4-1 Proses Bernoulli (1) - · PDF fileJumlah hasil dimana 2 ... (2) Contoh : P(X) = F(x) - F...

10/7/2004 TI-2131 Teori Probabilitas - DI 1

Proses BernoulliDistribusi Binomial Distribusi GeometrikDistribusi HipergeometrikProses & Distribusi PoissonPendekatan untuk Distribusi Binomial

Distribusi Variabel Random Diskrit4


Percobaan Bernoulli adalah percobaan yang memenuhikondisi-kondisi berikut:

1. Satu percobaan dengan percobaan yang lain independen. Artinya, sebuah hasil tidak mempengaruhi muncul atautidak munculnya hasil yang lain.

2. Setiap percobaan memberikan dua hasil yang mungkin, yaitu sukses* dan gagal. Kedua hasil tersbut bersifatmutually exclusive dan exhaustive.

3.Probabilitas sukses, disimbolkan dengan p, adalah tetapatau konstan. Probabilitas gagal, dinyatakan dengan q, adalah q = 1-p.

* Istilah sukses dan gagal adalah istilah statistik yang tidak memiliki implikasi positif atau negatif.

4-1 Proses Bernoulli (1)


Proses Bernoulli (2)

Beberapa distribusi yang dilandasi oleh prosesBernoulli adalah :Distribusi binomial, Distribusi geometrik, danDistribusi hipergeometrik.

(termasuk kategori tersebut adalah distribusimultinomial dan negatif binomial).


Distribusi Binomial (1)

Sebuah variabel random, X, menyatakan jumlahsukses dari n percobaan Bernoulli dengan p adalahprobabilitas sukses untuk setiap percobaan, dikatakan mengikuti distribusi (diskrit) probabilitas binomial dengan parameter n(jumlah sukses) dan p (probabilitas sukses). Selanjutnya, variabel random X disebut variabelrandom binomial.


Sebuah sistem produksi menghasilkan produk dari dua mesin A dan B dengan kecepatan yang sama. Diambil 5 produk dari lantai produksidan nyatakan X sebagai jumlah produk yang dihasilkan dari mesin A.

Ada 25 = 32 urutan yang mungkin sebagai output dari mesin A dan B (sukses dan gagal) yang membentuk ruang sample percobaan. Diantara hasil tersebut, ada 10 hasil yang memuat tepat 2 produk dari mesin A (X=2):

AABBB ABABB ABBAB ABBBA BAABB BABAB BABBA BBAAB BBABA BBBAA

Probabilitas 2 produk dari mesin A dari 5 produk yang diambil adalah p2q3 = (1/2)2(1/2)3=(1/32), probabilitas dari 10 hasil tersebut adalah :

P(X = 2) = 10 * (1/32) = (10/32) = 0.312510 (1/32)

Jumlah hasil dimana 2dihasilkan dari mesin A

Probabilitas bahwa sebuah hasilmemiliki 2 produk dari mesin A



P(X=2) = 10 * (1/32) = (10/32) = .3125Perhatikan bahwa probabilitas tersebut dihasilkan dari:

Secara umum:

1. Probabilitas dari xsukses dari n percobaandengan probabilitassukses p dan probabili-tas gagal q adalah:

pxq(n-x) nCxnx

nx n x=

⎛⎝⎜⎞⎠⎟=

−!

!( )!

2. Jumlah urutan dari n percobaanyang menghasilkan tepat x suksesadalah jumlah pilihan x elemendari total n elemen:


10 (1/32)Jumlah hasil dimana 2dihasilkan dari mesin A

Probabilitas bahwa sebuah hasilmemiliki 2 produk dari mesin A


1.00

)!(!! n

)!3(!3

! 3

)!2(!2! 2

)!1(!1! 1

)!0(!0! 0

)(

)3(3

)2(2

)1(1

)0(0

nnn

n

n

n

n

qpnnn

n

qpnn

qpnn

qpnn

qpnn

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

MM

Distribusi probabilitas binomial :

dimana :p probabilitas sukses sebuah percobaan,q = 1-p,n jumlah percobaan, danx jumlah sukses.

P xnx

p q nx n x p qx n x x n x( ) !!( )!

( ) ( )=⎛⎝⎜⎞⎠⎟

=−

− −


Jumlah Probabilitas P(x)sukses x


n=5p

x 0.01 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99

0 .951 .774 .590 .328 .168 .078 .031 .010 .002 .000 .000 .000 .000

1 .999 .977 .919 .737 .528 .337 .187 .087 .031 .007 .000 .000 .000

2 1.000 .999 .991 .942 .837 .683 .500 .317 .163 .058 .009 .001 .000

3 1.000 1.000 1.000 .993 .969 .913 .813 .663 .472 .263 .081 .023 .001

4 1.000 1.000 1.000 1.000 .998 .990 .969 .922 .832 .672 .410 .226 .049

a F(h) P(h)

0 0.031 0.031

1 0.187 0.156

2 0.500 0.313

3 0.813 0.3134 0.969 0.1565 1.000 0.031

1.000

Distribusi probabilitaskumulatif binomial dan

distribusi probabilitas variabelrandom binomial A, jumlahproduk yang dihasilkan olehmesin A (p=0.5) dalam 5

produk yang diambil.

313.500.813.

)2()3()3(:Contoh

1)-F(x - F(x) = P(X)

)()()(

=−=−=

=≤= ∑≤

FFP

iPxXPxFxiall

Penentuan nilai probabilitas dariprobabilitas kumulatif



F x P X x P i

F P X

all i x( ) ( ) ( )

( ) ( ) .

= ≤ =

= ≤ =

≤∑

3 3 002

n=15p

.50 .60 .700 .000 .000 .0001 .000 .000 .0002 .004 .000 .0003 .018 .002 .0004 .059 .009 .001

... ... ... ...

60% dari produk yang dihasilkan adalah sempurna. Sebuahsample random sebanyak 15 diambil. Berapa probabilitasbahwa paling banyak ada tiga produk yang sempurna?



Distribusi Binomial (7) - Excel


X = jumlah produk sempurna dari sebuah sample random berjumlah 15 produk

Distribusi Binomial n = 15, p = 0.6

X P(X = x) P(X <= x)

0 0.000001 0.0000011 0.000024 0.0000252 0.000254 0.0002793 0.001649 0.0019284 0.00742 0.0093485 0.024486 0.0338336 0.061214 0.0950477 0.118056 0.2131038 0.177084 0.3901879 0.206598 0.596784

10 0.185938 0.78272211 0.126776 0.90949812 0.063388 0.97288613 0.021942 0.99482814 0.004702 0.9995315 0.00047 1

Produk sempurna

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

1 3 5 7 9

11 13 15

# Produk sempurna

Prob

abili

ty

Distribusi Binomial (8) - Excel


npq=SD(X)=

: binomial distribusi daristandar Deviasi

)( : binomial distribusi dari Variansi

)( : binomial distribusi dariMean

2

σ

σ

µ

npqXV

npXE

==

==

7071.5.0)(

5.0)5)(.5)(.5()(

5.2)5)(.5()(2

:produk 5 dalamA mesin dariproduk jumlah adalah A

===

===

===

HSD

HV

HE

H

H

H

σ

σ

µ



43210

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

x

P(x

)

Binomial Probability: n=4 p=0.5

43210

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

x

P(x)


43210

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

x

P(x)


109876543210

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

x

P(x)


109876543210

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

x

P(x)


109876543210

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

x

P( x

)


20191817161514131211109876543210

0.2

0.1

0.0

x

P(x)


20191817161514131211109876543210

0.2

0.1

0.0

x

P(x)


20191817161514131211109876543210

0.2

0.1

0.0

x

P(x)


Distribusi binomial cenderung menjadi simetris dengan meningkatnya n dan p .5.

p = 0.1 p = 0.3 p = 0.5

n = 4

n = 10

n = 20



Distribusi Hipergeometrik (1)

Distribusi binomial digunakan pada populasi yang tidakterbatas, sehingga proporsi sukses diasumsikan diketahui.Distribusi probabilitas hipergeometrik digunakan untukmenentukan probabilitas kemunculan sukses jika sampling dilakukan tanpa pengembalian. Variabel random hipergeometrik adalah jumlah sukses (x) dalam n pilihan, tanpa pengembalian, dari sebuah populasiterbatas N , dimana D diantaranya adalah sukses dan (N-D) adalah gagal.



Penurunan fungsi distribusi hipergeometrik diturunkandengan menghitung kombinasi-kombinasi yang terjadi. Kombinasi yang dapat dibentuk dari populasi berukuran Nuntuk sampel berukuran n adalah kombinasi C(N,n). Jika sebuah variabel random (diskrit) X menyatakan jumlahsukses, selanjutnya dapat dihitung kombinasi diperoleh xsukses dari sejumlah D sukses dalam populasi yang diketahuiyaitu C(D,x), dan demikian pula halnya dapat dicari (n-x) kombinasi gagal dari sisanya (N-D), yaitu kombinasi C((N-D),(n-x)).



Dengan demikian:sukses C(D,x). C((N-D),(n-x)) atau

yang diperoleh dari total kombinasi yang mungkin C(N,n) atau

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛xnDN

xD

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛nN


Distribusi Hipergeometrik (4)Sebuah variabel random (diskrit) X menyatakan jumlahsukses dalam percobaan bernoulli dan total jumlah sukses D diketahui dari sebuah populasi berukuran N, maka dikatakanx mengikuti distribusi hipergeometrik dengan fungsikemungkinan :

Distribusi kemungkinan hipergeometrik sering pula disimbolkan dengan h(x;N;n;D).

otherwise 0

),min(,,2,1 ,)(

=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= Dnx

nN

xnDN

xD

xp K



Parameter pemusatan dan penyebaran adalahsebagai berikut :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅= ∑

= nN

xnDN

xD

xXEDn

x

),min(

0/)( NDn /⋅= (jika N besar maka D/N=p)

Untuk kasus dimana n<D, maka ekspektasi tersebut adalah

∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=n

x

nN

xnDN

xD

xXE0

)( . Karena )!()!1()!1(

xDxxDD

xD

−⋅−⋅−⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛, maka diperoleh

∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=n

x

nN

xnDN

xD

DXE0

11

)( .



Transformasikan y=x-1, maka bentuk di atas berubah

menjadi ∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

=n

y

nN

ynDN

yD

DXE0

11

)( , karena ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−yn

DNyn

DN1

)1()1(1 dan

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛11

)!(!!

nN

nN

nNnN

nN maka diperoleh ∑

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

=n

y

nN

ynDN

yD

NnDXE

0

11

1)1()1(1

)(

Karena penjumlahan tersebut menghasilkan nilai satu (sifat

distribusi kemungkinan), maka NnDXE =)( .



Dapat dibuktikan bahwa 1

)1)(1()1(−

−−=−

NDnXE . Ekspektasi perkalian

X dan (X-1) adalah )()()]1([ 2 XEXEXXE −=− . Karena NnDXE =)(

dan 1)1)(1()1(

−−−

=−N

DnXE , maka )1()1()1()]1([

−−−

=−NN

nnDDXXE .

Variansi 222 )( µσ −= XE , hal ini berarti 22 )]1([ µµσ −+−= XXE atau

ruas kanan menjadi 2

22

)1()1()1(

NDn

NnD

NNnnDD

−+−

−−. Dengan pengaturan

kembali diperoleh variansi distribusi kemungkinan

hipergeometrik adalah ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⋅==

11)( 2

NnN

ND

NDnXV σ

(untuk N yang besar hasil ini mendekati npq).


Contoh:Sebuah dealer otomotifmenerima lot berukuran 10 dimana hanya 5 diantaranyayang mendapat pemeriksaankelengkapan. 5 kendaraandiambil secara random. Diketahuiada 2 kendaraan dari lot berukuran 10 yang tidak lengkap. Berapa kemungkinansekurangnya ada 1 kendaraandari 5 kendaraan yang diperiksaternyata tidak lengkap?

( ) ( )( )

( )( )( )( )

( ) ( )( )

( )( )( )( )

P

P

( )

!

! !

!

! !

!

! !

.

( )

!

! !

!

! !

!

! !

.

1

2

1

10 2

5 1

10

5

2

1

8

4

10

5

2

1 1

8

4 4

10

5 5

5

90 556

2

2

1

10 2

5 2

10

5

2

1

8

3

10

5

2

1 1

8

3 5

10

5 5

2

90 222

=

−

−= = = =

=

−

−= = = =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Sehingga, P(1) + P(2) =

0.556 + 0.222 = 0.778.



X = jumlah kendaraan dalam sample berukuran 5 yang ternyata tidak lengkap

Distribusi Hipergeometrik N = 10, D = 2, n = 5

X P(X = x) P(X <= x)

0 0.222222 0.2222221 0.555556 0.7777782 0.222222 13 0 14 0 15 0 1

Pemeriksaan kendaraan

0

0.1

0.20.3

0.4

0.5

0.6

1 2 3 4 5 6

# kendaraan tidak lengkap

Prob

abili

ty



Distribusi probabilitas binomial digunakan untuk sejumlahsukses dari n percobaan yang independen, dimana seluruh hasil(outcomes) dikategorikan ke dalam dua kelompok (sukses dangagal). Distribusi probabilitas multinomial digunakan untukpenentuan probabilitas hasil yang dikategorikan ke dalam lebihdari dua kelompok.

kxk

xx

kk ppp

xxxnxxxP ...

!!...!!),..,,( 2

21

121

21 =

Distribusi Multinomial (1)

Fungsi distribusi probabilitas multinomial:


Berdasarkan laporan sebuah penelitiantahun 1995, diantara produkmikroprosesor pentium generasi pertamadiketahui terdapat cacat yang mengakibatkan kesalahan dalam operasiaritmatika. Setiap mikroprosesor dapatdikategorikan sebagai baik, rusak dancacat (dapat digunakan dengankemungkinan muncul kesalahan operasiaritmatika). Diketahui bahwa 70% mirkoprosesor dikategorikan baik, 25% cacat dan 5% rusak. Jika sebuah sample random berukuran 20 diambil, berapaprobabilitas ditemukan 15 mikroprosesorbaik, 3 cacat dan 2 rusak?

( )( )( )P( , , ) ! ! ! . . .

.

15 3 2 20!15 3 2 7 25 05

0288

15 3 2=

=

Distribusi Multinomial (2)


22 1

1)(

:adalahgeometrik asprobabilit distribudi sidan varian rata-Rata gagal).dan sukses tas(probabiliparameter adalah dan , 1,2,3,... = dimana

pq

p

xpqxPqpx

==

−=

σµ

Berkaitan dengan percobaan Bernoulli, dimana terdapat n percobaanindependen yang memberikan hasil dalam dua kelompok (sukses dan gagal), variabel random geometric mengukur jumlah percobaan sampai diperolehsukses yang pertama kali.

Distribusi Geometrik (1)

Fungsi distribusi probabilitas geometrik:


Pada suatu daerah, P-Cola menguasai pangsa pasar sebesar33.2% (bandingkan dengan pangsapasar sebesar 40.9% oleh C-Cola). Seorang mahasiswa melakukanpenelitian tentang produk cola barudan memerlukan seseorang yang terbiasa meminum P-Cola. Responden diambil secara random dari peminum cola. Berapaprobabilitas responden pertamaadalah peminum P-cola, berapaprobabilitas pada responden kedua, ketiga atau keempat?

PPPP

( ) (. )(. ) .( ) (. )(. ) .( ) (. )(. ) .( ) (. )(. ) .

( )

( )

( )

( )

1 332 668 03322 332 668 02223 332 668 01484 332 668 0099

1 1

2 1

3 1

4 1

= == == == =

−

−

−

−

Distribusi Geometrik (2)

Probabilitas lulus mata kuliah teoriprobabilitas adalah 95%, berapaprobabilitas anda lulus tahun ini, tahun depan dan seterusnya?


Distribusi Binomial Negatif (1)

Variabel random binomial X, menyatakan:Jumlah sukses dari n percobaan independenBernoulli.p adalah probabilitas sukses (tetap untuk setiappercobaan

Jika ingin diketahui:Pada percobaan keberapa (n) sejumlah sukses (c) dapat dicapai dalam percobaan Bernoulli.



Pertimbangkan sebuah proses inspeksi untuk menemukanproduk cacat (kategori sukses dengan probabilitas 0.1). Batas sebuah penolakan sebuah lot adalah jika ditemukan 4 buahcacat (D). Ditemukan bahwa sebuah lot ditolak setelahdilakukan inspeksi pada 10 produk.Sebuah kemungkinan adalah DDDGGGGGGD. Dengan teorimultiplikasi, probabilitas urutan tersebut adalah (0.1)4 (0.9)6. Karena 10 percobaan tersebut independen, tanpa memper-hatikan urutan, probabilitas diperoleh 4 cacat dari 10 percobaan adalah (0.1)4 (0.9)6.



Karena kriteria penolakan adalah ditemukannya 4 produkcacat, maka posisi ke-n adalah pasti produk cacat. Sehinggajumlah urutan yang mungkin adalah kombinasi 3 dari 9, .

Probabilitas diperlukan 10 percobaan untuk menghasilkan 4 sukses adalah:

Distribusi probabilitas negatif binomial:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛39

( ) ( )64 9.01.0!6!3

!9⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

... ,2,1, dimana , )1(11

++=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− − cccnpp

cn cnc



Perhatikan distribusi kumulatif:

dimana ruas kanan adalah:

yang dapat diperoleh dari distribusi kumulatif binomial

∑∑=

−

=

− −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− r

cx

r

cn)1( )1(

11 xrxcnc pp

xr

ppcn

);;1(1)1(11-c

0xprcBpp

xr xrx −−=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∑

=

−


Proses & Distribusi Poisson

Percobaan bernoulli menghasilkan variabel random X yang bernilai numerik, yaitu jumlah sukses yang terjadi. Jika pengamatan dilakukan pada pada suatu rentang interval waktu, maka dapat diamati bahwa variabel random X adalahterjadinya sukses selama waktu tertentu. Jika perhatian ditujukan pada kejadian sukses yang muncul(lahir) pada suatu rentang yang kecil, maka terjadi sebuahproses kelahiran (birth atau arrival process) atau dikenalsebagai proses Poisson (Poisson process).


Proses & Distribusi PoissonSifat-sifat Proses Poisson:

Jumlah sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu (ataudaerah tertentu) tidak dipengaruhi (independent) terhadapkejadian pada selang waktu atau daerah yang lain.Kemungkinan terjadinya suatu sukses (tunggal) dalaminterval waktu yang pendek (∆t mendekati nol) sebandingdengan panjang interval dan tidak tergantung padabanyaknya sukses yang terjadi di luar interval tersebut.Kemungkinan terjadinya lebih dari satu sukses dalam interval waktu yang pendek dapat diabaikan.


Distribusi probabilitas Poisson bermanfaat dalam penentuanprobabilitas dari sejumlah kemunculan pada rentang waktu atauluas/volume tertentu. Variabel random Poisson menghitungkemunculan pada interval waktu yang kontinyu.

1,2,3,... =untuk x !

)(xexP

x αα −

=

dimana α adalah rata-rata distribusi (yang juga merupakan variansi) dane adalah bilangan logaritmik natural (e=2.71828...).

Distribusi Probabilitas Poisson (1)

Fungsi distribusi probabilitas Poisson :


Distribusi Probabilitas Poisson (2)Fungsi distribusi poisson dapat diturunkan denganmemperhatikan asumsi-asumsi berikut:• Jumlah kedatangan pada interval yang tidak saling tumpangtindih (nonoverlapping interval) adalah variabel randomindependen.

• Ada nilai parameter λ positif sehingga dalam sebuah intervalwaktu yang kecil t∆ akan diperoleh :i) Kemungkinan bahwa terjadi tepat satu kedatangan pada

interval waktu t∆ adalah ( t∆⋅λ ).ii) Kemungkinan bahwa terjadi tepat nol kedatangan pada

interval waktu t∆ adalah ( t∆⋅− λ1 ).


Distribusi Probabilitas Poisson (3)Perhatikan posisi dan rentang waktu berikut:

0 t tt ∆+

Untuk suatu titik waktu t yang tetap (fixed), kemungkinanterjadi nol kedatangan diformulasikan sebagai berikut :

[ ] )(1)( 00 tptttp ⋅∆⋅−≅∆+ λ . Dengan melakukan penyusunan

kembali akan diperoleh )()()(

000 tp

ttpttp

⋅−≅∆

−∆+λ . Jika interval

waktu sangat kecil ( t∆ mendekati nol), maka dapat digunakan

diferensial berikut : )()()()(lim 0'0

000

tptpt

tpttpt

λ−==⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∆−∆+

→∆ .



Hal yang sama dapat dilakukan jika terdapat kedatangan0>x , sehingga dapat diformulasikan kemungkinan berikut

[ ] )(1)( )( 1 tpttptttp xxx ⋅∆⋅−+∆⋅≅∆+ − λλ .Dengan melakukan penyusunan kembali akan diperoleh

).()( )()(

1 tptpt

tpttpxx

xx ⋅−⋅≅∆

−∆+− λλ

Jika interval waktu sangat kecil ( t∆ mendekati nol), makadapat digunakan diferensial berikut :

)()()()()(lim 1'

0tptptp

ttpttp

xxxxx

tλλ −==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∆−∆+

−→∆ .


Distribusi Probabilitas Poisson (5)Dari dua persamaan diferensial yang diperoleh (untuk nolkedatangan dan ada kedatangan 0>x ), diperoleh solusiberikut !/)()( )( xettp tx

xλλ −⋅= . Karena titik waktu t adalah tetap

(fixed), maka dapat digunakan notasi tλα = , sehinggadistribusi probabilitas poisson yang diperoleh adalah:

lainnya x 0 ,2,1,0 ,!/)()(

==⋅= − Kxxexp x αα

Parameter pemusatan dan penyebaran adalah:

∑∞

=

−⋅⋅=

0 !)(

x

x

xexXE

αα α= dan ( )21

2

!)( αα α

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅=

−∞

=∑ x

exXVx

x α= .


Perusahaan telepon memberikan 1000 pilihan pesawat telepon (sebagai kombinasiwarna, type, fungsi, dll). Sebuahperusahaan membuka cabang baru dantersedia 200 sambungan telpon dimanasetiap karyawan boleh memilih pesawattelepon sesuka hatinya. Asumsikan bahwake-1000 pilihan tersebut adalah equally likely. Berapa probabilitas bahwa sebuahpilihan tidak dipilih, dipilih oleh seorang, duaorang atau tiga orang karyawan?n = 200 ; p = 1/1000 = 0.001 ;α = np = (200)(0.001) = 0.2

P e

P e

P e

P e

( ) .!

( ) .!

( ) .!

( ) .!

.

.

.

.

0 20

1 21

2 22

3 23

0 2

1 2

2 2

3 2

=

=

=

=

−

−

−

−

= 0.8187

= 0.1637

= 0.0164

= 0.0011



Distribusi Probabilitas Poisson (7)Rata-rata pengiriman bahan baku ke suatu pabrik adalah 10 trukdan fasilitas bongkar hanya mampu menerima paling banyak 15truk per hari. Pemasok menginkan agar truk pasokannya dapatdibongkar pada hari yang sama. Suatu hari, pemasok mengirimkansebuah truk ke pabrik tersebut, berapa kemungkinan truk tersebutharus bermalam karena tidak dapat dibongkar?X adalah variabel random banyaknya truk bahan baku yang tibasetiap hari. Dengan distribusi Poisson, kemungkinan sebuah truk

harus bermalam adalah ∑=

−=≤−=>15

0)10;(1)15(1)15(

xxpXPXP =0.9513

(dari tabel), maka kemungkinan sebuah truk harus bermalamkarena tidak dapat dibongkar adalah 1-0.9513=0.0487.


X = jumlah karyawan yang memilih pesawat telepon tertentuPoisson Distribution mean = 0.2

X P(X = x) P(X <= x)0 0.818731 0.8187311 0.163746 0.9824772 0.016375 0.9988523 0.001092 0.9999434 0.000055 0.9999985 0.000002 16 0 1

Pesawat Telepon

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1 2 3 4 5 6 7

# jumlah karyawan yang memilihpesawat telpon tertentu

Prob

abili

ty



20191817161514131211109876543210

0.15

0.10

0.05

0.00

X

P(x

)

µ =10

109876543210

0.2

0.1

0.0

X

P(x)

µ =4

76543210

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

P(x)

µ =1.5

43210

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

P(x)

µ =1.0



Pendekatan Binomial - Poisson (1)

Pada distribusi probabilitas binomial, jika n sangat besar danp kecil, maka perhitungan kemungkinannya sulit dilakukan.Pada kondisi tersebut, perhitungan nilai kemungkinan untukvariabel random binomial dapat didekati dengan perhitungan(atau tabulasi) pada distribusi poisson.

Teorema :Jika X adalah variabel random binomial dengan distribusikemungkinan b(x;n,p), dan jika bila ukuran sampel ∞→n ,nilai proporsi sukses 0→p , dan digunakan pendekatan

np=µ , maka nilai );(),;( µxppnxb → .


Pendekatan Binomial - Poisson (2)Bukti :Fungsi distribusi kemungkinan binomial dapat ditulis sebagai berikut

xnx qpxn

pnxb −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=),;( = xnx pp

xnxn −−−

)1()!(!

! = xnx ppx

xnnn −−+−− )1(

!)1)...(1(

.

Jika dilakukan transformasi np /µ= maka diperolehxx

nnxxnnnpnxb

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−−

=µµ 1

!)1)...(1(),;( = ,111...111 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

nx

n

dan dari definisi bilangan natural e, diperoleh hubungan berikutµ

µµ

µ−

−−

∞→∞→=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − e

nn

n

nn

/

/)(1111 limlim .

Dengan memperhatikan syarat limit di atas dapat diperoleh,

!),;(

xepnxb

xµµ−→ dimana x=0, 1, 2…, yaitu sebuah distribusi poisson

untuk αµ = (rata-rata jumlah sukses=rata-rata kedatangan).


Pendekatan Binomial - Poisson (3)ContohBesarnya kemungkinan ditemukan cacat pada hasil pengelasan titik adalah0.001. Pada sebuah produk hasil rakitan terdapat 4000 titik pengelasan,berapa kemungkinan ditemukan lebih dari 6 cacat pada sebuah produkhasil rakitan?Variabel random X (binomial) menyatakan jumlah cacat pada hasil rakitan,maka kemungkinan ditemukan lebih dari 6 cacat tersebut adalah

∑=

−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≤

6

0

4000999.0001.0 4000

)6(x

xx

xXP .

Perhitungan ini sulit dilakukan sehingga didekati dengan perhitungan untukfungsi distribusi kemungkinan Poisson (dimana parameter adalah

4001.04000 =⋅=α ) sebagai berikut 889.0!/4)6(6

0

4 =⋅=≤ ∑=

−

x

x xeXP , maka

kemungkinan ditemukan lebih dari 6 cacat adalah 1-0.889=0.111.


Pendekatan Binomial - Poisson (4)ContohSebuah proses menghasilkan barang-barang dari plastik yang sering kalimemiliki gelembung atau cacat. Diketahui bahwa rata-rata terdapat 1 dari1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih cacat.Berapa kemungkinan bahwa dari sampel acak berjumlah 8000 produk plastikakan terdapat 7 produk yang memiliki cacat gelembung?

Pada dasarnya, kasus produk plastik cacat ini mengikuti distribusi binomialdengan n=8000 dan p=0,001. Karena p sangat kecil dan mendekati nol sertan sangat besar, maka perhitungan nilai kemungkinan dapat didekati dengandistribusi Poisson dengan dimana µ =(8000)(0,001)=8, sehinggakemungkinan bahwa dari sampel acak berjumlah 8000 produk plastik akanterdapat 7 produk yang memiliki cacat dapat dihitung sebagai berikut

∑=

=<6

0)001,0,8000;()7(

xxbXP ∑

=≅

6

0)8;(

xxp = 0,3134.


Distribusi Probabilitas UniformDistribusi probabilitas diskrit uniform berkaitan dengan variabelrandom dimana semua nilainya memiliki kemungkinan yangsama.Definisi

Jika variabel random X memiliki nilai x1, x2,…,xk, dengankemungkinan terjadi yang sama maka dikatakan bahwavariabel random X mengikuti distribusi uniform diskritdengan fungsi distribusi kemungkinan sebagai berikut

kkxf 1);( = , dimana x = x1, x2,…,xk

Parameter pemusatan dan penyebaran adalah sebagai berikut :

kxXE

k

ii

1)(1

⋅== ∑=

µ dan k

x

kx

kxXV

k

iik

ii

k

ii

∑∑∑ =

==

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅== 1

22

11

22)(11)(

µσ .

4-1 Proses Bernoulli (1) - · PDF fileJumlah hasil dimana 2 ... (2) Contoh : P(X) = F(x) - F...

Documents

Transcript of 4-1 Proses Bernoulli (1) - · PDF fileJumlah hasil dimana 2 ... (2) Contoh : P(X) = F(x) - F...