Bab 1

Interpolasi dan Ekstrapolasi

Nilai suatu fungsi f(x) diketahui berupa deretan titik-titik x1, x2, x3, ………, xn (atau bisa dinyatakan sebagai x1 < … < xn), tetapi ekspresi analitik f(x) tidak diketahui. Bab ini akan membahas perkiraan f(x) secara numerik untuk nilai x yang berlaku di dalam interval (interpolasi) maupun di luar interval titik-titik yang diketahui (ekstraploasi). Permasalahan ekstrapolasi sangat lekat dengan tingkat akurasi nilai yang dihasilkannya.

Fungsi interpolasi dan ekstrapolasi merupakan fungsi model dengan bentuk tertentu yang bersifat umum supaya dapat mendekati fungsi-fungsi yang dipakai secara luas. Sejauh ini fungsi yang umum digunakan adalah polinomial dan trigonometri. Fungsi trigoneometri digunakan dalam interpolasi berdasar Fourier.

Proses interpolasi mempunyai dua tahap yaitu pertama, menentukan fungsi interpolasi terhadap titik-titik (data) yang diberikan dan kedua, mengevaluasi fungsi interpolasi tersebut. Interpolasi dapat dilakukan untuk kasus dengan dimensi lebih dari satu, misalnya fungsi f(x,y,z). Interpolasi multidimensi selalu diselesaikan dengan urutan mulai dari interpolasi satu dimensi.

1.1. Polinomial Interpolasi Newton

Polinomial interpolasi Newton pn(x) dengan x0, ……, xn-1 sebagai titik pusatnya dapat dinyatakan sebagai berikut:

(1-1)

Koefisien A0, A1, A2, …… An tergantung dari nilai f(x) di titik x0, x1, x2, …… xn dan disebut dengan nilai beda rasio (devided difference) di titik-titik tersebut. Untuk selanjutnya nilai beda rasio di titik x0, x1, x2, …… xn dituliskan dengan simbol berikut:

(1-2)

Dengan demikian persamaan (1-1) dapat dimodifikasi menjadi berikut:

(1-3)

atau secara simbolik dituliskan sebagai berikut:

I-1

(1-

4)

Untuk n = 1, maka persamaan (1-3) atau (1-4) mempunyai bentuk seperti berikut:

(1-5)

dimana

(1-6)

Nilai beda rasio untuk orde lebih tinggi dapat dinyatakan sebagai berikut:

(1-

7)

Untuk n = 4, maka nilai beda rasio ditunjukkan dalam Tabel 1.1.

Tabel 1.1: Tabel Nilai Beda Rasio untuk n = 4

x1 f [ ] = f ( ) f [,] f [, ,] f [, , ,] f [, , , ,]

x0 f [xo]

f [xo, x1]

x1 f [x1] f [xo, x1, x2]

f [x1, x2] f [xo, x1, x2, x3]

x2 f [x2] f [x1, x2, x3] f [xo, x1, x2, x3, x4]

f [x2, x3] f [x1, x2, x3, x4]

x3 f [x3] f [x2, x3, x4]

f [x3, x4]

x4 f [x4]

1.2. Inter dan Ekstrapolasi Polinomial dengan Nilai Interval Konstan

I-2

Interpolasi dan ekstrapolasi ini didasarkan pada polinomial interpolasi Newton. Dalam subbab ini nilai f(x) dievaluasi pada titik-titik antara x = a sampai dengan x = b dengan interval h (konstan), sehingga terdapat f(xi), i = 0, ……, n dimana:

(1-8)

Persoalan disederhanakan dengan memperkenalkan variabel peubah linier berikut:

(1-9)

Untuk penentuan polinomial interpolasi dengan orde n pada titik xk, ……xk+n tidak diperlukan tabel nilai beda rasio (divided difference), melainkan tabel nilai beda (difference). Untuk itu diperkenalkan beda kedepan atau forward difference yang dinyatakan sebagai berikut:

(1-10)

Hubungan antara nilai beda rasio (divided difference) dengan nilai beda (difference) diekspresikan sebagai berikut:

(1-11)

Interpolasi Newton beda kedepan (Newton forward-difference) untuk polinomial dengan orde n yang menginterpolasi f(x) di titik-titik xk + ih, i = 0, ……n diekspresikan sebagai berikut:

(1-12)

Tabel 1.2: Tabel Nilai Beda Kedepan (Forward Difference) untuk i = 0, 1, 2, 3, 4

xk fk 1fk 2fk 3fk 4fk

I-3

x-4 f-4

I-4

f-4

x-3 f-3 2f-4

f-3 3f-4

x-2 f-2 2f-3 4f-4

f-2 3f-3

x-1 f-1 2f-2 4f-3

f-1 3f-2

x0 f0 2f-1 4f-2

f0 3f-1

x1 f1 2f0 4f-1

f1 3f0

x2 f2 2f1 4f0

f2 3f1

x3 f3 2f2

f3

x4 f4

Persamaan (1-12) secara simbolik dapat dituliskan sebagai berikut:

(1-13)

Untuk k = 0, maka persamaan (1-12) akan menjadi seperti berikut:

(1-14)

sedangkan persamaan (1-13) akan berubah menjadi:

(1-15)

Contoh soal interpolasi dan ekstrapolasi polinomial dengan nilai interval konstan:

Posisi planet Mars diukur setiap 10 hari seperti ditunjukkan pada Tabel 1.3. Dari data ini kita diminta untuk menghitung posisi atau koordinat panet Mars pada t = 1450.5 dengan cara interpolasi polinomial dengan nilai interval konstan.

Jawaban:

I-5

Persoalan ini sebetulnya merupakan persoalan ekstrapolasi, karena harga yang diinginkan berada di luar interval data-data yang diketahui. Jika t = 1250.5 dianggap sebagai acuan, maka t0 = 1250.5, sedangkan t = 1450.5 dan f0 = 139140. Tabel 1.3 menyajikan data pengamatan dan perhitungan 1f sampai dengan 6f. Untuk contoh persoalan ini ekstrapolasi hanya didasarkan pada persamaan (1-14) dengan f sampai pada 3f saja. Posisi pada t = 1450.5 adalah f(t) = -106150. Perhitungan diberikan di bawah ini.

Tabel 1.3: Tabel Koordinat Planet Mars dengan interval 10 hari(Sumber: Conte & de Boor, 1981)

s t f(t) 1f 2f 3f 4f 5f 6f

0 1250.5 139140

-1444

1 1260.5 137696 -1469

-2913 55

2 1270.5 134783 -1414 -3

-4327 52 97

3 1280.5 130456 -1362 94 -302

-5689 146 -205

4 1290.5 124767 -1216 -111 408

-6905 35 203

5 1300.5 117862 -1181 92 -311

-8086 127 -108

I-6

6 1310.5 109776 -1054 -16 128

-9140 111 20

7 1320.5 100636 -943 4

-10083 115

8 1330.5 90553 -828

-10911

9 1340.5 79642

I-7