University of Hail

ICS 252

Discrete Structure

Proof Methods

By

ABDURAHMAN

1 WWW.UOH4U.COM

//من خالل النقاط التالة Proofsبشكل عام ( البراهن ) سنتكلم ف هذا القسم عن ما سمى باالثباتات

- Proof Types أنواع االثبات الراض

- Proof methods طرق االثبات

- Proof Strategies استراتجات اإلثبات

- Proof Types أنواع االثبات الراض

.. اإلثبات أو ما سمى بالبرهان هو حجة مثبتة تصحح حالة الجملة المعطاة

Informal proofو Formal proof/ هناك نوعن من االثباتات

- Proof methods طرق االثبات

.. ن أشهر طرق االثباتات الراضة مع شرح مثال على كل حالة سنتكلم ع

1. Direct Proof :

.. وه اثبات مباشر عن حالة معنة معطاة

هو عدد زوج اضا جان ون زأثبت أن مجموع عددا /مثال

/الحل

راح كون عدد 2ولك كون العددن زوجان فإن حاصل ضرب اي عدد ف yو xنفترض أن العددن هما

.. زوج وهذا كما هو معروف ومثبت ف الراضات

.. اي عدد موجب aبحث أن x =2aلذا مكننا القول أن قمة

.. هو اضا عدد موجب bبحث أن .. y =2bوقمة

x + y = 2(a+b)ومنها x + y = 2a + 2bلذا مكننا القول أن مجموع العددن

فإنه مضروب ف العدد a+bراح تكون بالتاكد عدد موجب ألن مهما حصلنا من جمع x + yإذا مجموع

.. وعلى حسب القاعده والت تقول بأن اي عدد ضرب ف اثنن راح كون عدد موجب .. 2

2 WWW.UOH4U.COM

2. Indirect proof :

إلثبات تلك الحالة .. د المناقض للحالة وه طرقة باجا.. الغر مباشر هذه الطرقة تسمى باالثبات

جب أن نفحصها من خالل ما اذا كانت .. فمثال لو اردنا اثبات ان هذه الحالة صححة دائما .. العكسة

.. فهذا دل على صحتها .. الحالة خاطائة أم ال ؟ فإذا عرفنا أنها لن تكون خاطئة

.. فرديعدد nفأثبت أن .. زوجةه قمة 3n+1إذا كانت قمة /مثال

// الحل

هو عدد زوج nفإننا سنعتبر .. بإتباع طرقة التناقض

n=2aبمعنى أن .. 2تكون زوجة لما تكون القمة من مضاعفات الــ nكما نعرف أن قمة

.. 3n+1 << 3 (2a) + 1 =6a + 1والموجودة ف nوبالتعوض ف قمة

6a 6وج ألننا مكننا تحول العدد إلى صغة أخرى زد عد وهa =2(3a) واتباعا لقاعدة أن كل

راح كون عدد زوج 2عدد مضروب ف

6a + 1 1راح تكون عدد فردي ف هذه الحالة الننا اضفنا

..وهو المطلوب اثباته .. زوج 3n+1فهذا عن أن .. فردة nأما إذا كانت قمة

3. Exhaustive Proof :

.. بحث تثبت جمع الحاالت المعطاة .. هذه الطرقة تسمى باالثبات الشامل

: 4ه اعداد موجبة واصغر من او ساوي nبحث أن جمع قم .. أثبت أن المقارنة التالة صححة / مثال

(n+1)3 ≥ 3n

// الحل

وللتأكد من صحة المقارنة السابقة .. على حسب المعطى ف السؤال .. 4و 3و 2و 1راح تكون nقم

.وبالتال االثبات تحقق من خالل التعوض كالتال .. ومن ثم نفحص الناتج .. باالعداد السابقة nنعوض قمة

3 WWW.UOH4U.COM

4. Proof by cases

ونحن .. سألة مع بعض الحاالت بحث تم اعطائنا م( .. االثبات بفحص جمع الحاالت ) هذه الطرقة تسمى

.. ولست شرط بأن تكون اعداد كالمثال السابق .. نتحقق من هذه الحاالت جمعها

.. عدد حقق nف حالة أن قمة n2 ≥ nاثبت أن // مثال

// الحل

..إما عدد موجب أو عدد سالب أو كون صفر : كما نعرف أن االعداد الحققة ه ثالث انواع

فهذه ثالثة حاالت معطاة

.وهذا صحح .. 0 ≤ 0فهذا عن أن .. صفر = nلما كون / الحالة األولى

وبالتال فمربع العدد االول بالتاكد راح كون من نفس العدد بدون .. عدد موجب nلما تكون / الحالة الثانة

. تربع

.. ومنه نرجع للحالة الثانة .. لعدد السالب راح كون عدد موجب فمربع ا.. عدد سالب nلما تكون / الحالةالثالثة

.. وهو المطلوب .. لذا تحققت المسألة المعطاة على جمع الحاالت

5. Existence Proof البرهان الموجود

/ هناك نوعن مشتقن من هذا النوع هما

Constructive - االثبات المبن

واعط مربع عددن مختلفن لنفس العدد.. دد موجب هو عبارة عن مجموع عددن مربعن اثبت أن هناك ع/ مثال // الحل

بعد اخذ اكثر من تجربة تم اكتشاف أن .. هذه الطرقة تعتمد على التجرب بالتطبق

- Non-Constructive االثبات الغر مبن ..

4 WWW.UOH4U.COM

irrationalهما اعداد غر منطقة yو xعلما أن ( حقق) rational هو عدد منطق xyبن أن // مثال

( جذور )

/ الحل ومنها نحصل على التال irrationalوهما عددان .. 2الجذر التربع لــ = x =yبأخذ

.. وبالتال فهو المطلوب rationalأنها تساوي xy ومنها حصلنا على أن

6. Uniqueness Proofs

.ال تساوي صفر aو .. عما عددان حققان bو aإذا علمنا أن ar + b = 0بن أن / ل مثا

// الحل

نحصل على المعادلة االساسةوبالتعوض ف r = (-b/a)بأخذنا المعادلةالسابقة نستنتج أن

a(-b/a) + b = -b + b = 0

.. r ه نفس قمة s أن بحث.... ar+ b = as + bوباعتبار أن

as + b ≠ 0فهذا عن أن .. rالتساوي القمة sلذا إذا كانت s = rومنها نحصل على أن

ه قمة مثبتة rلذا مكننا القول أن

5 WWW.UOH4U.COM

- Proof Strategies استراتجات اإلثبات

المعطاة وهو المثال المضاد والعكس والذي بن عكس الحالة counter example هناك ما سمى بــ

counter example وعند اجاده سمى بــ .. لذا نبدأ ف التخمن ف اجاد ما ثبت عدم صحة المعطى ..

مع اجاد . بن خطأ ما قال بأن كل عدد موجب هو عبارة عن مجموع مربع ثالثة اعداد / مثال

counter example

نبدأ بأخذ االعداد واختبارها / الحل

counter exampleلذا هو .. ال مكننا تطبق ما سبق عله .. 7لذا لو نستمر ف البحث سنجد ان العدد

.لذا الجملة السابقة ه خاطئة

- Tiling

فإننا نأت بما سمى بالمصطلح .. حة معنة مسا tileفمثال لو اردنا .. هذا المصطلح طلق على ترتب مربعات

.. tilingفهذا عن .. ونرتبه بشكل منسق ( البالط)العام

والت ه مكونة من مربعات بعدد ثمانة بالطول وثمانة .. tilingلوحة الشطرنج ه من تطبقات الــ

.. بالعرض

حتوي على مربعن بداخلهما اما بشكل الطول او والذي عن بالشكل المستطل dominoesكما أن مصطلح

..بشكل العرض

؟؟ dominoesالــ فهل مكننا تطبق .. مربع 64فلو اخذنا لوحة الشطرنج والت تحتوي على

6 WWW.UOH4U.COM

وه اما تكون بشكل طول او بشكل dominoes 32بحث هذه اللوحة سوف تحتوي على .. بالتاكد نعم

بحث هذا الطرقة ه .. مشتركة بالطول والعرض او هناك اشاء .. عرض

constructive existence proof

Home Work Solutions /

ومنه ( ... 3قوى ) والثالثة ( 2قوى )الثنائة ( power) هو باجاد جمع االعداد المتتالة .. فكرة السؤال السابق

.. ام ال ف هذه االعداد 9و 8نتعرف هل سنجد العددن

7 WWW.UOH4U.COM

ومن نواتج هذه االعداد ( .. power of 2) بأن نوجد االعداد المتتالة ذات القوى المربعة .. فكرة السؤال الثان

.. نوجد العدد الموجود ف خانة اآلحاد من جمع القوى السابقة

( 6,9 , 5 , 4 , 1 , 0) لنواتج ه إما لنجد أن خانة اآلحاد ف ا.. فمثال نأخذ تربع االعداد من الصفر إلى التسعة

.. فال مكنها الظهور ف خانة االعداد الي عدد مربع .. 8 , 7 , 3 , 2أما األعداد

8 WWW.UOH4U.COM

كما ان .. مربع 64والت تحتوي على .. هو هل بامكاننا ازالة جزء من اجزاء لوحة الشطرنج .. فكرة السؤال الثالث

لذا .. نبن لوحة الشطرنج على مجموع عدد فردي نلذا ال مكننا أ.. هو عبارة عن مربعن بداخلهما dominoالــ

ولوحة الشطرنج dominoوهذا غر ممكن ف العالقة بن .. مربع 63فان العدد سكون .. عندما نزل مربع واحد

9 WWW.UOH4U.COM

الننا سنحصل dominosفهذا سمح على حسب قاعدة . .هذه الفكرة ه بأننا نزل مربعن اثنن من لوحة الشطرنج

domino 31بحث سنحصل على .. وهو ما سمى بوضع المربعات وترتبها tilingلذا الــ .. على عدد زوج

ولكن عند ازالة الجزء العلوي االسر مع الجزء .حتوي على مربع اسود ومربع ابض dominoعلما أن كل

فهذا سمح لنا بتطبق القاعدة وهو .. او العكس .. مربع ابض 32+ مربع اسود 33فهذا سعطنا اما . .السفل االمن

المطلوب

اذا ازلنا الحد االسر والحد االمن من اول صف ف dominoesفكرة السؤال ه بأن هل بإمكاننا تطبق قاعدة

واكمال السبعة .. dominoesثالثة = ف ستة مربعات لوجة الشطرنج ؟ بالتاكد نعم بحث صبح ف اول ص

.. االفق ولس العلوي dominoesصفوف المتبقة بتطبق الــ

10 WWW.UOH4U.COM

دد المبرعات فها هو على لوحة شطرنج مستطلة إذا علمنا أن ع dominoesفكرة السؤال هو هل بامكاننا باستعمال

ولكن الطرقة ف الترتب dominoesفهذا عن انه مكننا تطبق الــ عدد زوج ؟؟ فبالتاكد إذا كان العدد زوج

.او بالجمع ف الطرقتن على حسب المعطات .. او بشكل عرض .. بشكل طول dominoesأما ان تكون الــ

فال مكننا .. البض متجاورن مربعن ذات اللون االسود فانها تبقى لنا مربعن من اللون افكرة السؤال بأننا بعد ازالة

.. على لونن مختلفن dominoالنه جب أن حتوي اي dominoesتطبق الــ

11 WWW.UOH4U.COM

بحث أن هذه األعداد لست مربع ألي عدد آخر .. فكرة السؤال هو باجاد مئة رقم بشرط أن تكون هذه االعداد متتالة

فهذا عن أن السلسلة العددة .. 12هو مربع العدد 144نجد بأن العدد فإننا س.. 233وحتى 133فمثال االعداد من ..

.. لدها اعداد والت تكون ناتج مربع اعداد اخرى 233وحتى 133من

.. اما المطلوب ف السؤال هو اجاد سلسلة من مئة رقم بحث ال تحتوي بداخلها على عدد كون حاصل مربع أي عدد

فال وجد عدد ف هذه السلسلة هو مربع لعدد آخر ألن مربع العدد 10,100وحتى 10,001فلو اخذنا السلسلة من

10,201= 131ومربع العدد .. 10,000= 133

.. والعدد الثان كون مكعب عدد آخر .. فكرة السؤال باجاد عددن متتالن بحث كون االول هو ناتج مربع عدد معن

.. كما هو مبن ف الحل السابق 9و 8داد ه فهذه االع