Post on 02-Feb-2023
1
ÒÐÓÄÛ
ÌÎÑÊÎÂÑÊÎÃÎ ÑÅÌÈÍÀÐÀ
ÏÎ ÔÈËÎÑÎÔÈÈ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ:
1997 – ÁÅÑÊÎÍÅ×ÍÎÑÒÜ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ
1999 – ÑÒÈËÈ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ
2003 – ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ È ÎÏÛÒ
2009 – ×ÈÑËÎ
2013 – ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ
2
LOMONOSOV MOSCOW STATE
UNIVERSITY
Faculty of Philosophy
PROOF
MOSCOW STUDIES
IN THE PHILOSOPHY
OF MATHEMATICS
Edited by
Valentin A. Bazhanov, Anatoly N. Krichevets,
Vladislav A. Shaposhnikov
3
ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ
ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ
èìåíè Ì.Â. Ëîìîíîñîâà
Ôèëîñîôñêèé ôàêóëüòåò
ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ
ÒÐÓÄÛ ÌÎÑÊÎÂÑÊÎÃÎ
ÑÅÌÈÍÀÐÀ
ÏÎ ÔÈËÎÑÎÔÈÈ
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ
Ïîä ðåäàêöèåé
Â.À. Áàæàíîâà, À.Í. Êðè÷åâöà,
Â.À. Øàïîøíèêîâà
МОСКВА
ББК 22.1ф
Доказательство: Очевидность, достоверность и убедительность
в математике. Труды Московского семинара по философии математики /
Под ред. В. А. Бажанова, А. Н. Кричевца, В. А. Шапошникова. — М.: Книжный
дом «ЛИБРОКОМ», 2014. — 432 с.
Очередной (пятый) тематический том трудов Московского семинара по фило-
софии математики посвящен осмыслению математического доказательства, одной
из центральных и бурно обсуждаемых в современной философии математики тем.
Книга может представлять интерес для философов и историков математики,
а также для философов, логиков, математиков, психологов, преподавателей, ве-
дущих аспирантский курс по истории и философии науки, аспирантов и студентов
математических и естественно-научных специальностей.
Proof. Moscow Studies in the Philosophy of Mathematics / Edited by
Valentin A. Bazhanov, Anatoly N. Krichevets, Vladislav A. Shaposhnikov.
Moscow Philosophy of Mathematics Seminar’s fifth Collection of papers is devot-
ed to mathematical proof as to one of pivotal philosophical problems under discussion.
This book may be of interest to philosophers and historians of mathematics, as well as to
logicians, mathematicians, psychologists, postgraduate and PhD students in all areas of
mathematics and natural sciences.
Рекомендовано к печати ученым советом
философского факультета МГУ имени М. В. Ломоносова
Издательство «Книжный дом “ЛИБРОКОМ”».
117335, Москва, Нахимовский пр-т, 56.
Формат 60×90/16. Печ. л. 27. Подписано в печать 19.07.2013. Зак. № ЗР-78.
Отпечатано в ООО «ЛЕНАНД».
117312, Москва, пр-т Шестидесятилетия Октября, 11А, стр. 11.
ISBN 978–5–397–04327–4 © Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2013
14026 ID 176991
,!7IF3J7-aedche!
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или
передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то элек-
тронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель,
а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельца.
5ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ
ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ (Â.À. Øàïîøíèêîâ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
ÊÐÀÒÊÀß ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß ÎÁ ÀÂÒÎÐÀÕ . . . . . . . . . . . . . 35
Ðàçäåë 1.
ÂÎÊÐÓÃ ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÀ: ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÄÕÎÄÛ
Ìàòåìàòè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî â ñîöèàëüíîì êîíòåêñòå . . . . . . 41Áàæàíîâ Â.À.
Íàäåæíîñòü è ñòðîãîñòü ìàòåìàòè÷åñêîãî äîêàçàòåëüñòâà . . . . . . 60Ïåðìèíîâ Â.ß.
Òðàíñöåíäåíòàëüíûé àíàëèç ìàòåìàòè÷åñêîéäåÿòåëüíîñòè: àáñòðàêòíûå [ìàòåìàòè÷åñêèå] îáúåêòû,êîíñòðóêöèè è äîêàçàòåëüñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Êàòðå÷êî Ñ.Ë.
Ôèëîñîôèÿ ìàòåìàòèêè Ì. Õàéäåããåðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Áåëîóñîâ À.È.
Äîêàçàòåëüñòâî: ïóòü ê î÷åâèäíîñòè èëè ÿçûêîâàÿ èãðà? . . . . . . 137Ãóòíåð Ã.Á.
Ðàçäåë 2.
ÂÎÊÐÓÃ ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÀ: ÏÅÐÅÎÑÌÛÑËÈÂÀß ÈÑÒÎÐÈÞ
Ëîãèêî-ôèëîñîôñêèå îñíîâàíèÿ è èñòîðè÷åñêàÿðåêîíñòðóêöèÿ àðõàè÷íîãî âàðèàíòà àíòè÷íîé òåîðèèîòíîøåíèé è ïðîïîðöèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Çàéöåâ Å.À.
Äåëàòü è ïîêàçûâàòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Ðîäèí À.Â.
Conceptions of Proof in Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256Ioannis M. Vandoulakis and Petros Stefaneas
Ìàòåìàòè÷åñêèé ñêåïòèöèçì è àáñîëþòèñòñêàÿ òðàêòîâêàäîêàçàòåëüñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
Øàïîøíèêîâ Â.À.
6
Ðàçäåë 3.
ÂÎÊÐÓÃ ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÀ:
Ñ ÏÎÇÈÖÈÈ ÄÐÓÃÈÕ ÄÈÑÖÈÏËÈÍ
Èíñòðóìåíòàëüíàÿ ñòðóêòóðà ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé . . . . 321Øóëüïåêîâ Â.À.
Î äîêàçàòåëüíîñòè â ôèçèêå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335Ìàíåâè÷ Ë.È.
Ïñèõîëîãèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìûøëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349Êîñèëîâà Å.Â.
Ðàçäåë 4.
ÇÀ ÏÐÅÄÅËÀÌÈ ÎÑÍÎÂÍÎÉ ÒÅÌÛ
Äèàëåêòèêà â ðàçâèòèè òèïîâ ëîãè÷åñêèõ èñ÷èñëåíèéíà îñíîâå ñòðóêòóð çíà÷åíèé îöåíêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
Òèòîâ À.Â.
Ïðîáëåìà äîêàçàòåëüñòâà ðàçðåøèìîñòè è ïîëíîòûñèëëîãèñòè÷åñêèõ òåîðèé ñ ïîìîùüþ êîíñòðóêòèâíûõìåòîäîâ (ìåòîäà àíàëèòè÷åñêèõ òàáëèö è ïîñòðîåíèÿìíîæåñòâ ß. Õèíòèêêè) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
Êðàñíåíêîâà À.Â.
ÂÌÅÑÒÎ ÇÀÊËÞ×ÅÍÈß
×òî æå â èòîãå? Ïîïûòêà ñèíòåçà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407Êðè÷åâåö À.Í.
×åðòåæ íà îáëîæêå, âèçóàëèçèðóþùèé äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû
Ïèôàãîðà, ñäåëàí íà îñíîâå ñòàòüè: Øåõîâöîâ Ñ.Ã. Ýâðèñòèêà Åâêëèäà:
ýêçîòåðè÷åñêîå è ýçîòåðè÷åñêîå â àíòè÷íîì îáðàçîâàíèè // Èíæåíåð,
2005, ¹ 6. Ñ. 6–11.
7CONTENTS
INTRODUCTION (V.A. Shaposhnikov) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
List of Contributors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Part 1
AROUND THE PROOF: THE MAIN APPROACHES
Mathematical Proof in Social Context . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41V.A. Bazhanov
Reliability and Rigour of Mathematical Proof . . . . . . . . . . . . . . . 60V.Ya. Perminov
Transcendental Analysis of MathematicalActivity: Abstract (Mathematical) Objects, Constructions,and Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
S.L. KatrechkoM. Heidegger’s Philosophy of Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.I. BelousovProof: a Path to the Evidence or a Language Game? . . . . . .. . . . . . . . 137
G.B. Gutner
Part 2
AROUND THE PROOF:
THE RECONCEPTUALISATION OF HISTORY
Logico-philosophical Foundations and HistoricalReconstruction of Archaic Version of AntiqueTheory of Relations and Proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
E.A. ZaitsevDoing and Showing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
A.V. RodinConceptions of Proof in Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Ioannis M. Vandoulakis and Petros Stefaneas
Mathematical Scepticism and AbsolutistInterpretation of Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
V.A. Shaposhnikov
8
Part 3
AROUND THE PROOF:
FROM THE STANDPOINT OF OTHER SCIENCES
Instrumental Structure of MathematicalConstructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. 321
V.A. Shul’pekovOn Conclusiveness in Physics . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . 335
L.I. ManevichPsychology of Mathematical Reasoning . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 349
E.V. Kosilova
Part 4
BEYOND THE LIMITS OF THE MAIN PROBLEM
Dialectics in the Development of Logical Calculi . . . . . . . . . . . . . . . 375A.V. Titov
Decidability and Completenessof Syllogistic Theories Proved by Constructive Methods(Hintikka’s Method of Analytical Tables and Construction of Sets) . .399
A.V. Krasnenkova
IN LOCO OF CONCLUSION
Where We Are? An Attempt of Synthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407A.N. Krichevets