1-Dinamika rotasi

SERI EBOOK GURUMUDA

Alexander San Lohat | http://www.gurumuda.com © 2008 ‐ 2009

1

Dinamika Rotasi

Edisi Kedua

Untuk SMA kelas XI

(Telah disesuaikan dengan KTSP)

Penulis

Alexander san lohat

(san)

Lisensi Dokumen : Copyright © 2008‐2009 GuruMuda.Com Seluruh dokumen di GuruMuda.Com dapat digunakan dan disebarkan secara bebas untuk tujuan bukan komersial (nonprofit), dengan syarat tidak menghapus atau merubah atribut penulis dan pernyataan copyright yang disertakan dalam setiap dokumen. Tidak diperbolehkan melakukan penulisan ulang, kecuali mendapatkan ijin terlebih dahulu dari GuruMuda.Com.

SERI EBOOK GURUMUDA


2

Contact Person

Anda bisa menghubungi saya melalui beberapa jalur di bawah :

Blog : http://www.gurumuda.com

Email : [email protected]

Testimonial dan Saran

Apapun pendapat anda mengenai tulisan saya, silahkan memberikan testimonial atau saran konstruktif demi pengembangan ebook ini menjadi lebih baik. Testimonial atau saran yang bersifat membangun

dari anda bisa dikirim ke email berikut :

[email protected]

Terima kasih atas partisipasi anda

SERI EBOOK GURUMUDA


3

Materi Pembelajaran :

Dinamika Rotasi

Tujuan Pembelajaran :

Kompetensi Dasar :

Menformulasikan hubungan antara konsep torsi, momen inersia dan momentum sudut, berdasarkan hukum II Newton serta penerapannya dalam masalah benda tegar

Indikator :

a. Memformulasikan pengaruh torsi pada sebuah benda dalam kaitannya dengan gerak rotasi benda tersebut

b. Menggunakan konsep momen inersia untuk berbagai bentuk benda tegar

c. Mengungkap analogi hukum II Newton tentang gerak translasi dan gerak rotasi

d. Memformulasikan hukum kekekalan momentum sudut pada gerak rotasi

Tujuan pembelajaran di atas merupakan tuntutan dari Depdiknas RI dalam KTSP. Jadi dirimu harus mencapai Kompetensi dasar dan Indikator tersebut. Kalau tidak bisa, ntar dapat nilai merah :) alias tidak lulus. Nah, kali ini Gurumuda membimbing dirimu untuk bisa mencapai tujuan pembelajaran di atas.

Selamat Belajar ☺

SERI EBOOK GURUMUDA


4

Pengetahuan Prasyarat

Sebelum mempelajari pokok bahasan ini, sebaiknya pelajari terlebih dahulu materi kelas X dan kelas XI semester I. Gurumuda menganggap dirimu sudah memahami konsep‐konsep dasar yang telah dipelajari dalam pokok bahasan sebelumnya. Download saja materinya di halaman ebook gratis, gurumuda.com…

Pengantar

Dalam pembahasan‐pembahasan sebelumnya, kita sudah belajar mengenai gerak translasi (gerak lurus, gerak parabola dkk). Kali ini kita akan mempelajari gerak rotasi, khususnya berkaitan dengan benda tegar. Ada dua istilah baru pada topik ini, yakni gerak rotasi dan benda tegar.

Sebuah benda dikatakan melakukan gerakan rotasi jika semua titik pada benda bergerak mengitari sumbu alias poros benda tersebut. Lebih mudahnya bayangkanlah gerakan kipas angin atau gerakan Compact Disc dalam CD/DVD room.

Terus benda tegar tuh maksudnya apa ? Yang dimaksudkan dengan benda tegar adalah benda yang bentuknya selalu tetap alias tidak berubah, di mana posisi setiap partikel pada benda tersebut relative selalu sama antara satu dengan yang lain. Sebenarnya benda dalam kehidupan sehari‐hari jauh lebih rumit. Bentuk benda dapat berubah ketika dikenai gaya. Perlu diingat bahwa Benda tegar merupakan sebuah pendekatan ideal saja, di mana kita menganggap bentuk dan ukuran benda tidak berubah. Kita memilih pendekatan ini karena benda‐benda dalam kehidupan kita mendekati kondisi ini.

Pada kesempitan ini, terlebih dahulu kita tinjau rotasi benda tegar tanpa mempersoalkan gaya yang mempengaruhi gerakan benda tegar tersebut (kinematika rotasi). Jadi analisis kita murni hanya mencakup gerakan rotasi dari benda tegar itu. Setelah itu, kita akan mengalisis rotasi benda tegar dan gaya yang mempengaruhinya (Dinamika rotasi).

SERI EBOOK GURUMUDA


5

KINEMATIKA ROTASI

Besaran‐besaran sudut

Dalam pokok bahasan Gerak Lurus, kita mengenal beberapa besaran, seperti kecepatan, perpindahan dan percepatan. Nah, dalam gerak rotasi, kita akan berkenalan dengan beberapa besaran sudut, antara lain kecepatan sudut, percepatan sudut dan perpindahan sudut. Di sebut sudut karena dalam gerak rotasi setiap partikel pada benda tegar bergerak dalam lingkaran dan menempuh sudut tertentu. Besaran‐besaran ini seringkali disebut juga dengan julukan kecepatan angular, percepatan angular dan perpindahan angular. Angular = sudut, seperti linear = lurus. Jangan pake bingung. Mengenai besaran‐besaran ini akan kita kupas tuntas satu persatu. Selamat bersenang‐senang ya ;) kok bersenang‐senang sich. Berkerut‐kerut kali… he2… :)

Untuk membantu kita membahas besaran‐besaran sudut, terlebih dahulu kita tinjau sebuah benda tegar yang berotasi pada sumbuhnya. Pada kesempatan ini gurumuda menggunakan cakram. Perhatikan gambar di bawah. Pada gambar tampak sebuah cakram berotasi terhadap sumbuhnya, di mana arah gerakan cakram berlawanan dengan arah putaran jarum jam.

Ketika cakram berotasi, setiap bagian dari cakram bergerak dengan kelajuan yang berbeda. Titik yang berada di dekat sumbu (S), bergerak lebih lambat dibandingkan dengan titik yang berada di tepi cakram. Untuk membuktikannya, silahkan menggelindingkan sebuah benda, roda sepeda misalnya. Ketika roda melakukan satu putaran, bagian tepi roda lebih cepat bergerak daripada bagian roda yang berada di dekat sumbu. Ingat bahwa yang dimaksudkan di sini adalah kelajuan linear alias besar kecepatan linear. Jadi tidak ada maknanya apabila kita berbicara mengenai kelajuan atau kecepatan cakram ketika berotasi, karena bagaimanapun laju setiap titik alias setiap bagian dari cakram tersebut berbeda. Sampai di sini dirimu tidak bingung khan ? Kalo bingung sebut nama gurumuda tiga kali. Jamin dirimu tambah bingung :)

Walaupun demikian ;) , ketika titik yang berada di tepi cakram (atau roda sepeda misalnya) melakukan satu putaran penuh, maka titik yang berada di dekat sumbu juga melakukan satu putaran penuh. Jika

SERI EBOOK GURUMUDA


6

cakram melakukan satu putaran, maka semua bagian dari cakram itu juga melakukan satu putaran. Untuk lebih memahaminya, amati garis acuan pada gambar di atas. Garis acuan itu mewakili titik yang berada di tepi, di tengah dan di dekat sumbu. Ketika cakram berotasi, dalam selang waktu tertentu, garis itu menempuh sudut yang sama (lihat gambar di atas).

Mungkin dirimu belum paham dengan konsep benda tegar, sehingga sebelum melangkah lebih jauh, terlebih dahulu kita kupas tuntas apa sesungguhnya benda tegar itu. Kita tetap menggunakan contoh cakram di atas ya. Pada penjelasan sebelumnya, dikatakan bahwa ketika cakram berputar, maka setiap titik yang ada di tepi, di tengah, maupun di dekat sumbuh juga ikut berputar. Kita bisa menganggap cakram tersusun dari banyak partikel titik. Nah, ketika cakram berotasi, jarak antara setiap titik di seluruh bagian cakram selalu sama antara satu dengan lainnya. System seperti ini dinamakan benda tegar. Dengan kata lain, benda tegar merupakan benda yang bentuknya selalu tetap alias tidak berubah, di mana posisi setiap partikel titik pada benda tersebut relative selalu sama antara satu dengan yang lain.

Perpindahan Sudut

Dalam Gerak Lurus, kita mengenal besaran perpindahan. Ketika suatu benda bergerak menempuh lintasan lurus, posisi benda itu juga berubah. Dengan kata lain, benda tersebut dikatakan mengalami perpindahan. Bagaimana dengan gerak rotasi ? ketika suatu benda tegar melakukan rotasi, setiap titik pada benda tegar juga mengalami perubahan posisi. Karena dalam gerak rotasi setiap titik menempuh sudut tertentu, maka perubahan posisi setiap titik pada benda tegar disebut perpindahan sudut.

Dalam gerak rotasi, cara paling mudah untuk mengukur sudut adalah menggunakan radian, bukan derajat. Derajat lebih ribet, jadi mending pake radian. Btw, radian tuh apa ? terus bagaimana‐kah mengukur sudut menggunakan radian ? pahami penjelasan gurumuda ini ya… oya, untuk membantu penjelasan, gambar cakram di atas gurumuda copy‐paste lagi di sini.

Untuk membantu menunjukkan perubahan posisi dalam gerak rotasi, kita tetapkan sebuah garis acuan. Ini Cuma garis imaginer, maksudnya ketika cakram berputar, garis itu tetap berada pada posisinya seperti pada gambar. Jadi garisnya tidak ikut‐ikutan berputar. Ketika cakram berotasi, titik A yang mula‐mula berimpit dengan garis acuan bergerak melalui sudut teta sejauh l sepanjang busur lingkaran. Nah,

SERI EBOOK GURUMUDA


7

titik A dikatakan melakukan putaran sejauh satu radian jika panjang l = panjang r. Dengan kata lain, apabila l = r, maka teta = 1 radian. Secara matematis, sudut teta dinyatakan sebagai berikut (dalam radian) :

rl

=θ

Di mana l = radius alias jari‐jari, l = panjang busur

Hubungan Derajat dan Radian

Radian bisa dinyatakan dalam derajat, demikian pula sebaliknya. Satu lingkaran penuh = 360o. Panjang busur keliling lingkaran = 2phi r. Dengan demikian :

ππθ 22===

rr

rl

rad

π2360 =o rad

128,6

360)14,3)(2(

3602

360===

ooo

πrad

13,57 =o rad

Catatan : radian tidak mempunyai dimensi karena radian merupakan perbandingan antara dua besaran panjang (l/r)

Kecepatan Sudut

Kalau dalam Gerak Lurus terdapat besaran kecepatan linear alias kecepatan, maka dalam gerak rotasi terdapat besaran kecepatan sudut. Menghitung kecepatan sudut itu mirip dengan menghitung kecepatan linear. Jika kecepatan merupakan perbandingan dari perpindahan dan selang waktu, maka kecepatan sudut merupakan perbandingan dari perpindahan sudut dan selang waktu. Cuma beda tipis khan ?

Kecepatan Sudut Rata‐rata

Untuk mendefinisikan kecepatan sudut rata‐rata, alangkah baiknya jika kita menggunakan ilustrasi. Bisa pakai cakram seperti sebelumnya, bisa pakai roda atau benda lainnya. Dirimu mungkin suka jalan‐jalan dengan pacar menggunakan sepeda motor, jadi kali ini kita gunakan roda sepeda motor sebagai ilustrasi. (Perhatikan gambar di bawah. Tuh gambar roda sepeda motor gurumuda :D rodanya agak kusam )

SERI EBOOK GURUMUDA


8

1θ = posisi sudut awal, 2θ = posisi sudut akhir.

Posisi sudut diukur dari garis acuan. Pada saat t1, bagian roda yang ditandai dengan garis putus‐putus berada pada posisi sejauh teta 1 dari garis acuan. Pada saat t2, bagian roda yang ditandai dengan garis putus‐putus berada pada posisi sejauh teta 2 dari garis acuan. Nah, selisih antara teta 2 dan teta 1 merupakan perpindahan sudut (delta teta). Secara matematis, kecepatan sudut rata‐rata, dinyatakan sebagai berikut :

uSelangWaktnSudutPerpindaharataSudutRataKecepa =−tan

ttt ΔΔ

=−−

=θθθ

ω12

12

θΔ (delta teta) = perpindahan sudut, tΔ = selang waktu.

Kecepatan Sudut Sesaat

Kecepatan sudut sesaat merupakan kecepatan sudut pada suatu saat tertentu (selang waktu yang sangat singkat). Secara matematis, kecepatan sudut sesaat dapat dinyatakan sebagai berikut :

tt ΔΔ

=→Δ

θω0

lim

Kecepatan sudut sesaat bisa juga berarti perpindahan sudut yang sangat kecil yang dilalui benda dalam selang waktu yang sangat singkat.

Satuan Kecepatan sudut adalah radian per sekon (rad/s). Tahukan mengapa satuannya rad/s ? ;)

Catatan :

Semua bagian benda tegar melakukan gerak rotasi dengan kecepatan sudut yang sama, karena setiap titik pada benda tegar berputar melalui sudut yang sama selama selang waktu yang sama. Pada ilustrasi

SERI EBOOK GURUMUDA


9

di atas kita hanya meninjau bagian tertentu dari benda, tapi itu membantu kita menurunkan persamaan kecepatan sudut. Bagaimanapun, ketika bagian benda tersebut berputar, bagian lain juga ikut berputar.

Percepatan Sudut

Percepatan merupakan perubahan kecepatan. Berkaitan dengan rotasi benda tegar, ketika kecepatan sudut benda mengalami perubahan, maka benda tersebut dikatakan mengalami percepatan. secara matematis, percepatan sudut didefinisikan sebagai perbandingan perubahan kecepatan sudut dibagi selang waktu terjadinya perubahan kecepatan sudut.

Percepatan Sudut Rata‐Rata

Secara matematis, percepatan sudut rata‐rata dirumuskan sebagai berikut :

ttt ΔΔ

=−−

=ωωω

α12

12

α = percepatan sudut rata‐rata

2ω = kecepatan sudut akhir

1ω = kecepatan sudut awal

tΔ = selang waktu terjadinya perubahan kecepatan sudut

Percepatan Sudut Sesaat

Percepatan sudut sesaat merupakan percepatan sudut pada suatu saat tertentu (selang waktu yang sangat singkat). Percepatan sudut sesaat bisa juga berarti perubahan kecepatan sudut yang sangat kecil selama selang waktu yang sangat singkat.

Secara matematis, percepatan sudut sesaat dapat dinyatakan sebagai berikut :

tt ΔΔ

=→Δ

ωα0

lim

Catatan :

Dalam gerak rotasi, semua titik pada benda tegar mempunyai kecepatan sudut yang sama, sehingga percepatan sudut setiap titik pada benda tegar juga selalu sama.

SERI EBOOK GURUMUDA


10

Hubungan antara Kecepatan Sudut dengan Frekuensi dan Periode Rotasi

Gerak rotasi kadang dinyatakan dalam frekuensi atau periode. Frekuensi berarti jumlah putaran dalam satuan waktu tertentu, misalnya jumlah putaran per menit atau jumlah putaran per detik. Sedangkan periode adalah waktu yang diperlukan untuk satu putaran penuh.

Frekuensi

Ketika suatu benda (misalnya roda sepeda motor) melakukan satu putaran, maka semua titik pada benda tersebut bergerak sepanjang satu keliling lingkaran. Keliling lingkaran = 2 phi r. Jika dinyatakan dalam derajat maka satu putaran alias satu keliling lingkaran = 360o. Jika dinyatakan dalam radian, maka satu putaran = 2 phi radian. Dengan demikian, jika kita mengatakan benda melakukan satu putaran per detik, Ini berarti benda berputar 360o/sekon atau 2 phi radian/sekon.

Ketika benda berotasi, benda tersebut pasti memiliki kecepatan sudut (ingat ya, semua bagian benda itu mempunyai kecepatan sudut yang sama ketika benda berotasi). Nah, kita bisa menyatakan hubungan antara frekuensi dan kecepatan sudut dengan persamaan berikut ini :

uTempuhSelangWaktuhYangDitempBesarSudutSudutKecepa =tan

Tπω 2

=

Karena T=1/f, maka persamaan kecepatan sudut dapat ditulis menjadi :

fπω 2= atau

πω2

=f

Satuan frekuensi adalah hertz

Periode

Periode merupakan waktu yang diperlukan untuk melakukan satu putaran.

SERI EBOOK GURUMUDA


11

πω

2

11==

fT

ωπ2

=T

Hubungan Antara Besaran‐Besaran Linear Dan Besaran‐Besaran Sudut

Sebelumnya gurumuda sudah menjelaskan bahwa ketika sebuah benda tegar melakukan gerak rotasi, kecepatan linear setiap titik pada bagian benda tegar itu berbeda‐beda, baik kelajuan alias besar kecepatan dan arah. Titik yang terletak pada tepi benda bergerak lebih cepat daripada titik yang terletak di dekat sumbu rotasi. Di samping itu, arah kecepatan juga berubah‐ubah, karena benda selalu berputar (arahnya berubah setiap saat). Ingat ya, yang gurumuda maksudkan disini adalah kecepatan linear, bukan kecepatan sudut.

Sebenarnya kita bisa membuktikan hal ini secara matematis, dengan melihat persamaan yang menyatakan hubungan antara kecepatan linear dan kecepatan sudut. Pertama‐tama, terlebih dahulu kita turunkan hubungan antara kecepatan linear dan kecepatan sudut, setelah itu baru kita turunkan hubungan antara percepatan linear dan percepatan sudut

Hubungan antara Kecepatan Linear dan Kecepatan Sudut

Untuk membantu kita menurunkan persamaan yang menyatakan hubungan antara kecepatan linear dan kecepatan sudut, kita menggambar indah dulu ya :)

Ini gambar sebuah cakram yang sudah agak kusam ;) Arah rotasi cakram berlawanan dengan putaran jarum jam. Sekarang kita tinjau sebuah titik pada cakram, yang berjarak r dari sumbu (titik A). Ketika

SERI EBOOK GURUMUDA


12

cakram berotasi, semua titik pada benda tegar bergerak dengan kecepatan sudut yang sama. Walaupun demikian, kecepatan linear setiap titik tersebut berbeda, baik besar maupun arahnya. Saat ini kita hanya meninjau titik A saja.

Ketika cakram berotasi selama selang waktu tΔ , titik A menempuh sudut sejauh θΔ , sepanjang busur

lΔ . Arah kecepatan linear titik A dinyatakan dengan gambar panah yang ujungnya ada huruf v. Besar kecepatan linear adalah :

tlv

ΔΔ

=

Karena θθ rlrl

=→= , maka persamaan di atas bisa ditulis menjadi :

tr

tlv

ΔΔ

=ΔΔ

=θ

ωrv =

Meskipun kecepatan sudut setiap titik pada benda tegar selalu sama ketika benda tegar berotasi, kecepatan linear setiap titik tersebut berbeda‐beda. Berdasarkan persamaan ini, kita bisa menyimpulkan bahwa besar kecepatan linear alias kelajuan linear bergantung pada r (jarak titik itu dari sumbu). Semakin besar r (semakin jauh titik dari sumbu), semakin besar kelajuan linear titik tersebut. Sebaliknya, semakin kecil r (semakin dekat titik dengan sumbu), semakin kecil kelajuan linear titik tersebut.

Hubungan antara Percepatan Linear dan Percepatan Sudut

Sebelumnya kita sudah menurunkan persamaan yang menyatakan hubungan antara kecepatan linear dan kecepatan sudut. Kita juga bisa menurunkan persamaan yang menyatakan hubungan antara percepatan linear dengan percepatan sudut.

Perlu diketahui bahwa percepatan linear pada gerak rotasi benda tegar merupakan gabungan dari dua komponen percepatan, yakni percepatan linear tangensial (a tan) dan percepatan radial (a radial) alias percepatan “sentripetal”. Percepatan linear tangensial (percepatan tangensial) adalah percepatan sepanjang busur/keliling lingkaran, sedangkan percepatan radial adalah percepatan yang menuju atau menjahui sumbu. Perhatikan gambar di bawah biar dirimu paham…

Sudah paham‐kah ? lanjut ya… Secara matematis bisa kita tulis :

SERI EBOOK GURUMUDA


13

Percepatan linear = percepatan tangensial + percepatan radial

a = atan + aR

persamaan ini dipending dulu ya ;) ntar baru dilanjutkan… hehe…

Sekarang kita turunkan dahulu persamaan yang menyatakan hubungan antara percepatan tangensial (atan) dengan percepatan sudut.

tv

ttvv

aΔΔ

=−−

=12

12tan

traΔΔ

=ω

tan

αra =tan

Nah, sekarang kita turunkan persamaan percepatan sentripetal. Masih ingat persamaan percepatan sentripetal atau sudah lupa‐kah ?

rr

rvaR

22 )( ω==

2ωraR =

Dengan demikian, percepatan linear pada gerak rotasi benda tegar bisa dinyatakan dengan persamaan di bawah ini :

a = atan + aR

a = αr + 2ωr

SERI EBOOK GURUMUDA


14

Gerak Rotasi Dipercepat Beraturan

Dalam Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB), kita telah mempelajari gerakan benda pada lintasan lurus, di mana benda tersebut mengalami perubahan kecepatan secara teratur. Dengan kata lain, benda yang bergerak lurus mengalami percepatan tetap. Kita juga telah membahas persamaan‐persamaan yang menyatakan hubungan antara besaran‐besaran dalam GLBB. Persamaan‐persamaan itu diturunkan dari besaran‐besaran Gerak Lurus, dengan menganggap percepatan benda tetap.

Jika dalam GLBB kita menganalisis gerakan benda pada lintasan lurus, maka pada kesempatan ini yang kita tinjau bukan gerak lurus tetapi gerak rotasi, khususnya berkaitan dengan rotasi benda tegar. Kasusnya sama, yakni benda mengalami percepatan tetap. Kalau dalam GLBB, besaran yang tetap adalah percepatan linear, maka dalam gerak rotasi, besaran yang tetap adalah percepatan sudut. Kalau dalam GLBB yang berubah secara teratur adalah kecepatan linear, maka besaran yang berubah secara teratur dalam gerak rotasi adalah kecepatan sudut.

Btw, punya tisu gak ? wah, siapin tisu dulu buat ngelap keringat dunk… he2… pisss… santai saja. Cuma satu halaman kok. Met belajar ya :)

Persamaan‐persamaan Gerak Rotasi Dipercepat Beraturan

Katanya kita analisis gerak rotasi yang dipercepat beraturan, kok judulnya malah persamaan‐persamaan sich ? ya… biar gak ribet, kita langsung turunkan persamaannya saja. Kasusnya mirip dengan GLBB, tapi karena yang kita tinjau ini adalah gerak rotasi maka ada beberapa besaran yang diganti.

Kalau dalam GLBB ada besaran perpindahan linear, kecepatan linear dan percepatan linear, maka dalam Gerak Rotasi dipercepat beraturan ada besaran perpindahan sudut, kecepatan sudut dan percepatan sudut. Kita hanya perlu mengganti besaran‐besaran gerak lurus dengan besaran gerak rotasi. Sekarang kita tulis persamaan‐persamaan GLBB.

Persamaan‐Persamaan GLBB :

Catatan : Dalam GLBB percepatan (a) konstan alias tetap

atvv ot +=

221 attvs o +=

SERI EBOOK GURUMUDA


15

asvv ot 222 +=

2ot vv

v+

=

Keterangan :

vo = kecepatan awal

vt = kecepatan akhir

a = percepatan

s = perpindahan

t = selang waktu

Ini adalah persamaan GLBB. Dirimu masih ingat tidak ? Wah, gawat kalau dah lupa... ;)

Nah, persamaan di atas bisa kita oprek menjadi persamaan Gerak Rotasi dipercepat beraturan. Kita ganti

besaran Gerak Lurus dengan Besaran Gerak Rotasi. Btw, besaran waktu tetap ya... OK, tancap gas. Wah

lupa. Ada yang ingin kukatakan... gurumuda tulis persamaanya berurutan ya, biar dirimu mudah

membandingkannya...

Persamaan Gerak rotasi Dipercepat Beraturan

Catatan : Dalam Gerak Rotasi dipercepat beraturan, percepatan sudut konstan alias tetap

tot αωω +=

221 tto αωθ +=

αθωω 222 += ot

2ot ωω

ϖ+

=

SERI EBOOK GURUMUDA


16

Keterangan :

SudutAwalKecepao tan=ω

SudutAkhirKecepat tan=ω

SudutPercepa tan=α

nSudutPerpindaha=θ

RataSudutRataKecepa −= tanϖ

uSelangWaktt =

Gampang khan ? :)

SERI EBOOK GURUMUDA


17

Gerak Rotasi dengan Kecepatan Sudut tetap

Kalau sebelumnya kita sudah oprek persamaan GLBB menjadi persamaan Gerak Rotasi dipercepat

beraturan (GRBB = Gerak Rotasi Berubah Beraturan ?), maka kali ini kita akan oprek persamaan Gerak

Rotasi Dipercepat beraturan menjadi persamaan Gerak Rotasi dengan Kecepatan sudut tetap (GRB =

Gerak Rotasi Beraturan ?)

Jadi persamaan‐persamaan di atas juga bisa berlaku untuk gerak rotasi dengan kecepatan sudut tetap.

Kecepatan sudut tetap berarti percepatan sudut = nol. Setuju ya ? Karena percepatan sudut = 0, maka

percepatan sudut dilenyapkan dari persamaan, terus kecepatan sudut akhir = kecepatan sudut awal

(tidak ada perubahan kecepatan sudut) dan kecepatan sudut rata‐rata = kecepatan sudut. Untuk

memudahkan pemahamanmu, gurumuda oprek persamaanya ya.... Ok, tancap gas....

tot αωω += → 0=α

ot ωω =

Bisa ditulis menjadi :

ωωω == ot

Persamaan pertama tumbang.... next level

221 tto αωθ += → 0=α

toωθ =


tωθ =

Persamaan kedua juga tumbang.... next level

αθωω 222 += ot → 0=α

22ot ωω =


SERI EBOOK GURUMUDA


18

22 ωω =

Persamaan ketiga ikut2an tumbang.... next level

22ωωωω

ϖ +=

+= ot

22ωϖ =

ωϖ =

Akhirnya semuanya tumbang...

Yang kita gunakan dalam Gerak Rotasi dengan Kecepatan Sudut tetap adalah persamaan ini :

tωθ =

Keterangan :

nSudutPerpindaha=θ

SudutKecepa tan=ϖ

uSelangWaktt =

Gampang khan ? :) Tisunya masih ada gak ? kalau habis beli lagi ya... buat pelajaran selanjutnya :D

pisssss............

SERI EBOOK GURUMUDA


19

DINAMIKA ROTASI

Pengantar

Sebelumnya kita sudah mempelajari kinematika rotasi benda tegar. Dalam Kinematika Rotasi, kita hanya meninjau gerakan rotasi benda tegar tanpa mempersoalkan gaya yang menyebabkan benda tegar tersebut berotasi. Pada pokok bahasan ini dan selanjutnya, kita akan menganalisis gerakan rotasi benda tegar dan gaya yang mempengaruhinya atau istilah kerennya Dinamika Rotasi. Pembahasan kita terbatas pada gerakan benda tegar yang berotasi pada sumbu tetap, di mana gerak rotasi benda tersebut di amati dari kerangka acuan inersial.

Untuk membantumu memahami apa yang dimaksudkan dengan gerak rotasi pada sumbu tetap, pahami ilustrasi berikut ini. Mari tinjau dua benda yang melakukan gerakan rotasi, misalnya roda sepeda motor dan gasing. Ketika kita mengendarai sepeda motor di jalan, roda sepeda motor tersebut berputar alias berotasi terhadap porosnya. Selama gerakannya, roda sepeda motor itu berputar pada poros alias sumbu yang sama. Berbeda dengan gasing yang berputar. Ketika berotasi, gasing juga mengitari sumbu alias porosnya, tetapi selama gerakannya, sumbu rotasi gasing selalu berubah‐ubah. Kadang gasing berputar dengan posisi tegak, kadang posisinya miring, beberapa saat kemudian posisinya kembali tegak. Demikian seterusnya… ketika berotasi, gasing itu tidak berputar pada sumbu tetap. Sedangkan roda berputar pada sumbu tetap. Mudah‐mudahan ilustrasi sederhana ini bisa membantumu memahami perbedaan antara gerak rotasi pada sumbu tetap dan gerak rotasi pada sumbu tidak tetap. Pembahasan kita kali ini hanya terbatas pada gerak rotasi benda tegar pada sumbu tetap.

SERI EBOOK GURUMUDA


20

Torsi alias Momen gaya

Dalam pokok bahasan hukum II newton, kita belajar bahwa sebuah benda bisa bergerak lurus dengan percepatan tertentu jika diberikan gaya. Misalnya terdapat sebuah buku yang terletak di atas meja. Mula‐mula buku itu diam (kecepatan = 0). Setelah diberikan gaya dorong, buku itu bergerak dengan kecepatan tertentu. Buku mengalami perubahan kecepatan (dari diam menjadi bergerak) akibat adanya gaya. Perubahan kecepatan = percepatan. Kita bisa mengatakan bahwa buku mengalami percepatan akibat adanya gaya. Semakin besar gaya yang diberikan, semakin besar percepatan gerak buku itu. Jadi dalam gerak lurus, gaya sebanding dengan percepatan linear benda.

Bagaimana‐kah dengan gerak rotasi ?

Hubungan antara Gaya, Lengan Gaya (Lengan Torsi) dan Percepatan Sudut

Untuk memahami persoalan ini, pahami ilustrasi berikut. Kita tinjau sebuah benda yang berotasi. Misalnya pintu rumah. Btw, ketika kita membuka dan menutup pintu, pintu juga melakukan gerak rotasi. Engsel yang menghubungkan pintu dengan tembok berperan sebagai sumbu rotasi.

Ini gambar pintu (dilihat dari atas). Misalnya kita mendorong pintu dengan gaya yang sama (F1 = F2). Mula‐mula kita mendorong pintu dengan gaya F1 yang berjarak r1 dari sumbu rotasi. Setelah itu kita mendorong pintu dengan gaya F2 yang berjarak r2 dari sumbu rotasi. Walaupun besar dan arah Gaya F1 = F2, Gaya F2 akan membuat pintu berputar lebih cepat dibandingkan dengan Gaya F1. Dengan kata lain, gaya F2 menghasilkan percepatan sudut yang lebih besar dibandingkan dengan gaya F1. Masa sich ? serius… dirimu bisa membuktikan dengan mendorong pintu di rumah.

Jadi dalam gerak rotasi, percepatan sudut tidak hanya bergantung pada Gaya saja, tetapi bergantung juga pada jarak tegak lurus antara sumbu rotasi dengan garis kerja gaya. Jarak tegak lurus dari sumbu rotasi ke garis kerja gaya, dinamakan lengan gaya alias lengan torsi. Pada contoh di atas, Lengan gaya untuk F1 adalah r1, sedangkan lengan gaya untuk F2 adalah r2.

Catatan :

SERI EBOOK GURUMUDA


21

Mengenai lengan gaya, selengkapnya dipelajari pada penjelasan di bawah. Untuk ilustrasi di atas, lengan gaya = r, karena garis kerja gaya (arah gaya) tegak lurus sumbu rotasi.

Kita bisa menyimpulkan bahwa percepatan sudut yang dialami benda yang berotasi berbanding lurus dengan hasil kali Gaya dengan lengan gaya. Hasil kali antara gaya dan lengan gaya ini dikenal dengan julukan Torsi alias momen gaya. Jadi percepatan sudut benda sebanding alias berbanding lurus dengan torsi. Semakin besar torsi, semakin besar percepatan sudut. Semakin kecil torsi, semakin kecil percepatan sudut (percepatan sudut =perubahan kecepatan sudut)

Secara matematis, hubungan antara Torsi dengan percepatan sudut dinyatakan sebagai berikut :

Fr∝α

τα ∝

Keterangan :

SudutPercepa tan=α

Sebanding∝=

GayaF =

oLenganGayar 90=→= θ

Torsi=τ

Hubungan antara Arah Gaya dengan Lengan Gaya

Pada penjelasan di atas, arah gaya F1 dan F2 tegak lurus pintu. Kali ini kita mencoba melihat beberapa kondisi yang berbeda. Perhatikan gambar di bawah.

SERI EBOOK GURUMUDA


22

Gambar pintu (dilihat dari atas). Pada gambar a, garis kerja gaya tegak lurus terhadap r (garis kerja gaya membentuk sudut 90o). Pada gambar b, garis kerja gaya membentuk sudut teta terhadap r. Pada Gambar c, garis kerja gaya berhimpit dengan r (garis kerja gaya menembus sumbu rotasi). Walaupun besar gaya sama, tapi karena arah gaya berbeda, maka besar lengan gaya juga berbeda. Lengan gaya l1 lebih besar dari lengan gaya l2. Sedangkan lengan gaya l3 = 0 karena garis kerja gaya F3 berhimpit dengan sumbu rotasi.

Untuk menentukan lengan gaya, kita bisa menggambarkan garis dari sumbu rotasi menuju garis kerja gaya, di mana garis dari sumbu rotasi harus tegak lurus alias membentuk sudut siku‐siku dengan garis kerja gaya.

Persamaan Lengan Gaya

Untuk membantu menurunkan persamaan lengan gaya, gurumuda menggunakan bantuan gambar

Amati gambar di atas. Garis kerja gaya membentuk sudut teta terhadap r.

SERI EBOOK GURUMUDA


23

rl

=θsin

θsinrl =

Keterangan

l = lengan gaya/lengan torsi

r = Jarak gaya dari sumbu rotasi

Apabila garis kerja gaya tegak lurus r (gambar a), maka besar lengan gaya adalah :

19090sin =→= oo Sinrl

rl =

Apabila garis kerja gaya berhimpit dengan r (gambar c), maka besar lengan gaya adalah :

000sin =→= oo Sinrl

0=l

BESAR TORSI

Torsi adalah hasil kali antara gaya dan lengan gaya. Secara matematis, torsi dirumuskan sebagai berikut :

θτ sinrlFl =→=

θτ sinrF=

Jika arah gaya tegak lurus r, maka sudut yang dibentuk adalah 90o. Dengan demikian, besar Torsi untuk

kasus ini adalah :

θτ sinrlFl =→=

orF 90sin=τ 190 =→ Sin

SERI EBOOK GURUMUDA


24

rF=τ

Jika arah gaya berhimpit dengan r, maka sudut yang dibentuk adalah 0o. Dengan demikian, besar Torsi

untuk kasus ini adalah :

θτ sinrlFl =→=

orF 0sin=τ 00 =→ Sin

0=τ

Para fisikawan sering menggunakan istilah torsi sedangkan para insnyur sering menggunakan istilah

Momen Gaya.

Satuan Sistem Internasional untuk Torsi adalah Newton meter. Satuan Torsi tetap Newton meter, bukan joule, karena torsi bukan energi.

ARAH TORSI

Torsi merupakan besaran vector, sehingga selain mempunyai besar, torsi juga mempunyai arah. Apabila arah rotasi berlawanan dengan putaran jarum jam, maka Torsi bernilai positif. Sebaliknya, apabila arah rotasi searah dengan putaran jarum jam, maka arah torsi bernilai negative. Untuk menentukan arah torsi, kita menggunakan kaidah alias aturan tangan kanan. Untuk mempermudah pemahamanmu, perhatikan gambar di bawah.

Pintu didorong ke depan

Catatan :

Arah gaya F pada gambar di bawah tidak tegak lurus ke atas alias tidak menuju ke langit. Arah gaya

menembus pintu. Jadi pintunya dilihat dari atas. Bayangkanlah dirimu mendorong pintu ke depan, di

mana arah doronganmu tegak lurus pintu itu.

SERI EBOOK GURUMUDA


25

Gambar pintu (dilihat dari atas). Misalnya kita mendorong pintu dengan gaya F, di mana arah gaya tegak lurus r. Bagaimana‐kah arah Torsi untuk kasus ini ? gampang… Gunakan aturan tangan kanan. Rentangkan jari tangan kanan dan usahakan supaya posisi keempat jari tangan kanan sejajar dengan arah gaya F. setelah itu, putar keempat jari tangan kanan menuju sumbu rotasi (ke kiri). Arah yang ditunjukkan oleh Ibu Jari adalah arah Torsi. Untuk contoh di atas, putaran keempat jari tangan kanan berlawanan dengan putaran jarum jam. Arah torsi tegak lurus ke atas (menuju langit)

Pintu didorong ke belakang

Catatan :

Arah gaya F pada gambar di bawah tidak tegak lurus ke bawah alias tidak menuju ke tanah. Arah gaya

menembus pintu. Bayangkanlah dirimu mendorong pintu dari depan, di mana arah doronganmu tegak

lurus pintu itu.

Gunakan aturan tangan kanan lagi untuk menentukan arah torsi. Rentangkan jari tangan kanan dan usahakan supaya posisi keempat jari tangan kanan sejajar dengan arah gaya F. setelah itu, putar keempat jari tangan kanan menuju sumbu rotasi. Arah yang ditunjukkan oleh Ibu Jari adalah arah Torsi. Untuk kasus ini, putaran keempat jari tangan kanan searah dengan putaran jarum jam. Arah torsi tegak lurus ke bawah (menuju ke dalam tanah). Arah Torsi bernilai negative karena putaran searah dengan arah putaran jarum jam.

SERI EBOOK GURUMUDA


26

Contoh Soal 1 :

Seorang kakek mendorong pintu, di mana arah dorongan tegak lurus pintu (lihat gambar di bawah). Tentukan Torsi yang dikerjakan sang kakek terhadap pintu…

Panduan Jawaban :

Guampang sekali….

θτ sinrlFl =→=

Untuk contoh di atas, lengan gaya (l) = jarak gaya dari sumbu rotasi (r), karena garis kerja gaya tegak lurus pintu.

190sin)90)(sin1( =→= oml

ml 1=

Sekarang kita hitung torsi alias torka alias momen gaya

Fl=τ

)1)(10( mN=τ

Nm10=τ

Arah torsi ?

Perhatikan arah rotasi alias arah putaran pintu pada gambar di atas. Arah torsi tegak lurus ke langit… mudahnya seperti ini. Putar keempat jari tangan kananmu searah dengan arah rotasi. Arah yang ditunjukkan oleh ibu jari adalah arah torsi. Arah rotasi berlawanan dengan jarum jam, sehingga torsi bernilai positif. Level 1 selesai… next mision

SERI EBOOK GURUMUDA


27

Contoh Soal 2 :

Seorang bayi yang sangat superaktif sedang merangkak di dekat pintu, lalu mendorong tepi pintu dengan gaya sebesar 2 N. Jika lebar pintu 1 meter dan arah dorongan si bayi yang nakal itu membentuk sudut 60o terhadap pintu, tentukan torsi yang dikerjakan bayi (amati gambar di bawah).

Panduan Jawaban :

Soal gini ma guampang ;)

Fl=τ

Terlebih dahulu kita tentukan besar lengan gaya alias lengan torsi :

θsinrl =

)60)(sin1( ometerl =

)87,0)(1( ometerl =

meterl 87,0=

Sekarang kita hitung Torsi yang dikerjakan si bayi yang supernakal tadi :

Fl=τ

)87,0)(2( mN=τ

Nm7,1=τ

Ya, kecil sekali…

Arah torsi kemana‐kah ?

Perhatikan arah rotasi alias arah putaran pintu pada gambar di atas. Arah rotasi berlawanan dengan jarum jam, sehingga torsi bernilai postif. Arah torsi tegak lurus ke langit… mudahnya seperti ini. Putar

SERI EBOOK GURUMUDA


28

keempat jari tangan kananmu searah dengan arah rotasi. Arah yang ditunjukkan oleh ibu jari adalah arah torsi.

NB :

Seandainya si bayi memberikan gaya dorong yang arahnya tegak lurus pintu, berapa Torsi‐nya ? yang ini hitung sendiri ya….. Level 2 selesai… next mision

Contoh Soal 3 :

Seorang tukang memasang sebuah mur menggunakan sebuah kunci, seperti tampak pada gambar. Jika besar gaya yang diberikan 40 N dan garis kerja gaya membentuk sudut 45o terhadap r, tentukan besar lengan gaya dan torsi yang dikerjakan pada mur tersebut (r = 0,2 meter)

Panduan Jawaban :

Terlebih dahulu kita hitung lengan gaya alias lengan torsi :

θsinrl =

)45sin()2,0( oml =

meterl 14,0=

Wah, lengan gaya Cuma 0,14 meter.

Sekarang kita hitung besar Torsi :

Fl=τ

)14,0)(40( mN=τ

Nm6,5=τ

Arah torsi bagaimana‐kah ?

SERI EBOOK GURUMUDA


29

Perhatikan gambar di atas. Arah rotasi searah dengan putaran jarum jam (kunci di tekan ke bawah). Dengan demikian, arah torsi menuju ke dalam (arah gerakan mur ke dalam). Untuk kasus ini, sepertinya om tukang memasang mur. Untuk memudahkan pemahamanmu, gunakan aturan tangan kanan. Posisikan tangan kananmu hingga sejajar dengan kunci (ujung jari tanganmu berada di tepi kunci/sekitar F) . Setelah itu, putar keempat jari tanganmu menuju sumbu rotasi (diputar ke bawah/searah putaran jarum jam). Nah, arah ibu jari menunjukan arah toRSI. Level 3 selesai…..

SERI EBOOK GURUMUDA


30

Momen Inersia

Pada pembahasan mengenai Torsi, gurumuda sudah menjelaskan pengaruh torsi terhadap perubahan kecepatan gerak ketika benda berotasi. Perlu diketahui bahwa benda yang berotasi juga memiliki massa. Jadi selain dipengaruhi oleh Torsi, massa benda juga turut mempengaruhi perubahan kecepatan gerak benda yang berotasi.

Massa merupakan kemampuan suatu benda untuk mempertahankan keadaan gerak. Makin besar massa suatu benda, makin sulit mengubah keadaan gerak benda tersebut. Semakin besar massa benda, semakin sulit menggerakannya dari keadaan diam, atau menghentikannya ketika sedang bergerak.

Dalam gerak lurus, massa bisa diartikan sebagai kemampuan suatu benda untuk mempertahankan kecepatan linearnya. Apabila benda sudah bergerak lurus dengan kecepatan tertentu, benda sulit dihentikan jika massa benda itu besar. Sebuah truk gandeng yang sedang bergerak lebih sulit dihentikan dibandingkan dengan sebuah taxi. Sebaliknya jika benda sedang diam (kecepatan = 0), benda tersebut juga sulit digerakan jika massanya besar. Misalnya jika kita menendang bola tenis meja dan bola sepak dengan gaya yang sama, maka tentu saja bola sepak akan bergerak lebih lambat.

Dalam gerak rotasi, “massa” benda tegar dikenal dengan julukan Momen Inersia alias MI. Momen Inersia dalam Gerak Rotasi tuh mirip dengan massa dalam gerak lurus. Kalau massa dalam gerak lurus menyatakan ukuran kemampuan benda untuk mempertahankan kecepatan linear (kecepatan linear = kecepatan gerak benda pada lintasan lurus), maka Momen Inersia dalam gerak rotasi menyatakan ukuran kemampuan benda untuk mempertahankan kecepatan sudut.

Sekarang mari kita kupas tuntas Momen Inersia yang katanya bikin puyeng n njlimet..met. Ssttt… siapkan payung sebelum hujan, siapkan tisu / sapu tangan sebelum keringatan. Piss… Cuma canda. Belajar fisika tidak perlu terlalu serius, sekali‐sekali canda biar kepala tidak botak licin. Met belajar ya :)

Momen Inersia Partikel

Sebelum kita membahas momen inersia benda tegar, terlebih dahulu kita kupas tuntas Momen inersia partikel. Btw, dirimu jangan membayangkan partikel sebagai sebuah benda yang berukuran sangat kecil. Sebenarnya tidak ada batas ukuran yang ditetapkan untuk kata partikel. Jadi penggunaan istilah partikel hanya untuk mempermudah pembahasan mengenai gerakan, di mana posisi suatu benda digambarkan seperti posisi suatu titik. Konsep partikel ini yang kita gunakan dalam membahas gerak benda pada Topik Kinematika (gerak lurus, gerak parabola dkk) dan Dinamika (Hukum Newton). Jadi benda‐benda dianggap sebagai partikel.

SERI EBOOK GURUMUDA


31

Konsep partikel itu berbeda dengan konsep benda tegar. Dalam gerak lurus dan gerak parabola, misalnya, kita menganggap posisi benda sebagai partikel, karena ketika bergerak, benda‐benda itu memiliki kecepatan (maksudnya kecepatan linear) yang sama. Ketika sebuah mobil bergerak, misalnya, bagian depan dan bagian belakang mobil mempunyai kecepatan yang sama. Jadi kita bisa mengganggap mobil seperti partikel alias titik. Ketika sebuah benda melakukan gerak rotasi, kecepatan linear setiap bagian benda berbeda‐beda. Bagian benda yang ada di dekat sumbu rotasi bergerak lebih pelan (kecepatan linearnya kecil), sedangkan bagian benda yang ada di tepi mempunyai kecepatan linear lebih besar. Jadi , kita tidak bisa menganggap benda sebagai partikel karena kecepatan linear setiap bagian benda berbeda‐beda ketika ia berotasi. Btw, kecepatan sudut semua bagian benda itu sama. Mengenai hal ini sudah dijelaskan dalam pokok bahasan besaran sudut. Pada kesempatan ini, terlebih dahulu kita tinjau Momen Inersia sebuah partikel yang melakukan gerak rotasi. Hal ini dimaksudkan untuk membantu kita memahami konsep momen inersia. Setelah membahas Momen Inersia Partikel, kita akan berkenalan dengan momen inersia benda tegar. btw, benda tegar itu memiliki berbagai macam bentuk dan ukuran. Ada benda yang bulat, lonjong, gemuk, kurus, kurus tinggi langsing dkk, sehingga untuk membantu kita memahami momen Inersia benda‐benda yang bentuknya berbeda‐beda itu, terlebih dahulu kita pahami Momen Inersia partikel. Bagaimanapun, setiap benda itu bisa dianggap terdiri dari partikel‐partikel. Wah, kelamaan ne, keburu basi… langsung saja ya.. Stt.. jangan kabur dulu.

Sekarang mari kita tinjau sebuah partikel yang melakukan gerak rotasi. Gurumuda gunakan gambar saja ya…

Misalnya sebuah partikel bermassa m diberikan gaya F sehingga ia melakukan gerak rotasi terhadap sumbu O. Partikel itu berjarak r dari sumbu rotasi. mula‐mula partikel itu diam (kecepatan = 0). Setelah diberikan gaya F, partikel itu bergerak dengan percepatan tangensial (at) tertentu. Percepatan tagensial = percepatan linear partikel ketika berotasi. Kalo bingung, baca kembali materi besaran‐besaran sudut.

Kita bisa menyatakan hubungan antara gaya (F), massa (m) dan percepatan tangensial (at), dengan persamaan Hukum II Newton :

tanmaF =

SERI EBOOK GURUMUDA


32

Karena partikel itu melakukan gerak rotasi, maka ia pasti mempunyai percepatan sudut. Hubungan antara percepatan tangensial dengan percepatan sudut dinyatakan dengan persamaan :

αra =tan

Sekarang kita masukan a tangensial ke dalam persamaan di atas :

→= tanmaF αra =tan

αmrF =

Kita kalikan ruas kiri dan ruas kanan dengan r :

)( αmrrrF =

α2mrrF =

Perhatikan ruas kiri. rF = Torsi, untuk gaya yang arahnya tegak lurus sumbu (bandingan dengan gambar di atas). Persamaan ini bisa ditulis menjadi :

ατ )( 2mr=

mr2 adalah momen inersia partikel bermassa m, yang berotasi sejauh r dari sumbu rotasi. persamaan ini juga menyatakan hubungan antara torsi, momen inersia dan percepatan sudut partikel yang melakukan gerak rotasi. Istilah kerennya, ini adalah persamaan Hukum II Newton untuk partikel yang berotasi.

Jadi Momen Inersia partikel merupakan hasil kali antara massa partikel itu (m) dengan kuadrat jarak tegak lurus dari partikel ke sumbu rotasi (r2). Untuk mudahnya, bandingkan dengan gambar di atas.

Secara matematis, momen inersia partikel dirumuskan sebagai berikut :

2mrI =

Keterangan :

I = momen Inersia

m = massa partikel

r = Jarak partikel tegak lurus dari sumbu rotasi

SERI EBOOK GURUMUDA


33

Momen Inersia Benda Tegar

Benda tegar bisa kita anggap tersusun dari banyak partikel yang tersebar di seluruh bagian benda itu. Secara umum, Momen Inersia setiap benda tegar bisa dinyatakan sebagai berikut :

2mrI ∑=

224

23

22

21 .... rmrmmrmrmrI n+++++=

jumlah=∑

Setiap partikel yang tersebar di seluruh bagian benda tegar itu pasti punya massa dan tentu saja memiliki jarak r dari sumbu rotasi. Jadi momen inersia suatu benda tegar merupakan jumlah total momen inersia setiap partikel yang menyusun benda itu.

Ini Cuma persamaan umum saja. Bagaimanapun untuk menentukan Momen Inersia suatu benda tegar, kita perlu meninjau benda tegar itu ketika ia berotasi. Walaupun bentuk dan ukuran dua benda tegar sama, tetapi jika kedua benda itu berotasi dengan sumbu alias poros yang berbeda, maka Momen Inersia‐nya juga berbeda.

Sekarang coba kita selidiki dengan saksama Momen Inersia setiap benda tegar yang berotasi terhadap poros tertentu

Momen Inersia Benda‐Benda yang Bentuknya Beraturan

Selain bergantung pada sumbu rotasi, Momen Inersia (I) setiap partikel juga bergantung pada massa (m) partikel itu dan kuadrat jarak (r2) partikel dari sumbu rotasi. Total massa semua partikel yang menyusun benda = massa benda itu. Persoalannya, jarak setiap partikel yang menyusun benda tegar berbeda‐beda jika diukur dari sumbu rotasi. Ada partikel yang berada di bagian tepi benda, ada partikel yang berada dekat sumbu rotasi, ada partikel yang sembunyi di pojok bawah, ada yang terjepit di tengah ;) . amati gambar di bawah

SERI EBOOK GURUMUDA


34

Ini contoh sebuah benda tegar. Benda‐benda tegar bisa dianggap tersusun dari partikel‐partikel. Pada gambar, partikel diwakili oleh titik berwarna hitam. Jarak setiap partikel ke sumbu rotasi berbeda‐beda. Ini cuma ilustrasi saja.

Cara praktis untuk mengatasi hal ini (menentukan MI benda tegar) adalah menggunakan kalkulus. Btw, pakai kalkulus agak beribet. Ntar malah gak nyambung….. Ada jalan keluar yang lebih mudah‐kah ? Ada… Langsung tulis rumusnya saja :D

Lingkaran tipis dengan jari‐jari R dan bermassa M (sumbu rotasi terletak pada pusat)

Lingkaran tipis ini mirip seperti cincin tapi cincin lebih tebal. Jadi semua partikel yang menyusun lingkaran tipis berada pada jarak r dari sumbu rotasi. Momen inersia lingkaran tipis ini sama dengan jumlah total momen inersia semua partikel yang tersebar di seluruh bagian lingkaran tipis.

Momen Inersia lingkaran tipis yang berotasi seperti tampak pada gambar di atas, bisa diturunkan sebagai berikut :

Momen Inersia benda = Jumlah Momen Inersia semua partikel

2mrI ∑=

SERI EBOOK GURUMUDA


35

224

23

22

21 .... rmrmmrmrmrI n+++++=

Jumlah massa semua partikel (m) = massa benda (M)

)....( 224

23

22

21 nrrrrrMI +++++=

Perhatikan gambar di atas. Setiap partikel pada lingkaran tipis berada pada jarak r dari sumbu rotasi. dengan demikian : r1 = r2 = r3 = r4 = r5 = r6 = R

2MRI =

Ini persamaan momen inersia‐nya.

Cincin tipis berjari‐jari R, bermassa M dan lebar L (sumbu rotasi terletak di tengah‐tengah salah satu diameter)

2

2MRI =

SERI EBOOK GURUMUDA


36

Cincin tipis berjari‐jari R, bermassa M dan lebar L (sumbu rotasi terletak pada salah satu garis singgung)

23 2MRI =

Silinder berongga, dengan jari‐jari dalam R2 dan jari‐jari luar R1

)(21 2

22

1 RRMI +=

Silinder padat dengan jari‐jari R (sumbu rotasi terletak pada sumbu silinder)

2

21 MRI =

SERI EBOOK GURUMUDA


37

Silinder padat dengan jari‐jari R (sumbu rotasi terletak pada diameter pusat)

124

22 MLMRI +=

Bola pejal dengan jari‐jari R (sumbu rotasi terletak pada salah satu diameter)

52 2MRI =

Kulit Bola dengan jari‐jari R (sumbu rotasi terletak pada salah satu diameter)

32 2MRI =

SERI EBOOK GURUMUDA


38

Batang pejal yang panjangnya L (sumbu rotasi terletak pada pusat )

12

2MLI =

Batang pejal yang panjangnya L (sumbu rotasi terletak pada salah satu ujung)

3

2MLI =

SERI EBOOK GURUMUDA


39

Balok pejal yang panjangnya P dan lebarnya L (sumbu rotasi terletak pada pusat; tegak lurus permukaan)

)(121 22 LPMI +=

Latihan Soal 1 :

Sebuah partikel bermassa 2 kg diikatkan pada seutas tali yang panjangnya 0,5 meter (lihat gambar di bawah). Berapa momen Inersia partikel tersebut jika diputar ?

Panduan Jawaban :

Catatan : Yang kita bahas ini adalah rotasi partikel, bukan benda tegar. Jadi bisa dianggap massa benda terkonsentrasi pada pusat massanya.

Momen inersianya berapa‐kah ?

I = mr2

I = (2 kg) (0,5m)2

I = 0,5 kg m2

Gampang…..

SERI EBOOK GURUMUDA


40

Latihan Soal 2 :

Dua partikel, masing‐masing bermassa 2 kg dan 4 kg, dihubungkan dengan sebuah kayu yang sangat ringan, di mana panjang kayu = 2 meter. (lihat gambar di bawah). Jika massa kayu diabaikan, tentukan momen inersia kedua partikel itu, jika :

a) Sumbu rotasi terletak di antara kedua partikel

Panduan Jawaban :

2mrI ∑=

Keterangan :

Jumlah=∑

I = momen inersia

m = massa partikel

r = jarak partikel dari sumbu rotasi

222

211 rmrmI +=

22 )1)(4()1)(2( mkgmkgI +=

22 42 kgmkgmI +=

26kgmI =

Momen inersia = 6 kg m2

SERI EBOOK GURUMUDA


41

b) Sumbu rotasi berada pada jarak 0,5 meter dari partikel yang bermassa 2 kg

2mrI ∑=

222

211 rmrmI +=

22 )5,1)(4()5,0)(2( mkgmkgI +=

22 )25,2)(4()25,0)(2( kgmkgmI +=

22 95,0 kgmkgmI +=

25,9 kgmI =

Momen inersia = 9,5 kg m2

c) Sumbu rotasi berada pada jarak 0,5 meter dari partikel yang bermassa 4 kg

2mrI ∑=

222

211 rmrmI +=

SERI EBOOK GURUMUDA


42

22 )5,0)(4()5,1)(2( mkgmkgI +=

22 )25,0)(4()25,2)(2( kgmkgmI +=

22 15,4 kgmkgmI +=

25,5 kgmI =

Momen inersia = 5,5 kg m2

Berdasarkan hasil perhitungan di atas, tampak bahwa Momen Inersia sangat dipengaruhi oleh posisi

sumbu rotasi. Hasil oprekan soal menunjukkan hasil momen Inersia yang berbeda‐beda. Partikel yang

berada di dekat sumbu rotasi memiliki momen inersia yang kecil, sebaliknya partikel yang berada jauh

dari sumbu rotasi memiliki momen inersia yang besar. Jika kita mengandaikan bahwa kedua partikel di

atas merupakan benda tegar, maka setiap partikel penyusun benda tegar yang berada di dekat sumbu

rotasi memiliki momen inersia yang lebih kecil dibandingkan dengan momen inersia partikel yang

jaraknya lebih jauh dari sumbu rotasi. Walaupun bentuk dan ukuran sama, tapi karena posisi sumbu

rotasi berbeda, maka momen inersia juga berbeda.

Latihan Soal 3 :

Empat partikel, masing‐masing bermassa 2 kg dihubungkan oleh batang kayu yang sangat ringan dan membentuk segiempat (lihat gambar di bawah). Tentukan momen inersia gabungan keempat partikel ini, jika mereka berotasi terhadap sumbu seperti yang ditunjukkan pada gambar (massa kayu diabaikan).

Momen iInersia gabungan dari keempat partikel ini (dianggap satu sistem) mudah dihitung. Jarak

masing‐masing partikel dari sumbu rotasi sama (rA = rB = rC = rD = 1 meter). Jarak AC = BD = 4 meter tidak

berpengaruh, karena yang diperhitungkan hanya jarak partikel diukur dari sumbu rotasi.

I = mr2

SERI EBOOK GURUMUDA


43

I = (2 kg)(1 m)2

I = 2 kg m2

Karena IA = IB = IC = ID = I, maka momen inersia (I) total :

I = 4(I)

I = 4(2 kg m2)

I = 8 kg m2

Waduh, beribet neh... he2... :) Silahkan bongkar pasang soal ini (variasikan massa partikel dan posisi

sumbu rotasinya). Terus cari momen inersia total....

SERI EBOOK GURUMUDA


44

Hukum II Newton untuk Gerak Rotasi

Kok almahrum eyang newton muncul lagi sich ? yupz…. Eyang newton menguasai darat, udara dan laut. He2…. Hukum II Newton yang sudah kita pelajari baru membahas hubungan antara gaya, massa dan percepatan benda untuk kasus gerak lurus (gerak lurus = gerakan benda pada lintasan lurus). Hubungan antara gaya (penyebab gerakan benda), massa benda dan percepatan benda dalam gerak lurus dinyatakan dengan persamaan : F = ma. Mudah2an dirimu belum melupakannya… sebaiknya pelajari lagi materi hukum II Newton, biar lebih nyambung dengan penjelasan gurumuda. Btw, Hukum II Newton merupakan hukum tentang gerak, sehingga bisa diterapkan untuk gerak rotasi juga. Langsung saja ya…

Gaya vs Torsi

Sebuah benda yang diam bisa bergerak lurus karena ada gaya. Demikian juga sebuah benda yang sedang bergerak bisa berhenti atau berkurang kecepatannya karena ada gaya. Misalnya sebuah mobil mula‐mula diam. Setelah mesinnya dinyalakan dan om sopir tancap gas, mobil itu bergerak. Dalam hal ini mobil bergerak karena ada gaya dorong yang dihasilkan oleh mesin. Mobil yang sedang bergerak juga bisa berhenti jika om sopir menekan pedal rem. Dalam hal ini, mobil berhenti karena ada gaya gesekan antara ban dan kampas. Kita bisa menyimpulkan bahwa gerakan mobil dipengaruhi oleh gaya. Yang gurumuda jelaskan ini merupakan kasus untuk gerak lurus.

Kalau dalam gerak lurus, gerakan benda dipengaruhi oleh gaya, maka dalam gerak rotasi, gerakan benda dipengaruhi oleh torsi. Mengenai Torsi sudah gurumuda jelaskan pada pokok bahasan torsi. Semakin besar torsi, semakin cepat benda berotasi. Sebaliknya semakin kecil torsi, semakin lambat benda berotasi. misalnya mula‐mula benda diam (kecepatan sudut = 0). Jika pada benda itu dikerjakan torsi, benda itu berotasi dengan kecepatan sudut tertentu. Dalam hal ini benda mengalami perubahan kecepatan sudut (dari diam menjadi berotasi). Perubahan kecepatan sudut = percepatan sudut. Semakin besar torsi, semakin besar percepatan sudut. sebaliknya semakin kecil torsi, semakin kecil percepatan sudut. Dengan kata lain, torsi sebanding alias berbanding lurus dengan percepatan sudut. secara matematis, hubungan antara torsi dan percepatan sudut dinyatakan dengan persamaan :

τα ∝

Keterangan :

SudutPercepa tan=α

MomenGayaTorsi /=τ

Sebanding∝

SERI EBOOK GURUMUDA


45

Massa vs Momen Inersia

Seperti yang telah gurumuda jelaskan pada pokok bahasan Momen Inersia, dalam gerak lurus massa bisa diartikan sebagai kemampuan suatu benda untuk mempertahankan kecepatannya. Apabila benda sudah bergerak dengan kecepatan tertentu, benda sulit dihentikan jika massa benda itu besar. Sebuah truk gandeng yang sedang bergerak lebih sulit dihentikan dibandingkan dengan sebuah taxi. Sebaliknya jika benda sedang diam (kecepatan = 0), benda tersebut juga sulit digerakan jika massanya besar. Misalnya jika kita menendang kelereng dan bola sepak dengan kekuatan (gaya) yang sama, maka tentu saja kelereng akan bergerak lebih cepat, sedangkan bola sepak akan bergerak lebih lambat. Hal ini disebabkan karena massa kelereng lebih kecil, sebaliknya massa bola sepak lebih besar. Jadi selain dipengaruhi oleh gaya, gerakan benda juga ditentukan oleh massa.

Dalam gerak rotasi, selain dipengaruhi oleh torsi, gerak rotasi benda tegar juga dipengaruhi oleh momen inersia. Misalnya terdapat dua benda tegar, sebut saja benda A dan B. benda A memiliki momen inersia yang lebih besar, sedangkan benda B memiliki momen inersia yang lebih kecil. Jika pada kedua benda ini dikerjakan torsi yang sama, maka benda A bergerak lebih lambat sedangkan benda B bergerak lebih cepat. Hal ini disebabkan karena benda A memiliki momen inersia yang lebih besar. Btw, momen inersia suatu benda tegar ditentukan oleh posisi sumbu rotasi, massa benda dan kuadrat jarak setiap partikel penyusun benda tegar dari sumbu rotasi. mengenai hal ini sudah gurumuda jelaskan pada pokok bahasan Momen Inersia.

Mula‐mula benda diam (kecepatan sudut = 0). Setelah dikerjakan torsi, benda berotasi dengan kecepatan sudut tertentu. dalam hal ini, benda mengalami perubahan kecepatan sudut (dari diam menjadi berotasi). perubahan kecepatan sudut = percepatan sudut. Berdasarkan ilustrasi benda A dan benda B di atas, kita bisa mengatakan bahwa semakin besar momen inersia, semakin kecil percepatan sudut benda. Jadi momen inersia berbanding terbalik dengan percepatan sudut. Secara matematis, hubungan antara momen inersia dengan percepatan sudut dirumuskan sebagai berikut :

I1

∝α

Keterangan :

SudutPercepa tan=α

Sebanding∝

iaMomenInersI =

SERI EBOOK GURUMUDA


46

Hukum II Newton untuk gerak rotasi

Berdasarkan hubungan antara torsi dan momen inersia dengan percepatan sudut yang sudah dijelaskan di atas, kita bisa menurunkan hubungan antara Torsi, Momen Inersia dan Percepatan Sudut benda. Persamaannya kita tulis lagi ya…

Hubungan antara Torsi dan percepatan sudut

τα ∝

Hubungan antara Momen Inersia dan percepatan sudut

I1

∝α

Kedua persamaan ini bisa ditulis menjadi seperti ini :

Iτα =

ατ I=

Keterangan :

MomenGayaTorsi /=τ

iaMomenInersI =

SudutPercepa tan=α

Ini adalah persamaan hukum II Newton untuk gerak rotasi. Persamaan ini mirip dengan persamaan Hukum II Newton F = ma. (F = gaya, m = massa dan a = percepatan). temannya gaya adalah torsi, temannya massa = momen inersia, temannya percepatan = percepatan sudut. bedanya, F = ma itu hukum II Newton untuk gerak lurus, sedangkan persamaan torsi di atas merupakan hukum II Newton untuk gerak rotasi.

Sampai di sini dulu ya…

Btw, bisa paham penjelasan gurumuda di atas tidak ? Kalau kurang paham, diberitahu melalui kolom komentar saja ya…

SERI EBOOK GURUMUDA


47

Contoh Soal 1 :

Sebuah roda memiliki momen inersia sebesar 10 kg m2. Jika pada roda tersebut dikerjakan Torsi sebesar 40 Nm, tentukan percepatan sudutnya…

Panduan jawaban :

Huhh… guampang. Tancap gas….

ατ I=

Iτα =

2

2

2 10))(/(40

10))((40

Kgmmskgm

KgmmN

==α

2

22

10)/(40

Kgmskgm

=α

2/4 srad=α

Contoh Soal 2 :

Seorang nenek ingin melihat kakek yang sedang tidur di dalam kamar. Nenek yang penuh perhatian itu mendorong pintu dengan gaya sebesar 5 N dan arah dorongan tegak lurus pintu (lihat gambar di bawah). Mula‐mula pintu diam (gambar a). Setelah didorong, pintu berotasi dengan percepatan sudut sebesar 2 rad/s2 (gambar b). Jika jarak titik kerja gaya dari sumbu rotasi (r) = 1 meter, berapakah momen inersia pintu ?

Gambar pintu dilihat dari atas. Arah gaya tidak menuju langit, tapi menembus pintu. Bayangkan dirimu mendorong pintu, di mana arah dorongan tegak lurus pintu.

SERI EBOOK GURUMUDA


48

Panduan Jawaban :

Kok soalnya gampang‐gampang sich gurumuda? Gini ma gampang… Tancap gas…..

Kita hitung lengan gaya dulu ya…

orl 90sin =→= θθ

190sin90sin =→= oorl

rl =

meterl 1=

Sekarang kita hitung besar Torsi dulu ya…

Gaya (F) = 5 Newton

Lengan Gaya (l) = 1 meter

Fl=τ

)1)(5( mN=τ

Nm5=τ

Besar Torsi = 5 Newton meter

Arah torsi bagaimana‐kah ? gampang… gunakan aturan tangan kanan. Rentangkan tangan kananmu hingga sejajar dengan arah gaya, terus putar keempat jari menuju sumbu rotasi / ke kiri (searah dengan arah rotasi pintu. Arah rotasi pintu berlawanan dengan arah putaran jarum jam). Arah ibu jari

SERI EBOOK GURUMUDA


49

menunjukkan arah torsi (menuju ke langit). Torsi bernilai positif karena arah rotasi berlawanan dengan arah jarum jam (Ini cuma hasil kesepakatan saja)

Waduh lupa, momen inersia berapa‐kah ?

Percepatan sudut = 2 rad/s2

Besar Torsi = 5 Nm

ατ I=

ατ

=I

2

2

2 /2))(/5(

/25

sradmsKgm

sradNmI ==

2

22

/2)/5(

sradsKgmI =

25,2 KgmI =

Ternyata Momen Inersia pintu = 2,5 Kg m2

Gampang toh ? lanjut…..

Contoh Soal 3 :

Sebuah tali dililitkan mengelilingi tepi silinder padat/pejal. Tali tersebut ditarik sehingga silinder berotasi tanpa gesekan terhadap sumbu (lihat gambar di bawah ya). Massa silinder 5 kg dan jari‐jarinya 0,2 meter. Mula‐mula silinder diam, lalu ditarik dengan gaya sebesar 20 N. Berapakah kecepatan sudut silinder setelah 2 detik berotasi ?

SERI EBOOK GURUMUDA


50

Panduan Jawaban :

Kirain soal apa, Cuma gini ma gampang… Terlebih dahulu kita hitung Momen Inersia silinder ya… kita gunakan rumus ini :

2

21 MRI =

(rumus momen inersia silinder pejal dengan jari‐jari, di mana sumbu rotasi terletak pada sumbu silinder.

Lihat pembahasan mengenai Momen Inersia kalau dirimu bingung)

2)2,0)(5(21 mkgI =

)04,0)(5(21 2mkgI =

)2,0(21 2kgmI =

21,0 kgmI =

Huh… Momen Inersia‐nya kecil sekali

Sekarang kita hitung Torsi.

))(( LenganGayaGayaTorsi =

Fl=τ

))(20( lN=τ

Waduh, lengan gaya‐nya berapa ? sstt... jangan pake bingung. Ketika tali meninggalkan tepi silinder,

arahnya selalu tegak lurus silinder (sudut yang dibentuk 90o) :

θsinrl =

190sin90sin =→= oorl

meterrrl 2,0=→=

ml 2,0=

Sekarang kita masukan nilai lengan gaya (l) ke dalam persamaan Torsi :

SERI EBOOK GURUMUDA


51

)2,0)(20( mN=τ

Nm4=τ

Nah, torsinya dah nemu… sekarang kita hitung percepatan sudut menggunakan hukum II eyang Newton untuk gerak rotasi :

ατ I=

Iτα =

2

2

2 1,0))(/4(

1,04

Kgmmskgm

KgmNm

==α

2

22

1,0)/4(

Kgmskgm

=α

2/40 srad=α


Mula‐mula silinder diam. Setelah tali ditarik dengan gaya sebesar 20 N (pada silinder itu dikerjakan torsi), silinder berputar dengan kecepatan sudut tertentu. Silinder itu mengalami perubahan kecepatan sudut (dari diam menjadi berotasi). Perubahan kecepatan sudut = percepatan sudut. Percepatan sudut yang dialami silinder = 40 rad/s2 (Tuh di atas. Sudah dihitung).

Pertanyaan soal di atas adalah : Berapa kecepatan sudut silinder setelah 2 detik berotasi. Untuk menentukan kecepatan sudut silinder, kita bisa menggunakan persamaan Gerak rotasi dipercepatan Beraturan. Mirip dengan persamaan GLBB di gerak lurus. Cuman ini kasus untuk gerak rotasi. Mengenai hal ini sudah gurumuda jelaskan pada pokok bahasan Gerak Rotasi dipercepat Beraturan (bagian Kinematika Rotasi). Silahkan meluncur ke TKP kalau dirimu belum paham… Terus persamaannya bagaimanakah ? gurumuda tulis persamaan2 gerak rotasi dipercepat beraturan ya :

tot αωω +=

221 tto αωθ +=

αθωω 222 += ot

Keterangan :


SERI EBOOK GURUMUDA


52

SudutAkhirKecepat tan=ω

SudutPercepa tan=α

Kita gunakan persamaan pertama. Kita gunakan persamaan pertama karena perpindahan sudut (teta)

pada soal di atas tidak diketahui. Dirimu paham maksud gurumuda khan ? Ok, tancap gas...

Mula‐mula silinder diam, sehingga kecepatan sudut awal = 0


Waktu (t) = 2 sekon

0=→+= oot t ωαωω

tt αω =

)2)(/40( 2 ssradt =ω

sradt /80=ω

Wah, akhirnya nemu... kecepatan sudut silinder setelah berotasi selama 2 detik = 80 rad/s

Btw, panjang banget penyelesaiannya gurumuda. Kayak ribet gitu... gak kok. Nanti kalau dirimu dah

biasa, jadi gampang n cepet...

NB :

neh gurumuda kasih soal. Berapa kecepatan sudut setelah silinder berotasi selama 1 menit ? yang ini

hitung sendiri ya...

SERI EBOOK GURUMUDA


53

Energi Kinetik Rotasi

Dirimu pernah mengendarai sepeda motor‐kah ? wah, gurumuda ini… ya pernah lah, masa hari gini belum. Asyik lagi, apalagi kebut2an di jalan sama…. Sama siapa ya ? he2… ada deh :) kalau kebut2an dengan sepeda ontel, pernah belum ? haha… jadul. Masa hari gini pake sepeda… Asyik kok kalo pake sepeda ontel, apalagi di yogya. Malam minggu bisa nongkrong di malioboro bareng teman2 sesama penunggang ontel, sambil cuci mata. Sedap… ;) neh mau belajar fisika pa ngobrol sepeda ontel sich gurumuda ? Emang dirimu pingin belajar fisika gitu ? ihh, keren… pingin saingan sama almahrum eyang Einstein‐kah ?… yawdah, langsung saja ya. ntar kelamaan, keburu basi.. Ok, tancap gas

Energi Kinetik Tranlasi

Judulnya energi kinetik rotasi, kok sekarang ganti translasi sich. Translasi tuh apaan ? gini teman2ku yang cakep2 n cantik2… ihh GR ;) sebelum kita mempelajari energi kinetik rotasi, terlebih dahulu kita bahas kembali energi kinetik translasi. Energi kinetik rotasi itu mirip dengan energi kinetik tranlasi, sehingga jika dirimu paham konsep energi kinetik translasi, maka konsep energi kinetik rotasi juga bisa dipahami dengan mudah.

Kata kinetik berasal dari bahasa yunani, kinetikos, yang artinya ”gerak”. Jadi energi kinetik itu energi yang dimiliki benda‐benda yang bergerak. Sedangkan translasi itu bisa diartikan linear atau lurus. Kita bisa mengatakan bahwa energi kinetik translasi merupakan energi yang dimiliki oleh benda yang bergerak pada lintasan lurus.

Mengenai energi kinetik translasi, sudah gurumuda jelaskan secara lengkap pada pokok bahasan energi kinetik (Usaha dan energi). Energi kinetik translasi biasa disingkat energi kinetik. Ketika kita mengatakan energi kinetik, yang kita maksudkan adalah energi kinetik translasi, seperti kecepatan linear sering disingkat kecepatan. Atau momentum linear biasa disingkat momentum. Jangan pake bingung ya...

Ingat bahwa setiap benda yang bergerak pasti punya kecepatan (v). Benda juga punya massa (m). Jadi energi kinetik sebenarnya menggambarkan energi yang dimiliki sebuah benda bermassa yang bergerak dengan kecepatan tertentu. Secara matematis, energi kinetik suatu benda dinyatakan dengan persamaan :

EK = ½ mv2

Keterangan :

EK = energi kinetik

m = massa

SERI EBOOK GURUMUDA


54

v = kecepatan linear alias kecepatan

Catatan :

Dalam kehidupan sehari‐hari, jarang sekali kita menjumpai benda yang selalu bergerak sepanjang lintasan lurus. Sepeda motor atau mobil yang kita tumpangi juga tidak selalu bergerak lurus, kadang belok kalau ada tikungan, kadang silih lubang‐lubang yang bertebaran di jalan. Btw, lintasan lurus itu hanya sebuah model yang kita pakai untuk membantu kita menganalisis gerakan benda, biar lebih mudah.

Energi Kinetik Rotasi

Jika energi kinetik translasi merupakan energi yang dimiliki oleh benda‐benda yang bergerak pada lintasan lurus, maka energi kinetik rotasi merupakan energi yang dimiliki oleh benda yang melakukan gerak rotasi. Bedanya, dalam gerak lurus kita menganggap setiap benda sebagai partikel tunggal, sedangkan dalam gerak rotasi, setiap benda dianggap sebagai benda tegar (Benda dianggap terdiri dari banyak partikel. Mengenai hal ini sudah gurumuda jelaskan pada pokok bahasan momen inersia)

Terus rumus energi kinetik rotasi tuh gimana ? kok seneng banget sama rumus ;) Rumus alias persamaan energi kinetik rotasi mirip dengan rumus energi kinetik. Kalau dalam gerak lurus, setiap benda (benda dianggap partikel) mempunyai massa (m), maka dalam gerak rotasi, setiap benda tegar mempunyai momen inersia (I). Temannya massa tuh momen inersia. Kalau dalam gerak lurus ada kecepatan, maka dalam gerak rotasi ada kecepatan sudut. Cuma beda tipis khan ? Secara matematis, energi kinetik rotasi benda tegar, dinyatakan dengan persamaan :

2

21 ωIEKrotasi =

Keterangan :

tikRotasiEnergiKineEK =

iaMomenInersI =

SudutKecepa tan=ω

Persamaan Energi Kinetik Rotasi benda tegar yang sudah gurumuda tulis di atas, sebenarnya bisa kita turunkan dari persamaan energi kinetik translasi. Sekarang pahami penjelasan gurumuda ini ya…

SERI EBOOK GURUMUDA


55

Setiap benda tegar itu dianggap terdiri dari partikel‐partikel. Untuk mudahnya perhatikan ilustrasi di bawah.

Ini contoh sebuah benda tegar. Benda tegar bisa dianggap tersusun dari partikel‐partikel. Pada gambar, partikel diwakili oleh titik berwarna hitam. Partikel‐partikel tersebar di seluruh bagian benda itu. Jarak setiap partikel ke sumbu rotasi berbeda‐beda. Pada gambar, sumbu rotasi diwakili oleh garis berwarna biru.

Ketika benda tegar berotasi, semua partikel yang tersebar di seluruh bagian benda itu juga berotasi. Ingat bahwa setiap partikel mempunyai massa (m). Ketika benda tegar berotasi, setiap partikel itu juga bergerak dengan kecepatan (v) tertentu. Kecepatan setiap partikel bergantung pada jaraknya dari sumbu rotasi. Semakin jauh sebuah partikel dari sumbu rotasi, semakin cepat partikel itu bergerak (kecepatannya besar). Sebaliknya, semakin dekat partikel dari sumbu rotasi, semakin lambat partikel itu bergerak (kecepatannya kecil). Untuk membantumu memahami penjelasan gurumuda ini, silahkan mendorong pintu rumah. Dibuktikan sendiri, kalo dirimu belum percaya…

Ketika kita mendorong pintu, pintu juga berotasi alias berputar pada sumbu. Engsel yang menghubungkan pintu dengan tembok berfungsi sebagai sumbu rotasi. Nah, ketika pintu berputar, bagian tepi pintu bergerak lebih cepat (kecepatannya lebih besar). Sebaliknya, bagian pintu yang berada di dekat engsel bergerak lebih pelan (kecepatannya lebih kecil). Jadi ketika sebuah benda berotasi, kecepatan (v) setiap partikel berbeda‐beda, tergantung jaraknya dari sumbu rotasi.

Karena setiap partikel mempunyai massa (m) dan kecepatan (v), maka kita bisa mengatakan bahwa ketika sebuah benda tegar berotasi, semua partikel yang menyusun benda itu memiliki energi kinetik (energi kinetik = energi kinetik translasi… jangan lupa ya). Nah, total energi kinetik semua partikel yang menyusun benda tegar = energi kinetik benda tegar. Secara matematis, bisa ditulis sebagai berikut :

EK benda tegar = Total semua Energi Kinetik partikel

EK benda tegar = EK1 + EK2 + EK3 + .... + EKn

EK benda tegar = ½ m1v12 + ½ m2v2

2 + ½ m3v32 + .... + ½ mnvn

2

SERI EBOOK GURUMUDA


56

Keterangan :

EK1 = ½ m1v12 = Energi Kinetik Partikel 1



Karena partikel yang menyusun benda tegar sangat banyak, maka kita cukup menulis titik‐titik (.....)

EKn = ½ mnvn2 = Energi Kinetik partikel yang terakhir

Persamaan di atas bisa kita tulis lagi seperti ini :

JumlahmvEK =∑→∑= )21( 2

Walaupun kecepatan linear setiap partikel berbeda‐beda, kecepatan sudut semua partikel itu selalu

sama. Dengan kata lain, ketika sebuah benda tegar berotasi, kecepatan sudut semua bagian benda itu

selalu sama. Hubungan antara kecepatan linear dan kecepatan sudut, dinyatakan dengan persamaan :

ωrv =

Sekarang kita gantikan nilai v pada persamaan benda tegar di atas dengan nilai v pada persamaan ini :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∑= 2))((

21 ωrmEK

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∑= ))((

21 22ωrmEK

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∑= 22

21 ωmrEK

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∑= 22 )(

21 ωmrEK

Karena kecepatan sudut semua partikel sama, maka persamaan ini bisa ditulis menjadi :

( )22

21 mrEK ∑= ω

Masih ingat momen inersia tidak ?

SERI EBOOK GURUMUDA


57

( ) iaMomenInersImr ==∑ 2

Akhirnya setelah terseok2, persamaan energi kinetik rotasi berhasil ditumbangkan...

2

21 ωIEK =

Ini adalah persamaan energi kinetik rotasi benda tegar... Satuan energi kinetik rotasi = joule, seperti

bentuk energi lainnya...

SERI EBOOK GURUMUDA


58

Momentum Sudut

Akhirnya, tinggal selangkah lagi dinamika rotasi beres. Sebagiannya sudah gurumuda tumbangkan. Btw, bagaimana‐kah dengan dirimu ? Ayo tumbangkan dinamika rotasi dkk… guampang. Serius… ganyang saja fisika, emang fisika ada apa sich… tikus aja gak lari kok.. he2… oya, semester kemarin dah belajar momentum dan impuls khan ? dirimu masih ingat tidak ? wah gawat kalau dah lupa… yawdah, nanti gurumuda jelaskan intisarinya lagi, biar dirimu paham. Met belajar ya… semoga momentum sudut semakin dekat di hatimu ;)

Momentum

Sebelum kita berkenalan dengan momentum sudut, terlebih dahulu kita pahami kembali konsep momentum (momentum = momentum linear). Momentum alias momentum linear adalah momentum yang dimiliki oleh benda‐benda yang bergerak pada lintasan lurus. Dalam kehidupan sehari‐hari, tidak semua benda selalu bergerak sepanjang lintasan lurus. Lintasan lurus itu hanya model yang kita pakai untuk membantu kita menganalisis gerakan benda. Jadi kita menganggap setiap benda seolah‐olah selalu bergerak sepanjang lintasan atau jalan yang lurus. Begitu…

Ketika dirimu kebut2an di jalan dengan sepeda motor, sepeda motor kesayanganmu (dan dirimu) memiliki momentum. Demikian juga setiap kendaraan, baik di darat, laut dan udara, pasti mempunyai momentum jika kendaraan itu bergerak. Intinya, jika suatu benda bergerak, benda itu pasti mempunyai momentum. Terus momentum tuh apa ? wah, kayanya dah lupa neh sama pelajaran kemarin :) secara matematis, momentum sebuah benda merupakan hasil kali antara massa (m) benda itu dan kecepatan (v) geraknya. Gurumuda tulis persamaannya lagi ya :

p = m v

Keterangan :

p =momentum

m = massa

v = kecepatan

Momentum merupakan besaran vektor, jadi selain mempunyai besar alias nilai, momentum juga mempunyai arah. Besar momentum p = mv. Terus arah momentum bagaimana‐kah ? arah momentum sama dengan arah kecepatan. Misalnya jika dirimu kebut2an dengan sepeda ontel ke arah timur, maka arah momentum adalah timur, tapi kalau dirimu dan sepeda ontel bergerak ke utara maka arah

SERI EBOOK GURUMUDA


59

momentum adalah utara. Bagaimana dengan satuan momentum ? karena p = mv, di mana satuan m = kg dan satuan v = m/s, maka satuan momentum adalah kg m/s.

Dari persamaan di atas, tampak bahwa momentum (p) berbanding lurus dengan massa (m) dan kecepatan (v). Semakin besar kecepatan benda, semakin besar momentum benda tersebut. Demikian juga, semakin besar massa sebuah benda, momentum benda tersebut juga semakin besar. Perlu diingat bahwa momentum merupakan hasil kali antara massa (m) dan kecepatan (v). Jadi jika sebuah benda sedang diam (kecepatannya = 0), maka momentum benda itu = 0, meskipun massa benda itu berton‐ton. Dirimu paham khan ? Sekarang kita beralih ke momentum sudut ya.....

Momentum Sudut

Jika momentum linear adalah momentum yang dimiliki oleh benda‐benda yang bergerak pada lintasan lurus, maka momentum sudut merupakan momentum yang dimiliki oleh benda‐benda yang melakukan gerak rotasi. Dikatakan sudut, karena ketika melakukan gerak rotasi, setiap benda mengitari sudut tertentu. Dalam hal ini, benda berputar terhadap poros alias sumbu rotasi.

Persamaan momentum sudut itu mirip dengan persamaan momentum linear. Kita tinggal menggantikan besaran‐besaran linear (besaran gerak lurus) pada persamaan momentum dengan besaran‐besaran sudut (besaran gerak rotasi). Gurumuda tulis persamaan momentum lagi ya…

p = mv

Ini adalah persamaan momentum untuk benda‐benda yang bergerak pada lintasan lurus. Jika dalam gerak lurus setiap benda (benda dianggap sebagai partikel tunggal) mempunyai massa (m), maka di dalam gerak rotasi, setiap benda tegar (benda dianggap tersusun dari banyak partikel) mempunyai momen Inersia (I). Temannya massa tuh momen inersia. Jadi untuk menurunkan persamaan momentum sudut, kita bisa menggantikan massa (m), dengan momen inersia (I).

Ketika sebuah benda melakukan gerak lurus, benda tersebut bergerak dengan kecepatan (v) tertentu. Dalam hal ini, setiap bagian benda itu mempunyai kecepatan yang sama. Misalnya ketika dirimu kebut2an di jalan dengan motor kesayanganmu, bagian depan motor, bagian bawah, samping kiri, samping kanan, atas dan bawah selalu bergerak dengan kecepatan yang sama. Sstt.. kecepatan = kecepatan linear. .Jangan lupa ya… Bagaimanakah dengan gerak rotasi ?

Ketika sebuah benda melakukan gerak rotasi, setiap bagian benda itu juga punya kecepatan linear, tapi kecepatan linearnya berbeda‐beda. Misalnya jika dirimu mendorong pintu rumah, bagian tepi pintu bergerak lebih cepat (v besar), sedangkan bagian pintu yang ada di dekat engsel, bergerak lebih pelan (v kecil). Walaupun kecepatan linear setiap bagian benda berbeda‐beda, kecepatan sudut semua bagian benda itu selalu sama. Silahkan mendorong pintu rumah lagi… Ketika kita mendorong pintu, semua bagian pintu itu, baik tepi pintu maupun bagian pintu yang ada di dekat engsel, berputar menempuh sudut yang sama, selama selang waktu yang sama. Jika pintu berhenti berputar, semua bagian pintu itu

SERI EBOOK GURUMUDA


60

ikut2an berhenti berputar (kecepatan sudut = 0). Mirip seperti jika dirimu menghentikan sepeda motor, maka semua bagian sepeda motormu itu ikut2an berhenti bergerak (kecepatan = 0).

Jadi, jika dalam gerak lurus terdapat besaran kecepatan, maka dalam gerak rotasi terdapat besaran kecepatan sudut. Untuk menurunkan persamaan momentum sudut, kita bisa menggantikan kecepatan (v), dengan kecepatan sudut (omega). Nah, sekarang kita langsung menulis persamaan alias rumus momentum sudut…

ωIL =

Keterangan :

L = momentum sudut

I = momen inersia

SudutKecepa tan=ω

Satuan momentum sudut adalah kg m2/s. Satuan ini berasal dari mana‐kah ? Guampang kok, oprek saja rumus momentum sudut. Hajar tuh momentum sudut….

Hukum II Newton versi Momentum untuk Gerak Rotasi

Dalam pembahasan mengenai impuls dan momentum, gurumuda sudah menjelaskan persamaan Hukum II Newton versi momentum untuk gerak lurus. Gurumuda langsung tulis persamaannya saja di sini, untuk membantu kita menurunkan persamaan Hukum II Newton versi momentum untuk gerak rotasi. Silahkan pelajari konsep2nya di TKP (impuls dan momentum).

Secara matematis, Hukum II Newton versi momentum untuk gerak lurus dinyatakan dengan persamaan :

tpFΔΔ

=∑

Keterangan :

F∑ = gaya total yang bekerja pada benda

pΔ = perubahan momentum

tΔ = selang waktu perubahan momentum

SERI EBOOK GURUMUDA


61

Persamaan Hukum II Newton versi momentum untuk gerak rotasi cuma beda tipis dengan persamaan di atas. Kita tinggal menggantikan besaran2 gerak lurus dengan besaran2 gerak rotasi. Gaya (F) bisa digantikan dengan Torsi, Momentum (p) diganti dengan momentum sudut (L). Besaran waktu (t) tetap.

Persamaan Hukum II Newton versi momentum untuk gerak rotasi dinyatakan dengan persamaan :

tLΔΔ

=∑τ

Keterangan :

τ∑ = Torsi total yang bekerja pada benda tegar

LΔ = perubahan momentum sudut

tΔ = selang waktu perubahan momentum sudut

Persamaan ini menyatakan bahwa laju perubahan momentum sudut sama dengan torsi total yang bekerja pada benda tegar. Laju perubahan momentum sudut = perubahan momentum sudut yang terjadi selama selang waktu tertentu. Misalnya mula‐mula sebuah benda tegar diam (momentum sudutnya = 0). Setelah dikerjakan Torsi, benda tegar tersebut berotasi dengan kecepatan sudut tertentu. Ketika berotasi, benda tegar itu mempunyai momentum sudut. Jadi selama selang waktu tertentu, benda mengalami perubahan momentum sudut dari nol menjadi ada. Dalam hal ini terjadi pertambahan momentum sudut.

Terus torsi total tuh apaan ? Torsi total tuh mirip dengan gaya total. Misalnya mula‐mula sebuah pintu diam. Jika kita mendorong pintu (kita mengerjakan torsi pada pintu), pintu itu berputar. Perlu diketahui bahwa tidak semua torsi yang dikerjakan terpakai untuk menggerakan pintu. Sebagian torsi lenyap karena pada pintu juga bekerja torsi akibat adanya gaya gesekan (gesekan antara pintu dengan udara atau gesekan antara pintu dengan engsel). Selisih antara torsi yang kita berikan dan torsi yang timbul akibat adanya gaya gesekan disebut torsi total. Torsi total ini yang membuat pintu berputar alias berotasi.

Persamaan Hukum II Newton versi momentum untuk gerak rotasi di atas lebih bersifat umum. Maksudnya persamaan itu berlaku baik momen inersia benda tegar konstan maupun tidak konstan.

Dari persamaan Hukum II Newton versi momentum untuk gerak rotasi di atas, kita juga bisa menurunkan persamaan Hukum II Newton untuk gerak rotasi. Persamaan hukum II Newton untuk gerak rotasi ini berlaku untuk kasus khusus saja, yakni ketika momen inersia benda tegar tetap. Ok, tancap gas...

Jika

SERI EBOOK GURUMUDA


62

oω = Kecepatan sudut awal

tω = Kecepatan sudut akhir

I = Momen Inersia benda tegar

Maka persamaan Hukum II Newton versi momentum untuk gerak rotasi di atas bisa dioprek menjadi seperti ini :

tLΔΔ

=∑τ

tII ot

Δ−

=∑ωω

τ

tI ot

Δ−

=∑)( ωω

τ

tIΔΔ

=∑ωτ

ατ I=∑

Keterangan :

τ∑ = Torsi total yang bekerja pada benda tegar

I = Momen Inersia

α = Percepatan sudut

Ini adalah persamaan Hukum II Newton untuk gerak rotasi. Guampang khan ? hehe... momentum sudut tumbang lagi. Lanjut...

SERI EBOOK GURUMUDA


63

HUKUM KEKEKALAN MOMENTUM SUDUT

Momentum sudut yang telah kita pelajari sebelumnya, merupakan konsep yang penting dalam fisika. Momentum sudut merupakan dasar dari hukum kekekalan momentum sudut. btw, hukum itu berbeda dengan prinsip. Dalam fluida, kita mengenal prinsip archimedes, prinsip pascal dkk. Prinsip itu hanya berlaku untuk kondisi tertentu saja. Hukum itu berlaku universal alias umum.

Hukum Kekekalan Momentum Sudut menyatakan bahwa :

Jika Torsi total yang bekerja pada sebuah benda tegar = 0, maka momentum sudut benda tegar yang berotasi bernilai konstan.

Hukum kekekalan momentum sudut ini merupakan salah satu hukum kekekalan yang penting dalam fisika. Secara matematis, pernyataan Hukum Kekekalan momentum Sudut di atas bisa dibuktikan dengan mengoprek persamaan Hukum II Newton untuk gerak rotasi versi momentum.

tLΔΔ

=∑τ

0=∑→Δ−

=∑ τωω

τtII ot

ottt II ωω −=0

tan0 konsII ott == ωω

Keterangan :

dutAwalMomentumSuI o =ω0

tTertentudutPadaSaaMomentumSuI tt =ω

iaAwalMomenInersI =0


TertentuiaPadaSaatMomenInersI t =

uaatTertentSudutPadaSKecepat tan=ω

SERI EBOOK GURUMUDA


64

Referensi :

Giancoli, Douglas C., 2001, Fisika Jilid I (terjemahan), Jakarta : Penerbit Erlangga

Halliday dan Resnick, 1991, Fisika Jilid I, Terjemahan, Jakarta : Penerbit Erlangga

Tipler, P.A.,1998, Fisika untuk Sains dan Teknik–Jilid I (terjemahan), Jakarta : Penebit Erlangga

Young, Hugh D. & Freedman, Roger A., 2002, Fisika Universitas (terjemahan), Jakarta : Penerbit Erlangga

1-Dinamika rotasi

Documents

Transcript of 1-Dinamika rotasi