1

ÒÐÓÄÛ

ÌÎÑÊÎÂÑÊÎÃÎ ÑÅÌÈÍÀÐÀ

ÏÎ ÔÈËÎÑÎÔÈÈ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ:

1997 – ÁÅÑÊÎÍÅ×ÍÎÑÒÜ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ

1999 – ÑÒÈËÈ Â ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ

2003 – ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ È ÎÏÛÒ

2009 – ×ÈÑËÎ

2013 – ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ

2

LOMONOSOV MOSCOW STATE

UNIVERSITY

Faculty of Philosophy

PROOF

MOSCOW STUDIES

IN THE PHILOSOPHY

OF MATHEMATICS

Edited by

Valentin A. Bazhanov, Anatoly N. Krichevets,

Vladislav A. Shaposhnikov

3

ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ

ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ

èìåíè Ì.Â. Ëîìîíîñîâà

Ôèëîñîôñêèé ôàêóëüòåò

ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ

ÒÐÓÄÛ ÌÎÑÊÎÂÑÊÎÃÎ

ÑÅÌÈÍÀÐÀ

ÏÎ ÔÈËÎÑÎÔÈÈ

ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ

Ïîä ðåäàêöèåé

Â.À. Áàæàíîâà, À.Í. Êðè÷åâöà,

Â.À. Øàïîøíèêîâà

МОСКВА

ББК 22.1ф

Доказательство: Очевидность, достоверность и убедительность

в математике. Труды Московского семинара по философии математики /

Под ред. В. А. Бажанова, А. Н. Кричевца, В. А. Шапошникова. — М.: Книжный

дом «ЛИБРОКОМ», 2014. — 432 с.

Очередной (пятый) тематический том трудов Московского семинара по фило-

софии математики посвящен осмыслению математического доказательства, одной

из центральных и бурно обсуждаемых в современной философии математики тем.

Книга может представлять интерес для философов и историков математики,

а также для философов, логиков, математиков, психологов, преподавателей, ве-

дущих аспирантский курс по истории и философии науки, аспирантов и студентов

математических и естественно-научных специальностей.

Proof. Moscow Studies in the Philosophy of Mathematics / Edited by

Valentin A. Bazhanov, Anatoly N. Krichevets, Vladislav A. Shaposhnikov.

Moscow Philosophy of Mathematics Seminar’s fifth Collection of papers is devot-

ed to mathematical proof as to one of pivotal philosophical problems under discussion.

This book may be of interest to philosophers and historians of mathematics, as well as to

logicians, mathematicians, psychologists, postgraduate and PhD students in all areas of

mathematics and natural sciences.

Рекомендовано к печати ученым советом

философского факультета МГУ имени М. В. Ломоносова

Издательство «Книжный дом “ЛИБРОКОМ”».

117335, Москва, Нахимовский пр-т, 56.

Формат 60×90/16. Печ. л. 27. Подписано в печать 19.07.2013. Зак. № ЗР-78.

Отпечатано в ООО «ЛЕНАНД».

117312, Москва, пр-т Шестидесятилетия Октября, 11А, стр. 11.

ISBN 978–5–397–04327–4 © Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2013

14026 ID 176991

,!7IF3J7-aedche!

Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или

передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то элек-

тронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель,

а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельца.

5ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ (Â.À. Øàïîøíèêîâ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

ÊÐÀÒÊÀß ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß ÎÁ ÀÂÒÎÐÀÕ . . . . . . . . . . . . . 35

Ðàçäåë 1.

ÂÎÊÐÓÃ ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÀ: ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÄÕÎÄÛ

Ìàòåìàòè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî â ñîöèàëüíîì êîíòåêñòå . . . . . . 41Áàæàíîâ Â.À.

Íàäåæíîñòü è ñòðîãîñòü ìàòåìàòè÷åñêîãî äîêàçàòåëüñòâà . . . . . . 60Ïåðìèíîâ Â.ß.

Òðàíñöåíäåíòàëüíûé àíàëèç ìàòåìàòè÷åñêîéäåÿòåëüíîñòè: àáñòðàêòíûå [ìàòåìàòè÷åñêèå] îáúåêòû,êîíñòðóêöèè è äîêàçàòåëüñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Êàòðå÷êî Ñ.Ë.

Ôèëîñîôèÿ ìàòåìàòèêè Ì. Õàéäåããåðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Áåëîóñîâ À.È.

Äîêàçàòåëüñòâî: ïóòü ê î÷åâèäíîñòè èëè ÿçûêîâàÿ èãðà? . . . . . . 137Ãóòíåð Ã.Á.

Ðàçäåë 2.

ÂÎÊÐÓÃ ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÀ: ÏÅÐÅÎÑÌÛÑËÈÂÀß ÈÑÒÎÐÈÞ

Ëîãèêî-ôèëîñîôñêèå îñíîâàíèÿ è èñòîðè÷åñêàÿðåêîíñòðóêöèÿ àðõàè÷íîãî âàðèàíòà àíòè÷íîé òåîðèèîòíîøåíèé è ïðîïîðöèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Çàéöåâ Å.À.

Äåëàòü è ïîêàçûâàòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Ðîäèí À.Â.

Conceptions of Proof in Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256Ioannis M. Vandoulakis and Petros Stefaneas

Ìàòåìàòè÷åñêèé ñêåïòèöèçì è àáñîëþòèñòñêàÿ òðàêòîâêàäîêàçàòåëüñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

Øàïîøíèêîâ Â.À.

6

Ðàçäåë 3.

ÂÎÊÐÓÃ ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÀ:

Ñ ÏÎÇÈÖÈÈ ÄÐÓÃÈÕ ÄÈÑÖÈÏËÈÍ

Èíñòðóìåíòàëüíàÿ ñòðóêòóðà ìàòåìàòè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé . . . . 321Øóëüïåêîâ Â.À.

Î äîêàçàòåëüíîñòè â ôèçèêå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335Ìàíåâè÷ Ë.È.

Ïñèõîëîãèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìûøëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349Êîñèëîâà Å.Â.

Ðàçäåë 4.

ÇÀ ÏÐÅÄÅËÀÌÈ ÎÑÍÎÂÍÎÉ ÒÅÌÛ

Äèàëåêòèêà â ðàçâèòèè òèïîâ ëîãè÷åñêèõ èñ÷èñëåíèéíà îñíîâå ñòðóêòóð çíà÷åíèé îöåíêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

Òèòîâ À.Â.

Ïðîáëåìà äîêàçàòåëüñòâà ðàçðåøèìîñòè è ïîëíîòûñèëëîãèñòè÷åñêèõ òåîðèé ñ ïîìîùüþ êîíñòðóêòèâíûõìåòîäîâ (ìåòîäà àíàëèòè÷åñêèõ òàáëèö è ïîñòðîåíèÿìíîæåñòâ ß. Õèíòèêêè) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

Êðàñíåíêîâà À.Â.

ÂÌÅÑÒÎ ÇÀÊËÞ×ÅÍÈß

×òî æå â èòîãå? Ïîïûòêà ñèíòåçà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407Êðè÷åâåö À.Í.

×åðòåæ íà îáëîæêå, âèçóàëèçèðóþùèé äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû

Ïèôàãîðà, ñäåëàí íà îñíîâå ñòàòüè: Øåõîâöîâ Ñ.Ã. Ýâðèñòèêà Åâêëèäà:

ýêçîòåðè÷åñêîå è ýçîòåðè÷åñêîå â àíòè÷íîì îáðàçîâàíèè // Èíæåíåð,

2005, ¹ 6. Ñ. 6–11.

7CONTENTS

INTRODUCTION (V.A. Shaposhnikov) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

List of Contributors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Part 1

AROUND THE PROOF: THE MAIN APPROACHES

Mathematical Proof in Social Context . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41V.A. Bazhanov

Reliability and Rigour of Mathematical Proof . . . . . . . . . . . . . . . 60V.Ya. Perminov

Transcendental Analysis of MathematicalActivity: Abstract (Mathematical) Objects, Constructions,and Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

S.L. KatrechkoM. Heidegger’s Philosophy of Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . 121

A.I. BelousovProof: a Path to the Evidence or a Language Game? . . . . . .. . . . . . . . 137

G.B. Gutner

Part 2

AROUND THE PROOF:

THE RECONCEPTUALISATION OF HISTORY

Logico-philosophical Foundations and HistoricalReconstruction of Archaic Version of AntiqueTheory of Relations and Proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

E.A. ZaitsevDoing and Showing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

A.V. RodinConceptions of Proof in Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Ioannis M. Vandoulakis and Petros Stefaneas

Mathematical Scepticism and AbsolutistInterpretation of Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

V.A. Shaposhnikov

8

Part 3

AROUND THE PROOF:

FROM THE STANDPOINT OF OTHER SCIENCES

Instrumental Structure of MathematicalConstructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. 321

V.A. Shul’pekovOn Conclusiveness in Physics . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . 335

L.I. ManevichPsychology of Mathematical Reasoning . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 349

E.V. Kosilova

Part 4

BEYOND THE LIMITS OF THE MAIN PROBLEM

Dialectics in the Development of Logical Calculi . . . . . . . . . . . . . . . 375A.V. Titov

Decidability and Completenessof Syllogistic Theories Proved by Constructive Methods(Hintikka’s Method of Analytical Tables and Construction of Sets) . .399

A.V. Krasnenkova

IN LOCO OF CONCLUSION

Where We Are? An Attempt of Synthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407A.N. Krichevets