Pendekatan Rantai Markov Waktu

Diskrit dalam Perencanaan

Kebutuhan Tempat Tidur

Rumah Sakit

Oleh:

Enjela Puspadewi

1207 100 026

Abstrak Rumah sakit adalah institusi pelayanan kesehatan yang

menyelenggarakan pelayanan kesehatan perorangan secara paripurna yang

menyediakan pelayanan rawat inap, rawat jalan dan gawat darurat.

Perencanaan sistem inventaris rumah sakit khususnya pada pengelolaan

jumlah tempat tidur di bagian rawat inap sangat dibutuhkan agar

pengelolaan rumah sakit dapat berjalan secara optimal. Jumlah tempat

tidur yang kurang memadai akan membuat pasien yang membutuhkan

perawatan ditolak dan menimbulkan daftar tunggu rumah sakit semakin

panjang serta membuat tingkat kepuasan pasien semakin menurun.

Pendekatan DTMC adalah salah satu metode yang dapat digunakan

dalam perencanaan kebutuhan tempat tidur rawat inap rumas sakit.

Metode ini menghasilkan peramalan jumlah penggunaan tempat tidur

lebih baik dari hasil peramalan menggunakan metode Box-Jenkins karena

memiliki MAPE hasil peramalan yaitu 21.982 yang lebih kecil

dibandingkan peramalan menggunakan metode Box-Jenkins yang sebesar

26.44

• Kata kunci: Rantai Markov, transient inpatient inventory, metode Box-

Jenkins

Latar Belakang

Rumah sakit adalah institusi pelayanan kesehatan

yang menyelenggarakan pelayanan kesehatan

perorangan secara paripurna yang menyediakan

pelayanan rawat inap, Rawat jalan dan gawat darurat

Seiring dengan bertambahnya jumlah penduduk akan

meningkatkan

jumlah pasien unit rawat inap

Sehingga dibutuhkan suatu perencanaan jumlah

Tempat tidur yang baik agar pemanfaatan

Inventaris (tempat tidut) berjalan optimal

Pendekatan rantai Markov waktu diskrit adalah

Salah satu metode yang dapat digunakan dalam

Perencanaan jumlah tempat tidur rumah sakit

Rumusan Masalah

1. Bagaimana mendapatkan rumusan model rantai

Markov waktu diskrit untuk meramalkan jumlah

kebutuhan tempat tidur rumah sakit.

2. Bagaimana perbandingan hasil peramalan tempat

tidur rumah sakit dengan pendekatan DTMC dan

metode Box-Jenkins

Batasan Masalah1. Sistem yang diteliti adalah bagian rumah sakit yang melayani jasa rawat

inap.

2. Obyek yang diteliti adalah jumlah tempat tidur unit rawat inap.

3. Studi kasus dilakukan pada unit rawat inap umum di Ruang III Rumah Sakit

Haji Umum Surabaya.

4. Data rumah sakit yang digunakan adalah data sekunder mengenai jumlah

tempat tidur rumah sakit, rata-rata laju kedatangan pasien dan bedoccupancy rate (BOR) dan laju pelayanan (LOS) rawat inap ruang III Rumah

Sakit Umum Haji Surabaya.

5. Satu tempat tidur hanya dapat digunakan oleh satu pasien untuk satu kali

pelayanan.

6. Perilaku pasien selama mengantri diabaikan.

7. Pasien yang datang ketika semua tempat tidur sedang terpakai tidak

diperbolehkan masuk dalam sistem.

8. Penyakit yang diderita pasien selama dirawat diabaikan.

Tujuan Penelitian1. Mendapatkan model DTMC untuk meramalkan

jumlah tempat tidur yang optimal untuk rumah

sakit.

2. Membandingkan peramalan menggunakan

DTMC dengan metode Box-Jenkins

Manfaat Penelitian

1. Diperolehnya pengalokasian dan penggunaan tempat tidur

yang optimal sehingga dapat meningkatkan pelayanan

pasien rawat inap.

2. Memberikan metode pendukung keputusan dalam hal

menetapkan jumlah tempat tidur yang optimal untuk jasa

perencanaan rumah sakit.

Discrete Time Markov Chain

Proses Markov adalah salah satu bagian dari proses statistik

yang hanya bergantung pada satu langkah (state)

sebelumnya dan tidak bergantung pada langkah-langkah

historis.

Definisi:

Suatu proses stokastik waktu diskrit disebut

memiliki sifat markov jika

Metode Box-Jenkins (ARIMA)

•Metode peramalan Box-Jenkins adalah suatumetode untuk meramalkan data dengan analisisderet berkala.•Metode ini juga sering disebut sebagai metode

ARIMA (Autoregresive Integrated Moving Average)yang menggabungkan dua model yaitu modelautoregresive dan model moving average.• Langkah-langkah dalam peramalan dengan metode

Box-Jenkins adalah1. Identifikasi2. Estimasi dan Penguji3. Pengujian Diagnostik

1. Studi pendahuluan dan studi literatur

2. Pengumpulan data

3. Menentukan model peramalan jumlah tempat tidur

menggunakan pendekatan DTMC

4. Pengolahan data

5. Analisis hasil penyelesaian dan penarikan

kesimpulan

Metodologi Penelitian

Pembentukan Model DTMCProbabilitas Transisi

(1)

Dengan pdf XG1 dan XG2

(2)

(3)

Pembentukan Model DTMC

Persamaan (1), persamaan (2) dan persamaan (3) dapat

dituliskan kembali menurut empat kondisi yang

diakibatkan oleh perubahan batas indeks dari jumlahan

persamaan (1)., seperti pada gambar berikut

Gambar 1

Pembentukan Model DTMCDari gambar 1 diperoleh rumusan probabilitas X(t+1)

sbb:

•Untuk kondisi ke-1 P(X(t+1)=j|X(t)=i)

•Untuk kondisi ke-2 P(X(t+1)=j|X(t)=i)

Pembentukan Model DTMC

• Untuk kondisi ke-3 P(X(t+1)=j|X(t)=i)

• Untuk kondisi ke-4 P(X(t+1)=j|X(t)=i)

(4)

Pembentukan Model DTMC

Dari fungsi probabilitas pada persamaan 4 dapat

dibuat matriks probabilitas transisi satu langkah

Selanjutnya dicari matriks probabilitas ∆t langkah

dengan rumus

(5)

Pembentukan Model DTMC

Dari persamaan (5) maka ekspektasi nilai X(t+∆t)

adalah

Dengan C adalah

BulanJumlah tempat

tidurJumlah pasien

Laju pelayanan

(dalam bulan)

Januari 24 103 0.178

Februari 24 94 0.229

Maret 24 119 0.200

April 24 122 0.183

Mei 24 96 0.206

Juni 24 84 0.227

Juli 24 104 0.197

Agustus 24 83 0.229

September 24 84 0.190

Oktober 24 87 0.190

November 24 92 0.197

Desember 24 101 0.174

Pengolahan Data Menggunakan

DTMC

Dari tabel tersebut, data disubstitusikan ke persamaan (4)

kemudian dibuat matriks probabilitas satu langkah perbulan

.

Matriks transisi

Selanjutnya setelah disubstitusikan pada persamaan (5)

didapatkan nilai ekspektasi jumlah kebutuhan tempat tidur

untuk tahun 2010 sebagai berikut

BulanJumlah

Ekspektasi

Januari 21.496

Februari 20.259

Maret 20.055

April 19.847

Mei 20.252

Juni 20.462

Juli 20.354

Agustus 23.934

September 22.613

Oktober 24.275

November 22.427

Desember 23.669

Pengolahan Data dengan Box-

JenkinsLangkah awal dalam peramalan menggunakan metode

Box-Jenkins adalah membuat plot time series

Dari plot time series tersebut terlihat bahwa data tidak

stasioner terhadap varian, sehingga dilakukan

transformasi Box-Cox.

Index

tt

454035302520151051

23

22

21

20

19

18

17

16

15

Time Series Plot of tt

Dari tabel signifikansi dan residul white

noise diperoleh model yang memenuhi

adalah mode.l (1 0 0)Bulan Jumlah tempat tidur

Januari 23.356

Februari 23.233

Maret 23.110

April 22.988

Mei 22.866

Juni 22.746

Juli 22.626

Agustus 22.506

September 22.387

Oktober 22.269

November 22152

Desember 22035

Bulan Data aktual

Data ramalan

dengan

DTMC

Data ramalan

dengan Box-

Jenkins

Januari 17.290 21.4961 23.356

Februari 19.613 20.259 23.233

maret 20.388 20.055 23.110

April 19.601 19.847 22.988

Mei 20.453 20.252 22.866

Juni 20.033 20.462 22.746

Juli 19.613 20.354 22.626

Agustus 17.419 23.934 22.506

September 13.334 22.613 22.387

Oktober 16.001 24.275 22.269

November 18.199 22.427 22.152

Desember 16.387 23.669 22.035

MAPE 21.982 26.444

Kesimpulan1. Rumusan model untuk peramalan jumlah penggunaan

tempat tidur adalah

dengan adalah matriks probabilitas ∆t langkah

dengan rumusan

Ph adalah matriks probabilitas pada periode ke-h

Dengan setiap elemen dari matriks transisi adalah probabilitas

transisi seperti pada persamaan 4.

Kesimpulan

2. Hasil perhitungan MAPE peramalan menggunakan

pendekatan DTMC adalah 21.982 dan hasil

perhitungan MAPE peramalan menggunakan metode

Box-Jenkins adalah 26.444, sehingga untuk kasus ini

hasil peramalan dengan pendekatan DTMC lebih baik

daripada peramalan menggunakan Box-Jenkins

Saran1. Pada tugas akhir ini studi kasus yang diambil memiliki

jumlah sampel yang masih relatif kecil, oleh karena

itu pada penelitian selanjutnya dapat diaplikasikan

untuk kelas rumah sakit yang lebih besar.

2. Pada tugas akhir ini perhitungan probabilitas transisi

masih dilakukan secara manual, sehingga diharapkan

pada penelitian selanjutnya dapat dibuat suatu

program yang dapat memudahkan proses perhitungan

probabilitas, terutama jika jumlah sampel yang diambil

relatif besar.

Daftar Pustaka• Allen, L.J.S. 2003. an Introduction to Stochastic Processes with Application

to Biology. New Jersey : Pearson Education,inc

• Bain, L.J. and Engelhardt,M.1991. Introduction to Probability and Mathematical Statistics.California:Duxbury Press

• Broyles, James R,Jeffery K. Cochran, Douglas C. Montgomery. 2010. a Statistical Markov Chain Approximation of Transient Hospital Inpatient Inventory. European Journal of Operation Research

• Lasono, Eka Sigi. 2009. Model Antrian dan Pengaturan Fasilitas Rawat Inap (Tempat Tidur) di Rumah Sakit.Surabaya: Tugas Akhir, Jurusan

Matematika ITS

• Makridakis, Spyros, Steven C.W,Victor E. McGee. 1995. Metode dan Aplikasi Peramalan. Jakarta: Erlangga

• Muna, Lailil. 2007. Usulan Perbaikan Kualitas Pelayanan Rawat Inap Rumah Sakit Islam Surakarta Menggunakan Model Servqual dan Analisis Faktor: Tugas Akhir, Jurusan Teknik Industri Uniersitas Sebelas Maret

Surakarta

• Ross, S.M.1996.Stochastic Processes second edition.Canada: john Wiley &

Sons

•