberapa eksperimen statistik yang ruang sampelnya tidak terbatas. Sebagai contoh, waktu selesainya suatu reaksi kimia mempunyai kemungkinan yang tidak terbatas , artinya hasil pengukuran waktu reaksi tersebut mempunyai kemungkinan yang banyak sekali sehingga tidak dapat dihitung. Ruang sampel dengan jumlah unsur yang tidak terbatas disebut dengan ruang sampel kontinu.

Variabel random diskrit adalah variabel random yang himpunan nilainya dapat dihitung, yakni 1, 2, 3, 4,……dst. Dengan lain perkataan variabel random diskrit adalah variabel random yang nilainya berupa angka integer atau angka bulat. Sedang variabel random kontinu adalah variabel random yang nilai himpunannya berupa pada skala tertentu. Didalam sebagian besar praktek maka variabel random kontinu adalah menggambarkan data hasil pengukuran, sedangkan variabel random diskrit menggambarkan data hasil perhitungan . Contoh hasil pengukuran misalnya adalah tinggi, berat, temperatur, jarak, kecepatan dsb. Sedang untuk hasil perhitungan misal jumlah produk cacat, jumlah kecelakaan, jumlah kedatangan, dsb.

5.2. DISTRIBUSI KEMUNGKINAN DISKRIT

Perhatikan kembali Contoh 5.1. Nilai kemungkinan X dalam eksperimen tersebut dapat dihitung sebagai berikut.

x P ( X = x)

0

1

2

Kemungkinan X = 1 dinotasikan dengan f ( 1 ) = P ( X =1 ) dimana f adalah fungsi kemungkinan dan P adalah kemungkinan.

Himpunan pasangan { x , f(x) } dimana x adalah diskrit disebut dengan fungsi kemungkinan atau distribusi kemungkinan dari variabel random diskrit X.

Definisi 5.2.

Contoh 5.3.

Himpunan pasangan { x, f(x)} adalah fungsi kemungkinan atau distribusi kemungkinan dari variabel random X jika untuk setiap “outcome” x yang mungkin berlaku hal sebagai berikut :

1. f (x ) ≥ 0

2. f (x) = 1

3. P ( X = x ) = f (x)

Tentukanlah distribusi kemungkinan variabel random X dari Contoh 5.2.Jawab

Distribusi kemungkinan tersebut adalah sebagai berikut :

x P ( X = x )

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

F (x) = P ( X x) disebut sebagai distribusi kumulatif dari variabel random X.

Definisi 5.3.

Untuk Contoh 5.1. maka distribusi kumulatif dari variabel random X adalah :

F ( x ) =

Distribusi kumulatif F(x) dari variabel random X dengan distribusi kemungkinan f(x) adalah :

F ( x ) = P ( X x ) =

Untuk - ~ < x < ~

0 untuk x < 0

untuk 0 x < 1

untuk 1 x < 21 untuk x >= 2

Contoh 5.4.

Kemungkinan terjual mobil merk corolla pada sebuah “Dealer” mobil adalah 0,5. Dari 4 buah mobil yang akan terjual berikutnya :a. Susunlah distribusi kemungkinan jumlah terjualnya mobil corolla.b. Distribusi kumulatif jumlah terjualnya mobil corolla.

Jawab :

a. Ruang sampel kejadian terjualnya mobil adalah sbb :

Misal X = Variabel random yang menyatakan jumlah terjualnya mobil Corolla.

Distribusi kemungkinan dari X adalah sbb :

X P ( X )

0

1

2

3

4

b. Distribusi Kumulatif

F ( x )

Distribusi kemungkinan dari Contoh 5.4 diatas digambarkan dalam bentuk grafik sebagai berikut.

0 untuk x< 0

untuk 0 x < 1

untuk 1 x < 2

1 untuk x >= 4

untuk 2 x < 3

untuk 3 x < 4

-

-

-

-

1

¾

½

¼ I I I I I

0 1 2 3 4

Gambar 5.3. : Distribusi Kumulatif

5.3. DISTRIBUSI KEMUNGKINAN KONTINU

Perhatikan variabel random kontinu yang menyatakan tinggi orang dewasa. Antara dua nilai, katakanlah 163,5 dan 164,5 ; terdapat nilai yang tak terhingga banyaknya, salah satunya misalnya 164 cm. Kemungkinan kita memilih seseorang dari himpunan orang dewasa tersebut yang mempunyai tinggi tepat sama dengan 164 adalah sama dengan nol, sebab secara manusiawi kita tidak mungkin mengukur seorang tepat tingginya = 164 cm. Oleh karena itu dalam variabel random kontinu perhitungan kemungkinan biasanya digunakan dalam bentuk interval seperti misalnya P ( a < X < b ) atau P ( X >= c ).

P ( a < X < b ) menyatakan besarnya kemungkinan harga X berada diantara a dan b, sedang P ( X >= c ) menyatakan besarnya kemungkinan harga X lebih besar atau sama dengan c. Lihat Gambar 5.4.dibawah ini .

Besarnya kemungkinan harga X berada diantara a dan b adalah merupakan luas daerah dibawah kurva f (x) dengan dibatasi oleh harga X = a dan X = b. Berdasarkan teori calculus, luas daerah tersebut adalah :

a b X C X

f ( x ) f ( x )

Gambar 5. 4. Besarnya kemungkinan pada distribusi kemungkinan kontinu

P ( a <x < b ) = f ( x ) dx

Fungsi kemungkinan kontinu dari variabel X ini sering disebut dengan fungsi kepadatan X (density function) dan oleh karena nilai seluruh nilai kemungkinan adalah sama dengan 1 maka nilai integral untuk semua harga X dari suatu fungsi kemungkinan adalah sama dengan 1.

Jadi :

Harga f ( x ) selalu merupakan bilangan positip, oleh karena itu gambar kurva f ( x ) selalu berada diatas sumbu x. Gambar 5.5. menunjukan beberapa contoh bentuk dari fungsi kepadatan x .

Definisi 5.6.

Contoh 5.5.

Misalkan bahwa kesalahan didalam temperatur reaksi untuk suatu eksperimen di laboratorium ( dalam oC ) adalah merupakan variabel random kontinu X yang mempunyai fungsi padat kemungkinan :

f(x) =

f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x )

x x x x

Fungsi f ( x ) adalah merupakan fungsi kepadatan kemungkinan untuk variabel random kontinu X jika :

1. f ( x > 0 ) untuk semua x R ; R = bilangan riil )

2.

3. P ( a < x < b ) = f ( x ) dx.

0 untuk harga x yang lain.

a). Buktikan fungsi ini memenuhi kondisi 2 dari definisi 5.6.b). Hitung P ( 0 X 1 )

Jawab :

a).

b). P ( 0 x 1 ) =

=

Definisi 5.7.

Dari definisi 5.7 diatas kita dapat menuliskan dua macam hasil, yakni :P ( a < x < b ) = F ( b ) – F ( a ), dan

f ( x ) = jika turunan dari x memang ada.

Contoh 5.6.

Untuk soal Contoh 5.5, tentukan F (x) dan gunakan hasilnya untuk menghitung P( 0 ≤ x 1 ).

Jawab :

F(x) =

=

Distribusi kumulatif F(x) untuk variabel random kontinu X dengan fungsi padat kemungkinan f(x) adalah :

F(x) = P ( X x) = untuk -~ < x < ~

=

Jadi : P( 0 ≤ X 1 ) = F ( X = 1 ) – F ( X= 0 )

=

5.4. SOAL LATIHAN

1. Tentukan mana yang variabel random diskrit dan mana yang kontinu.a. Jumlah kecelakaan mobil pertahun di Jakarta.b. Lama permainan catur.c. Jumlah produksi susu bubuk Dancow / tahun.d. Jumlah mobil yang mengurus STNK perbulan di Komdak.e. Berat hasil panen gabah per Ha.

2. Misal W adalah variabel random yang menyatakan selisih antara jumlah head dan jumlah tail yang muncul dari tiga kali lemparan mata uang. Tentukan ruang sampel dari eksperimen ini.

3. Tentukan nilai C sedemikian sehingga masing-masing fungsi berikut merupakan distribusi kemungkinan dari variabel random diskrit X.a. f (x) = C ( x2 + 4 ) ; x = 0, 1, 2, 3.

b. f (x) = C ; x = 0, 1, 2

4. Umur suatu botol obat, dalam hari, merupakan variabel random yang mengikuti fungsi kepadatan :

f ( x ) =

Hitunglah berapa kemungkinan botol tersebut akan mempunyai umur :a. Paling sedikit 200 hari.b. Antara 80 sampai 120 hari.

5. Jumlah total jam ; di ukur dalam unit satuan 100 jam ; penggunaan “ Vacuum Cleaner “ oleh setiap keluarga pertahun adalah merupakan variabel random kontinu yang mempunyai fungsi kepadatan sebagai berikut :

f ( x ) =

; x > 0

0 ; untuk x yang lain

X untuk 0 < x < 1

2 - x untuk 1 x < 2

0 untuk x yang lainnya

Hitunglah kemungkinan bahwa dalam satu tahun suatu keluarga akan menggunakan “ Vacuum Cleaner”-nya :a. Kurang dari 120 jam.b. Antara 50 dan 100 jam.

6. Waktu tunggu, dalam jam, antara dua sinyal yang masuk dalam layar datar secara berurutan adalah merupakan variabel random kontinu yang memiliki distribusi kumulatif sebagai berikut :

F(x) =

Hitunglah berapa kemungkinan lamanya menunggu antar dua kemunculan sinyal yang berurutan adalah :a. Dengan menggunakan distribusi kumulatif Xb. Dengan menggunakan fungsi kepadatan X

7. Variabel random kontinu X yang diasumsikan mempunyai harga diantara X = 1 dan X = 3 mempunyai fungsi kepadatan f (x) = 1/2.a. Tunjukan luas daerah dibawah kurva adalah sama dengan 1.b. Hitung P ( 2 < x < 2.5 )c. Hitung P ( x 1.6 )

8. Perhatikan fungsi kepadatan :

f (x) =

a. Hitung kb. Tentukan F(x) dan gunakan F(x) tersebut untuk mengevaluasi P ( 0.3 <X<0.6).

9. Tiga kartu diambil dari kartu bridge secara berurutan tanpa pengembalian. Tentukan

distribusi kemungkinan dari jumlah kartu SPADE yang terambil.

10. Sebuah kotak berisi 4 bola putih dan 2 bola hijau. Tiga bola diambil dari kotak tersebut. Tentukan distribusi kemungkinan jumlah terambil bola hijau jika pengambalian bola tersebut dilakukan dengan pengembalian.

0 untuk x 0

1 – e -8x untuk x>0

k√x untuk 0 < x < 1

0 untuk x yang lain

BEBERAPA DISTRIBUSI KEMUNGKINAN KONTINU

DISTRIBUSI UNIFORM

Distribusi kontinu yang paling sederhana adalah distribusi uniform. Distribusi ini dicirikan oleh fungsi padat yang rata dan oleh karena itu kemungkinannya adalah uniform ( sama ) didalam suatu interval, katakanlah interval [ A , B ].

Fungsi kepadatan dari variabel random X kontinu dan uniform pada interval [ A , B ] adalah :

f ( x ; A , B ) = ; A X B

= 0 untuk yang lainnya.

Perhatikan bahwa bentuk fungsi kepadatan diatas adalah sebuah empat persegi

panjang dengan panjang alas B – A dan tinggi sama dengan . Oleh karena itu distribusi

uniform sering disebut dengan distribusi empat persegi panjang. Fungsi padat dari variabel random uniform pada interval [ 1 , 3 ] dapat dilihat pada Gambar 8.1.

Contoh .1.

Misal sebuah ruang konfrensi yang besar yang ada didalam suatu perusahaan dapat digunakan tidak lebih dari 4 jam. Akan tetapi penggunaan dari ruang konfrensi tersebut baik yang lama maupun yang sebentar adalah sama-sama sering terjadi. Jadi dalam hal ini dapat diassumsikan bahwa variabel random X ; yang menggambarkan lamanya waktu konfrensi ; mempunyai distribusi uniform pada interval pada interval [ 0 , 4 ]

a). Tentukan fungsi padat kemungkinan untuk lamanya waktu konfrensi tersebut.b). Berapa kemungkinan bahwa waktu konfrensi akan memerlukan waktu paling sedikit 3

jam ?Jawab :a) Bentuk pdf dari variebel random X adalah :

f ( x ) = ¼ untuk 0 X 4 = 0 untuk harga X yang lain.

b). p( x ≥ 3 ) =

Teorema 8.1.

1 2Gambar .1. Fungsi padat variabel random uniform pada interval 1 - 3

f( x )

X

Rata-rata dan varian dari distribusi uniform adalah :

Bukti :

E (X) =

2 = E(X2) - 2

E ( X2 ) =

2 = E ( X2 ) - 2

8.1. DISTRIBUSI NORMAL

Beberapa hal yang dapat dikemukakan tentang distribusi normal adalah sebagai berikut :

1. Pada tahun 1733 Abraham De Moivre mengembangkan persamaan matematik dari kurva normal ini. Distribusi normal juga sering disebut dengan Distribusi Gausian setelah Karl Friederich Gauss ( 1777 - 1855 ) menurunkan persamaan kurva normal ini dalam studi tentang kesalahan pengukuran.

2. Distribusi normal merupakan distribusi kemungkinan kontinu yang paling penting didalam statistika. Distribusi ini berbentuk seperti lonceng sehingga disebut dengan distribusi normal. Lihat Gambar .2. berikut ini.

3. Dua parameter didalam persamaan kurva normal adalah rataan dan deviasi standar dari variabel random normal X. Oleh karena itu distribusi normal dinotasikan dengan : n ( x : , ).

4. Fungsi kepadatan dari variabel random normal X dengan rataan dan varian 2 adalah :

Jika dan diketahui, maka kurva normalnya dapat digambar.

5. Banyak fenomena yang dapat diterangkan dengan kurva normal, antara lain:a. Peristiwa alamiah kejadian di industri dan risetb. Pengukuran fisis di dalam eksperimen meteorologi, studi tentang hujan dan

pengukuran –pengukuran dari komponen manufakturc. Kesalahan ( error ) pengukuran ilmiah

6. Beberapa bentuk distribusi normal yang bergantung pada harga dan nya dapat dilihat pada Gambar .3., Gambar .4. dan Gambar .5.

x

n ( x : , ) =

Untuk - ~ < X < ~ dan π = 3.14159……. e = 2.71828…….

µ1 µ2 ×

σ1 σ 2

Gambar .3. Kurva normal dengan μ1 < μ2 dan σ1 =σ2

µ1 = µ2

σ1

σ 2

Gambar .4. Kurva Normal dengan μ1 = μ2 dan σ1 < σ2σ1 σ 2 µ1 µ2 Gambar .5. Kurva Normal dengan μ1 < μ2 dan σ1 <σ2

7. Distribusi normal mempunyai sifat sebagai berikut : a. Kurva normal simetris terhadap sumbu tegak yang melewati μ

b. Modus, radian dan rataan ( μ ) mempunyai harga yang sama.c. Kurva normal akan mendekati sumbu mendatar secara “ assimtoot “ baik kearah kiri

maupun kekanan.d. Luas total dibawah kurva normal adalah sama dengan 1.

8.2.1 DISTRIBUSI NORMAL STANDAR

Misal X adalah variabel random berdistribusi normal dengan rata-rata = μ dan deviasi standar = σ .

f ( x ) =

Dapat dibuktikan bahwa : z = adalah variabel random berdistribusi normal dengan µz

= 0 dan σz = 1. Perhatikan hasil perhitungan dibawah ini.

Sekarang perhatikan kembali persamaan fungsi normal yang sudah dikemukakan didepan. Jika μ = 0 dan σ = 1 maka persamaan fungsi normal dapat kita tulis sebagai berikut :

Jika variabel x kita ganti dengan z, maka persamaan fungsi normal diatas berubah menjadi.

Fungsi normal ini disebut dengan distribusi normal standar, yakni distribusi normal yang mempunyai μ = 0 dan σ = 1.

8.2.2. TABEL NORMAL STANDAR

Tabel normal standar adalah tabel yang menjelaskan luas daerah dibawah kurva normal standar yang dibatasi oleh suatu harga Z tertentu. Tabel normal standar yang disajikan didalam Lampiran 3 menjelaskan luas daerah dibawah kurva normal dari mulai Z = - ~ sampai dengan harga Z tertentu. Sebagai contoh,. Tabel 8.1. dihalaman berikut ini menjelaskan luas daerah dibawah kurva normal standar mulai dari Z = - ~ sampai dengan suatu harga Z.

Tabel .1. Beberapa luas daerah dibawah Kurva Normal Standar

Harga Z Luas Dibawah KurvaNormal Standar

- 3.40-1.95-0.000.000.101.953.05

0.00030.02560.50000.50000.53980.97440.9989

Sumber : Lampiran 3

Luas daerah dibawah kurva normal standar sebenarnya menunjukan hasil integrasi dari fungsi normal standar tersebut sesuai dengan batas-batas harga variabel-variabelnya. Sebagai contoh, luas daerah dibawah kurva yang dibatasi oleh Z = - ~ dan Z = 0.1 yang nilainya sama dengan 0.5398 adalah merupakan hasil integrasi dari

8.2.3. LUAS DAERAH DIBAWAH KURVA NORMAL

Seperti sudah dijelaskan didepan, luas daerah dibawah kurva normal adalah merupakan hasil integrasi fungsi normal tersebut dengan batas-batas tertentu yang diberikan. Nilai luas ini juga menunjukan besarnya kemungkinan harga variabel random X berada didalam batas yang diberikan. Jadi dapat kita tuliskan :

= Luas daerah dibawah kurva yang dibatasi oleh x = a dan x = b

Lihat daerah yang diarsir pada Gambar 8.6. dibawah ini :

Untuk menghitung hasil integral dari fungsi normal diatas adalah cukup sulit, dan juga apabila dibuat tabel seperti pada tabel normal standar, maka tabelnya akan banyak sekali, sebab masing-masing distribusi normal mempunyai harga μ dan σ sendiri-sendiri. Berdasarkan situasi ini maka luas daerah dibawah kurva normal tidak akan kita hitung langsung dari fungsi normal yang bersangkutan, tapi akan kita hitung melalui luas daerah dibawah kurva normal standar. Untuk ini, variabel random x perlu ditransformasikan menjadi variabel Z dengan menggunakan formula.

Sebagaimana telah ditunjukan didepan, variabel random

merupakan variabel random yang berdistribusi normal dengan rataan = 0 dan simpangan baku = 1. Perbandingan luas daerah dibawah suatu fungsi normal dengan fungsi normal standar yang bersesuaian dapat dilihat pada Gambar 8.7. Bentuk dari daerah tersebut berbeda, tetapi mempunyai luas yang sama.

a b μ x

Gambar .6. Luas daerah dibawah kurva normal

σ

σ = 1

X1 X2 μ X Z1 Z2 0 Z

Gambar .7. Luas daerah dibawah kurva normal dan transformasinya

Contoh .2.Hitunglah luas daerah dibawah kurva normal standar untuk kasus-kasus berikut ini.

a. Disebelah kiri dari Z = 1. 84b. Diantara Z = - 1. 97 dan Z = 0.86c. Disebelah kanan Z = 1. 84d. Diantara Z = 0. 75 dan Z = 1. 96

Jawab :a. P ( Z 1.84 ) = 0. 9671b. P ( - 1. 97 Z 0. 86 ) = P ( Z 0. 86 ) – P ( Z - 1.97 )

= 0. 8051 – 0. 0244 = 0. 7807

c. P ( Z ≥1.84 ) = 1 – P ( Z 1. 84 ) = 1 - 0. 9671

= 0. 0329d. P ( 0. 75 Z 1. 96 ) = P ( Z 1. 96 ) – P ( Z 0. 75 )

= 0. 9750 – 0. 7734 = 0. 2010

Gambar daerah dari masing-masing kasus pada Contoh .2. adalah seperti ditunjukan oleh Gambar .8. dibawah ini.

Contoh .3. Diberikan distribusi normal standar, tentukanlah k sedemikian sehingga

a. P ( Z > K ) = 0. 3015b. P ( K < Z < - 0.18 ) = 0. 4197

a

c

b

d

0 1. 84 -1. 97 0 0. 86

0 1. 84 0. 75 0 1. 96

Gambar .8. Luas daerah pada contoh .2.

Jawab :a. P ( Z > K ) = 1 – P ( Z < K )

Jadi 1 – P ( Z < K ) = 0,3015 P ( Z < K ) = 1 – 0. 3015

= 0. 6985dari tabel normal standar didapat K = 0. 52

b. P ( K < Z < 0. 18 ) = P ( Z < 0. 18 ) - P ( Z < K )Jadi P ( Z < 0. 18 ) - P ( Z < K ) = 0, 4197 0. 4286 - P ( Z < K ) = 0. 4197 P( Z < K ) = 0. 4286 – 0.4197 = 0. 0089Dari tabel normal standar didapat K = -2. 37

Contoh .4.Sebuah variabel random X berdistribusi normal dengan = 50 dan = 10.

Hitunglah P ( 45 < x < 62 )

Jawab : Z1 =

Jadi P ( 45 X 62 ) = P ( - 0. 5 Z 1. 2 ) = P ( Z 1. 2 ) - P ( Z - 0. 5 ) = 0. 8849 – 0. 3085 = 0. 5764

APLIKASI DAN DISTRIBUSI NORMAL

Contoh .5.

Sebuah baterry mobil tipe tertentu mempunyai umur rata-rata 3 tahun dan deviasi standar 0. 5 tahun. Jika di assumsikan umur baterry tersebut berdistribusi normal, hitunglah kemungkinannya sebuah baterry tertentu akan mempunyai umur kurang dari 2. 3 tahun.

Jawab :

= 3 = 0. 5 Jadi :x = 2. 3

P ( Z < 1. 4 ) = 0. 0808 Kemungkinan baterry mempunyai umur kurang dari 2. 3 tahun = 0. 0808.

Z =

- 1. 4

Contoh .6.Umur bohlam lampu listrik buatan pabrik “ X ” berdistribusi normal dengan rata-rata

= 800 jam dan deviasi standar = 40 jam.Hitunglah kemungkinannya sebuah lampu yang diambil secara random akan mempunyai umur antara 778 dan 834.

Jawab : = 800 = 40

X1 = 778 Z1 =

X2 = 834 Z2 =

P ( - 0. 55 < Z < 0. 85 ) = 0. 8023 – 0. 2912 = 0. 5111Contoh .7.

Sesuai dengan permintaan konsumen, spesifikasi diameter bantalan peluru yang dibuat oleh suatu proses tertentu adalah : 3. 0 ± 0. 01 cm. Diameter bantalan peluru yang tidak memenuhi spesifikasi akan di “ scrap “. Jika bantalan peluru tersebut berdistribusi normal dengan = 3 cm dan = 0. 005 cm, berapa % kira-kira bantalan peluru yang akan di “ Scrap “ ?

Jawab : = 3 = 0. 005X1 = 3 – 0. 01 = 2. 99

Z1 =

X2 = 3 + 0. 01 = 3. 01

Z2 =

P ( - 2 Z 2 ) = 0. 9772 – 0. 0228 = 0. 9544

- 0. 55 0. 85

Prosentase yang di “ Scrap “ = 1 – 0. 9544 = 0. 0456

= 4. 56 %

Contoh .8. Sebuah “ gauges ” digunakan untuk mengukur dimensi suatu komponen. Komponen

yang akan diterima jika memenuhi spesifikasi 1. 50 ± d. Jika diketahui hasil pengukuran “ gauges “ tersebut berdistribusi normal dengan = 1. 5 dan = 0. 25 tentukanlah besarnya d agar 95 % dari hasil pengukuran “ gauges “ tersebut memenuhi spesifikasi.

Jawab :

P ( Z < Z1 ) = 0. 025 Z1 = - 1. 96 P ( Z < Z2 ) = 0. 95 + 0. 025 = 0. 975 Z2 = 1. 96

X1 = 1. 50 – d

-d = - ( 0.2 )( 1. 96 ) = - 0. 392 d = 0. 392

Contoh .9.Sebuah mesin membuat tahanan listrik yang mempunyai rataan 40 Ohm. Jika

diassumsikan tahanan tersebut berdistribusi normal dan dapat diukur sampai tingkat ketelitian sesuai dengan yang dikehendaki, berapa prosen tahanan listrik yang akan mempunyai tahanan lebih dari 43 Ohm ?

95 %

Z1 Z2

Jawab :

= 40 = 2 Jadi :x = 43 P ( Z > 1. 5 ) = 1 - 0. 9332 = 0. 0668 = 6. 68 %

Contoh .10.Sama dengan Contoh 8.9. , tapi tahanan diukur pada bilangan bulat yang paling dekat.

Jawab :Karena pengukuran diukur pada bilangan bulat yang paling dekat maka hasil pengukuran yang berbeda diantara 43 dan 43,5 akan diukur sebagai 43 dan yang berada diantara 43.5 dan 44 akan diukur sebagai 44.

Dalam hal ini P ( X > 43 ) akan dinyatakan sebagai P ( X > 43. 5 )

Z =

P ( Z > 1. 75 ) = 1 – P ( Z < 1. 75 ) = 1 – 0. 9599 = 0. 0401 = 4. 01 %

Prosentase ini sekarang menjadi lebih kecil karena tahanan yang berukuran lebih dari 43 dan kurang dari 43.5 akan diukur sebagai 43.“ Kasus Contoh 8.10 ini sebenarnya adalah kasus pendekatan distribusi diskrit dengan distribusi kontinu, yang dalam hal ini adalah distribusi normal “.

Contoh.11.Nilai rataan suatu ujian adalah 74 dengan simpangan baku 7. Jika nilai ujian tersebut

berdistribusi normal dan 12% nilai tertinggi diberi “grade” A, berapa batas nilai terendah untuk mendapat “grade” A ?

Jawab : = 74 = 7Misal nilai batas terendah “grade” A adalah X

Z1 =

P( Z > Z1 ) = 0. 12 1 – P ( Z < Z1 ) = 0. 12 P ( Z < Z1 ) = 1 - 0.12 = 0. 88 Z1 = 1. 17

= 1. 17 X = 74 + ( 1. 17 ) ( 7 )

Z =

12 %

= 82, 19

Contoh .12.

Sama dengan Contoh .11. tapi sekarang hitunglah nilai desil ke 6 ( D6 ).

Jawab :

Z1 =

P ( Z < Z1 ) = 60 % = 0. 6 Z1 = 0. 25

0. 25 = D6 = 74 + ( 7 )( 0. 25 )

= 75. 75

DISTRIBUSI NORMAL UNTUK MENDEKATI DISTRIBUSI BINOMIAL

Untuk harga n yang besar maka nilai kemungkinan dari distribusi binomial akan sulit dihitung. Dalam hal ini nilai kemungkinan dari distribusi binomial tersebut dapat didekati dengan menggunakan distribusi normal.

Teorema .2.

60 %

D6

74

Jika X adalah variabel random binomial dengan rataan = np dan varian = npq, maka bentuk limit dari distribusi :

dengan n ~ adalah distribusi normal baku n ( Z ; 0. 1 )

Misal diketahui peubah acak X berdistribusi binomial b ( x : 15 ; 0. 4 ), maka = np = ( 15 ) ( 0. 4 ) = 62 = npq = ( 15 ) ( 0. 4 ) ( 0. 6 ) = 3. 6

Gambar histogram dan kurva normalnya dapat diperiksa pada Gambar 8.9. dihalaman berikut ini.

x P ( X = x ) x P( X = x )

0 0. 0005 7 0. 17711 0. 0047 8 0. 11812 0. 0219 9 0. 06123 0. 0634 10 0. 02454 0. 1268 11 0. 00745 0. 1859 12 0. 00166 0. 2066

_

_

_

_____

0.2

0.15

0.1

0.05

O

O

O

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Gambar .9. Pendekatan Normal ke Binomial

Nilai P ( X = x ) dihitung dari tabel Lampiran 1

Sebagai contoh, P ( X = 4 ) dari distribusi binomial diatas adalah =

= 0. 2173 – 0. 0905 = 0. 1268Nilai 0. 1268 adalah sama dengan nilai luas segi empat yang diarsir, yakni segi empat dengan alas yang berpusat pada x = 4.

Jika didekati dengan distribusi normal, maka P ( X = 4 ) = P ( 3.5 X 4.5 )

P ( -1. 32 Z -0. 79 ) =0. 2148 – 0. 0934 = 0. 1214Nilai ini cukup dekat dengan nilai yang sebenarnya yakni 0. 1268.

Contoh lain misalnya, berapa nilai sebenarnya dari P ( 7 X 9 ) inclusive : ?

P ( 7 X 9 ) =

= -

= 0. 9662 – 0. 6098 = 0. 3564Nilai ini sama dengan nilai luas tiga persegi panjang yang masing-masing berpusat pada x = 7,8 dan 9. Jika didekati dengan distribusi normal maka :

X1 = 6.5X2 = 9.5

Jadi : P ( 7 X 9 ) = P ( 0. 26 Z 1. 85 ) = 0. 9678 – 0. 6026 = 0. 3652Pendekatan distribusi normal pada distribusi binomial akan semakin baik jika harga n semakin besar.

Contoh 13.Kemungkinan bahwa pasien sembuh dari suatu penyakit adalah 0.4. Jika diketahui

ada 100 orang sedang menderita penyakit ini, berapa kemungkinan kurang dari 30 yang akan sembuh ?.

Jawab :Persoalannya adalah distribusi binomial dengan p = 0. 4 dan n = 100

Didekati dengan distribusi normal, maka :

= np = ( 100 ) ( 0. 4 ) = 40

Kemungkinan yang sembuh kurang dari 30 adalah = 0. 0162

Contoh 14

Sebuah kuis pilihan berganda, terdiri dari 200 soal dengan 4 pilihan jawaban. Hanya ada satu jawaban yang benar. Dari 80 soal yang diberikan, berapa kemungkinan mahasiswa yang tidak belajar akan dapat menjawab dengan benar 25 s/d 30 soal ( inclusive ) ?

Jawab :Persoalan ini adalah persoalan distribusi binomial dengan :

P = ¼n = 80 Maka : P ( 25 x 30 ) = ?

P ( 25 x 30 ) =

Didekati dengan distribusi normal : = np = ( 80 ) ( ¼ ) = 20