ESTIMASI INTERVAL KONFIDENSI UNTUK PROBABILITAS TRANSISI ... · PDF filePROBABILITAS TRANSISI...

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

i

ESTIMASI INTERVAL KONFIDENSI UNTUK

PROBABILITAS TRANSISI RANTAI MARKOV DISKRIT

Oleh

NUR ITSNAINI HASANAH

M0105054

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan

memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2011


commit to user

ii

SKRIPSI ESTIMASI INTERVAL KONFIDENSI UNTUK

PROBABILITAS TRANSISI RANTAI MARKOV DISKRIT

yang disiapkan dan disusun oleh

NUR ITSNAINI HASANAH

M0105054

dibimbing oleh

Pembimbing I,

Dra. Yuliana Susanti, M.Si NIP. 19611219 198703 2 001

Pembimbing II,

Drs. Pangadi, M.Si NIP. 19571012 199103 1 001

telah dipertahankan di depan Dewan Penguji

pada hari Senin tanggal 7 Februari 2011

dan dinyatakan telah memenuhi syarat.

Anggota Tim Penguji Tanda tangan

1. Drs. Sugiyanto, M.Si NIP. 19611224 199203 1 003 1.

2. Dra. Etik Zukhronah, M.Si NIP. 19661213 099203 2 001 2.

3. Drs. Muslich, M.Si NIP. 19521118 197903 1 001

3.

Surakarta, Maret 2011 Disahkan oleh Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Dekan,

Prof. Dr. Sutarno, M.Sc, Ph.D NIP. 19600809 198612 1 001

Ketua Jurusan Matematika,

Drs. Sutrima, M.Si NIP. 19661007 199302 1 001


commit to user

iii

ABSTRAK NUR ITSNAINI HASANAH, 2011, ESTIMASI INTERVAL KONFIDENSI

UNTUK PROBABILITAS TRANSISI RANTAI MARKOV DISKRIT

ABSTRAK. Rantai Markov diskrit adalah proses stokastik dengan ruang state dan ruang parameternya diskrit serta memenuhi sifat Markov. Rantai Markov ditentukan dengan probabilitas awal dan probabilitas transisi. Jika probabilitas transisi tidak diketahui maka perlu untuk membuat inferensi tentang probabilitas transisi dari data. Salah satu cara penyelesaian analisis statistik pada rantai Markov adalah membawa rantai Markov tersebut ke metode chi kuadrat yang diaplikasikan dalam kasus multinomial. Tujuan dari penulisan ini adalah menyajikan interval konfidensi untuk probabilitas transisi rantai Markov diskrit.

Hasil pembahasan menunjukkan bahwa interval konfidensi 100(1-a)% untuk 6�. ditentukan oleh UppLp ijijij ˆˆ ££ dengan Lpijˆ sebagai batas bawah

interval dan Upijˆ sebagai batas atas interval, untuk i, j = 1,2,…,r.

Kata kunci : interval konfidensi, probabilitas transisi, rantai Markov diskrit.


commit to user

iv

ABSTRACT NUR ITSNAINI HASANAH, 2011, CONFIDENCE INTERVAL FOR TRANSITION PROBABILITY FROM DISCRETE MARKOV CHAIN

ABSTRACT. The discrete markov chain is stochastic process whose state and parameter space are discrete and satisfies Markov property. It depends on initial state and transition probability. If the transition probability is unknown so it arises the problem of making inferences about them from data. One of the way to solve the statistical analysis of markov chain is to carry over the markov chain to the chi square methods which applied in the multinomial case. The aim of this task is to find confidence interval for transition probability from discrete markov chain.

The result shows that the 100(1-a)% confidence interval for transition probability 6�. is determined by UppLp ijijij ˆˆ ££ where Lpijˆ as lower bound and

Upijˆ as upper bound, for i, j = 1,2,…, r.

Key words: confidence interval, transition probability, discrete markov chain.


commit to user

v

PERSEMBAHAN

Karya tulis ini penulis persembahkan untuk

v Bapak Ibu dan keluarga yang penulis sayangi.

v Orang-orang yang memberi nasihat, saran, dan kritik pada penulis.


commit to user

vi

KATA PENGANTAR

Bismillahirrahmanirrahim.

Alhamdulillah, segala puji hanya bagi Allah ‘Azza wa Jalla yang telah

memberikan pertolongan dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan

skripsi ini. Semoga shalawat dan salam senantiasa tercurah kepada Nabi

Muhammad Shallallahu ‘alaihi wa Sallam, keluarga dan para shahabatnya. Pada

kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Ibu Dra. Yuliana Susanti, M.Si selaku pembimbing I atas bimbingan dan

arahannya dalam mengerjakan skripsi ini,

2. Bapak Drs. Pangadi, M.Si selaku pembimbing II atas bimbingan dan

arahannya,

3. NOVI MOTOR Kartasura, atas kesediaannya memberikan informasi yang

dibutuhkan penulis,

4. Semua pihak yang membantu dalam penyelesaian skripsi ini.

Penulis berharap semoga penulisan skripsi ini bermanfaat bagi pembaca.

Februari 2011

Penulis


commit to user

vii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ……………………………………………………….. i

PENGESAHAN ……………………………………………………………... ii

ABSTRAK ………………………………………………………………….. iii

ABSTRACT ………………………………………………………………….. iv

PERSEMBAHAN …………………………………………………………… v

KATA PENGANTAR ………………………………………………………. vi

DAFTAR ISI ………………………………………………………………... vii

DAFTAR SIMBOL …………………………………………………………. viii

BAB I PENDAHULUAN ……………………………………………………

1.1 Latar belakang Masalah ………………………………………………….

1.2 Rumusan Masalah ……………………………………………………….

1.3 Batasan Masalah …………………………………………………………

1.4 Tujuan dan Manfaat Penulisan …………………………………………..

BAB II LANDASAN TEORI ………………………………………………..

2.1 Tinjauan Pustaka …………………………………………………………

2.2 Kerangka Pemikiran ……………………………………………………..

1

1

2

3

3

4

4

12

BAB III METODE PENULISAN …………………………………………... 13

BAB IV PEMBAHASAN …………………………………………………...

4.1 Model Rantai Markov ……………………………………………………

4.2 Penduga Maksimum Likelihood …………………………………………

4.3 Distribusi Asimtotik dari Penduga 6�. …………………………………...

4.4 Interval Konfidensi untuk Probabilitas Transisi …………………………

4.5 Contoh Kasus …………………………………………………………….

14

14

15

17

19

22

BAB V PENUTUP …………………………………………………………..

5.1 Kesimpulan ………………………………………………………………

5.2 Saran ……………………………………………………………………..

26

26

26

DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………. 27

LAMPIRAN ………………………………………………………………… 28


commit to user

viii

DAFTAR SIMBOL

S : ruang sampel

W : ruang parameter

q : parameter

X : variabel random

x : nilai variabel random

f(x) : fungsi kepadatan probabilitas (probability density function) dari

variabel random X

F(x) : fungsi distribusi kumulatif dari variabel random X 归纵果囊,果挠, … ,果坡邹 : fungsi kepadatan probabilitas bersama dari variabel random 囊, … ,瓶归纵果挠|果囊邹 : fkp bersyarat dari 2x diberikan 1 = 果1 刮纵邹 : harga harapan dari X zϨ辊纵邹 : variansi dari X 固跪郭纵,光邹 : kovariansi dari X dan Y 怪铺纵棍邹 : fungsi pembangkit momen

L(q ) : fungsi likelihood ∇归(果,裹,过) : gradien 归纵果,裹,过邹 6�. : probabilitas transisi dari state i ke state j 6̂�. : penduga probabilitas transisi 滚�. : jumlah transisi dari state i ke state j


commit to user

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Proses stokastik merupakan cara untuk mempelajari hubungan dinamis

dari suatu runtun peristiwa atau proses yang kejadiannya bersifat tidak pasti.

Proses stokastik banyak digunakan untuk memodelkan perubahan dari sebuah

sistem yang mengandung ketidakpastian sehingga model deterministik tidak dapat

digunakan untuk menganalisis sistem tersebut.

Ross (1983) memberikan definisi proses stokastik }),({ TttX Î sebagai

barisan variabel random yang diberi indeks waktu t yang nilainya berubah-ubah

sesuai dengan himpunan indeks T. Nilai dari variabel random X(t) tersebut

dinamakan state pada saat t. Menurut Parzen (1962), proses stokastik parameter

diskrit { },...2,1,0),( =ttX atau proses stokastik parameter kontinu { }0),( ³ttX

disebut sebagai proses Markov jika untuk sembarang harga ntttt <<<< ...210

probabilitas bersyarat dari )( ntX diberikan )(),...,( 10 -ntXtX hanya bergantung

pada )( 1-ntX atau bisa dituliskan sebagai

])(,...,)()([ 1100 -- === nnnn xtXxtXxtXP = ])()([ 11 -- == nnnn xtXxtXP .

Pada dasarnya proses stokastik dikelompokkan berdasarkan sifat ruang

parameter dan sifat ruang state (state space). Berdasarkan sifat ruang

parameternya, proses stokastik digolongkan menjadi proses stokastik parameter

diskrit dan proses stokastik parameter kontinu. Berdasarkan sifat ruang state-nya,

proses stokastik digolongkan menjadi proses stokastik dengan ruang state diskrit

dan proses stokastik dengan ruang state kontinu.

Rantai Markov waktu diskrit TtX t Î,{ } adalah proses stokastik yang

mempunyai ruang state berupa himpunan berhingga atau terhitung dengan

himpunan indeks T = {0, 1, 2,…} yang memenuhi

],...,,[ 111100 -- ==== nnnn xXxXxXxXP = ][ 11 -- == nnnn xXxXP .


commit to user

2

Proses Markov dikatakan sebagai rantai Markov jika ruang statenya diskrit.

Probabilitas bersyarat ][ 1 iXjXP nn == - biasa disebut dengan probabilitas

transisi rantai Markov.

Jika probabilitas transisi tidak diketahui atau probabilitas transisi tersebut

merupakan fungsi dari parameter yang tidak diketahui maka perlu untuk membuat

inferensi tentang probabilitas transisi dari data empiris. Dalam statistik, inferensi

adalah proses penarikan kesimpulan tentang distribusi populasi berdasarkan

distribusi sampel yang diambil dari populasi tersebut. Salah satu cabang penting

dari inferensi statistik adalah estimasi (pendugaan) yang terdiri dari dua macam

yaitu estimasi titik dan estimasi interval. Tujuan estimasi titik adalah menduga

nilai parameter yang tidak diketahui. Estimasi titik sendiri tidak memberikan

informasi akurasinya. Estimasi interval diperlukan untuk mengetahui seberapa

dekat atau seberapa besar harapan estimasi titik itu mendekati nilai yang

sebenarnya. Selain itu, estimasi interval sendiri bisa digunakan dalam proses

pengambilan kesimpulan.

Dalam banyak literatur, kebanyakan para peneliti mengunakan metode

maksimum likelihood untuk mengestimasi probabilitas transisi rantai markov

sebagaimana dalam Spring 2009. Sulistyowati (2003) telah membahas tentang

estimasi titik dan uji hipotesis dalam rantai Markov. Oleh karena itu, dalam

skripsi ini akan dibahas mengenai interval konfidensi untuk probabilitas transisi

rantai Markov dan dikaji ulang tentang pendugaan probabilitas transisi rantai

Markov dengan metode maksimum likelihood.

1.2 Rumusan Masalah

Permasalahan yang dibahas dalam penulisan skripsi ini adalah bagaimana

menentukan interval konfidensi untuk probabilitas transisi rantai Markov diskrit.


commit to user

3

1.3 Batasan Masalah

Berdasarkan pada rumusan masalah di atas, pembahasan dalam skripsi ini

dibatasi pada penerapan metode maksimum likelihood dalam mengestimasi

probabilitas transisi rantai Markov orde satu dengan ruang state berhingga

(diskrit).

1.4 Tujuan dan Manfaat Penulisan

Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah mampu menyajikan interval

konfidensi untuk probabilitas transisi rantai Markov diskrit. Dengan tercapainya

tujuan ini, penulisan skripsi ini diharapkan dapat menambah pengetahuan tentang

inferensi statistik pada rantai Markov khususnya pada estimasi interval konfidensi

probabilitas transisinya.


commit to user

4

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Tinjauan Pustaka

Untuk mendukung pembahasan dalam skripsi ini dibutuhkan teori-teori

dasar berikut.

2.1.1. Ruang Sampel, Kejadian, Probabilitas dan Variabel Random

Beberapa definisi yang berkaitan dengan ruang sampel, kejadian,

probabilitas dan variabel random berikut diambil dari Bain dan Engelhardt (1992).

Definisi 2.1.1 Ruang sampel S dari suatu percobaan adalah himpunan semua

hasil (outcome) yang mungkin dari percobaan tersebut.

Definisi 2.1.2 Suatu kejadian (event) adalah sembarang subset dari hasil yang

termuat dalam ruang sampel.

Definisi 2.1.3 Probabilitas adalah kemungkinan terjadinya suatu peristiwa

diantara keseluruhan peristiwa yang mungkin terjadi.

Definisi 2.1.4 Variabel random X adalah suatu fungsi yang memetakan setiap

hasil yang mungkin e dalam ruang sampel S dengan bilangan real sedemikian

sehingga X(e) = x, x Î R.

Definisi 2.1.5 Jika himpunan semua nilai yang mungkin dari variabel random X

merupakan himpunan terhitung *囊, *挠, … , *坡 atau *囊, *挠, … maka variabel

random X disebut variabel random diskrit. Fungsi 纵*邹= 官[贯= *] untuk x = *囊, *挠, …disebut fungsi kepadatan probabilitas diskrit.

Definisi 2.1.6 Fungsi distribusi kumulatif dari variabel random X didefinisikan

untuk sembarang bilangan real dengan 瓜纵*邹= 官[贯≤ *]. Definisi 2.1.7 Variabel random X disebut variabel random kontinu jika fungsi

distribusi kumulatifnya bisa dinyatakan sebagai 瓜纵*邹= 董纵邹% 铺能捧 .

Definisi 2.1.8 Fungsi kepadatan probabilitas bersama dari variabel random

diskrit X = 纵贯囊, … , 贯坡邹 didefinisikan sebagai 纵*囊, *挠, … , *坡邹= 官[贯囊= *囊, 贯挠=*挠, … , 贯坡= *坡].


commit to user

5

Definisi 2.1.9 Jika 1X dan 2X merupakan variabel random diskrit atau kontinu

dengan fungsi kepadatan probabilitas bersama (*囊, *挠) maka fungsi kepadatan

probabilitas bersyarat dari 2x diberikan 1X = 1x didefinisikan sebagai 纵*挠|*囊邹= 坪纵铺前,铺潜邹坪纵铺前邹

untuk nilai-nilai 1x sedemikian sehingga 纵*囊邹> 0 dan nol untuk nilai yang lain.

Definisi 2.1.10 Jika X variabel random dengan fungsi kepadatan probabilitas

)(xf maka harga harapan (expected value) dari X didefinisikan sebagai 刮纵*邹= ∑*(*) jika X diskrit

刮纵*邹= 董 *(*)捧能捧 %* jika X kontinu

Definisi 2.1.11 Variansi dari variabel random X diberikan oleh

惯l辊纵*邹= 刮[(贯− 幌)挠]

Definisi 2.1.12 Kovariansi dari pasangan variabel random X dan Y didefinisikan

dengan

)])([(),( yx YXEYXCov mm --=

Definisi 2.1.13 Jika X variabel random maka

)()( tXX eEtM =

Disebut fungsi pembangkit momen dari X jika harga harapan ini ada untuk semua

nilai t dalam suatu interval hth <<- , untuk suatu h > 0.

2.1.2. Distribusi Multinomial

Definisi 2.1.10 (Lebanon, 2006)

Variabel random kXXX ,...,, 21 mempunyai distribusi multinomial dengan

parameter n dan kppp ,...,, 21 dengan 0³ip , 11

=å=

k

iip jika mempunyai fungsi

kepadatan probabilitas

kxk

xx

kk ppp

xxx

nxxf ...

...),...,( 21

2121

1 ÷÷ø

öççè

æ=

jika 0³ix dan nxk

ii =å

=1

dan nol untuk yang lain,


commit to user

6

dengan 足柜*囊*挠… *瓶卒= 坡!铺前!铺潜!…铺塞! . Distribusi multinomial digunakan ketika dipunyai sebuah percobaan dengan k

kemungkinan hasil, yang masing-masing terjadi dengan probabilitas ip .

Percobaaan diulang sebanyak n kali dan kXXX ,...,, 21 mengukur jumlah

kejadian masing-masing kelas (hasil). Karena terdapat n percobaan, maka

jumlah keseluruhan hasil adalah nxk

ii =å

=1

, dan karena probabilitas memperoleh

hasil i sebesar ip , maka 11

=å=

k

iip .

2.1.3. Distribusi Normal, Gamma dan Chi Kuadrat

Definisi berikut diambil dari Bain dan Engelhardt (1992).

Definisi 2.1.11 Suatu variabel random X mengikuti distribusi normal dengan

mean m dan variansi 2s jika mempunyai fungsi kepadatan probabilitas

2]/)[( 2

2

1),;( sm

spsm -= xexf

untuk ¥<<¥- x dengan ¥<<¥- m dan ¥<<s0 . Notasi yang menyatakan

X berdistribusi normal adalah X ~ ),( 2smN .

Definisi 2.1.12 Fungsi gamma dinotasikan dengan )(kG untuk semua k > 0,

didefinisikan sebagai

ò¥

--=G0

1)( dtetk tk .

Definisi 2.1.13 Variabel random X dikatakan berdistribusi gamma dengan

parameter k > 0 dan 0>q , jika mempunyai fungsi kepadatan probabilitas

ïî

ïíì

G=--

0)(

1),;(

1 q

qqxk

kex

kkxf untuk x > 0

untuk x yang lain.

Notasi khusus yang menunjukkan X berdistribusi gamma yaitu X ~ GAM ( k,q ).


commit to user

7

Definisi 2.1.14 Jika X ~ GAM ( 2,2 v ) maka variabel X dikatakan berdistribusi

2c dengan derajat bebas v dinotasikan dengan X ~ 2c (v).

Teorema 2.1.1 Jika X ~ 2c (v) maka

vXVar

vXE

ttM vx

2)(

)(

)21()( 2

==

-= -

Teorema 2.1.2 Jika )(~ 2ii vX c , i = 1,..., n, maka

)(~1

2

1åå==

=n

ii

n

ii vXY c .

Teorema 2.1.3 Jika )1,0(~ NZ maka )1(~ 22 cZ .

Teorema 2.1.4 (Teorema Limit Pusat) Jika nXX ,..,1 adalah sampel random

dari sebuah distribusi dengan mean m dan variansi 2s , maka distribusi limit

dari s

m

n

nXZ

n

ii

n

-=å=1 adalah distribusi normal standar, )1,0(~ NZZ d

n ¾®¾

untuk ¥®n .

Definisi 2.1.15 Misalkan ,..., 21 YY adalah deretan variabel random dengan fungsi

distribusi kumulatif ),...(),( 21 yGyG sedemikian sehingga untuk tiap n = 1, 2, ...

berlaku ][)( yYPyG nn £= . Jika untuk suatu fungsi distribusi kumulatif )( yG

berlaku )()(lim yGyGnn=

¥® untuk semua nilai y dan )( yG kontinu maka ,..., 21 YY

dikatakan konvergen dalam distribusi ke )(~ yGY yang dinotasikan dengan

YY dn ¾®¾ .

2.1.4. Metode Maksimum Likelihood

Metode maksimum likelihood adalah metode yang cukup sering digunakan

untuk menduga nilai parameter. Ide dasar metode ini adalah menggunakan sebuah


commit to user

8

nilai dari ruang parameter yang menghasilkan peluang terbesar untuk menduga

nilai parameter yang tidak diketahui. Berikut ini adalah beberapa definisi tentang

fungsi likelihood dan penduga maksimum likelihood yang dinyatakan oleh Bain

dan Engelhardt (1992).

Definisi 2.1.16 Fungsi kepadatan probabilitas bersama dari n variabel random

nXX ,..,1 yang diberi nilai nxx ,..,1 adalah );,..,( 1 qnxxf dan disebut sebagai

fungsi likelihood. Untuk nxx ,..,1 tetap, fungsi likelihood adalah fungsi dari q

yang dinotasikan dengan L(q ). Jika nXX ,..,1 adalah sampel random dari

);( qxf maka

L(q ) = );()...;( 1 qq nxfxf .

Definisi 2.1.17 Misalkan L(q ) = );,..,( 1 qnxxf , WÎq , merupakan fungsi

likelihood. Untuk suatu himpunan pengamatan { nxx ,..,1 }, nilai q̂ di dalam W

yang memaksimumkan L(q ) disebut penduga maksimum likelihood dari q . Jadi,

q̂ adalah nilai dari q yang memenuhi

);,..,( 1 qnxxf = );,...,( 1 qq nxxfmaks

WÎ.

2.1.5. Metode Pengali Lagrange

Metode Pengali Lagrange digunakan untuk mencari nilai maksimum atau

nilai minimum fungsi f(x, y, z) terhadap kendala g(x, y, z) = k. Langkahnya adalah

a. Menyelesaikan persamaan Lagrange

),,(),,( zyxgzyxf Ñ=Ñ l

konstanta l disebut pengali Lagrange.

b. Menghitung f di semua titik (x, y, z) yang dihasilkan dari langkah (a). Nilai

yang terbesar adalah nilai maksimum f, sedangkan nilai yang terkecil adalah

nilai minimum f.

(Dawkins, 2007 ).


commit to user

9

2.1.6. Statistik Cukup

Definisi 2.1.18 (Bain dan Engelhardt, 1992)

Suatu fungsi variabel random yang tidak bergantung pada parameter yang tidak

diketahui disebut statistik.


Misalkan X = ),..,( 1 nXX mempunyai fungsi kepadatan probabilitas bersama

);,..,( 1 qnxxf dan T = ),..,( 1 kTT adalah sebuah vektor statistik. T adalah statistik

cukup bersama untuk q jika fungsi kepadatan probabilitas bersyarat )(vf tV tidak

bergantung pada q , dengan V merupakan vektor statistik yang lain. Dalam kasus

satu dimensi cukup dikatakan bahwa T adalah statistik cukup untuk q .

Definisi 2.1.20 Kriteria Faktorisasi (Bain dan Engelhardt, 1992)

Jika X mempunyai fungsi kepadatan probabilitas bersama );,..,( 1 qnxxf dan T =

),..,( 1 kTT maka kTT ,..,1 merupakan statistik cukup bersama untuk q jika dan

hanya jika

),...,();();,..,( 11 nn xxhtgxxf qq =

dengan g(t;q) tidak bergantung pada nxx ,..,1 dan h( nxx ,..,1 ) tidak mengandung

q.

Menurut Laurence dan Chein-I Chang (1993), dalam model rantai Markov

bisa ditunjukkan bahwa state awal dan jumlah transisi membentuk suatu statistik

cukup dengan kriteria faktorisasi.

2.1.7. Interval Konfidensi untuk q


Misalkan nXX ,..,1 mempunyai fungsi kepadatan probabilitas bersama

);,..,( 1 qnxxf . Sedangkan L dan U adalah statistik dengan ),..,( 1 nXXlL = dan

),..,( 1 nXXuU = . Jika diketahui suatu data percobaan nxx ,..,1 , maka dipunyai

nilai pengamatan ),..,( 1 nxxl dan ),..,( 1 nxxu . Interval ( ),..,( 1 nxxl , ),..,( 1 nxxu )

dikatakan sebagai interval konfidensi 100( a-1 )% untuk q jika


commit to user

10

aq -=<< 1)],..,(),..,([ 11 nn XXuXXlP .

Nilai pengamatan ),..,( 1 nxxl dan ),..,( 1 nxxu disebut batas konfidensi bawah dan

atas.

Untuk menentukan interval konfidensi yang memperhitungkan semua

parameter digunakan interval konfidensi simultan. Dalam menentukan interval

konfidensi simultan, digunakan pertidaksamaan Bonferroni untuk

mempertimbangkan semua parameter secara simultan. Teknik perhitungan

interval konfidensi ini diperkenalkan oleh Goodman (Petrie, 1998).

2.1.8. Rantai Markov Diskrit

Menurut Taylor dan Karlin (1994), proses Markov adalah proses stokastik

yang mempunyai sifat jika diberikan nilai nX , nilai 1+nX tidak dipengaruhi oleh

nilai mX , untuk m < n. Secara formal, suatu proses dikatakan proses Markov jika

memenuhi sifat Markov yaitu

],,...,[ 11111 iXiXiXjXP nnnn ==== --+ = }{ 1 iXjXP nn ==+ .

Rantai Markov waktu diskrit adalah proses Markov yang mempunyai ruang

state berhingga atau terhitung dan himpunan indeks T = {0, 1, 2,…}. Probabilitas

1+nX akan berada pada state j dengan syarat nX berada pada state i disebut

probabilitas transisi satu langkah yang dinotasikan dengan 1, +nnijp .

}{ 11, iXjXPp nn

nnij === +

+ .

Notasi ini menyatakan bahwa secara umum, probabilitas transisi selain merupakan

fungsi state awal dan akhir, juga merupakan fungsi selang waktu. Jika probabilitas

transisi satu langkah independen terhadap variabel waktu n, maka dikatakan rantai

Markov mempunyai probabilitas transisi stasioner, sehingga 1, +nnijp = ijp , dengan

ijp adalah probabilitas bersyarat proses akan bergerak dari state i ke state j.

Untuk selanjutnya probabilitas transisi ini dinyatakan dengan bentuk matriks

berikut.


commit to user

11

P =

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

rrrr

r

r

ppp

ppp

ppp

21

22221

11211

dengan 0³ijp , 11

=å=

r

jijp i, j = 1,2,…,r.

Selain probabilitas transisi, rantai Markov juga ditentukan dengan

distribusi probabilitasnya (distribusi awal). Misalkan ipiXP == ][ 0 . Dengan

definisi probabilitas bersyarat diperoleh

],...,,[ 1100 nn iXiXiXP === = ],...,,[ 111100 -- === nn iXiXiXP

´ ],...,,[ 111100 -- ==== nnnn iXiXiXiXP .

Dari definisi proses Markov,

],...,[ 1100 -- === tnnn iXiXiXP = }{ 11 -- == nnnn iXiXP .

= nn iiP

1-.

Sehingga diperoleh

],...,,[ 1100 nn iXiXiXP === = ][ 00 iXP = ´ }{ 11 -- == nnnn iXiXP ´ … ´

}{ 0011 iXiXP ==

= 0i

p10iip ...

nn iip1-

.

Ini menunjukkan bahwa rantai Markov ditentukan oleh probabilitas di awal proses

dan probabilitas transisinya.

Suatu matriks probabilitas transisi P dikatakan regular jika matriks

tersebut dipangkatkan oleh suatu konstanta positif k maka matriks Pk seluruh

elemennya bernilai positif. Matriks peluang transisi yang demikian serta rantai

Markov yang berkaitan dengannya disebut regular. Hal yang penting dalam rantai

Markov regular adalah adanya limiting probability distribution p = ( )rppp ,...,, 21

dimana jp > 0 untuk j = 1, 2,…, r. dan 1=åj

jp . Secara formal, untuk matriks

probabilitas transisi regular terdapat konvergensi,


commit to user

12

0][lim 0 >===¥® jn

niXjXP p , untuk j = 1, 2,…, r .

Konvergensi di atas menyatakan bahwa dalam jangka waktu yang lama

(柜⟶ ∞), probabilitas proses berada di state j adalah jp , tanpa memperhatikan

dimana rantai tersebut berawal.

Beberapa definisi tentang sifat state rantai Markov berikut dinyatakan oleh

Ross (1983).

Definisi 2.1.22 State j dikatakan dapat dicapai dari state i , ji ® , jika terdapat

0³n sedemikian sehingga 0>nijp . Jika ji ® dan ij ® maka i dan j

dikatakan saling berkomunikasi, ditulis ji « .

Suatu rantai Markov dikatakan irreducible jika semua state-nya saling

berkomunikasi satu sama lain.

Definisi 2.1.23 Untuk sebarang i dan j, nijf menyatakan probabilitas dari state i

pertama kali tiba di j dalam n langkah, yang dinyatakan sebagai

}1,...,2,1,,Pr{ 0 iXnkjXjXf knn

ij =-=¹== .

Definisi 2.1.24 Suatu state i dikatakan recurrent jika 1=iif (probabilitas bahwa

i akan kembali ke i adalah 1) sedangkan state i dikatakan non-recurrent atau

transient jika 1<iif .

2.2 Kerangka Pemikiran

Berdasarkan pada tinjauan pustaka di atas, dapat disusun suatu kerangka

pemikiran dalam penulisan skripsi ini. Estimasi probabilitas transisi dapat

ditentukan dengan metode maksimum likelihood. Pengali Lagrange digunakan

untuk memaksimumkan fungsi likelihood. Setelah diketahui distribusi asimtotik

dari penduga probabilitas transisi, interval konfidensi untuk probabilitas transisi

rantai Markov bisa ditentukan dengan analog pada distribusi multinomial.


commit to user

13

BAB III

METODE PENULISAN

Dalam penulisan skripsi ini metode yang digunakan adalah studi literatur,

yaitu keseluruhan bahan untuk penelitian ini diambil dari buku-buku referensi

terutama yang berhubungan dengan proses stokastik (rantai Markov) dan inferensi

statistik khususnya tentang estimasi interval konfidensi.

Sesuai dengan tujuan penulisan, yaitu menyajikan interval konfidensi pada

rantai Markov diskrit, maka langkah-langkah yang ditempuh dalam penelitian ini

adalah

1. Mengkaji ulang penduga maksimum likelihood untuk probabilitas transisi

rantai Markov.

2. Mengkaji ulang distribusi asimtotik dari penduga ijp .

3. menentukan interval konfidensi simultan untuk probabilitas sel dalam

distribusi multinomial.

4. menentukan interval konfidensi untuk probabilitas transisi rantai Markov.


commit to user

14

BAB IV

PEMBAHASAN

Pada bab ini dibahas tentang penduga maksimum likelihood untuk

probabilitas transisi rantai Markov diskrit, sifat-sifat penduganya dan interval

konfidensinya.

4.1 Model Rantai Markov

Misalkan {Xk} adalah rantai markov dengan ruang state berhingga, dengan

ijp menyatakan probabilitas proses berada di state j pada waktu k dan berada di

state i pada waktu k – 1,

][ 1 iXjXPp kkij === - , untuk i, j =1, 2, …, r

dan probabilitas awal

][ 0 iXPpi == .

Misalkan x = },...,,{ 10 nxxx adalah sampel dari rantai Markov orde satu

dengan probabilitas transisi ijp dan probabilitas awal ip . Jika x adalah realisasi

dari variabel random X maka probabilitas bahwa X = x adalah

],...,,[ 1100 nn xXxXxXP ===

= ´== -- ],...,[ 1100 nn xXxXP ][ 11 -- == nnnn xXxXP

= ],...,[ 2200 -- == nn xXxXP . ][ 2211 ---- == nnnn xXxXP . ][ 11 -- == nnnn xXxXP

= ][ . ][ 001100 xXxXPxXP === … ][ 11 -- == nnnn xXxXP

= nn xxxxx ppp

1100...

-

= Õ === -

r

jinn jXiXPxXP

,100 ][ . ][

= Õr

jiijx pp

,0

.

Kemudian didefinisikan ijs adalah jumlah transisi dari state i ke j, maka


commit to user

15

],...,,[ 1100 nn xXxXxXP === = 0xp Õ

r

ji

sij

ijp,

. (4.1)

Berdasarkan definisi 2.1.20, persamaan (4.1) menunjukkan bahwa ijs dan

state awal membentuk suatu statistik cukup yaitu T = { ijsx ,0 } dengan

),...,( 1 nxxh = 1.

4.2 Penduga Maksimum Likelihood untuk ijp

Misalkan },...,,{ 10 nxxx adalah realisasi dari n + 1 variabel random.

Fungsi likelihood untuk sampel ini adalah

L(p) = ],...,,[ 1100 nn xXxXxXP === = 0xp Õ

r

ji

sij

ijp,

(4.2)

dengan ijs menyatakan jumlah transisi satu langkah dari state i ke j.

Fungsi log-likelihood dari persamaan (4.2) adalah

å+=r

jiijijx psppL

,

lnln)(ln0

. (4.3)

Untuk memperoleh estimasinya, persamaan (4.3) diturunkan terhadap ijp ,

diperoleh

ij

ij

ij p

s

ppL

=¶

¶ )(ln.

Jika persamaan di atas disamadengankan nol maka hasilnya akan menyatakan

bahwa estimasi probabilitas transisi bernilai ¥ . Oleh karena itu, digunakan

metode Pengali Lagrange untuk memaksimumkan ln L(p). Didefinisikan fungsi

tujuan dari permasalahan ini adalah memaksimumkan )(ln pL , dengan r

konstrain, 1=år

jijp , untuk masing-masing i, dan rlll ,...,, 21 sebagai konstanta

pengali Lagrange. Diperoleh fungsi baru,

M = ÷÷ø

öççè

æ-- åå

=

1)(ln1

r

jij

r

ii ppL l


commit to user

16

= ÷÷ø

öççè

æ--+ ååå

=

1lnln1,

0

r

jij

r

ii

r

jiijijx ppsp l

Untuk memaksimumkan fungsi )(ln pL , maka fungsi M di atas diturunkan

terhadap ijp dan il .

§ 0=¶M¶

ijp

0=- iij

ij

p

sl

i

ijij

sp

l=

§ 0=¶M¶

il

1=år

jijp

Karena persamaan konstrain,

1=år

j i

ijs

l Û i

r

jijs l=å

maka diperoleh penduga maksimum likelihood untuk ijp yaitu

å=

=r

jij

ijij

s

sp

1

ˆ .

Dengan demikian matriks estimasi probabilitas transisinya adalah

úúúúúúúúúúúú

û

ù

êêêêêêêêêêêê

ë

é

=

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

=

ååå

ååå

ååå

===

===

===

r

jrj

rrn

jrj

rr

jrj

r

r

jj

rr

jj

r

jj

r

jj

rr

jj

r

jj

rrrr

r

r

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

ppp

ppp

ppp

P

11

2

1

1

12

2

12

22

12

21

11

1

11

12

11

11

21

22221

11211

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

LMOMM

L

L

LMOMM

LL

.


commit to user

17

4.3 Distribusi Asimtotik dari Penduga ijp

Misalkan prosesnya dianggap stasioner, maka bisa diasumsikan bahwa

iki iXPp p=== ][ untuk semua k. Kemudian ip mengandung informasi tentang

probabilitas transisi ijp karena memenuhi persamaan å=

=r

kkuuu p

1

pp .

Menurut Sulistyowati (2003),

ii

n ns

p=÷øö

çèæ

¥®limp . (4.4)

Selanjutnya, persamaan (4.4) akan digunakan untuk mengetahui distribusi

asimtotik dari penduga ijp . Berikut ini penjelasan Billingsley (1960) tentang

distribusi asimtotik dari penduga ijp . Misalkan β = 6144, … ,14破, … ,1破4, … 1破破邹 adalah vektor parameter dan β穗= (1̂44, … , 1̂4破, … , 1̂破4, … 1̂破破) adalah vektor

penduga parameter dengan i

ijij s

sp =ˆ , maka 税滚�(β穗− β) konvergen dalam

distribusi ke distribusi normal dengan mean 0 dan matriks kovariansi S yang

komponennya diberikan oleh 晃� ,瓶评= 磺�瓶(磺评1� − 1� 1瓶评). (4.5)

dengan îíì

=0

1uvd

untuk u = v

untuk u ≠ v

Misalkan diketahui variabel random independen 1X dan inW (i = 1, 2,…, r

; n = 1, 2,…) sedemikian sehingga &揍贯4 = 轨租= 挥� dan ijin pjWP == ][ .

Selanjutnya variabel inW diilustrasikan dalam bentuk berikut

,...,...,,

............................

,...,...,,

,...,...,,

21

22221

11211

rnrr

n

n

WWW

WWW

WWW

.

Mula-mula 1X disampel. Misalkan diperoleh 1X = i, maka variabel pertama baris

ke-i disampel, hasilnya 2X . Misalkan 2X = j, maka variabel pertama pada baris

ke-j disampel, hasilnya 3X , dan seterusnya. Kemudian 2X didefinisikan sebagai


commit to user

18

11xW dan seterusnya sampai 1+nX didefinisikan sebagai nxnW . Pengilustrasian di

atas bisa ditulis

}12,,{}11,{ 111 1+££===+££= --

nkxWxXnkxX kkxkk k.

Karena variabel-variabel tersebut independen, maka

}{}...{}{}11,{ 12111 1 +====+££= nnaakk awPawPaxPnkaxPn

= 1ap

21aap ...1+nnaap .

Sehingga jelas bahwa, untuk i tetap, ),...,( 1 iri ss adalah jumlah transisi untuk

),...,( 1 iisi ww . Karena si dekat dengan inp (berdasarkan persamaan (4.4)), maka

),...,( 1 iri ss bisa dibandingkan dengan ),...,( 1 iri ff yang merupakan jumlah transisi

dari ),...,( ][1 inii ww p . Karena masing-masing baris inw independen, kemudian

berdasarkan teorema limit pusat untuk percobaan multinomial, variabel random

i

ijiijij

n

pnf

p

pg

][-= akan berdistribusi normal asimtotik dengan matriks kovariansi

yang diberikan oleh persamaan (4.5). Selanjutnya, variabel random

i

ijiijij

n

pss

pg

-=' akan mempunyai distribusi limit yang sama dengan ijg karena

n

pss

n

pnf ijiijijiij --

- ][ p

konvergen dalam probabilitas ke 0 pada saat n ® ∞. Kemudian, berdasarkan

persamaan (4.4), variabel Fij = )ˆ( bb -is mempunyai distribusi limit yang sama

dengan 黄� 烛. Hal ini bisa dibuktikan dengan uraian berikut.

Variabel 瓜� = 税滚�(慌谆− 慌) bisa dinyatakan dengan 瓜� = 黄� 烛收税气腮税魄腮/坡寿. 瓜� = 税滚� 足魄腮鳃魄腮− 1� 卒

= 税滚� 足魄腮鳃魄腮− 魄腮颇腮鳃魄腮卒

= 税魄腮魄腮试滚� − 滚�1� 守. 税坡气腮税坡气腮


commit to user

19

= (魄腮鳃能魄腮颇腮鳃)税坡气腮 . 税坡气腮税魄腮 = 黄� 烛收税气腮税魄腮/坡寿

Karena (滚�/柜) 颇→挥�, maka 瓜� dan 黄� 烛 mempunyai distribusi yang sama.

4.4 Interval Konfidensi untuk Probabilitas Transisi

Salah satu cara sistematis untuk menyelesaikan analisis statistik pada

rantai Markov adalah membawa rantai Markov tersebut ke metode chi kuadrat

yang diaplikasikan dalam kasus multinomial. Oleh karena itu, sebelum membahas

interval konfidensi untuk probabilitas transisi rantai Markov, terlebih dahulu

dibahas tentang interval konfidensi untuk parameter multinomial (dalam hal ini

adalah probabilitas sel).

4.4.1 Interval Konfidensi untuk Parameter Multinomial

Distribusi multinomial digunakan untuk situasi dimana terdapat lebih dari

2 hasil yang mugkin pada setiap percobaan. Dengan kata lain, untuk n percobaan

independen, terdapat k hasil yang mungkin yang masing-masing memiliki

probabilitas.

Sebelum menurunkan interval konfidensi simultan, digunakan

pertidaksamaan Bonferroni untuk mempertimbangkan semua parameter secara

simultan. Untuk masing-masing parameter yang tak diketahui ip , i = 1, 2, …, k,

ada interval ( uili pp , ), masing-masing dengan koefisien konfidensi ka

. Anggap Ei

adalah kejadian dimana ( uili pp , ) mengandung ip . Sehingga iE merupakan

komplemen dari Ei , atau kejadian dimana ( uili pp , ) tidak mengandung ip .

Probabilitas iE menjadi

kEP i

a=][ untuk i = 1, 2, …, k. (4.6)

Untuk memperoleh interval konfidensi simultan, semua kejadian Ei harus

terjadi secara simultan. Sehubungan dengan probabilitas simultan semua kejadian

dan komplemennya, diperoleh


commit to user

20

]...[1]...[ 11 kk EEPEEP ÈÈ-=ÇÇ

dan jelas bahwa &揍刮呻4 ∪ …∪ 刮呻瓶租≤ &揍刮呻4租+ … + &揍刮呻瓶租.

Sehingga

&揍刮4 ∩ …∩刮瓶租≥ 1 − 6&揍刮呻4租+ … + &揍刮呻瓶租邹. (4.7)

Dengan mensubstitusikan persamaan (4.6) ke persamaan (4.7), bisa disimpulkan

bahwa &揍刮4 ∩ …∩刮瓶租≥ 1 − 荒.

Hasil di atas menyatakan bahwa untuk parameter yang tak diketahui 14, … ,1瓶 ,

jika ( 11, ul pp ),…,( uklk pp , ) adalah interval konfidensi 100[1-ka

]% untuk tiap ip ,

i = 1, 2, …, k, maka probabilitas paling sedikit (1 - a) bahwa interval konfidensi

ini secara simultan mengandung kpp ,...,1 .

Untuk menurunkan interval konfidensi, masing-masing parameter ip , i =

1, 2, …, k diperlakukan sebagai sebuah variabel random binomial. Pendekatan

normal untuk variabel binomial menyatakan

npp

ppZ

ii

ii

)1(

)ˆ(

--

= ~ Za/2 (0,1).

Dengan mengkuadratkan variabel di atas, diperoleh

)1( ~)1(

)ˆ( 22

2ac

ii

ii

pp

ppnZ

--

= (4.8)

dengan )1(2ac adalah batas atas (1-a) dari distribusi chi kuadrat dengan derajat

bebas satu.

Pertidaksamaan Bonferroni diterapkan pada variabel chi kuadrat untuk

memperhitungkan semua parameter secara simultan. Persamaan (4.8) ditulis

kembali menjadi 柜(1̂� − 1�)挠= 悔崎,4挠 1�(1 − 1�).

Persamaan di atas kemudian diberlakukan untuk semua parameter (1�,…,1瓶) dan 荒 diganti dengan 崎瓶 . Sehingga diperoleh


commit to user

21

)1()ˆ( 21,/

2iikii ppppn -=- ac untuk semua i = 1, 2, …, k. (4.9)

Persamaan (4.9) diuraikan menjadi 柜61̂�挠− 21�1̂� + 1�挠邹= 悔汕塞,4挠 1� − 悔汕塞,4挠 1�挠

柜1̂�挠− 2柜1�1̂� + 柜1�挠= 悔汕塞,4挠 1� − 悔汕塞,4挠 1�挠

收柜+ 悔汕塞,4挠寿1�挠+ (− 2柜1̂� − 悔汕塞,4挠 )1� + 柜1̂�挠= 0

Sehingga diperoleh interval konfidensi untuk probabilitas multinomial yaitu

)(2

)ˆ)((4)ˆ2()ˆ2(2

1,/

221,/

221,/

21,/

k

ikkikiui n

pnnpnpnp

a

aaa

c

ccc

+

+---+---= sebagai batas

atas interval dan

)(2

)ˆ)((4)ˆ2()ˆ2(2

1,/

221,/

221,/

21,/

k

ikkikili n

pnnpnpnp

a

aaa

c

ccc

+

+-------= sebagai batas

bawah interval.

4.4.2 Interval Konfidensi untuk Probabilitas Transisi Rantai Markov Diskrit

Interval konfidensi untuk probabilitas transisi rantai Markov ditentukan

dengan analog pada distribusi multinomial. Misalkan {Xk} adalah rantai markov

dengan ruang state berhingga, dengan ijp menyatakan probabilitas proses berada

di state j pada waktu k dan berada di state i pada waktu k – 1.

Diketahui matriks jumlah transisi S berikut

S =

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

rrrr

r

r

sss

sss

sss

...

...

...

21

22221

11211

MOMM.

Matriks di atas bisa dituliskan dalam bentuk tabel berikut.


commit to user

22

State 1 2 … r Jumlah

1 11s 12s … rs1 =å=

r

jjs

11 1s

2 21s 22s … rs2 =å=

r

jjs

12 2s

M M M … M M

r 1rs 2rs … rrs =å=

r

jrjs

1rs

Karena 11

=å=

r

jijp , maka interval konfidensi 100(1-a)% untuk probabilitas transisi

1� bisa ditentukan dengan

)1()ˆ( 21,/

2ijijrijiji pppps -=- ac untuk i, j = 1, 2, …, r

yang mempunyai penyelesaian

)(2

)ˆ)((4)ˆ2()ˆ2(ˆ

21,/

221,/

221,/

21,/

ri

ijiririjiriji

ij s

psspspsUp

a

aaa

c

ccc

+

+---+---= (4.10)

sebagai batas atas interval dan

)(2

)ˆ)((4)ˆ2()ˆ2(ˆ

21,/

221,/

221,/

21,/

ri

ijiririjiriji

ij s

psspspsLp

a

aaa

c

ccc

+

+-------= (4.11)

sebagai batas bawah interval.

4.5 Contoh Kasus

Dianggap bahwa penjualan dan pembelian mobil menurut jenis badan

mobil memenuhi sifat Markov. Artinya seseorang memutuskan untuk membeli

mobil berdasarkan bentuk badan mobil yang dia miliki sebelumnya. Jenis badan

mobil yang diamati adalah sedan, pick up, dan wagon (kijang). Data diperoleh

dari hasil penjualan dan pembelian mobil dalam satu tahun terakhir (tahun 2009 –

2010) dari dealer mobil NOVI MOTOR Kartasura yang melayani penjualan mobil

dengan cara tukar tambah. Data disajikan dalam tabel berdasarkan pada model

badan (body) mobil berikut.


commit to user

23

Mobil yang

dibeli

Mobil yang

dijual

Jumlah

Pick up Pick up 48

Pick up Sedan 13

Pick up Wagon 11

Sedan Pick up 36

Sedan Sedan 35

Sedan Wagon 47

Wagon Pick up 37

Wagon Sedan 13

Wagon Wagon 36

Misalkan state 1 untuk mobil jenis pick up, state 2 untuk sedan, dan state 3 untuk

wagon. Misalkan ijs menyatakan jumlah konsumen yang mengganti mobil i

dengan mobil j, untuk i, j = 1, 2, 3. Nilai dari ijs dapat dinyatakan dalam tabel

berikut.

1(pick up) 2(sedan) 3(wagon) is

1(pick up) 48 13 11 72

2(sedan) 36 35 47 118

3(wagon) 37 13 36 86

js 121 61 94 276

Jika diasumsikan bahwa perpindahan jenis badan mobil dianggap stabil maka

dapat ditentukan estimasi probabilitas transisi dengan

å=

=r

jij

ijij

s

sp

1

ˆ . Matriks

estimasi probabilitas transisi untuk masalah ini adalah


commit to user

24

P = 饰1̂44 1̂4挠 1̂4脑1̂挠4 1̂挠挠 1̂挠脑1̂脑4 1̂脑挠 1̂脑脑室 =冈赣赣赣赣敢

4872 1372 117236118 35118 471183786 1386 3686 缸钢钢钢钢刚 = 饰0,6667 0,1805 0,15280,3051 0,2966 0,39830,4302 0,1152 0,4186室.

Dari matriks di atas, dapat dilihat bahwa pembeli yang mempertahankan mobil

jenis pick up sekitar 66,67%, yang menukar mobil jenis pick up dengan sedan

18,05%, yang menukar pick up dengan wagon 15,28%, dan seterusnya.

Untuk menentukan interval konfidensi 95 % untuk probabilitas transisi 1� , digunakan persamaan (4.10) dan (4.11). Dengan 7311,52

1,3/05,0 =c , diperoleh

- untuk i = 1,

)7311,5(2

)ˆ)(7311,5(4)7311,5ˆ2()7311,5ˆ2(,ˆ

1

21111

2111111

11 ++---±---

=s

psspspsLUp

)7311,5(2

)ˆ)(7311,5(4)7311,5ˆ2()7311,5ˆ2(,ˆ

1

21211

2121121

12 ++---±---

=s

psspspsLUp

)7311,5(2

)ˆ)(7311,5(4)7311,5ˆ2()7311,5ˆ2(,ˆ

1

21311

2131131

13 +

+---±---=

s

psspspsLUp

- untuk i = 2,

)7311,5(2

)ˆ)(7311,5(4)7311,5ˆ2()7311,5ˆ2(,ˆ

2

22122

2212212

21 ++---±---

=s

psspspsLUp

)7311,5(2

)ˆ)(7311,5(4)7311,5ˆ2()7311,5ˆ2(,ˆ

2

22222

2222222

22 ++---±---

=s

psspspsLUp

)7311,5(2

)ˆ)(7311,5(4)7311,5ˆ2()7311,5ˆ2(,ˆ

2

22322

2232232

23 +

+---±---=

s

psspspsLUp

- untuk i = 3,

)7311,5(2

)ˆ)(7311,5(4)7311,5ˆ2()7311,5ˆ2(,ˆ

3

23133

2313313

31 +

+---±---=

s

psspspsLUp

)7311,5(2

)ˆ)(7311,5(4)7311,5ˆ2()7311,5ˆ2(,ˆ

3

23233

2323323

32 +

+---±---=

s

psspspsLUp


commit to user

25

)7311,5(2

)ˆ)(7311,5(4)7311,5ˆ2()7311,5ˆ2(,ˆ

3

23333

2333333

33 +

+---±---=

s

psspspsLUp

Hasilnya ditunjukkan pada tabel berikut.

ijp ijp̂ Interval konfidensi 95 %

Batas bawah Batas atas

11p 0,6667 0,525822 0,845322

12p 0,1805 0,097001 0,335877

13p 0,1528 0,077405 0,301632

21p 0,3051 0,21462 0,433725

22p 0,2966 0,207268 0,424434

23p 0,3983 0,297546 0,533172

31p 0,4302 0,310731 0,595603

32p 0,1152 0,055897 0,237418

33p 0,4186 0,300271 0,583559

Dari hasil yang diperoleh, terlihat bahwa dengan tingkat kepercayaan 95%,

jumlah pembeli yang tetap mempertahankan mobil jenis pick up sekitar

52,5822% sampai dengan 84,5322%, yang menukar pick up dengan sedan 9,7%

sampai dengan 33,5877%, dan seterusnya.


commit to user 26

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan pada bab sebelumnya, dapat diambil kesimpulan

bahwa interval konfidensi 100(1-a)% untuk probabilitas transisi Z�6 ditentukan oleh

UppLp ijijij ˆˆ ££ , dengan

)(2

)ˆ)((4)ˆ2()ˆ2(ˆ

21,/

221,/

221,/

21,/

ri

ijiririjiriji

ij s

psspspsUp

a

aaa

c

ccc

+

+---+---=

sebagai batas atas interval dan

)(2

)ˆ)((4)ˆ2()ˆ2(ˆ

21,/

221,/

221,/

21,/

ri

ijiririjiriji

ij s

psspspsLp

a

aaa

c

ccc

+

+-------=

sebagai batas bawah interval, untuk i, j = 1, 2, …, r.

5.2 Saran

Dalam penulisan skripsi ini, pembahasan mengenai interval konfidensi pada

rantai Markov didasarkan pada analogi dari distribusi multinomial. Sebagai saran,

penentuan interval konfidensi bisa juga ditentukan dengan metode bootstrap atau

metode yang lainnya.

ESTIMASI INTERVAL KONFIDENSI UNTUK PROBABILITAS TRANSISI ... · PDF filePROBABILITAS TRANSISI...

Documents

Transcript of ESTIMASI INTERVAL KONFIDENSI UNTUK PROBABILITAS TRANSISI ... · PDF filePROBABILITAS TRANSISI...