5. RANTAI MARKOV WAKTU DISKRIT

1Prostok-5-firda

5.1 Definisi

Misal ( ) , 0,1, 2,...X n n proses stokastik dengan

indeks parameter diskrit dan ruang keadaan

,...2,1,0i memenuhi

0 1 1( 1) | (0) , (1) ,..., ( 1) , ( )nP X n j X i X i X n i X n i

( 1) | ( ) ijP X n j X n i p (5.1)

0 1 1, ,..., , , ,dan ,ni i i i j n maka proses dinamakan

Rantai Markov parameter diskrit, dan ijp disebut

peluang transisi. 2Prostok-5-firda

1. Catat bahwa, ( )X n i menyatakan proses berada dalam keadaan i (i = 0 ,1, 2,…) pada waktu n (n = 0,1,2,…).

2. Nama rantai Markov ini diambil dari nama Andrei Markov (1856-1922) yang pertama meneliti kelakuan proses stokastik tersebut setelah proses dalam selang waktu yang panjang.

3Prostok-5-firda

3. Peluang bersyarat pada (5.1) menggambarkan

histori keseluruhan, proses hanya tergantung

pada keadaan sekarang X(n)=i, bebas dari waktu lampau, 0,1,2,…,n-1.

Artinya, peluang bersyarat dari keadaan

“mendatang” hanya tergantung dari keadaan “sekarang” dan bebas dari keadaan “yang lalu”.

Sifat ini disebut sifat Markov atau Memory Less.4Prostok-5-firda

4. Peluang transisi dari keadaan i ke keadaan j ( ) persamaan (5.1) hanya bergantung pada waktu sekarang, secara umum.

ijp

Apabila peluang transisi bebas dari waktu n, maka disebut peluang transisi stasioner, dan rantai Markov disebut dengan

Rantai Markov dengan peluang transisi stasioner.

Rantai Markov Homogen.

dan disebut juga,

5Prostok-5-firda

5.2 Contoh Rantai Markov

1. Barisan bilangan bulat.2. Barisan variabel-variabel acak bernilai bilangan bulat yang saling bebas dan mempunyai distribusi peluang yang sama.

3. Random Walks yang didefinisikan sebagai

1

( ) , 1, 2,...n

ii

X n i

Random Walks adalah proses melangkah darisuatu objek di garis bilangan dimana objek itudapat bergerak ke kiri atau ke kanan.

6Prostok-5-firda

Akan ditunjukkan bahwa random walks (contoh 3)adalah rantai Markov.

Perhatikan random walks yang hanya dapat bergerakke kanan;

1

( ) , 1, 2,...n

ii

X n i

1 2 1( 1) | (1) , (2) ,..., ( 1) , ( )nP X n j X i X i X n i X n i 1 1 1

1 1 11 1 1 1

| , ..., ,n n n n

k k n k k nk k k k

P j i i i

1 1

1 1 1

|n n n

k k k nk k k

P j i

Sifat di atas berlaku untuk semua n dan kombinasi Jadi, adalah rantai Markov.

1

( ) , 1, 2,...n

ii

X n i

7

1 2, , ...,i i

1 , .n ni i

Prostok-5-firda

5.3 Matriks peluang transisi

Misalkan adalah rantai MarkovHomogen dengan ruang keadaan tak hingga,

( ) , 0,1, 2,...X n n

0,1, 2,...i maka

( 1) | ( )ijp P X n j X n i

menyatakan peluang transisi satu langkah dari keadaan i ke keadaan j .

8

(5.2)

Prostok-5-firda

Matriks peluang transisi satu langkah dari

0

dengan 0 dan 1 , 0,1, 2,...ij ijj

p p i j

00 01 02

10 11 12

20 21 22

...

...

...ij

p p p

p p pp

p p p

P

( ) , 0,1, 2,...X n n didefinisikan sebagai

9Prostok-5-firda

Dalam kasus ruang keadaan i berhingga, i=0,1,…,m

0

dengan 0 dan 1 , 0,1, 2,...,ij ijj

p p i j m

00 01 02 0

10 11 12 1

20 21 22 2

0 1 2

...

...

...

...

m

m

ij m

m m m mm

p p p p

p p p p

p p p p p

p p p p

P

Maka P berukuran ;m m

10Prostok-5-firda

Contoh:

00 01

10 11

0 1

1 0

p p

p p

P

1. Matriks peluang transisi untuk rantai markov dua keadaan :

2. Matriks peluang transisi untuk rantai markov dua keadaan secara umum :

11

00 01

10 11

1

1

p p a a

p p b b

P

Prostok-5-firda

1 10 0

2 21 1 1

03 3 31 1 1 1

4 4 4 40 0 1 0

P

3. Matriks peluang transisi untuk rantai markov empat keadaan :

12Prostok-5-firda

5.4 Diagram Transisi

Rantai Markov dapat direpresentasikan sebagai suatu graf dengan himpunan verteksnya ruangkeadaan dan peluang-peluang transisi digambarkansebagai himpunan sisi yang berarah dengan bobotsisi menyatakan peluanngya.

Graf yang merepresentasikan rantai Markov tersebut dinamakan diagram transisi dari rantai Markov tersebut.

13Prostok-5-firda

1. Diagram transisi dari contoh 1, dengan matriks peluang transisi

0 1

1

1

Catatan: lingkaran menyatakan state (keadaan), arah panah menyatakan peluang transisi dari keadaan i ke keadaan j.

0 1

1 0

P

Contoh :

14Prostok-5-firda

2. Diagram transisi dari contoh 2, dengan matriks peluang transisi

0 1

a

b

1

1

a a

b b

P

15

1-a 1-b

dimana 0 1,0 1,|1 | 1.a b a b

Prostok-5-firda

3. Misal di suatu daerah beredar dua sampo, yakni sampo A dan B. Suatu lembaga mengadakan survey penggunaan sampo, survey pertama mengatakan 40% orang daerah itu menggunakan sampo A dan 60 % menggunakan sampo B. Survey kedua mengatakan setiap minggunya, 15 % pengguna sampo A beralih ke B dan 5 % pengguna sampo B beralih ke A. Asumsikan jumlah pengguna sampo di daerah itu tetap. Buat mariks peluang transisi dan diagram transisi dari masalah tersebut.

16Prostok-5-firda

Misal ( )X n menyatakan sampo yang digunakan

setiap minggu ke-n. Maka rantai Markov ( )X n

dengan ruang parameter {1,2,…,n,…} dan ruang keadaan }.,{ BA

Matriks peluang transisinya:

0.85 0.15

0.05 0.95AA AB

BA BB

p p

p p

P

Jawab:

17Prostok-5-firda

18

A B

0.15

0.850.95

0.05

Diagram transisinya :

Prostok-5-firda

Latihan:

1. Seorang pemandu wisata yang berkantor di Jakarta bertugas mengantar wisatawan ke Bandung setiap minggunya. Jika diamati posisi pemandu wisata tersebut dalam 10 minggu seperti tabel berikut;

Mgg 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Kota J B B J B B J J B B J

19Prostok-5-firda

a. Tentukan matriks peluang transisi dari posisi si pemandu wisatab. Gambarkan diagram transisinyac. Tentukan peluang transisi pemandu wisata dari Jakarta ke Bandung!

2. Gambarkan diagram transisi untuk rantai Markov dengan matriks peluang transisi berikut

2/12/10

03/23/1

001

2

1

0

P

20Prostok-5-firda

3. Ada dua kotak A dan B. Kotak A berisi 2 bola putih dan kotak B berisi 2 bola hitam. Dilakukan percobaan mengambil 1 bola secara acak dari masing-masing kotak, kemudian dipertukarkan ke kotak lainnya. Percobaan ini dilakukan berulang kali. Asumsikan state ke i (i = 0, 1, 2) menyatakan jumlah bola hitam di kotak A.

a. Tentukan matriks peluang transisinya. b. Gambarkan diagram transisinya.

21Prostok-5-firda

4. Gambarkan diagram transisi untuk rantai Markov dengan matriks peluang transisi berikut

0 3 / 4 1/ 4 0 0

1 1/ 3 2 / 3 0 0.

2 0 0 1/ 2 1/ 2

3 0 1/ 3 1/ 3 1/ 3

a

P

22

0 0.4 0.6 0 0

1 0.2 0.8 0 0.

2 0 0 1 0

3 0 0 0.5 0.5

b

P

Prostok-5-firda

5. Seorang Dokter praktek di tiga klinik berbeda (“A”,”B”,”C”), dengan jadual praktek selama 15 hari ke depan seperti tabel berikut :

Hari 0 1 2 3 4 5 6 7

Klinik A B B C A C B A

23

Hari 8 9 10 11 12 13 14 15

Klinik A C B B C A B C

Prostok-5-firda

a. Tentukan matriks peluang transisi dari tempat praktek dokter tersebut.

b. Gambarkan diagram transisinya.

c. Tentukan peluang bahwa dokter tersebut tetap berpraktek di klinik “B”.

24Prostok-5-firda

25

5.5 Persamaan Chapman-Kolmogorov

Sebelumnya telah didefinisikan peluang transisi satu langkah pada persamaan (5.2),

( 1) | ( )ijp P X n j X n i

Selanjutnya akan ditentukan peluang proses yang berada pada keadaan i akan berada pada keadaan j setelah n transisi (peluang transisi langkah ke-n), kita nyatakan dengan .n

ijp

( ) | ( ) 0, , 0.nijp P X m n j X m i m i j

Prostok-5-firda

26 dimana adalah peluang awal.

( ), 0,1, 2,...X n n secara lengkap digambarkan dengan peluang inisial (awal) dan peluang transisi sebagai berikut:

0 1(0) , (1) ,..., ( ) nP X i X i X n i

0 1 1( ) | (0) , (1) ,..., ( 1)n nP X n i X i X i X n i

0 1 1. (0) , (1) ,..., ( 1) nP X i X i X n i

1 0 1 1. (0) , (1) ,..., ( 1)n ni i np P X i X i X n i

...

1 2 1 0 1 0... { (0) }n n n ni i i i i ip p p P X i

Sifat peluang rantai Markov

0(0)P X i

(5.3)

Prostok-5-firda

27

0 Misalkan menyatakan distribusi awal,

0 1(0) (0), (0),... ,

dengan (0) (0) 0, 0,1, 2,...j P X j j

merupakan peluang awal, sehingga

0

(0) 1.jj

Prostok-5-firda

28

Selanjutnya akan dihitung nijp melalui peluang

transisi ijp dengan 0 00, dan 1.ij iip i j p

Peluang transisi n langkah nijp dapat dihitung

dengan menjumlahkan semua peluang perpindahan dari keadaan i ke keadaan k dalam r langkah

nr 0 dan perpindahan dari keadaan k

ke keadaan k pada sisa waktu n-r.

Prostok-5-firda

29

( ) | (0)np P X n j X iij

( ) | (0) ( ) | ( )0

P X r k X i P X n j X r kk

1

r n rik kj

i

np p pij

Persamaan ini disebut persamaan Chapman-Kolmogorov.

Dalam bentuk matriks ditulis,( ) ( ) ( ).n r n rP P P

Prostok-5-firda

30

0

n r

r n

k

i

j

r

Interpretasi persamaan Chapman-Kolmogorov.Prostok-5-firda

31

Catat bahwa,(1)

ijp P P

Secara rekursif kita punya matriks peluang transisin-langkah:

( ) (1) ( 1) ( 1)

2 ( 2)

. .

.

...

n n n

n

n

P P P P P

P P

P

Artinya, matriks peluang transisi langkah ke-n diperoleh dari matriks dipangkatkan n. P

Sehingga kita punyai, .n r n rP P PProstok-5-firda

32

Seperti persamaan 1 2 1 0 1 0... { (0) },n n n ni i i i i ip p p P X i

maka peluang gabungan dapat dihitung melalui peluang awal (seperti distribusi awal ) dan peluang transisi (matriks P).

0

Misal, ( ) ( )j n P X n j

0

00i

iXPiXjnXP

0

0 , 0,1, 2,...ni ij

i

p j

merupakan peluang proses keadaan j pada waktu ke n.

Prostok-5-firda

33

Misal ,..., 10 nnn merupakan distribusi

n langkah, sehingga berlaku

0

( ) 1jj

n

maka

(0) .nn P

Prostok-5-firda

34

Dari contoh 3 subbab 5.4, tentukan distribusi pengguna sampo di daerah yang diteliti, lima minggu setelah survey berlangsung.

Jawab :

Contoh:

Tentukan distribusi awal; Dari survey pertama diperoleh ,

(0) [ 0.4 ,0.6]

Prostok-5-firda

35

Tentukan matriks peluang transisi 5 langkah ,

5

5 0.85 0.15 0.4958 0.5042.

0.05 0.95 0.1681 0.8319

P

Diperoleh distribusi pengguna sampo dalam lima minggu:

5(5) (0). P

0.4958 0.5042[0.4 ,0.6]

0.1681 0.8319

0.2992 0.7008 .

Prostok-5-firda

Soal

36

1. Diberikan matriks peluang transisi dari suatu rantai Markov,

0.6 0.4

0.8 0.2

P

Tentukan distribusi langkah ke-n, 0 1( ) [ ( ), ( )]n n n untuk n=2,4,8 jika diasumsikan distribusi inisial

(i) (0) [1,0]

(ii) (0) [ 0.5, 0.5]

(iii) (0) [2 / 3,1/ 3] Prostok-5-firda

37

2. Pandang matriks peluang transisi dari suatu rantai Markov,

0 1 0 0

1 1/ 3 2 / 3 0

2 0 1/ 2 1/ 2

P

2 3 4, , .P P P

(i) Buatkan diagram transisinya .

(ii) Tentukan

(iii) Tentukan nPProstok-5-firda