Nama deliana

massa, , dimana h adalah tinggi dari datum dan g percepatan

gravitasi bumi, sehingga persamaan Bernoulli menjadi :

sepanjang streamline. Untuk fluida dimana setiap

garis streamlinenya mendapat gaya garvitasi maka teori Bernoullinya

menjadi : . Bentuk umum teori Bernoulli dapat ditulis :

, dimana adalah energi potensial per unit massa.

1.1.Massa Tambah (Added Mass ).

Didalam perhitungan massa suatu struktur memerlukan data massa

dari struktur dan distribusinya, termasuk pondasi dan kondisi disekitar

strukturnya. Ada 2(dua) hal penting dalam perhitungan massa pada struktur

bangunan laut:

1 Massa disekeliling struktur dimana massa tersebut bergerak mengikuti

pergerakan struktur tersebut baik tercelup maupun tidak tercelup, yang

pada umumnya disbut massa tambah (added mass).

2. Bertambahnya massa karena adanya tumbuhan laut.Harga massa tambah dapat tergantung pada bentuk strukturnya,

untuk silinder Mam (massa tambah) adalah r2, dimana adalah massa

jenis air, r adalah radius silinder. Koefisien massa tambahnya dapat

dihitung sebagai berikut :

,

dimana M adalah massa air yang dipindahkan oleh struktur, dan Cm pada

umumnya diambil sama dengan 2,0.

1.9. d’Alembert’s Paradox.

1

Sebuah tabung dengan aliran fluida inviscid didalamnya yang

mempunyai kecepatan constant (U). Apabila diletakkan benda A pada

tengah tabung maka aliran akan berubah, akan tetapi pada jarak yang

cukup jauh aliran akan kembali tanpa adanya gangguan. Untuk

mempertahankan posisi benda tersebut maka diperlukan gaya , misalkan F adalah gaya yang pararel terhadap alirannya, sehingga F=0, hal ini dikenal

dengan sebutan d’Alembert’s Paradox.

Gambar 1.9.1. d’Alembert’s Paradox.

Gaya luar seperti gravitasi diabaikan, sehingga F adalah resultan pada arah

aliran dari tekanan yang bekerja pada lapisan A.

1.10. Aliran melalui suatu benda.

Apabila suatu benda (bola) terkena aliran yang uniform dan gaya

luar diabaikan maka aliran streamlinenya akan simetris terhadap

diameter bolanya yang searah alirannya. Pada titik stagnasi (stagnation

point) A maka kecepatannya adalah nol. Apabila kecepatan aliran

meningkat maka lapisan batas (boundary layer) menjadi semakin tipis

pada A dan dibelakang benda akan semakin tebal. Pada lapisan batas

dibelakang benda akan bergerak kearah berlawanan dan membentuk

ulekan (eddies) yang akhirnya disebut dengan vortex.

AU U

S1 S2

A

2

Gambar 1.10.1. Vortex Shedding.

1.11. Matematika Review.

Di dalam perhitungan hidrodinamis sering digunakan notasi-notasi

alphabet Yunani dalam notasi matematikanya. Adapun noatsi yang digunakan

adalah sebagai berikut:

a) Alphabet Yunani

Alpha Nu

Beta Xi

Gamma Omieron

Delta Pi

Epsilon Rho

Zeta Sigma

Eta Tau

Theta Upsilon

Iota Phi

Kappa Chi

Lambda Psi

Mu Omega

1.11.1. Fourier Series.

Fourier series adalah series yang tidak terbatas dari fungsi trigonometri

yang sering digunakan dalam perhitungan gelombang dan juga phenomena

physic dari aliran yang periodic. Sebagai contoh untuk penyelesaian dari

gelombang laut . Jika f(x) sebagai suatu fungsi dengan interval

dan periodic dengan periode 2, kemudian f(x) dapat direpresentatifkan

dengan fungsi trigonometri sebagai berikut:

3

dimana koefisien an dan bn didapatkan dari integrasl :

Catatan : Bahwa interval dapat dipilih sebagai , dimana dalam hal ini

x0 = 0, sehingga apabila f(x) sebagai fungsi genap dalam interval ,

maka:

Hal tersebut juga berlaku untuk fungsi ganjilnya. Bentuk fungsi cosinus dan

sinus dalam series untuk f(x) dapat digabungkan dalam bentuk satu sinus atau

cosinusdari amplitude dan sudut phasenya, sebagai contoh :

dimana .

Jika f(x) dibatasi oleh limit –L x L dan kemudian dengan perubahan

variabelnya maka deret Fourier untuk f(x)nya menjadi:

dimana

dan

Demikian pula jika f(x) digunakan untuk gelombang periodic dengan periode T

dalam interval –T/2 t T/2 dan kemudian subsitusi kedalam

persamaan f(x) menjadi: , dimana an dan

bn adalah:

dan .

Contoh:

4

simmetri untuk x = 0 dan periodic dengan periode a, maka

bn = 0, sehingga : dan

, dimana = 0 untuk n

genapdan mempunyai harga dari untuk n = 0, 1, 2, ….. Jadi

Fourier series dari f(x) dapat ditulis :

Gambar 1.11.1. Fungsi f(x) untuk Series Fourier.

1.11.2. Komplek Variabel.

Dalam perhitungan hidrodinamika khususnya dalam meformulasikan

persamaan matematisnya menggunakan variabel komplek. Sebagai contoh,

profil gelombang dari gelombang progressive dapat ditulis dalam bentuk

komplek. Bentuk komplek dapat ditulis sdalam bentuk x + iy, dimana x dan y adalah angka riil dan i adalah imajiner (i2 = -1). Bentuk umumnya adalah: z = x + iy, dimana x adalah bagian riil dari z dan ditulis: x = Re (z), sedangkan y

adalah bagian imajiner dari z, ditulis y = Im (z). Simbol z disebut variabel

komplek.

Jika P adalah suatu titik pada bidang komplek (x,y) atau x + iy, dan

dalam koordinat polar dengan jarak r dari O dan susut dari x positive maka x

a/2-a/2 0 x

y

-a a-1

1

5

= r cos dan y = r sin . Dalam bentuk komplek ditulis z = x iy = r (cos

I sin ) = re i, yang pada umumnya disebut rumus Euler. De Moivre’s theorem

menyatakan bahwa definisi diatas dapat ditulis dalam bentuk z, yaitu:

Gambar 1.11.2. Definisi dari bidang komplek.

Operasi penyelesaian komplek dar z = z1 z2, dimana z1= a1 + ib1 = r1 ei1 dan

z2= a2 + ib2 = r2 ei1, sehingga z = (a1 a2 – b1 b2 ) + i( a1 b2 + a2 b1 ) dan untuk

koordinat polarnya adalah z = r1 r2 e(1+2).

Catatan : cos k = ½ (eik + e-ik) dan sin k = ½ (eik + e-ik), dengan aljabar

komplek diketahui sinh ikx = i sin kx dan cosh ikx = cos kx..

1.11.3. Singularity.

Suatu fungsi komplek (complex function) f(z) dalam suatu daerah R, jika

turunan fungsinya adalah f’(z) ada pada setiap titik z dalam daerah R, kemudian

f(z) disebut fungsi analitik dalam R. Suatu titik pada f(z) didalam analitk disebut

titik singular atau singularity dari f(z). Apabila z = z0 adalah titik singular dari f(z),

maka lingkarannya dapat didefinisikan sebagai |z – z0 | = , dimana > 0.

Untuk integer positive n maka :

dimana z = z0 disebut titik pusat dari n. Apabila n = 1, maka disebut simple pole.

O

y

x

P(x,y)

x

r

6

1.11.4. Integrasi Komplek.

Pada Gambar 1.11.2.2.1. terlihat bahwa f(z) kontinyu pada kurva C dan

dibatasi dengan limit a dan b. Selanjutnya atau disebut garis

integral dari f(z) sepanjang kurva C atau integral terbatas a ke b. Apabila

daerah R dibatasi oleh kurva tertutup C yang mana tergantung pada R, dan

kemudian daerah R dapat berubah menjadi titik maka disebut hubungan

sederhana. Misalkan P(x,y) dan Q(x,y) kontnyu dan mempunyai turunann

parsial dalam daerah R dan dibatasi oleh C, maka teori dari Green mengatakan

bahwa: , demikian pula untuk masalah 3D

(tiga dimensi) dapat dihitung seperti diatas.

Gambar 1.11.4.1. Garis Integral.

C

a

b

x

y

0

0

7

Gambar 1.11.4.2. Macam-macam pembagian daerah (regions).

Rumus integral Cauchy menyatakan bahwa jika f(z) fungsi analitik dan pada

kurva tertutup C dan a adalah titik sebarang didalam C, maka

, dimana C positive berlawanan arah jarum jam. Secara

umum untuk turunan ke n dari f(z) pada z = a, ditulis:

Rumus integrasi dari Cauchy

banyak digunakan dalam permasalahan interaksi gelombang, difraksi dan teori

radiasi.

1.11.5. Fungsi Hiperbolik.

Pada gelombang laut khusunya gelombang permukaan akan mengalami

penurunan kedalaman sebagai fungsi hiperbolik, fungsi tersebut umum

digunakan pada persoalan perhitungan beban gelombang pada bangunan

lepas pantai. Bentuk hiperbolikus dapat berbentuk sinus, cosinus, analogi

dengan fungsi lingkaran. Bentuk fungsi hiperbolik dapat ditulis dalam bentuk

fungsi exponensial :

Dalam bentuk series: dan

sehubungan dengan fungsi lingkaran dalam bentuk komplek maka:

a) Hubungan sederhana a) Hubungan komplek

8

Untuk fungsi kwadrat pada persamaan diffrensial X” + k2 X = 0, maka sin kx

dan cos kx menjadi snh kx dan cosh kx, sehingga secara umum penyelesaian

persamaan kearah x adalah: . Sebagai contoh untuk

penyelesaian masalah Catenary, seperti pada Gambar 1.11.5., sebuah kabel

tergantung dengan titik A pada kapal dan titik B pada dasar laut. Reaksi kabel

kearah horisontalnya pada titik B membuat sudut tangent terhadap dasar

lautnya (ditulis R). Pada titik P pada kabel beban tegak lurusnya adalah W,

dimana sama dengan berat kabel itu sendiri, w, dikalikan panjang kable, S,

antara titik B dan P.

Gambar 1.11.5. Kabel Mooring Statis.

Apabila kordinat pada titik B (x,y), maka dan T tegangan

yang bekerja pada P yang membuat sudut terhadap dasar laut sehingga

. Dari persamaan diferensial biasa , sehingga

.

Pemecahan persoalan dari catenary yaitu:

.

Panjang antara B ke P adalah .

B

A

TP

W

R

x

y

R o

o

TS

o

9

1.11.6. Fungsi Bessel.

Salah satu bentuk umum dari bentuk struktur bangunan lepas pantai

adalah silinder. Fungsi Bessel (Bessel Function) adalah salah satu pemecahan

penyelesaian dari persamaan differensial pangkat dua yang dapat ditulis

sebagai berikut:

Penyelesaian umumnya adalah : untuk semua integer n,

dimana Jn adalah Fungsi Bessel untuk orde kesatu n dan Yn adalah fungsi

Bessel untuk orde ke dua dari n. Jumlah Jn dapat ditulis dalam bentuk series ke

x sebagai:

dari hubungannya maka dapat ditulis: ,

dimana n = 0,1,2,…. Fungsi Bessel untuk order kedua n sehubungan dengan

orde pertamanya adalah :

juga Y1 (x) = -Y’0 (x) dan Y-n (x) = (-1)n Yn (x), untuk n=0,1,2,….

Fungsi Hankel untuk orde pertama dalam bentuk komplek ditulis:

Sedangkan untuk orde keduanya ditulis:

Bentuk umum dari fungsi Bessel adalah:

1.11.7. Persamaan Differensial Parsial.

10

Apabila suatu variabel fungsinya tergantung dari lebih satu variabel,

maka turunannya secara parsial hubungan antara variabelnya sering disebut

persamaan differensial. Pada penyelesaian masalah gelombang umumnya

digunakan persamaan differnsial. Misalkan fungsi z tergantung pada dua

variabel x dan y, ditulis z = f(x,y). Dalam penyelesaian persamaan diatas dapat

dibagi menjadi dua penurunan, yaitu pertama perubahan rata-rata dari z

terhadap x dengan y konstan dan kedua perubahan rata-rata dari z terhadap y

dan x konstan, penurunan persamaan tersebut disebut turunan parsial. Sebagai

contoh, suatu persamaan lingkaran: , kemudian

. Selanjutnya apabila x dan y fungsi dari satu

variabel t, maka dapat ditulis: .

1.11.8. Vektor dan Tensor.

Scalar dan vector merupakan besaran yang sering dipakai pada masalah

hidrodinamika. Scalar adalah suatu besaran yang tidak memerlukan arah pada

suatu ruang, misalnya volume, berat jenis, massa, energi dan tekanan.

Sedangkan vektor adalah besaran yang mempunyai magnitude dan arah, juga

memenuhi hukum parallelogram dari penambahan dan perkalian, misalnya

kecepatan, momentum linear dan gaya, termasuk kecepatan angular dan

kecepatan momentum. Jadi jika Ia adalah unit vektor pararel terhadap vektor a,

maka a = . Ia

Lihat a, b adalah dua vector dengan besaran a,b yang diwakili oleh garis

OA dan OB dengan titik awal pada titik O. Sudut antara vektornya adalah ,

sudut AOB merupakan sudut rotasi minimum dari a ke b, sehingga ab = ab cos . Hasil scalar sebagai hasil OA.OM, dimana M adalah proyeksi B pada OA,

sehingga OA = a, OM = b cos , dalam bentuk umumnya ba = ba cos(-) = ab

cos = ab.

11

Gambar 1.11.8.1. Skalar hasil dari perkalian vector.

Hasil perkalian vector juga dapat menghasilkan suatu vector. Lihat a dan

b adalah dua vector dengan besaran a,b dengan membuat sudut diukur dari a

ke b. Perkalian vector a b sebagai vector dengan besaran ab sin , dimana

tegak lurus terhadap adan b, dan rotasidaria ke b seperti hukum mur baut,

sehingga didapatkan ba sin (-) = -ab sin dan a b = - b a.

Gambar 1.11.8.2. Vektor dari hasil perkalian vector.

Sebagai contoh yaitu sebuah titik P terletak pada suatu benda rigid yang

bergerak pada poros titik O dengan kecepatan sudut , dimana r adalah posisi

vector P relative terhadap O. Apabila PN tegak lurus , kemudian kecepatan

dari P adalah OP sin tegak lurus pada bidang PON sehingga menghasilkan

vector r.

O

B

M

b

a A

-

a

a b

b a

a

b

b

12

Gambar 1.11.8.3. Contoh dari perkalian vector.

Demikian pula untuk vector momen pada O dari gaya F yang bekerja pada P adalah r F. Skalar dan vector apabila dikalikan maka berlaku hukum

distributive, yaitu :

a (b+c) = ab + ac dan a (b+c) = a b + a c

1.11.8.1. Vektor 1.11.8.1.1. Hasil perkalian tiga vector.

a) Hasil triple scalar. Apabila ada 3 vektor a, b, c maka kombinasi a(r c) disebut triple scalar.

Hal ini dapat dibuktikan dengan mengassumsikan suatu kotak dengan sisi-

sisinya adalah vector a, b, c, sehingga hasil skalarnya diukur oleh

volumenya.

Gambar 1.11.8.1.1. Contoh dari perkalian vector.

Dari gambar 1.11.8.1.1. terlihat bahwa:

O O

r r F

r

r

F

P

P

a

c

b

13

a (b c) = b (c a) = c (a b)a (b c) = - a (c b) dimana b c = -c b

(a b) c = a (b c) = [abc]Apabila dua vektornya sama atau pararel, atau ketiga vektornya coplanar

maka

[aab] = 0b) Hasil triple vektor.

Apabila a, b, c adalah tiga vector, maka kombinasi a (b c) adalah hasil

perkalian tiga vector. Apabila diketahui a (b c) = - a (c b) = (c b) a maka hasil perkalian tiga vektornya menjadi :

a (b c) = -(ab) c + (ac) bc) Resolusi vector.

Apabila a, b, c adalah tiga vector, tidak coplanar dan x adalah vector

arbitrary maka:

(i) x [a (b c)] = a [ (b c) x] + b [(c a) x] + c [(a b) x] (ii) x [a (b c) = (b c) (ax) + (c a) (bx) + (a b) (cx)

Tensor

Scalar dan vector a, b, c, …., dan seterusnya tidak terbatas,

dinyatakan dalam bentuk semicolon (;), disebut dyadic multiplication. Dengan

demikian maka dapat dituliskan urutan sebagai berikut :

(1) , a, a;b, a ; b ; c, a ; b ; c ; d, …., dimana a;b disebut dyad.

(2) a ; b ; c = (a ; b) ; c = a ; (b ; c) (3) a ; b ; c ; d = (a ; b) ; (c ; d) = a ; (b ; c) ; d

(4) ; b ; c = ( ; b) ; c = ; (b ; c)(5) b ; c = ( b) ; c = ( b ; c)(6) (a ; b) c = a ; (b c) = a (b c)(7) (a ; b) (c ; d) = a ; (b c) ; d = (a ; d) (b c)(8) (a ; b) .. (c ; d) = (ad) (bc)(9) (ad) (bc) = (cb) (da) = (bc) (ad) = (da) (cb)(10) (a ; b) .. (c ; d) = (c ; d) .. (a ; b) = (b ; a) .. (d ; c) = (d ; c) .. (b ; a)

14

(11) (a ; b) .. (c ; d) = (a ; b) .. (c ; d) = (a ; b) .. (c ; d) = (a ; b) .. (c ; d) (12) A ; (B+C) = A ; B + A ;C, (B+C) ; A = B ; A + C ; A(13) (a b) c = - a (bc) + b (ac) = c(a;b) – c(b;a)

= c[a;b - b;a] = c[a;b - (a;b)](14) A(x+y) = Ax + Ay, (x+y)A = xA + yA

Definisi dari Tensor.Sebuah vektor linier dengan operator (r) disebut tensor dari r, jika (0) scalar,

dan jika untuk setiap integer positif r 1dan untuk setiap vector x, (r) x adalah

tensor r – 1. Apabila i1 , i2 , i3, adalah vector yang saling tegak lurus maka

dalam bentuk tensor dapat kita tulis x = x1 i1 ,x2 i2 , x3 i3. Misalkan adalah

tensor ke2 pada bidang ke3, maka :

x = x1 i1 + x2 i2 + x3 i3

= i1 (i1x) + i2 (i2x) + i3 (i3x)= [(i1);i1 + (i2); i2 + (i3); i3]x

1.12. Definisi-definisi.

A pathline : Ada1ah sebuah locus yang merupakan kumpulan posisi titik

dari sebuah partikel pada interval waktu yang berturutan.

A streakline (filament line) : Ada1ah suatu garis yang merupakan

posisi dari semua partikel fuida yang mela1ui titik-titik partikel.

A streamline: Ada1ah kurva imajiner pada a1iran fuida dimana

kecepatan setiap partikel sepanjang streamline sela1u membentuk tangentia1

terhadap streamlinenya pada setiap waktu.

Viskositas : Koefisien viskositas () ada1ah perbandingan dari shear

stress () pada setiap titik di da1am a1iran terhadap gaya geser rata-rata pada

setiap titik tegak lurus luasan dimana terjadi stress.

Inviscid : Suatu f1uida yang mempunyai zero viscosity, tidak

menga1ami perubahan viskositas.

15

Incompressible: Suatu f1uida yang tidak menga1ami perubahan

tekanan, dengan kata 1ain tekanan pada permukaan f1uida sama dengan

tekanan atmosfernya.

Irrotational : Suatu f1uida yang diassumsikan bahwa partikel tersebut

berputar akan tetapi a1iran yang terbentuk tidak berputar .

Conformal Transformation: Suatu luasan atau daerah didalam z-plane

yang mana dapat diplotkan kedalam suatu luasan ditempat daerah lain (ζ-

plane) dengan cara transformasi. Jika ζ = ξ + i ditransformasikan dengan

hubungan ξ,, dan x,y, sehingga fungsi ξ = ξ (x,y) dan = (x,y).

16