В Реалните числа се извършват всички операции, които се извършват в рационалните числа и правилата са същите.

Ако имаме огранич.мн-во от R, непременно най-малка долна граница.

Th. ограничено отгоре мн-во на R числа има най-малка долна

граница(lim); при рационалните числа не е същото.

sup (супремо) sup – най-малкия

inf (инфино) inf – най-големия

величина=множество, а числата от това мн-во = ст/сти на величината.

Осн.понятие: функция-зависимост м/у 2 величини(величината y е функция на x)y=f(x), когато на ст/ст на x е съпоставяна ст/ст на

y.

Най-простата функция е y= c = const

…. , където x –основа/променлива, p- степен; y-степенна функция.

-показателна функция.

Обратната функция на показателната функция е логаритмичната:

, ℮ се нарича неперово число.

Тук има обяснение какво е растяща и намаляваща функция.

Доказва се, че lim е ирационално число

, ℮ служи за основа на натуралните логаритми=lg. В

МА разгл.числа:

.

Безкрайни числови редици.

{ }има граница а, ако за N, такова че ,

за n>N: .

.

Ако :

1)

2)

3) при

4) =c. , където с=const

Основни граници:

;

– неперово число

.

Th: Ако една редица е ограничена и монотонна (или растяща, или намаляваща), то тя е сходяща.

Граници на функции:

;

;

;

;

Основни граници:

;

;

;

Определение (за граница на редица): За

, където е достатъчно малко число

;

;

Определение (за граница на функция): За

, където е достатъчно малко

число

Каквато и редица b(клоняща към b), съответната редица от

функционални ст/сти f( )A.

Непрекъснатост на ф-ия в дадена точка:

Определение: f(x) е непрекъсната в точка , когато границата на

f(x), когато за (x клонящо към ) и е равна на f(x), т.е.

.

Условие за непрекъснатост – друга дефиниция:

За .

Нека – двете са клонящи към 0 и са безкрайно малки.

Определение: клони към 0 ( ) по – бързо от , ако

; е от по-висок ред от ;

.

Производна на функция

Нека y=f(x). Изменямe малко ; ще се измени и

; - производна на f(x) в точката .

, където d се нарича differens.

Ако производна на ф-ия в дадена точка, казваме че тя е

диференцируема в тази точка.

Пример: механична интерпретация е скоростта; геометрична интерпретация – tg α.

Производната в дадена точка е tg на ъгъла, който допирателната в тази точка, сключва с оста Х.

Изчисляване на производни:

-диференчна част.

Примери:

1) f(x)=c; f’(x) = 02) f(x)=x; f’(x) = 13) f(x) = x2; f’(x)=2x4) f(x) = x3; f’(x)=3x2

5) ax, но нека а =е: f(x)=ex; f’(x)=ex

6) x>0, y=ln(x) f’(x)=(ln x)’=

7) f(x)=y=sin x; f’(x)= cos x8) f(x) = y= cos x f’(x) = -sin x

Важно:

Производна на функция. Производни на основни функции:

y = a, a=const y’=0y = x y’=1y =ax, a-const y’=ay = , n , n R y’=n.

y = = y’=

y = y’=a.ln x (a>0, a 1)

, x>0

Аритметични операции при диференциране:

[f(x) g(x)]’ = f ’(x) g’(x)

[f(x).g(x)]’ = f ‘(x).g(x) + f(x).g’(x)

;

.

A.

B.

C.

D. => f’(x)=tg’(x)=

Диференциране на ф-ия от ф-ия(сложна ф-ия)

Y=f(u); u= (x)y=f[ (x)]

Ако f(x) – f’(x)>0

x’>x’’ f(x’) > f(x’’) – растяща

x’<x’’ f(x’) < f(x’’) – намаляваща

. Ако производната е положителна в някаква околност на

точка, то функцията е растяща и обратно.

Ако в някаква точка функцията има най-голяма стойност, то в тази точка f’(x)=0

Th на Ферма: Нека f(x) е дефинирана в някакъв интервал и във вътрешна точка „С” на този интервал взема ай – голяма стойност (респективно най-малка).Тогава, ако производна f’(C) в тази точка,

то f’(C)=0.

Th на Ферма Th на Рол:

Нека

1) f(x) е дефинирана и непрекъсната в затворен интервал [a,b] и диференцируема(има производна)

2) в краищата на интервала функцията има /еднакви/ ст/сти, т.е.

f(a) = f(b). Тогава точка С м/у a и b, такава че f’(c)=0.

Th на Рол Th на Лагранж: Нека f(x) е дефинирана непрекъсната и

диференцируема в затв.интервал[a,b]. Тогава м/у a и b има точка “c”(а<c<b), за която е изпълнено равенството.

f(b) – f(a) = f’(c).(b-a)

Тук има доказателство на теоремата – първо се доказва необходимостта после достатъчността.

Максимум и минимум на ф-ия

Определение: f(x) има локален максимум в околност ( )

на , съдържаща се в дефиниционната област на ф-ията f(x), такава че

за x ( ) e изпълнено f(x) f( )

df=f’(x).dx

Изследване на функции. Нарастване и намаляване на функции. Максимум и минимум.

1. ДО – дефиниционна област;2. Изследване за монотонност:

Ако f(x) и в (a,b):

- Функцията е монотонно растяща, ако y’ 0, за

- Функцията е монотонно намаляваща, ако y’<0, за

3. ЕкстремумиАко в интервала (a,b).

НУ – необходимо условие за локален екстремум е =0, -

критични точки;ДУ – достатъчно условие за наличие на екстремум: Ако >0 отляво на и <0 отдясно локален максимум.

Ако 0 y = f(x) има локален максимум в x.

Ако 0 отляво на т. и >0 отдясно на f(x) има

локален минимум в ; 0

Изпъкналост и вдлъбнатост. Инфлексия.

Ако в интервала (a, b):

- е изпъкнала, ако 0 за

- е вдлъбната, ако 0 за

=0, - инфлексни точки.

ДУ за инфлексия т. - отляво и отдясно да има знаци

Асимптоти

1. Вертикална асимптота – намираме границите в крайните точки на ДО и ако ; x=a- вертик.асимптота.

2. Хоризонтална асимптота: ;y=b – хориз. асимптота

3. Наклонена асимптота: y = kx+b;

; y = kx+b – наклонена асимптота.

Изследване на ф-ия(изобщо)

1. Определяне на ДО2. Не/четност

f(-x) = f(x) – четнаf(-x) = -f(x) – нечетнаf(-x) f(x) – нито четна, нито нечетна

Не/периодичност: f(x) ?=f(x+p), Където p-период3. Граници (асимтотите)4. Монотонност5. Екстремуми и критични точки6. Изпъкналост(вдлъбнатост) чрез y7. Таблица8. Графика

Интеграли

Функцията F(x) в даден интервал, наричаме примитивна на f(x) или интеграл на f(x), когато в целия интервал, f9x) в производна на F(x), т.е. изпълнено е F’(x)=f(x)

dF(x)=d(x)=f’(x)dx

;

– диференциал от интеграл на 1 ф-ия е самата функция.

Интегриране на сума:

d(F(x) + G(x)) = f(x)dx + g(x)dx

.

Интегриране на произведение:

d(F(x) . G(x)) = dF(x).G(x) + F(x)dG(x)

– Интегриране по части

Интегриране на функция от функция:

y=F(u); u= (x); F[ (x)]=y(x)

dF[ (x)] = F’( (x)). ’(x)dx = f( (x)). ’(x)dx. Тогава

F(u) = F( (x)) – интегриране

чрез смяна на променливата или чрез субституция.

Неопределен интеграл

1. Осн. ПонятияF(x)=f(x);F(x) –примитивна функция на f(x),първообразf(x)=cos x; F(x) = sin x,защото F’(x) = f(x) = cos x

;

;

,

.

2. Осн. Свойства

a)

b)

c)

d)

e)3. Таблица на осн.интеграли

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

Непосредствено интегриране

Вместо независимата променлива Х можем да имаме производна на диференцируема функция φ(x), като таблицата на простите неопределениинтеграли остава в сила.

Интегриране чрез внасяне под знака на диференциала

Интегриране по части:

;

.

Интегрирането по части се използва за интеграли от вида:

, където R(x) – рационална функция, T(x) – трансфедентна

функция -

В случая се внася под диференциала;

В случая се внася под диференциала;

В случая се внася под диференциала;

В случая , познатата производна се внася

под диференциала;

В случая , познатата производна се внася

под диференциала;

В случая , познатата производна се внася

под диференциала;

Определен интеграл

;

1)

2)

3)

4)