7. RANTAI MARKOV WAKTU KONTINU

(Kelahiran&Kematian Murni)

1Prostok-7-firda

Definisi

Misal

2

( ) | ( ) , ( ) ( ), 0P X t s j X s i X u x u u s

( ) , 0X t t proses stokastik dengan waktu kontinu dan ruang keadaan diskrit .SJika untuk

( ) | ( )P X t s j X s i

, 0,s t

maka proses disebut rantai Markov waktu kontinu.

, ,i j S

Prostok-7-firda

3

7.1 Proses Kelahiran Murni

Definisi 1 (Shunji Osaki)Jika proses menghitung adalahrantai Markov dengan peluang transisi stasionerdan memenuhi:

( ), 0N t t

1. (0) 0N

2. ( ( ) ( ) 1 | ( ) ) ( )kP N t h N t N t k h o h 3. ( ( ) ( ) 2 | ( ) ) ( )P N t h N t N t k o h

maka proses dinamakan proses kelahiran murnidengan parameter , 0,1, 2,...k k

Prostok-7-firda

4

1

4

3

2

t

( )N t

Realisasi proses kelahiran murni sebagai proses menghitung.

Prostok-7-firda

5

Tulis peluang transisi stasioner:

( ) ( ) | (0) ( , 0,1,2,...)ijP t P N t j N i i j

merupakan peluang transisi dari state i ke state j.

Dengan kondisi awal (0) 0,N maka

( ) ( ) | (0) 0 ( 0,1,2,...)kP t P N t k N k

(menyatakan peluang bahwa ada k kejadian yang terjadi pada interval (0,t].

Prostok-7-firda

6

0)(0 htNPhtP

0)()(,0)( tNhtNtNP

0)()(0)( tNhtNPtNP

)()( 00 hPtP

0 0( )(1 ( ))P t h o h

kenaikanbebas

kenaikanstasioner

Sifat (2),(3)

0 0 0( ) ( ) ( )P t hP t o h

Untuk k = 0,

Prostok-7-firda

7

Dari bentuk

0 0 0 0( ) ( ) ( )P t h P t hP t o h

0 00 0

( ) ( )' lim

h

P t h P tP t

h

diperoleh :

0 00

( )lim ( )h

o hP th

0 0 0'( ) ( )P t P t

0 (0) 1P Dengan syarat awal

0 ( ) .tP t Ce

00 ( ) .tP t e

Prostok-7-firda

8

khtNPhtPk )(

( ) , ( ) ( ) 0

( ) 1, ( ) ( ) 1

( ) 2, ( ) ( ) 2

P N t k N t h N t

P N t k N t h N t

P N t k N t h N t

1 1( )(1 ( )) ( )( ( )) ( )k k k kP t h o h P t h o h o h

)()()()()( 110 hohPtPhPtP kk

( ( ) ) ( ( ) 0) ( ( ) 1) ( ( ) 1)( ( ) 2) ( ( ) 2)

P N t k P N h P N t k P N hP N t k P N h

Untuk 1,k

Prostok-7-firda

9

0

( ) ( )' lim k kk h

P t h P tP t

h

1 1(1 ) ( ) ( ) ( )k k k k kP t h h P t hP t o h

atau

Dari sini diperoleh :

1 1( ) ( )k k k kP t P t

1 1' ( ) ( ) ( )k k k k kP t P t P t

Atau ditulis, PDB linear

1 10

( ) ( ) , 1, 2,...k k

tt x

k k kP t e e P x dx k

(*)

Prostok-7-firda

10

Jika i j untuk i j maka persamaan (*)

memberikan hasil

00 ( ) .tP t e

0 11 0

1 0 0 1

1 1( ) .t tP t e e

00 1 1 0, ,( ) ... ... , 1kt t

k k k k kP t B e B e k

( ) ( ) | (0) 0kP t P N t k X

dimana

(1)

(2)

(3)

Prostok-7-firda

11

0,1 0 0

1 ,...k

k

B

,0 1 1

1 ,... ...i k

i i i i i k i

B

,0 1

1 ....k k

k k k

B

Prostok-7-firda

12

Teorema 1

Untuk proses kelahiran murni denganparameter

( ), 0N t t , 0,1, 2,... ,k k

Waktu antar kedatangan (waktu antar kelahiran)

1 0,1,2,...kX k

saling bebas dan berdistribusi eksponensialdengan parameter 1/ .k kmean

Prostok-7-firda

13

Teorema 2

Untuk proses kelahiran murni denganparameter

( ), 0N t t , 0,1, 2,... ,k k

0

( ) 1 0,kk

P t t

jika dan hanya jika 0

1 .k k

Prostok-7-firda

14

1. Proses Poisson yang mempunyai laju kelahiran konstan, , 0.n n

7.2 Contoh Proses Kelahiran Murni

Dalam hal ini,

( ) , 0,1, 2,...!

k t

k

t eP t k

k

dimana, laju kelahiran per unit waktu

( ( ))E N t t jumlah kelahiran yang diperkirakan ( ( )) 1/E X t rata rata kelahiran

Prostok-7-firda

15

Contoh Pada kantor catatan sipil, pengeluaran akte kelahiran mengikuti proses Poisson dengan laju 5,5 akte/jam.

Tentukan:a. Peluang tidak ada akte yang dikeluarkan dalam 1 jam.b. Jika dalam periode 3 jam dikeluarkan 35 akte, tentukan peluang pengeluaran akte pada 1 jam terakhir jika telah dikeluarkan 25 akte pada 2 jam pertama.

c. Tentukan peluang bahwa selang waktu antara pengeluaran akte ke 4 dan akte ke 5 tidak lebih dari ½ jam.

Prostok-7-firda

16

0 5,55,55,5

.0!

ee

a. Peluang tidak akte yang dikeluarkan dalam 1 jam.

b. (3) 2 35 25 (1) 10P N N P N

0 (1) ( (1) 0)P P N

( )N t

Misal

Jumlah akte yang dikeluarkan dalam waktu t.

10 5,5

10

5,5(1) .

10!e

P

Prostok-7-firda

17

( ) 1 ( ) 1 ( ( ) 0) 1 tk kP X t P X t P N t e

c. Jika waktu antar pengeluaran akte = X(t)

5 5

5,5(0,5)

2,75

( 0,5) 1 ( 0,5)1 ( (0,5) 0)

1

1 .

P X P XP N

e

e

Prostok-7-firda

18

Contoh

Sebuah proses kelahiran murni dengan N(0)=0 yang mempunyai parameter

0 1 21, 3, 2.

Tentukan ( ), 0,1, 2kP t k

Jawab:

Untuk k=0,1, gunakan persamaan (1),(2) slide 12.

0 1.0 ( ) .t t tP t e e e

Prostok-7-firda

19

0 11 0

1 0 0 1

1 1( ) .t tP t e e

31 11 .3 1 1 3

t te e

31 .2

t te e

30

1 ( ) .2

tP t e

Prostok-7-firda

20

0 1 22 0 1 0,2 1,2 2,2( ) t t tP t B e B e B e

Untuk k=2, gunakan persamaan (3) slide 12,

0,21 0 2 0

1 1 1 ,(3 1)(2 1) 2

B

dimana

1,20 1 2 1

1 1 1 ,(1 3)(2 3) 2

B

2,20 2 1 2

1 1 1.(1 2)(3 2)

B

Prostok-7-firda

21

Sehingga,

3 22

1 1( ) 1(3)2 2

t t tP t e e e

3 23 22

t t te e e

Prostok-7-firda

22

2. Proses Yule

Jika menyatakan jumlah populasi pada saat t, maka

( )N t

( ), 0N t t adalah proses kelahiran murni

dengan laju , 0.n n n

Prostok-7-firda

23

1. Sebuah proses kelahiran murni dengan N(0)=0 yang mempunyai parameter

0 1 2 32, 3, 1, 4.

( ), 0,1, 2,3.kP t k Tentukan

Soal latihan

Prostok-7-firda

24

Sebuah proses Yule dengan imigrasi yang mempunyai parameter kelahiranuntuk k=0, 1, 2,… dimana merupakan kelajuan imigrasi dalam populasi dan β sebagai kelajuan kelahiran individu. Asumsikan bahwa N(0)=0, Tentukan

k k

2 ( ).P t

2.

Prostok-7-firda

Contoh Proses Kelahiran Murni

Kelahiran bayi mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata satu kelahiran 12 menit.Tentukan :

a)Rata-rata kelahiran per tahun.b)Peluang tidak adanya kelahiran dalam satu hari.c)Peluang pengeluaran 50 akte kelahiran diakhir

periode yang terdiri dari 3 jam dengan diketahui bahwa 40 akte dikeluarkan dalam 2 jam pertama.

d)Asumsikan pegawai memasukkan data akte kelahiran ke komputer setelah terkumpul 5 akte kelahiran. Berapa peluang pegawai akan memasukkan sekumpulan data baru setiap jam.

25Prostok-7-firda

Jawab :Misal menyatakan banyaknya kelahiran. ( )N t

1( ) ( ) ( ( )) 12 .X t EXP E X t menit

( )X t menyatakan waktu antar kelahiran.

a) rata-rata kelahiran per tahun ( )E N t1 60 24 12012

kelahiran per hari.

1 365

( ) 120 365 43.800t tahun hari

E N t t

Jadi rata-rata kelahiran bayi 43.800 bayi/tahun. 26Prostok-7-firda

27

b) Peluang tidak ada kelahiran perhari

( ) , 0,1, 2,...

!

k t

k

t eP t k

k

0 120120

0

1, 0, 120

120(1) 0.

0!

t k

eP e

Jadi dalam satu hari mustahil tidak ada kelahiran.

Prostok-7-firda

28

c) Peluang pengeluaran 50 akte di akhir periode (3jam), dengan diketahui ada 40 akte di 2 jam pertama.

1010(1) 10 (1) , 5

10!e

P N P

(3) (2) 50 40 , 12 / 5 /P N N menit jam

10 550,01813.

10!e

Jadi pengeluaran 10 akte pada 1 jam terakhir kira kira 1,8%. Prostok-7-firda

29

d) Jika data akte di entri setelah terkumpul 5 data akte, berapa peluang pegawai akan mengentri sekumpulan data baru setiap jam?

( ) 5 1 ( ) 5P N t P N t Minimal 5 data akte k=0,1,2,3,4,5

0 1 2 3 41 (1) (1) (1) (1) (1)P P P P P 0 1 2 3 4

5 5 5 5 5 510! 1! 2! 3! 4!

e

0,559.

Jadi kemungkinan pegawai akan mengentri setiapjam setelah terkumpul paling sedikit 5 data akteadalah 60%.

Prostok-7-firda

30

7.3 Proses Kematian Murni

Definisi 1 (Shunji Osaki)

Jika proses stokastik adalahrantai Markov dengan peluang transisi stasioner,ruang keadaan , memenuhi:

( ), 0X t t

1. (0)X n

2. ( ( ) ( ) 1 | ( ) ) ( )kP X t h X t X t k h o h 3. ( ( ) ( ) 2 | ( ) ) ( )P X t h X t X t k o h

maka proses dinamakan proses kematian murnidengan parameter , 1, 2,..., .k k n

, 0,1, 2,...,k k n

Prostok-7-firda

31

1

4

3

2

t

( )X t

Realisasi proses kematian murni

Prostok-7-firda

32

Tulis peluang transisi dengan kondisi awal

( ) ( ) | (0) ( 0,1, 2,...)kP t P N t k X n k

(menyatakan peluang bahwa ada k unit yang tersisa pada interval (0,t].

(0) ,X n

Seperti proses kelahiran murni, dengan persamaan Kolmogorov diperoleh:

' ( ) ( )n n nP t P t'

1 1( ) ( ) ( ) ( 1, 2,..., 1)k k k k kP t P t P t k n

'0 1 1( ) ( )P t P t

Prostok-7-firda

33

Khusus jika ( 1, 2,..., ) , (0) 1,k nk n P

(0) 0 ( 1, 2,..., 1),kP k n maka

( ) , ( 1, 2,..., )!

n k t

k

t eP t k n

n k

0

1 1

( ) 1 ( ) 1!

n k tn n

kk k

t eP t P t

n k

dan

1

0

1!

k tn

k

t ek

Prostok-7-firda

34

Jika parameter kematian berbeda untuk setiap k,artinya

k,k j k j maka

( ) N tNP t e

Untuk ,n N

( ) ( ) | (0)nP t P X t n X N

1 2 , ,... ...n Nt tn n N n n N nA e A e

dimana

,1 1

1( )...( )( )...( )k n

N k k k k k n k

A

Prostok-7-firda

7.4 Contoh Kematian Murni

1. Sebuah toko bunga memiliki persediaan 18 lusin bunga mawar setiap awal pekan, rata-rata toko tersebut menjual 3 lusin mawar per hari, dengan permintaan yang mengikuti distribusi Poisson. Ketika persediaan mencapai 5 lusin, pesanan baru akan ditempatkan di awal pekan selanjutnya. Semua mawar yang tersisa di akhir pekan akan dibuang.

35Prostok-7-firda

• Tentukan:

a)Peluang mawar yang tersisa paling banyak 5 lusin.

b)Peluang persediaan habis dalam waktu 3 haric)Rata-rata (lusin) mawar yang tersisa di akhir hari

keduad)Peluang tidak ada mawar yang terjual selama

hari pertama

36Prostok-7-firda

Jawab:

N banyak mawar di awal pekan = 18 lusin

laju permintaan = 3 per hari

( ) , ( 1, 2,..., )!

N n t

n

t eP t n N

N n

•Peluang n unit yang tersisa selama periode t :

0

1

( ) 1!

N n tn

k

t eP t

N n

37Prostok-7-firda

a) Peluang mawar tersisa paling banyak 5 lusin

5

0 1 2 3 4 5

( ) 5 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

nP N t P t

P t P t P t P t P t P t

18 183 318 5

1 1

3 31

18 ! 18 !

n it t

n i

t e t en i

18 318

6

31

18 !

n t

n

t en

38Prostok-7-firda

39Prostok-7-firda

35 (2) 9,3213 10nP

45 (1) 3,116 10nP

5 (3) 0,124768nP

5 (4) 0, 4243nP

5 (5) 0,7323nP

5 (6) 0,9085nP

5 (7) 0,9754nP

b) Peluang persediaan habis dalam waktu 3 hari

Jadi, peluang persediaan habis dalam 3 hari adalah 0,00608

40

c) Rata-rata (lusin) mawar yang tersisa di akhir hari kedua

Tabel berikut meringkas perhitungan dengan diketahui µt=6

Jadi, rata-rata kurang dari 12 lusin mawar yang tersisa di akhir hari kedua

n 0 1 … 18

Pn(2) 3,932x10-5 1,1796x10-4 2,4787x10-3

41Prostok-7-firda

d) Peluang tidak ada mawar yang terjual pada hari pertama

Jadi, peluang tidak ada mawar yang terjual pada hari pertama adalah 0,049 (4,9%).

42Prostok-7-firda

43

Contoh Proses Kematian Murni

2. Suatu proses kematian murni dimulai dari X(0)=3, dengan parameter kematian

0 1 2 30, 3, 2, 5.

Tentukan ( ), 0,1, 2,3.nP t untuk n

Prostok-7-firda

44

Jawab:

untuk n=0,

0 ( ) ( ) 0 | (0) 3P t P X t X

0 31 21 2 3 0,0 1,0 2,0 3,0

t tt tA e A e A e A e

dimana:

0,03 0 2 0 1 0

1( )( )( )

A

1 1(5 0)(2 0)(3 0) 30

Prostok-7-firda

45

1,03 1 2 1 0 1

1 1 1( )( )( ) 2( 1)( 3) 6

A

2,03 2 1 2 0 2

1 1 1( )( )( ) 3.1.( 2) 6

A

3,02 3 1 3 0 3

1 1 1( )( )( ) ( 3)( 2)( 5) 30

A

Jadi0 3 2 5

01 1 1 1( ) 3.2.530 6 6 30

t t t tP t e e e e 3 2 51 5 5t t te e e

Prostok-7-firda

46

untuk n=1,

1 ( ) ( ) 1| (0) 3P t P X t X

31 22 3 1,1 2,1 3,1

tt tA e A e A e

dimana:

1,13 1 2 1

1 1 1 .( )( ) 2( 1) 2

A

2,13 2 1 2

1 1 1 .( )( ) 3.1 3

A

Prostok-7-firda

47

3,12 3 1 3

1 1 1 .( )( ) ( 3)( 2) 6

A

Jadi

3 2 51

1 1 1( ) 2.52 3 6

t t tP t e e e

3 2 510 1053 6

t t te e e

Prostok-7-firda

48

untuk n=2,

2 ( ) ( ) 2 | (0) 3P t P X t X

323 2,2 3,2

ttA e A e

dimana:

2,23 2

1 1 .( ) 3

A

3,22 3

1 1 .( ) 3

A

Prostok-7-firda

49

Jadi

2 52

1 1( ) 53 3

t tP t e e untuk n=3,

3 ( ) ( ) 3 | (0) 3P t P X t X

3te 5 .te

Prostok-7-firda

50

Definisi (Shunji Osaki)

Jika proses stokastik adalahrantai Markov dengan peluang transisi stasioner ,dan memenuhi:

1. (0)X i

3. ( ( ) ( ) 1| ( ) ) ( )kP X t h X t X t k h o h ( , ) | ( )4. ( ) ( )dua atau lebih kejadian terjadi pada t t h X t kP o h

maka proses dinamakan proses kelahiran dan kematian dengan parameter

PROSES KELAHIRAN DAN KEMATIAN

( ), 0X t t

2. ( ( ) ( ) 1| ( ) ) ( )kP X t h X t X t k h o h

1{ , , 0,1,2,3,....}k k k

51

1

4

3

2

t

( )X t

Realisasi proses kelahiran dan kematian

Prostok-7-firda

Prostok-7-firda 52

( ) ( ) | (0) ( , 0,1,2,...)ijP t P N t j N i i j

merupakan peluang transisi dari state i ke state j .

Misal

Dengan menggunakan persamaan Chapman-Kolmogorov

0 ( ) 0 | ( )iP t h P X t h X t i

0

1

2

( ) ( ) ( ) 0 | ( ) 0

( ) ( ) ( ) 1| ( ) 1

( ) ( ) ( ) | ( )

i

i

ikk

P t P X t h X t X t

P t P X t h X t X t

P t P X t h X t k X t k

0 0 1 1( )[1 ( )] ( )[ ( )] ( )i iP t h o h P t h o h o h

53

Dengan menyusun ruas kiri dan kanan serta mengambil h 0 diperoleh

'0 0 0 1 1( ) ( ) ( )i i iP t P t P t

( ) | ( )ijP t h P X t h j X t i

1

1

11, 1

( ) ( ) ( ) 0 | ( )

( ) ( ) ( ) 1| ( ) 1

( ) ( ) ( ) 1| ( ) 1

( ) ( ) ( ) | ( )

ij

ij

ij

ikkk j k j

P t P X t h X t X t j

P t P X t h X t X t j

P t P X t h X t X t j

P t P X t h X t j k X t k

, 1 1 , 1 1( )[ ( )] ( )[1 ( ) ( )] ( )[ ( )] ( )i j j ij j j i j jP t h o h P t h o h P t h o h o h

Secara umum

Prostok-7-firda 54

t t+h0

i

j+1

j

j-1

j

1 ( )j h o h

1 ( )j h o h

1 ( ) ( )j j h o h o(h)

o(h)

Dengan menyusun ruas kiri dan kanan serta mengambil h 0 diperoleh

'1 , 1 1 , 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1,2,...ij j i j j j ij j i jP t P t P t P t j

Prostok-7-firda 55

Blok Diagram Proses Kelahiran dan Kematian

( )ioP t

0 1

1( )iP t

1j j

( )ijP t

1 2 j1j

Contoh : Proses pertumbuhan linear

1, ( 1) , 0,1,2,....k kk k k Sehingga

'0 1 1( ) ( )i iP t P t'

, 1 , 1( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ), 1,2,...ij i j ij i jP t j P t jP t j P t j

56

Nilai rata-rata pada saat t

0

( ) ( ( )) ( )ijj

M t E X t jP t

'jika persamaan ( )dikalikan dgn pada kedua ruasijP t j

dan dijumlahkan terhadap j diperoleh

'( ) ( ) ( )M t M t

Dengan nilai awal M(0) = i , dgn asumsi X(0) = i

( )( ) tM t ie

jika t

0, ( )lim ( ) , ( )

, ( )t

M t i

(*)

Prostok-7-firda 57

Bukti (*)

', 1 , 1( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( )ij i j ij i jP t j P t jP t j P t

'jika persamaan ( )dikalikan dgn pada kedua ruasijP t j

dan dijumlahkan terhadap j diperoleh

', 1 , 1

0 0 0 0

( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( )ij i j ij i jj j j j

jP t j j P t j jP t j j P t

2, 1

0 0 0

2

0

Misal 1 1

( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

i j ik ikj k k

ijj

k j j k

j j P t k k P t k k P t

j j P t

Nyatakan suku pertama dalam Pij(t)

58

2, 1

0 1 0

2

0

Misal 1 1

( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

i j ik ikj k k

ijj

k j j k

j j P t k k P t k k P t

j j P t

', ,

0 0 0 0

, ,0 0 0

( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ij i j ij i jj j j j

i j i j ijj j j

jP t j j P t j jP t j j P t

j P t j P t jP t

'( ) ( ) ( )M t M t

atau

Nyatakan suku ketiga dalam Pij(t)

sehingga

Prostok-7-firda 59

Distribusi