1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Suatu benda tegar dapat  bergerak berputar / rotasi jika pada benda

tersebut dikerjakan suatu gaya yang tidak melalui pusat massa / poros benda

tegar. Gaya yang dapat menyebabkan suatu benda berotasi dinamakan

momen gaya atau torsi.

Momen kopel adalah momen terhadap benda tegar yang dapat

menyebabkan benda tegar tersebut bergerak rotasi tetapi tidak dapat

menyebabkan benda tegar  tersebut bergerak tranlasi. Momen kopel

ditimbulkan oleh sepasang gaya pada suatu benda besarnya slalu sama pada

semua titik.

Pada gerak translasi, massa merupakan besaran yang menyatakan ukuran

kelembaman suatu benda. Sedangkan pada gerak rotasi, besaran untuk

menyatakan ukuran kelembaman suatu benda yang analog dengan massa

adalah momen inersia yaitu hasil kali massa partikel dengan kuadrat jarak

partikel terhadap sumbu putarnya / porosnya.

Pada gerak rotasi, besaran yang analog dengan momentum pada gerak

translasi adalah momentum sudut. Besar momentum sudut yang dimiliki oleh

benda yang berotasi bergantung pada momen inersia dam kecepatan sudut

yang dimiliki benda. Momentum sudut adalah hasil kali momen inersia

dengan kecepatan sudut.

1.2 Maksud dan Tujuan

Tujuan epmbuatan makala ini, yaitu:

1. Untuk memenuhi tugas penulisan makala yang di berikan kepada

kelompok

2. Metode pustakanya atau dengan mengumpulkan data-data perbendaharaan

pengetahuan mencari masalah beberapa masalah yang berhubungan degan

Dinamika Rotasi dan Keseimbangan benda tegar sehingga terkumpulah

informasih yang dapat membantu penyalasaian makalah ini.

2

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Momen gaya (torsi)

Sebelum membahas momen gaya atau torsi, terlebih dahulu diulas lengan

gaya. Lengan Gaya Tinjau sebuah benda yang berotasi, misalnya pintu rumah.

Ketika pintu dibuka atau ditutup, pintu berotasi. Engsel yang menghubungkan

pintu dengan tembok berperan sebagai sumbu rotasi.

Rotasi juga disebut momen, diawali dari kerja Archimedes dalam lever.

Informalnya, torsi dapat dipikir sebagai gaya rotasional. Analog rotational

dari gaya, masa, dan percepatan adalah torsi, momen inersia dan percepatan

angular. Gaya yang bekerja pada lever, dikalikan dengan jarak dari titik

tengah lever, adalah torsi. Contohnya, gaya dari tiga newton bekerja

sepanjang dua meter dari titik tengah mengeluarkan torsi yang sama dengan

satu newton bekerja sepanjang enam meter dari titik tengah. Ini menandakan

bahwa gaya dalam sebuah sudut pada sudut yang tepat kepada lever lurus.

Lebih umumnya, seseorang dapat mendefinisikan torsi sebagai perkalian

silang:

di mana

r adalah vektor dari axis putaran ke titik di mana gaya bekerja

F adalah vektor gaya.

3

Gambar pintu dilihat dari atas. Tinjau sebuah contoh di mana pintu didorong

dengan dua gaya, di mana kedua gaya mempunyai besar dan arah sama; arah

gaya tegak lurus pintu.

Mula-mula pintu didorong dengan gaya F1 yang berjarak r1 dari sumbu rotasi.

Setelah itu pintu didorong dengan gaya F2 yang berjarak r2 dari sumbu rotasi.

Walaupun besar dan arah gaya F1 sama dengan F2, gaya F2 menyebabkan

pintu berputar lebih cepat dibandingkan gaya F1. Dengan kata lain, gaya F2

menyebabkan percepatan sudut yang lebih besar dibandingkan gaya F1. Anda

dapat membuktikan hal ini.

Besar percepatan sudut benda yang bergerak rotasi tidak hanya dipengaruhi

oleh gaya tetapi juga dipengaruhi juga oleh jarak antara titik kerja gaya

dengan sumbu putar (r). Apabila arah gaya tegak lurus dengan permukaan

benda seperti contoh di atas maka lengan gaya (l) sama dengan jarak antara

titik kerja gaya dengan sumbu putar (r). Bagaimana jika arah gaya tidak tegak

lurus dengan permukaan benda ?

Tinjau dua contoh lain seperti ditunjukkan pada gambar di atas. Walaupun

besar gaya F2 dan F3 sama tetapi arah kedua gaya berbeda sehingga lengan

gaya (l) berbeda. Pada gambar c, arah garis kerja gaya berhimpit dengan

sumbu putar sehingga lengan gaya bernilai nol. Lengan gaya diketahui

dengan menggambarkan garis dari sumbu rotasi menuju garis kerja gaya, di

mana garis dari sumbu rotasi harus tegak lurus atau membentuk sudut 90o

dengan garis kerja gaya. Amati gambar b agar anda lebih memahami

penurunan rumus lengan gaya berikut ini.

Keterangan :

4

l = lengan gaya, r = jarak titik kerja gaya dengan sumbu rotasi

Persamaan 1 digunakan untuk menghitung lengan gaya.

Jika F tegak lurus dengan r maka sudut yang dibentuk adalah 90o.

l = r sin 90o = (r)(1)

l = r

Jika F berhimpit dengan r maka sudut yang dibentuk adalah 0o.

l = r sin 0o = (r)(0)

l = 0

Momen Gaya atau Torsi

Besar momen gaya Secara matematis, besar momen gaya adalah hasil kali

besar gaya (F) dengan lengan gaya (l).

Persamaan 2 digunakan untuk menghitung besar momen gaya.

Satuan internasional momen gaya atau torsi adalah Newton meter, disingkat

N. m. Satuan internasional momen gaya sama dengan usaha dan energi, tetapi

momen gaya bukan energi sehingga satuannya tidak perlu diganti dengan

satuan Joule. Fisikawan sering menggunakan istilah Torsi sedangkan ahli

teknik sering menggunakan istilah momen gaya.

Arah momen gaya Momen gaya merupakan besaran

vektor karenanya selain mempunyai besar, momen

gaya juga mempunyai arah. Arah momen gaya

diketahui dengan mudah menggunakan aturan tangan

kanan. Putar keempat jari tangan kanan anda,

sedangkan ibu jari tangan kanan ditegakkan. Arah putaran keempat jari

tangan merupakan arah rotasi sedangkan arah yang ditunjukan oleh ibu jari

merupakan arah momen gaya. Jika arah momen gaya ke atas (searah sumbu y

positif) atau ke kanan (searah sumbu x positif) maka momen gaya atau torsi

5

bernilai positif. Sebaliknya jika arah momen gaya ke bawah (searah sumbu –

y) atau ke kiri (searah sumbu –x) maka momen gaya bernilai negatif.

Dengan kata lain, jika arah rotasi benda searah dengan putaran jarum jam

maka momen gaya bernilai negatif. Sebaliknya jika arah rotasi benda

berlawanan dengan putaran jarum jam maka momen gaya bernilai positif.

2.2 Momen inersia

Momen inersia (Satuan SI : kg m2) adalah ukuran kelembaman suatu benda

untuk berotasi terhadap porosnya. Besaran ini adalah analog rotasi daripada

massa. Momen inersia berperan dalam dinamika rotasi seperti massa dalam

dinamika dasar, dan menentukan hubungan antara momentum sudut dan

kecepatan sudut, momen gaya dan percepatan sudut, dan beberapa besaran

lain. Meskipun pembahasan skalar terhadap momen inersia, pembahasan

menggunakan pendekatan tensor memungkinkan analisis sistem yang lebih

rumit seperti gerakan giroskopik.

Lambang dan kadang-kadang juga biasanya digunakan untuk merujuk

kepada momen inersia.

Konsep ini diperkenalkan oleh Euler dalam bukunya a Theoria motus

corporum solidorum seu rigidorum pada tahun 1730.[1] Dalam buku tersebut,

dia mengupas momen inersia dan banyak konsep terkait.

Definisi skalar

Definisi sederhana momen inersia (terhadap sumbu rotasi tertentu) dari

sembarang objek, baik massa titik atau struktur tiga dimensi, diberikan oleh

rumus:

di mana m adalah massa dan r adalah jarak tegak lurus terhadap sumbu rotasi.

6

Analisis

Momen inersia (skalar) sebuah massa titik yang berputar pada sumbu yang

diketahui didefinisikan oleh

Momen inersia adalah aditif. Jadi, untuk sebuah benda tegar yang terdiri atas

N massa titik mi dengan jarak ri terhadap sumbu rotasi, momen inersia total

sama dengan jumlah momen inersia semua massa titik:

Untuk benda pejal yang dideskripsikan oleh fungsi kerapatan massa ρ(r),

momen inersia terhadap sumbu tertentu dapat dihitung dengan

mengintegralkan kuadrat jarak terhadap sumbu rotasi, dikalikan dengan

kerapatan massa pada suatu titik di benda tersebut:

di mana

V adalah volume yang ditempati objek

ρ adalah fungsi kerapatan spasial objek

r = (r,θ,φ), (x,y,z), atau (r,θ,z) adalah vektor (tegaklurus terhadap sumbu

rotasi) antara sumbu rotasi dan titik di benda tersebut.

7

Diagram perhitungan momen inersia sebuah piringan. Di sini k adalah 1/2 dan

adalah jari-jari yang digunakan untuk menentukan momen inersia

Berdasarkan analisis dimensi saja, momen inersia sebuah objek bukan titik

haruslah mengambil bentuk:

di mana

M adalah massa

R adalah jari-jari objek dari pusat massa (dalam beberapa kasus, panjang

objek yang digunakan)

k adalah konstanta tidak berdimensi yang dinamakan "konstanta inersia",

yang berbeda-beda tergantung pada objek terkait.

Konstanta inersia digunakan untuk memperhitungkan perbedaan letak massa

dari pusat rotasi. Contoh:

k = 1, cincin tipis atau silinder tipis di sekeliling pusat

k = 2/5, bola pejal di sekitar pusat

k = 1/2, silinder atau piringan pejal di sekitar pusat.

2.3 Gerak melingkar (Dinamika Rotasi)

Gerak melingkar.

8

Gerak Melingkar adalah gerak suatu benda yang membentuk lintasan berupa

lingkaran mengelilingi suatu titik tetap. Agar suatu benda dapat bergerak

melingkar ia membutuhkan adanya gaya yang selalu membelokkan-nya

menuju pusat lintasan lingkaran. Gaya ini dinamakan gaya sentripetal. Suatu

gerak melingkar beraturan dapat dikatakan sebagai suatu gerak dipercepat

beraturan, mengingat perlu adanya suatu percepatan yang besarnya tetap

dengan arah yang berubah, yang selalu mengubah arah gerak benda agar

menempuh lintasan berbentuk lingkaran [1].

Ciri-ciri Gerak Melingkar beraturan:

1. Besar kelajuan linearnya tetap

2. Besar kecepatan sudutnya tetap

3. Besar percepatan sentripetalnya tetap

4. Lintasannya berupa lingkaran

Besaran gerak melingkar

Besaran-besaran yang mendeskripsikan suatu gerak melingkar adalah ,

dan atau berturur-turut berarti sudut, kecepatan sudut dan percepatan sudut.

Besaran-besaran ini bila dianalogikan dengan gerak linier setara dengan

posisi, kecepatan dan percepatan atau dilambangkan berturut-turut dengan ,

dan .

Besaran gerak lurus dan melingkarGerak lurus Gerak melingkar

Besaran Satuan (SI) Besaran Satuan (SI)poisisi m sudut rad

kecepatan m/s kecepatan sudut rad/spercepatan m/s2 percepatan sudut rad/s2

- - perioda s- - radius m

9

Turunan dan integral

Seperti halnya kembarannya dalam gerak linier, besaran-besaran gerak

melingkar pun memiliki hubungan satu sama lain melalui proses integrasi dan

diferensiasi.

Hubungan antar besaran sudut dan tangensial

Antara besaran gerak linier dan melingkar terdapat suatu hubungan melalui

khusus untuk komponen tangensial, yaitu

Perhatikan bahwa di sini digunakan yang didefinisikan sebagai jarak yang

ditempuh atau tali busur yang telah dilewati dalam suatu selang waktu dan

bukan hanya posisi pada suatu saat, yaitu

untuk suatu selang waktu kecil atau sudut yang sempit.

Jenis gerak melingkar

Gerak melingkar dapat dibedakan menjadi dua jenis, atas keseragaman

kecepatan sudutnya , yaitu:

gerak melingkar beraturan, dan

gerak melingkar berubah beraturan.

10

Gerak melingkar beraturan

Gerak Melingkar Beraturan (GMB) adalah gerak melingkar dengan besar

kecepatan sudut tetap. Besar Kecepatan sudut diperolah dengan membagi

kecepatan tangensial dengan jari-jari lintasan

Arah kecepatan linier dalam GMB selalu menyinggung lintasan, yang

berarti arahnya sama dengan arah kecepatan tangensial . Tetapnya nilai

kecepatan akibat konsekuensi dar tetapnya nilai . Selain itu terdapat pula

percepatan radial yang besarnya tetap dengan arah yang berubah.

Percepatan ini disebut sebagai percepatan sentripetal, di mana arahnya selalu

menunjuk ke pusat lingkaran.

Bila adalah waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan satu putaran

penuh dalam lintasan lingkaran , maka dapat pula dituliskan

Kinematika gerak melingkar beraturan adalah

dengan adalah sudut yang dilalui pada suatu saat , adalah sudut

mula-mula dan adalah kecepatan sudut (yang tetap nilainya).

11

Gerak melingkar berubah beraturan

Gerak Melingkar Berubah Beraturan (GMBB) adalah gerak melingkar

dengan percepatan sudut tetap. Dalam gerak ini terdapat percepatan

tangensial (yang dalam hal ini sama dengan percepatan linier) yang

menyinggung lintasan lingkaran (berhimpit dengan arah kecepatan tangensial

).

Kinematika GMBB adalah

dengan adalah percepatan sudut yang bernilai tetap dan adalah

kecepatan sudut mula-mula.

Persamaan parametrik

Gerak melingkar dapat pula dinyatakan dalam persamaan parametrik dengan

terlebih dahulu mendefinisikan:

titik awal gerakan dilakukan

kecepatan sudut putaran (yang berarti suatu GMB)

pusat lingkaran

untuk kemudian dibuat persamaannya [2].

Hal pertama yang harus dilakukan adalah menghitung jari-jari lintasan

yang diperoleh melalui:

12

Setelah diperoleh nilai jari-jari lintasan, persamaan dapat segera dituliskan,

yaitu

dengan dua konstanta dan yang masih harus ditentukan nilainya.

Dengan persyaratan sebelumnya, yaitu diketahuinya nilai , maka

dapat ditentukan nilai dan :

Perlu diketahui bahwa sebenarnya

karena merupakan sudut awal gerak melingkar.

Hubungan antar besaran linier dan angular

Dengan menggunakan persamaan parametrik, telah dibatasi bahwa besaran

linier yang digunakan hanyalah besaran tangensial atau hanya komponen

vektor pada arah angular, yang berarti tidak ada komponen vektor dalam arah

radial. Dengan batasan ini hubungan antara besaran linier (tangensial) dan

angular dapat dengan mudah diturunkan.

13

Gerak berubah beraturan

Gerak melingkar dapat dipandang sebagai gerak berubah beraturan. Bedakan

dengan gerak lurus berubah beraturan (GLBB). Konsep kecepatan yang

berubah kadang hanya dipahami dalam perubahan besarnya, dalam gerak

melingkar beraturan (GMB) besarnya kecepatan adalah tetap, akan tetapi

arahnya yang berubah dengan beraturan, bandingkan dengan GLBB yang

arahnya tetap akan tetapi besarnya kecepatan yang berubah beraturan.

Gerak berubah beraturan

Kecepatan GLBB GMB

Besar berubah tetap

Arah tetap berubah

14

Contoh Soal Pembahasan Dinamika Rotasi & Keseimbangan Benda Tegar

1. Seorang anak dengan kedua lengan berada dalam pangkuan sedang berputar

pada suatu kursi putar dengan 1,00 putaran/s. Ketika ia merentangkan kedua

lengannya, ia diperlambat sampai 0,40 putaran/s. Tentukan perbandingan:

a) momen inersia gabungan anak + kursi sebelum dan sesudah kedua

lengannya direntangkan

b) Energi kinetik sebelum dan sesudahnya

Jawab :

ω = 1 rps (sebelum merentangkan tangan)

ω = 0,4 rps (sesudah merentangkan tangan)

a). Gunakan Hukum Kekekalan momentum sudut

=> L= L

=>I ω = I ω

=>I (1) = I (0,4)

maka : I : I = 0,4 : 1

atau : I : I = 2 : 5

b). Rumus energi kinetik rotasi adalah : Ekr = ½ I ω²

Maka :

Ekr = ½ I ω² dan Ekr = ½ I ω²

Sehingga perbandingan :

Ekr : Ekr = (I / I ).(ω : ω)²

Ekr : Ekr = (2/5) . (5/2)² = 5/2

Ekr : Ekr = 5

15

2. Seutas tali dililitkan mengelilingi sebuah silinder pejal bermassa M dan

berjari-jari R, yang bebas berputar mengelilingi sumbunya. Tali ditarik

dengan gaya F. Silinder mula-mula diam pada t=0.

a. Hitung percepatan sudut dan kecepatan sudut silinder pada sat t

b. Jika M=6 kg, R=10 cm, dan F= 9 N, hitung percepatan sudutdan kecepatan

sudut pada saat t=2 s

Jawab :

a) Momen inersia silinder pejal => ½ m.R2

I.α = F.R

α = F.R/I = 2.F/m.R

ω = α. t = 2.F/m.R.t

b) α = 2.(g.n)/6 kg (0,1 m) = 30 rad/s2

ω = 2.(g.n)/6 kg (0,1 m).2 = 60 rad/s

3. Pada sebuah roda dengan momen inersia sebesar 6 kgm2 dikerjakan sebuah

torsi konstan 51 Nm.

a. Berapakah percepatan sudutnya ?

b. Berapakah lama diperlukan dari keadaan diam sampai pada mencapai

kecepatan 88,4 rad/s ?

c. Berapakah energi kinetik pada kecepatan ini ?

Jawab :

a. τ = I.α

α = τ/I = 51/6 = 8,5 rad/s2

b. ωt = ω0 + α.t

88,4 = 0 + 8,5.t

t = 10,4 s

c. Ek = ½ .I.ω2

Ek = ½.6.(88,4)2

Ek = 2,34x104 Joule

16

BAB III

PENUTUP

3.1. Kesimpulan

       Dinamika Rotasi dibagi menjadi 5 pembahasan, antara lain:

1. Momen Gaya (torsi)

2. Momen Inersia

3. Momen Kopel

4. Momentum Sudut

5. Energi Kinetik Rotasi

Benda tegar adalah benda yang tidak mengalami perubahan bentuk akibat

pengaruh gaya atau momen gaya. Syarat Keseimbangan benda tegar dapat

dicapai jika resultan gaya dan resultan momen gaya terhadap suatu titik

sembarang sama dengan nol. Jenis – jenis keseimbangan, yaitu:

1. Keseimbangan statik, dikelompokkan menjadi tiga,yaitu:

a) Keseimbangan stabil

b) Keseimbangan labil

c) Keseimbangan netral/inferen

2. Keseimbangan Dinamik,dikelompokkan menjadi dua yaitu:

a) Keseimbangan translasi

b) Keseimbangan rotasi

3.2. Saran

Demikian yang dapat kami paparkan  mengenai materi yang menjadi pokok

bahasan dalam makalah ini, tentunya masih banyak kekurangan dan

kelemahannya, kerena terbatasnya pengetahuan dan kurangnya rujukan atau

referensi yang ada hubungannya dengan judul makalah ini.

Penulis banyak berharap para pembaca  memberikan kritik dan saran yang

membangun kepada penulis demi sempurnanya makalah ini dan penulisan

17

makalah di kesempatan – kesempatan berikutnya. Semoga makalah ini

berguna bagi penulis pada khususnya juga para pembaca pada umumnya.

DAFTAR PUSTAKA

http://www.walter-fendt.de/ph11e/carousel.htm  

http://www.fisdasbook.com

http://www.fisika ceria.com