Post on 11-Mar-2023
В Реалните числа се извършват всички операции, които се извършват в рационалните числа и правилата са същите.
Ако имаме огранич.мн-во от R, непременно най-малка долна граница.
Th. ограничено отгоре мн-во на R числа има най-малка долна
граница(lim); при рационалните числа не е същото.
sup (супремо) sup – най-малкия
inf (инфино) inf – най-големия
величина=множество, а числата от това мн-во = ст/сти на величината.
Осн.понятие: функция-зависимост м/у 2 величини(величината y е функция на x)y=f(x), когато на ст/ст на x е съпоставяна ст/ст на
y.
Най-простата функция е y= c = const
…. , където x –основа/променлива, p- степен; y-степенна функция.
-показателна функция.
Обратната функция на показателната функция е логаритмичната:
, ℮ се нарича неперово число.
Тук има обяснение какво е растяща и намаляваща функция.
Доказва се, че lim е ирационално число
, ℮ служи за основа на натуралните логаритми=lg. В
МА разгл.числа:
.
Безкрайни числови редици.
{ }има граница а, ако за N, такова че ,
за n>N: .
.
Ако :
1)
2)
3) при
4) =c. , където с=const
Основни граници:
;
– неперово число
.
Th: Ако една редица е ограничена и монотонна (или растяща, или намаляваща), то тя е сходяща.
Граници на функции:
;
;
;
;
Основни граници:
;
;
;
Определение (за граница на редица): За
, където е достатъчно малко число
;
;
Определение (за граница на функция): За
, където е достатъчно малко
число
Каквато и редица b(клоняща към b), съответната редица от
функционални ст/сти f( )A.
Непрекъснатост на ф-ия в дадена точка:
Определение: f(x) е непрекъсната в точка , когато границата на
f(x), когато за (x клонящо към ) и е равна на f(x), т.е.
.
Условие за непрекъснатост – друга дефиниция:
За .
Нека – двете са клонящи към 0 и са безкрайно малки.
Определение: клони към 0 ( ) по – бързо от , ако
; е от по-висок ред от ;
.
Производна на функция
Нека y=f(x). Изменямe малко ; ще се измени и
; - производна на f(x) в точката .
, където d се нарича differens.
Ако производна на ф-ия в дадена точка, казваме че тя е
диференцируема в тази точка.
Пример: механична интерпретация е скоростта; геометрична интерпретация – tg α.
Производната в дадена точка е tg на ъгъла, който допирателната в тази точка, сключва с оста Х.
Изчисляване на производни:
-диференчна част.
Примери:
1) f(x)=c; f’(x) = 02) f(x)=x; f’(x) = 13) f(x) = x2; f’(x)=2x4) f(x) = x3; f’(x)=3x2
5) ax, но нека а =е: f(x)=ex; f’(x)=ex
6) x>0, y=ln(x) f’(x)=(ln x)’=
7) f(x)=y=sin x; f’(x)= cos x8) f(x) = y= cos x f’(x) = -sin x
Важно:
Производна на функция. Производни на основни функции:
y = a, a=const y’=0y = x y’=1y =ax, a-const y’=ay = , n , n R y’=n.
y = = y’=
y = y’=a.ln x (a>0, a 1)
, x>0
Аритметични операции при диференциране:
[f(x) g(x)]’ = f ’(x) g’(x)
[f(x).g(x)]’ = f ‘(x).g(x) + f(x).g’(x)
;
.
A.
B.
C.
D. => f’(x)=tg’(x)=
Диференциране на ф-ия от ф-ия(сложна ф-ия)
Y=f(u); u= (x)y=f[ (x)]
Ако f(x) – f’(x)>0
x’>x’’ f(x’) > f(x’’) – растяща
x’<x’’ f(x’) < f(x’’) – намаляваща
. Ако производната е положителна в някаква околност на
точка, то функцията е растяща и обратно.
Ако в някаква точка функцията има най-голяма стойност, то в тази точка f’(x)=0
Th на Ферма: Нека f(x) е дефинирана в някакъв интервал и във вътрешна точка „С” на този интервал взема ай – голяма стойност (респективно най-малка).Тогава, ако производна f’(C) в тази точка,
то f’(C)=0.
Th на Ферма Th на Рол:
Нека
1) f(x) е дефинирана и непрекъсната в затворен интервал [a,b] и диференцируема(има производна)
2) в краищата на интервала функцията има /еднакви/ ст/сти, т.е.
f(a) = f(b). Тогава точка С м/у a и b, такава че f’(c)=0.
Th на Рол Th на Лагранж: Нека f(x) е дефинирана непрекъсната и
диференцируема в затв.интервал[a,b]. Тогава м/у a и b има точка “c”(а<c<b), за която е изпълнено равенството.
f(b) – f(a) = f’(c).(b-a)
Тук има доказателство на теоремата – първо се доказва необходимостта после достатъчността.
Максимум и минимум на ф-ия
Определение: f(x) има локален максимум в околност ( )
на , съдържаща се в дефиниционната област на ф-ията f(x), такава че
за x ( ) e изпълнено f(x) f( )
df=f’(x).dx
Изследване на функции. Нарастване и намаляване на функции. Максимум и минимум.
1. ДО – дефиниционна област;2. Изследване за монотонност:
Ако f(x) и в (a,b):
- Функцията е монотонно растяща, ако y’ 0, за
- Функцията е монотонно намаляваща, ако y’<0, за
3. ЕкстремумиАко в интервала (a,b).
НУ – необходимо условие за локален екстремум е =0, -
критични точки;ДУ – достатъчно условие за наличие на екстремум: Ако >0 отляво на и <0 отдясно локален максимум.
Ако 0 y = f(x) има локален максимум в x.
Ако 0 отляво на т. и >0 отдясно на f(x) има
локален минимум в ; 0
Изпъкналост и вдлъбнатост. Инфлексия.
Ако в интервала (a, b):
- е изпъкнала, ако 0 за
- е вдлъбната, ако 0 за
=0, - инфлексни точки.
ДУ за инфлексия т. - отляво и отдясно да има знаци
Асимптоти
1. Вертикална асимптота – намираме границите в крайните точки на ДО и ако ; x=a- вертик.асимптота.
2. Хоризонтална асимптота: ;y=b – хориз. асимптота
3. Наклонена асимптота: y = kx+b;
; y = kx+b – наклонена асимптота.
Изследване на ф-ия(изобщо)
1. Определяне на ДО2. Не/четност
f(-x) = f(x) – четнаf(-x) = -f(x) – нечетнаf(-x) f(x) – нито четна, нито нечетна
Не/периодичност: f(x) ?=f(x+p), Където p-период3. Граници (асимтотите)4. Монотонност5. Екстремуми и критични точки6. Изпъкналост(вдлъбнатост) чрез y7. Таблица8. Графика
Интеграли
Функцията F(x) в даден интервал, наричаме примитивна на f(x) или интеграл на f(x), когато в целия интервал, f9x) в производна на F(x), т.е. изпълнено е F’(x)=f(x)
dF(x)=d(x)=f’(x)dx
;
– диференциал от интеграл на 1 ф-ия е самата функция.
Интегриране на сума:
d(F(x) + G(x)) = f(x)dx + g(x)dx
.
Интегриране на произведение:
d(F(x) . G(x)) = dF(x).G(x) + F(x)dG(x)
– Интегриране по части
Интегриране на функция от функция:
y=F(u); u= (x); F[ (x)]=y(x)
dF[ (x)] = F’( (x)). ’(x)dx = f( (x)). ’(x)dx. Тогава
F(u) = F( (x)) – интегриране
чрез смяна на променливата или чрез субституция.
Неопределен интеграл
1. Осн. ПонятияF(x)=f(x);F(x) –примитивна функция на f(x),първообразf(x)=cos x; F(x) = sin x,защото F’(x) = f(x) = cos x
;
;
,
.
2. Осн. Свойства
a)
b)
c)
d)
e)3. Таблица на осн.интеграли
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Непосредствено интегриране
Вместо независимата променлива Х можем да имаме производна на диференцируема функция φ(x), като таблицата на простите неопределениинтеграли остава в сила.
Интегриране чрез внасяне под знака на диференциала
Интегриране по части:
;
.
Интегрирането по части се използва за интеграли от вида:
, където R(x) – рационална функция, T(x) – трансфедентна
функция -
В случая се внася под диференциала;
В случая се внася под диференциала;
В случая се внася под диференциала;
В случая , познатата производна се внася
под диференциала;
В случая , познатата производна се внася
под диференциала;
В случая , познатата производна се внася
под диференциала;
Определен интеграл
;
1)
2)
3)
4)