5. Trigonometri II

5. TRIGONOMETRI II

A. Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

1) sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB

2) cos(A ± B) = cosA cosB m sinA sinB

3) tan(A ± B) = BtanAtan1

BtanAtan

⋅±

m

B. Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus

1) 2sinA cosB = sin(A + B) + sin(A – B)

sinA cosB = ½{sin(A + B) + sin(A – B)}

2) 2cosA sinB = sin(A + B) – sin(A – B)

cosA sinB = ½{sin(A + B) – sin(A – B)}

3) 2cosA cosB = cos(A + B) + cos(A – B)

cosA cosB = ½{cos(A + B) + cos(A – B)}

4) –2sinA sinB = cos(A + B) – cos(A – B)

sinA sinB = –½{cos(A + B) – cos(A – B)}

C. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus

1) sinA + sinB = 2sin ½ (A + B) · cos ½(A – B)

2) sinA – sinB = 2cos½ (A + B) · sin ½(A – B)

3) cosA + cosB = 2cos½ (A + B) · cos ½(A – B)

4) cosA – cosB = –2sin½ (A + B) · sin½(A – B)

D. Rumus Sudut Rangkap

1) sin 2A = 2sinA·cosA

2) cos 2A = cos2A – sin2A

= 2cos2A – 1

= 1 – 2sin2A

3) tan 2A = Atan1

Atan22−

4) Sin 3A = 3sin A – 4sin3A

E. Rumus Sudut Pertengahan

1) sin ½ A = 2

Acos1−±

� 1 – cosA = 2sin2 ½A

� sin2A = ½ (1 – cos 2A)

2) cos ½ A = 2

Acos1+±

� 1 + cosA = 2cos2 ½A

� cos2A = ½ (1 + cos 2A)

3) tan ½ A = Acos1Acos1

+−±

Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com

Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN

35

SOAL PENYELESAIAN 1. Nilai dari sin 75º + cos 75º = …

a. 41 6

b. 21 2

c. 21 3

d. 1

e. 21 6

Gunakan rumus A

sin 75º + cos 75º ⇔ sin (30º + 45º) + cos (30º + 45º)

⇔ {sin 30º cos 45º + cos 30º sin 45º } + {cos 30º cos 45º – sin 30º sin 45º}

⇔ { 21 ⋅ 22

1 + 321 ⋅ 22

1 } +

{ 321 ⋅ 22

1 – 21 ⋅ 22

1 }

⇔ 241 + 64

1 + 641 – 24

1 = 621 ……..(e)

2. Nilai dari sin 105º – sin 15º adalah …

a. 241

b. 641

c. 221

d. 1

e. 621

Gunakan rumus C.2)

sin 105º – sin 15º ⇔ 2cos½ (105º + 15º) · sin ½(105º – 15º) ⇔ 2cos½ (120º) · sin ½(90º) ⇔ 2cos 60º · sin 45º

⇔ 2 · 21 · 22

1 = 221 …………………….(c)

3. Nilai dari cos 195º + cos 105º adalah …

a. 621

b. 321

c. 221

d. 0

e. 621−

Gunakan rumus C.3)

cos 195º + cos 105º ⇔ 2cos½ (195º + 105º) · cos ½(195º – 105º) ⇔ 2cos½ (300º) · sin ½(90º) ⇔ 2cos 150º · sin 45º

⇔ 2cos (180 – 30) · 221

⇔ – 2cos 30 · 221

⇔ – 2 · 321 · 22

1 = 621− ………………(e)

4. Nilai dari cos 25º + cos 95º + cos 145º = …. a. –1

b. – 21

c. 0

d. 21

e. 1

Gunakan rumus C.3)

cos 25º + cos 95º + cos 145º ⇔ (cos 95º + cos 25º ) + cos 145º ⇔ 2cos½ (120º) · cos ½( 70º) + cos 145º ⇔ 2cos60º · cos 35º + cos 145º

⇔ 2 · 21 · cos 35º + cos 145º

⇔ cos 35º + cos 145º ⇔ cos 145º + cos 35º ⇔ 2cos½ (180º) · cos ½( 110º) ⇔ 2cos90º · cos ½( 110º) ⇔ 2 · 0 · cos 55 = 0…………………………..(c)



36

SOAL PENYELESAIAN

5. Nilai dari oo

o

5040

10

coscos

cosadalah …

a. 3 b. 2 c. 1

d. 21

e. 41

Gunakan rumus B.3)

oo

o

5040

10

coscos

cos

⇔ )}4050cos()5040{cos(

10cos

21 oooo

o

−++

⇔ 10cos90cos

10cos2

+

o

⇔ 10cos0

10cos2

+

o

= 2 ……………………………..(b)

6. Nilai dari oo

oo

15105

1575

coscos

sinsin

++

= ….

a. – 3

b. – 2

c. 31 3

d. 2

e. 3

Gunakan rumus C. 1) dan C.3)

oo

oo

15105

1575

coscos

sinsin

++

⇔ )90(cos)120(cos2

)60(cos)90(sin2

21

21

21

21

oo

oo

⋅

⋅

⇔ oo

oo

45cos60cos

30cos45sin

⋅⋅

⇔ 2

32

21

21

21

21

⋅

⋅ = 3

7. Diketahui sin A = 53 , cos B =

1312 ; A dan B

sudut lancip. Nilai tan (A + B) = …

a. 3356

b. 4856

c. 6356

d. 3316

e. 6316

Pelajari bab Trigonometri I jika kamu bingung

• sin A = 5

3 ⇒ cos A =

5

4

• tan A = A

A

cos

sin=

5453

= 4

3

• cos B = 13

12 ⇒ sin B =

13

5

• tan B = B

B

cos

sin=

1312135

= 12

5

Gunakan rumus A.3)

tan(A + B) = BA

BA

tantan1

tantan

⋅−+

= 125

43

125

43

1 ⋅−

+

= 165

1259

1−

+=

16111214

= 11

16

12

14×

= 3356 ………………(a)



37

SOAL PENYELESAIAN

8. Diketahui cos(A – B) = 54 dan sinA·sinB =

103 .

Nilai tan A·tan B = …

a. 35−

b. 34−

c. 53−

d. 35

e. 53

54 = cos(A – B)

54 = cosA cosB + sinA sinB

54 = cosA cosB +

103

cosA cosB = 54 –

103 =

20

616− =

20

10 =

2

1

sehingga:

tan A · tan B = B

B

A

A

cos

sin

cos

sin ×

= 21

103

= 1

2

10

3 × = 5

3……………...(e)

9. Diketahui sin A = 54 dan sin B =

257 , dengan A

sudut lancip dan B sudut tumpul. Nilai cos (A – B) = …

a. 125117−

b. 125100−

c. 12575−

d. 12544−

e. 12521−

Pelajari bab Trigonometri I jika kamu bingung

• sin A = 5

4 ⇒ cos A =

5

3

• sin B = 25

7 ⇒ cos B = –

25

24 (B sudut tumpul)

sehingga: cos (A – B) = cosA cosB + sinA sinB

= )(2524

53 −⋅ +

257

54 ⋅

= 12528

12572 +− =

12544− ……………(d)

10. Diketahui A sudut lancip dengan cos 2A = 31 .

Nilai tan A = …

a. 331

b. 221

c. 631

d. 552

e. 632

cos 2A = 1 – 2sin2 A

31 = 1 – 2sin2 A

(2sin2 A = 1 – 31 =

32 ) × 2

1

sin2 A = 31

sin A = 3

1=

r

y ⇒ x = ( ) 22

13 − = 2

maka tan A = x

y =

2

1= 2

21 …………….(b)



38

SOAL PENYELESAIAN

11. Ditentukan sin2A = 53 . Untuk

2π < 2A < π,

nilai tan 2A = …

a. 2 6

b. 652

c. 652−

d. 652−

e. –2 6

sin2A = 5

3

sin A = 5

3 =

r

y ⇒ x = ( ) ( )22

35 −

= 35− = 2

tan A = x

y=

2

3= 62

1

maka tan 2A = A

A2tan1

tan2

− ……….…..rumus D.3)

=

2

31

62 21

−

× =

21

6

−

= –2 6 …………..….(e)

12. Diketahui cos x = 54 , 0 < x < 90º.

Nilai sin x + sin 3x = …

a. 12596

b. 125182

c. 125192

d. 511

e. 5

12

Cos x = 5

4 ⇒ sin x =

5

3

Lihat rumus D.4) sin x + sin 3x = sin x + 3sin x – 4sin3 x

= 5

3 +

5

33× –

3

5

34

×

= 125

108

125

225

125

75 −+

= 125

192 ………….………………….(c)

13. Diketahui sin α· cos α = 258 .

Nilai αα cos1

sin1 − = …

a. 253

b. 259

c. 85

d. 53

e. 815

Dimislkan αα cos1

sin1 − = N, maka

N = αα cos

1

sin

1 − = αααα

cossin

sincos

⋅−

N2 = 2

2

)cos(sin

)sin(cos

αααα

⋅−

= 2

22

)cos(sin

cossin2sincos

αααααα

⋅⋅−+

= 2

258

258

)(

21 ×−=

( )2258

259

=( )( )2258

2

53

N = 25853

= 8

25

5

3 × = 8

15 ………………………..(e)



39

SOAL PENYELESAIAN

14. Jika θ adalah sudut di kuadran II sehingga tan θ = –4 dan α = 2θ, maka α terletak di … a. kuadran III b. kuadran IV c. kuadran III atau IV d. kuadran II atau III e. kuadran II atau IV

α = 2θ, maka: tan α = tan 2θ

= θ

θ2tan1

tan2

−=

2)4(1

)4(2

−−−

= 161

8

−−

= 15

8

−−

= + 15

8

karena nilai tan α bernilai positif, maka α terletak di kuadran I atau kuadran III ……………………….(a)

15. Diketahui tan α = 43 dan tan β = 12

5 ; α dan β

sudut lancip. Maka nilai cos (α +β) = …

a. 6564

b. 6563

c. 6536

d. 6533

e. 6530

Jika bingung silakan pelajari bab Trigonometri I

• tan α = 4

3 =

x

y ⇒ r = 22 43 + = 25 = 5

(i) sin α = r

y =

5

3 dan (ii) cos α =

r

x =

5

4

• tan β = 12

5 =

x

y ⇒ r = 22 125 +

= 169= 13

(i) sin β = r

y =

13

5 dan (ii) cos β =

r

x =

13

12

gunakan rumus A.2) cos (α +β) = cos α cos β – sinα sin β

= 135

53

1312

54 ⋅−⋅

= 65

1548− = 6533 ………………………(d)

16. Pada segitiga ABC lancip, diketahui cos A

= 54 dan sin B =

1312 , maka sin C = …

a. 6520

b. 6536

c. 6520

d. 6556

e. 6563

• cos A = 5

4 =

r

x, ⇒ y = 22 45 − = 9 = 3

maka sin A = 5

3

• sin B = 13

12 =

r

y ⇒ x = 22 1213 −

= 25 = 5

maka cos B = 13

5

Jumlah sudut suatu segitiga adalah 180°, maka • A + B + C = 180°

C = 180° – (A + B) sehingga sin C = sin {180° – (A + B)}

= sin (A + B) = sin A ⋅ cos B + cos A ⋅ sin B

= 13

12

5

4

13

5

5

3 ⋅+⋅

= 65

4815+ =

65

63 …………..(e)

5. Trigonometri II

Documents

Transcript of 5. Trigonometri II