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1
Bloque 3 ALTIMETRÍA (NIVELACIÓN GEOMÉTRICA)
Tema 6. El nivel.
Tema 7. Altimetría.
Tema 8. Nivelación geométrica compuesta.
Tema 9. Perfiles y movimientos de tierras: Cálculo de Rasantes.
Cálculo de Volúmenes.
TOPOGRAFÍA (CURSO 2013-14)
G. Mediero 2
Bibliografía Bibliografía
• TOPOGRAFÍA Y REPLANTEOS (capítulos III y IV)
Luís Martín Morejón.
• TOPOGRAFÍA Y REPLANTEO de Obras de Ingeniería
Antonio Santos Mora.
• TOPOGRAFÍA y TOPOGRAFÍA ABREVIADA
Francisco Domínguez García-Tejero.
• APUNTES DE ALTIMETRÍA
Departamento de Ingeniería Gráfica.
• TOPOGRAFÍA Y REPLANTEOS (capítulos III y IV)
Luís Martín Morejón.
• TOPOGRAFÍA Y REPLANTEO de Obras de Ingeniería
Antonio Santos Mora.
• TOPOGRAFÍA y TOPOGRAFÍA ABREVIADA
Francisco Domínguez García-Tejero.
• APUNTES DE ALTIMETRÍA
Departamento de Ingeniería Gráfica.
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DESCARGAS
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RED RED
G. Mediero 4
La Mira. Clasificación La Mira. Clasificación
Si la graduación es métrica o imperial. Si la graduación es métrica o imperial.
Del nivel de precisión: centímetros o milímetros, principalmente. Del nivel de precisión: centímetros o milímetros, principalmente.
Si es inversa o directa (depende del tipo de nivel que usemos). Si es inversa o directa (depende del tipo de nivel que usemos).
Si la graduación es numérica o codificada. Si la graduación es numérica o codificada.
Si es plegable o no, pudiendo ser desmontable, etc. Si es plegable o no, pudiendo ser desmontable, etc.
La mira es un instrumento de medida directa e indirecta. Consiste
en una regla graduada que nos permite tener medidas “a distancia”
mediante la lectura de los “hilos” estadimétricos en ella. Esto nos
dará como resultado una altura y/o una distancia.
Se pueden clasificar en función de varias características:
G. Mediero 7
Plataforma Nivelante (diferentes formas). Plataforma Nivelante (diferentes formas).
El Nivel Topográfico El Nivel Topográfico
Anteojo con retículo estadimétrico. Anteojo con retículo estadimétrico.
Nivel de gran precisión. Nivel de gran precisión.
Limbo horizontal a veces. Limbo horizontal a veces.
Elementos: Elementos:
G. Mediero 8
Plataforma Nivelante (diferentes formas). Plataforma Nivelante (diferentes formas).
El Nivel Topográfico El Nivel Topográfico
G. Mediero 9
El Nivel Topográfico El Nivel Topográfico
Anteojo con retículo estadimétrico. Anteojo con retículo estadimétrico.
G. Mediero 10
El Nivel Topográfico El Nivel Topográfico
Nivel de gran precisión. Nivel de gran precisión.
G. Mediero 11
El Nivel Topográfico El Nivel Topográfico
Limbo horizontal (a veces). Limbo horizontal (a veces).
G. Mediero 12
Plataforma nivelante, Nivel casquete esférico,
Anteojo con retículo estadimétrico.
Plataforma nivelante, Nivel casquete esférico,
Anteojo con retículo estadimétrico. De Plano
Clasificación de los Niveles Clasificación de los Niveles
Plataforma nivelante, Nivel casquete esférico,
Anteojo con Retículo Est., Nivel de Anillo Tórico.
Plataforma nivelante, Nivel casquete esférico,
Anteojo con Retículo Est., Nivel de Anillo Tórico. De Línea
Automático
Láser
Electrónico
Plataforma nivelante, Nivel casquete esférico,
Anteojo con Retículo estadimétrico, Contrapesos
Plataforma nivelante, Nivel casquete esférico,
Anteojo con Retículo estadimétrico, Contrapesos
Plataforma nivelante, Emisor de Rayo Láser,
Receptor de Rayo Láser.
Plataforma nivelante, Emisor de Rayo Láser,
Receptor de Rayo Láser.
Lectura electrónica sobre mira de Código de
Barras o sobre mira normal, Almacén de datos.
Lectura electrónica sobre mira de Código de
Barras o sobre mira normal, Almacén de datos.
G. Mediero 17
Aumento de la Precisión Aumento de la Precisión
Retículo en forma de Cuña Retículo en forma de Cuña
Nivel de Casquete Esférico Nivel de Casquete Esférico
Nivel de Coincidencia
(8 veces más precisión en el calado)
Nivel de Coincidencia
(8 veces más precisión en el calado)
Anteojo
Mira de Invar
PlacaPlanoparalela
Nivel deCoincidencia
RetículoEstadimétrico
Nivel deCasqueteEsférico
Micrómetro de coincidencia
Mira de Invar y
Placa Planoparalela
Mira de Invar y
Placa Planoparalela
G. Mediero 18
A 1 2 B
a
b b
a
1
1
2
2
(b1 - a1)= (b2 - a2)
b1= (b2 - a2) + a1
(b1 - a1)= (b2 - a2)
b1= (b2 - a2) + a1
Si no hubiera error el valor de b1 calculado = valor b1 leido. Si no hubiera error el valor de b1 calculado = valor b1 leido.
Comprobación del Nivel Comprobación del Nivel
G. Mediero
Altimetría:
Conceptos.
Nivelación Simple
TOPOGRAFÍA
Departamento de Ingeniería Gráfica
19
G. Mediero 20
B
A
O
ee
M
B'
Desnivel Verdadero entre A y B Desnivel Verdadero entre A y B
Distancia AB’ Distancia AB’
Desnivel Aparente entre A y B Desnivel Aparente entre A y B
Distancia AM Distancia AM
Error de Esfericidad = AM – AB’ Error de Esfericidad = AM – AB’
ee= AM – AB’ ee= AM – AB’
Desnivel Verdadero y Aparente Desnivel Verdadero y Aparente
G. Mediero 21
(R + ee)2= R2 +T2
R2 + 2Ree + ee2= R2 +T2
2Ree + ee2= T2
(R + ee)2= R2 +T2
R2 + 2Ree + ee2= R2 +T2
2Ree + ee2= T2
La Esfericidad Terrestre es directamente proporcional al cuadrado de la
Distancia Observada AB, e inversamente proporcional al Radio Terrestre.
La Esfericidad Terrestre es directamente proporcional al cuadrado de la
Distancia Observada AB, e inversamente proporcional al Radio Terrestre.
R= 6.367 Km. R= 6.367 Km.
A B
C
e
O
N
e
R
R
T
2Ree = T2
ee = T2 / 2R
2Ree = T2
ee = T2 / 2R
Error de Esfericidad (Cálculo) Error de Esfericidad (Cálculo)
G. Mediero 22
Ejemplo: Suponiendo una visual cuya tangente es 1.000 m. y teniendo
en cuenta el radio terrestre R= 6.367 Km. hallar el error de esfericidad.
Ejemplo: Suponiendo una visual cuya tangente es 1.000 m. y teniendo
en cuenta el radio terrestre R= 6.367 Km. hallar el error de esfericidad.
A B
C
e
O
N
e
R
R
T Tabla de Tangentes:
500 m. => 19 mm.
400 m. => 12 mm.
300 m. => 7 mm.
200 m. => 3 mm.
100 m. => 0,8 mm.
Tabla de Tangentes:
500 m. => 19 mm.
400 m. => 12 mm.
300 m. => 7 mm.
200 m. => 3 mm.
100 m. => 0,8 mm.
ee= 1.0002/(2 · 6.367 · 1.000) = 0,0785 m = 78,5 mm. ee= 1.0002/(2 · 6.367 · 1.000) = 0,0785 m = 78,5 mm.
Error de Esfericidad: ee (ejemplo) Error de Esfericidad: ee (ejemplo)
G. Mediero 23
El Error de Refracción (er) esta tabulado, según estudios realizados
experimentalmente, para España en 0,16 del Error de Esfericidad (ee)
El Error de Refracción (er) esta tabulado, según estudios realizados
experimentalmente, para España en 0,16 del Error de Esfericidad (ee)
A
N
M Lo vemos
Está
Error de Refracción Error de Refracción
G. Mediero 24
(ee–er)= (T2/2R) – (0,16T2/2R)=
= (1- 0,16)T2 /2R = 0,84T2 /2R =
=0,42T2 /R= 0,42T2 /6.367·103=
= 0,000.000.066 T2= 66 ·10-9 T2
(ee–er)= (T2/2R) – (0,16T2/2R)=
= (1- 0,16)T2 /2R = 0,84T2 /2R =
=0,42T2 /R= 0,42T2 /6.367·103=
= 0,000.000.066 T2= 66 ·10-9 T2
Desnivel Verdadero = Desnivel Aparente - (66·10-9 )T2 Desnivel Verdadero = Desnivel Aparente - (66·10-9 )T2
O
D
eN
Per
e
M Siendo: ee= T2 / 2R
y er = 0,16T2 / 2R
Siendo: ee= T2 / 2R
y er = 0,16T2 / 2R
Error Conjunto (ee+ er) Error Conjunto (ee+ er)
G. Mediero 25
Nivelación Directa, GEOMÉTRICA o por Alturas. Nivelación Directa, GEOMÉTRICA o por Alturas.
Métodos Altimétricos (clasificación) Métodos Altimétricos (clasificación)
Nivelación Indirecta, Trigonométrica o por Pendientes. Nivelación Indirecta, Trigonométrica o por Pendientes.
Nivelación Barométrica. Nivelación Barométrica.
Nivel Topográfico. Nivel Topográfico.
Eclímetro Ángulo de elevación o depresión.
Clisímetro (Pínulas o Anteojo) Tangente en forma de %.
Eclímetro Ángulo de elevación o depresión.
Clisímetro (Pínulas o Anteojo) Tangente en forma de %.
Barómetro. Barómetro.
G. Mediero 26
Clasificación de la N. Geométrica Clasificación de la N. Geométrica
NIVELACIÓN SIMPLE NIVELACIÓN SIMPLE
• Nivelación por el PUNTO EXTREMO
• Nivelación por el PUNTO MEDIO
• Nivelación por RADIACIÓN: * Simple
* Compuesta
• Nivelación por ESTACIONES RECÍPROCAS
• Nivelación por ESTACIONES EQUIDISTANTES
• Nivelación por el PUNTO EXTREMO
• Nivelación por el PUNTO MEDIO
• Nivelación por RADIACIÓN: * Simple
* Compuesta
• Nivelación por ESTACIONES RECÍPROCAS
• Nivelación por ESTACIONES EQUIDISTANTES
NIVELACIÓN COMPUESTA NIVELACIÓN COMPUESTA
• ITINERARIO: * ABIERTO No admite comprobación del cierre.
* ENCUADRADO Admite comprobación del cierre.
* CERRADO Admite comprobación del cierre.
• ITINERARIO: * ABIERTO No admite comprobación del cierre.
* ENCUADRADO Admite comprobación del cierre.
* CERRADO Admite comprobación del cierre.
G. Mediero 27
Nivelación por el M. Punto Extremo Nivelación por el M. Punto Extremo
ZAB = i - m ZAB = i - m
A
me
B
ZA
i B
G. Mediero 28
Nivelación por el M. Punto Extremo II Nivelación por el M. Punto Extremo II
A
B
ZAi =1,60
0,00
B
A
B
ZA
i =1,40
4,00
B
ZAB = 1,40 – 4,00= 2,60 m. ZAB = 1,40 – 4,00= 2,60 m.
ZAB = 1,60 – 0= 1,60 m. ZAB = 1,60 – 0= 1,60 m.
G. Mediero 29
Nivelación por el M. Punto Medio Nivelación por el M. Punto Medio
A
Bi
ZA
ZC
C
m'm
C
B
ZAC = m – i
ZCB = i – m’
ZAB = m – m’
ZAC = m – i
ZCB = i – m’
ZAB = m – m’
+
G. Mediero 30
Nivelación por el M. Punto Medio II Nivelación por el M. Punto Medio II
A
B
4,00 0,00
C
G. Mediero 31
A
Bi
ZA
ZC
C
m'm
e e
C
B
Nivelación por el M. Punto Medio III Nivelación por el M. Punto Medio III
ZAB = (m + e) – (m’ + e)= m – m’ ZAB = (m + e) – (m’ + e)= m – m’
G. Mediero 32
Nivelación por el M. Radiación Nivelación por el M. Radiación
1
2
3
4
5
E
1
2
3
4
5
E
No es más que un
método de nivelación
por el punto medio,
tomando como
lectura de espalda la
del punto 1, por
ejemplo, siendo el
resto de las lecturas
de frente.
No es más que un
método de nivelación
por el punto medio,
tomando como
lectura de espalda la
del punto 1, por
ejemplo, siendo el
resto de las lecturas
de frente.
Z13 = L1 – L3 Z13 = L1 – L3
G. Mediero 33
Nivelación por Estaciones Recíprocas Nivelación por Estaciones Recíprocas
A
me
B
ZA
i
A
B
Z
m'e
i'
(a)
(b)
B
B
A
A
me
B
ZA
i
A
B
Z
m'e
i'
(a)
(b)
B
B
A
ZAB = i – (m + e)
ZBA = i’ – (m’ + e’) *
2ZAB = i – i’ – m + m’
ZAB = i – (m + e)
ZBA = i’ – (m’ + e’) *
2ZAB = i – i’ – m + m’
* Cambiamos de signo
El error se compensa
(e = e’)
* Cambiamos de signo
El error se compensa
(e = e’)
2
m'm
2
i'iz
B
A
2
m'm
2
i'iz
B
A
G. Mediero 34
Nivelación por Estaciones Equidistantes Nivelación por Estaciones Equidistantes
A E E' B
ma
m'a m'b
mb
e'
e e'
e
d'
d'd
d
A E E' B
ma
m'a m'b
mb
e'
e e'
e
d'
d'd
d
ZAB = (ma + e) – (mb + e’)
ZAB = (m’a + e’) – (m’b + e)
2ZAB = ma + m’a – (mb + m’b)
ZAB = (ma + e) – (mb + e’)
ZAB = (m’a + e’) – (m’b + e)
2ZAB = ma + m’a – (mb + m’b)
ZAB = (ma - mb) + (m’a - m’b)
2 2
ZAB = (ma - mb) + (m’a - m’b)
2 2
G. Mediero 36
Nivelación Compuesta (Clasificación) Nivelación Compuesta (Clasificación)
NIVELACIÓN COMPUESTA NIVELACIÓN COMPUESTA
• ITINERARIO: * ABIERTO No admite comprobación del cierre.
* ENCUADRADO Admite comprobación del cierre.
* CERRADO Admite comprobación del cierre.
• ITINERARIO: * ABIERTO No admite comprobación del cierre.
* ENCUADRADO Admite comprobación del cierre.
* CERRADO Admite comprobación del cierre.
Puntos a Nivelar muy alejados.
Excesivo desnivel entre puntos a nivelar.
Puntos a Nivelar muy alejados.
Excesivo desnivel entre puntos a nivelar.
APLICACIÓNES: Levantamiento de Perfiles (caminos, conducciones,
líneas eléctricas, etc.)
APLICACIÓNES: Levantamiento de Perfiles (caminos, conducciones,
líneas eléctricas, etc.)
G. Mediero 37
Nivelación Compuesta Nivelación Compuesta
Z14= (E1-F1) + (E2-F2) + (E3-F3)=
= (E1+E2+E3) – (F1+F2+F3) = ΣE - ΣF
Z14= (E1-F1) + (E2-F2) + (E3-F3)=
= (E1+E2+E3) – (F1+F2+F3) = ΣE - ΣF
1
2D1Iª
IIª
3
D
IIIªD
4
E1 F1
E2 F2
E3 F3
2
3
2
3
4
1
2D1Iª
IIª
3
D
IIIªD
4
E1 F1
E2 F2
E3 F3
2
3
2
3
4
Z12 = E1 – F1
Z23 = E2 – F2
Z34 = E3 – F3
Z12 = E1 – F1
Z23 = E2 – F2
Z34 = E3 – F3
G. Mediero 38
Nivelación Compuesta (Ejemplo) Nivelación Compuesta (Ejemplo)
Z14= (ΣE – ΣF)= (2,125 + 3,252 + 3,125) – (0, 842 + 1,842 + 2,081)=
=(8,502 – 4,765)= 3,737
Z14= (ΣE – ΣF)= (2,125 + 3,252 + 3,125) – (0, 842 + 1,842 + 2,081)=
=(8,502 – 4,765)= 3,737
1
2D1Iª
IIª
3
D
IIIªD
4
E1 F1
E2 F2
E3 F3
2
3
2
3
4
1
2D1Iª
IIª
3
D
IIIªD
4
E1 F1
E2 F2
E3 F3
2
3
2
3
4
Z12 = 2,125 – 0,842= 1,283
Z23 = 3,252 – 1,842= 1,410
Z34 = 3,125 – 2,081= 1,044
Z12 = 2,125 – 0,842= 1,283
Z23 = 3,252 – 1,842= 1,410
Z34 = 3,125 – 2,081= 1,044
G. Mediero 39
Itinerario Altimétrico (Tolerancias) Itinerario Altimétrico (Tolerancias)
CUADRO DE TOLERANCIAS CUADRO DE TOLERANCIAS
Ec = Error de cierre. N.P. = Nivelación de precisión. N.A.P. = Nivelación alta precisión.
Leyenda Leyenda
• Nivelación sencilla....................... Ec< 70 mm * DK
• Nivelación Doble.......................... Ec< 30 mm * DK
• Nivelación de precisión................ Ec< 7 mm * DK
• Red nacional (N. P.).................... Ec< 3 mm * DK
• Red nacional (N.A.P.).................. Ec< 1 mm * DK
• Nivelación sencilla....................... Ec< 70 mm * DK
• Nivelación Doble.......................... Ec< 30 mm * DK
• Nivelación de precisión................ Ec< 7 mm * DK
• Red nacional (N. P.).................... Ec< 3 mm * DK
• Red nacional (N.A.P.).................. Ec< 1 mm * DK
Ta = K * DK Ta = K * DK
Ta= Tolerancia altimétrica.
K= Constante altimétrica.
DK= Distancia kilométrica.
Ta= Tolerancia altimétrica.
K= Constante altimétrica.
DK= Distancia kilométrica.
G. Mediero 40
Perfil Longitudinal (Fases) Perfil Longitudinal (Fases)
FASES DEL TRABAJO FASES DEL TRABAJO
1.- Toma de datos de campo: Dos métodos.
• Método 1: 1ª) Toma de datos de Perfil Longitudinal.
(dos fases) 2ª) Toma de datos de Perfiles Transversales.
• Método 2: Se toman a la vez, datos de P. Long. y P. Transv.
2.- Cálculo de cotas y corrección de errores.
3.- Representación del perfil del terreno.
4.- Elección de la rasante y su cálculo.
5.- Representación del perfil completo.
6.- Dibujo de los perfiles transversales.
7.- Cálculo del movimiento de tierras.
1.- Toma de datos de campo: Dos métodos.
• Método 1: 1ª) Toma de datos de Perfil Longitudinal.
(dos fases) 2ª) Toma de datos de Perfiles Transversales.
• Método 2: Se toman a la vez, datos de P. Long. y P. Transv.
2.- Cálculo de cotas y corrección de errores.
3.- Representación del perfil del terreno.
4.- Elección de la rasante y su cálculo.
5.- Representación del perfil completo.
6.- Dibujo de los perfiles transversales.
7.- Cálculo del movimiento de tierras.
G. Mediero 41
Toma de Datos (Método I) Toma de Datos (Método I)
PERFIL LONGITUDINAL PERFIL LONGITUDINAL
A
F3
N-1B
Perfil Longitudinal
1
A
F3
N-1B
Perfil Longitudinal
1
G. Mediero 42
Toma de Datos (Método I) Toma de Datos (Método I)
PERFILES TRANSVERSALES PERFILES TRANSVERSALES
A
1
B
8,00 m.
8,00 m.
8,00 m.
Perfiles Transversales
A
1
B
8,00 m.
8,00 m.
8,00 m.
Perfiles Transversales
G. Mediero 43
Toma de Datos (Método I) Toma de Datos (Método I)
PERFIL TRANSVERSAL PERFIL TRANSVERSAL
A
8 m.6 m.
A
8 m.6 m.
Vista de
Perfil
Vista de
Perfil
G. Mediero 44
Toma de Datos (Método II) Toma de Datos (Método II)
PERFIL LONGITUDINAL Y TRANSVERSALES PERFIL LONGITUDINAL Y TRANSVERSALES
A
N-1B
8,00 m.
8,00 m.
8,00 m.
A
N-1B
8,00 m.
8,00 m.
8,00 m.
Rasantes (Clasificación) Rasantes (Clasificación)
Curvas Parabólicas Disimétricas Curvas Parabólicas Disimétricas
De Ramas Equidistantes De Ramas Equidistantes
De Ramas No Equidistantes De Ramas No Equidistantes
Rectas:
Horizontales.
Inclinadas.
Rectas:
Horizontales.
Inclinadas.
Curvas Circulares. Curvas Circulares.
A BA B
C
D E
FC
D E
F
G HG H
A
B
A
B
AB
AB
?
46 G. Mediero
C. Parabólicas de R. Equidistantes C. Parabólicas de R. Equidistantes
y= ax2 + bx + A
d
A
%
V
- %'
B
47 G. Mediero
C. Parabólicas de R. Equidistantes C. Parabólicas de R. Equidistantes
d
A
%2
- %'-ax
Vbx
B'
Bd
A
%2
- %'-ax
Vbx
B'
B
y= - ax2 + bx + A
48 G. Mediero
Rasantes (Tipología) Rasantes (Tipología)
p
%r<%p
ax = -bx = 0
2
r
r
%r<%pbx = +ax = -2
r
%r=%p
ax = -bx = +
2
p
p
r
%r>%p
ax = -bx = +
2
p
%p<%r
ax = +bx = 0
2
p
r
%p>%r
%p=%r
ax = +bx = -
bx = -ax = +
2
p
2
p
r
r
bx = -ax = +
%p<%r
2
p
r
p
r
%r<%r'bx = +ax = +2
%p>%p'
ax = -bx = -
2
r'
p'
r
bx = +ax = -
%r>%p
2
p
%p>%p'
%r>%r'
bx = -ax = +
ax = -bx = +
2
p
2
r
p'
r'
%p<%r
ax = +bx = -
2
p
r
49 49 G. Mediero
C. Parabólicas de R. No Equidistantes C. Parabólicas de R. No Equidistantes
d2
d
d1
A
%
- %'
V
B
d2
d
d1
A
%
- %'
V
B
50 G. Mediero
d2/2
d2
d
V'
d1/2A
d1
V%
1
V
- %'2V
B
d2/2
d2
d
V'
d1/2A
d1
V%
1
V
- %'2V
B
C. Parabólicas de R. No Equidistantes C. Parabólicas de R. No Equidistantes
V'
V
d1
V1
%
A
bx
-ax2
V'
V
d1
V1
%
A
bx
-ax2
d2
V2
B
bx2-ax
B'V'
- %'
d2
V2
B
bx2-ax
B'V'
- %'
y= - ax2 + bx + A
y= - ax2 + bx + V’
51 G. Mediero
C. Parabólicas de R. Equidistantes C. Parabólicas de R. Equidistantes
Calcular la rasante definida por una curva disimétrica de ramas
equidistantes, entre dos puntos A y B distantes entre sí 180 m.
La cota del punto A= 98,00. La tangente de entrada de la curva
es del 2% y la tangente de salida del -2,8%. Los puntos
calculados se harán a equidistancia de 30 m.
Calcular la rasante definida por una curva disimétrica de ramas
equidistantes, entre dos puntos A y B distantes entre sí 180 m.
La cota del punto A= 98,00. La tangente de entrada de la curva
es del 2% y la tangente de salida del -2,8%. Los puntos
calculados se harán a equidistancia de 30 m.
2%
A(98)
V
2,8%
B'
B
bx-ax
2
180 m.
2%
A(98)
V
2,8%
B'
B
bx-ax
2
180 m.
Ecuación de la parábola
y= - ax2 + bx + A
Ecuación de la parábola
y= - ax2 + bx + A
52 G. Mediero
Ejemplo: Ejemplo:
C. Parabólicas de R. Equidistantes C. Parabólicas de R. Equidistantes
B’= 98,00 + (0,02 * 180)= 101,60
V= 98,00 + 1,80= 99,80
B= 99,80 – (0,028 * 90,00)= 97,28
bx= 3,6 => b= 3,60/180= 0,02
ax2= 4,32 => a= 4,32/ 1802= 0,0001333
2%
A(98)
V
2,8%
B'
B
bx-ax
2
180 m.
2%
A(98)
V
2,8%
B'
B
bx-ax
2
180 m.
53 G. Mediero
C. Parabólicas de R. Equidistantes C. Parabólicas de R. Equidistantes
Distancias 0 30 60 90 120 150 180
bx 0,00 0,60 1,20 1,80 2,40 3,00 3,60
ax2 0,00 -0,12 -0,48 -1,08 -1,92 -3,00 -4,32
A 98,00 98,00 98,00 98,00 98,00 98,00 98,00
y 98,00 98,48 98,72 98,72 98,48 98,00 97,28
2%
A(98)
V
2,8%
B'
B
bx-ax
2
180 m.
2%
A(98)
V
2,8%
B'
B
bx-ax
2
180 m.
54 G. Mediero
C. Parabólicas de R. No Equidistantes C. Parabólicas de R. No Equidistantes
Calcular las cotas de los puntos que definen una curva
disimétrica de ramas no equidistantes, a equidistancia de 25
m., sabiendo que arranca del punto A cuya cota es de 95,50 m.
y termina en el punto B de cota 98,50 m.
Las tangentes que definen la curva son respectivamente una
rampa del 6,00% y una pendiente del - 4,00%.
La distancia reducida que separa los puntos A y B es de
350,00 m.
Calcular las cotas de los puntos que definen una curva
disimétrica de ramas no equidistantes, a equidistancia de 25
m., sabiendo que arranca del punto A cuya cota es de 95,50 m.
y termina en el punto B de cota 98,50 m.
Las tangentes que definen la curva son respectivamente una
rampa del 6,00% y una pendiente del - 4,00%.
La distancia reducida que separa los puntos A y B es de
350,00 m.
Ejemplo: Ejemplo:
55 G. Mediero
C. Parabólicas de R. No Equidistantes C. Parabólicas de R. No Equidistantes
V'
L2
350 m
L1
A(95,50)
V16%
V
4%V2
B(98,50)
V'
L2
350 m
L1
A(95,50)
V16%
V
4%V2
B(98,50)
95,50 + (0,06 * L1) = 98,50 + (0,04 * L2) L2 = 350 - L1
(L1 + L2)= 350
95,50 + 0,06 L1= 98,50 + (0,04 * (350 L1))
95,50 + 0,06 L1= 98,50 + 14,00 – 0,04 L1
95,50 – 98,50 – 14,00= - 0,04 L1 - 0,06 L1 ; -17,00= - 0,10 L1
L1 = 17 / 0,10= 170 y L2 = 350 – 170= 180
95,50 + (0,06 * L1) = 98,50 + (0,04 * L2) L2 = 350 - L1
(L1 + L2)= 350
95,50 + 0,06 L1= 98,50 + (0,04 * (350 L1))
95,50 + 0,06 L1= 98,50 + 14,00 – 0,04 L1
95,50 – 98,50 – 14,00= - 0,04 L1 - 0,06 L1 ; -17,00= - 0,10 L1
L1 = 17 / 0,10= 170 y L2 = 350 – 170= 180
56 G. Mediero
C. Parabólicas de R. No Equidistantes C. Parabólicas de R. No Equidistantes
V'
L2
350 m
L1
A(95,50)
V16%
V
4%V2
B(98,50)
V'
L2
350 m
L1
A(95,50)
V16%
V
4%V2
B(98,50)
Cota de V= 95,50 + (0,06 * 170)= 105,70
Cota de V1= (Cota de A + Cota V)/ 2= 100,60
Cota de V2= (Cota de A + Cota B)/ 2= 102,10
Cota de V= 95,50 + (0,06 * 170)= 105,70
Cota de V1= (Cota de A + Cota V)/ 2= 100,60
Cota de V2= (Cota de A + Cota B)/ 2= 102,10
57 G. Mediero
C. Parabólicas de R. No Equidistantes C. Parabólicas de R. No Equidistantes
851V
V'
90
V2
851V
V'
90
V2
Desnivel (V1 - V2)= (102,10 – 100,60)= 1,50
175 ------ 1,50 X= 0,73
85 ------ x
Cota de V’= (Cota de V1 + x) = (100,60 + 0,73)= 101,33
Desnivel (V1 - V2)= (102,10 – 100,60)= 1,50
175 ------ 1,50 X= 0,73
85 ------ x
Cota de V’= (Cota de V1 + x) = (100,60 + 0,73)= 101,33
58 G. Mediero
C. Parabólicas de R. No Equidistantes C. Parabólicas de R. No Equidistantes
Parábola I Parábola I
V(105,70)
V'(101,33)
170 m
A(95,50)
6%
1
-ax2
bxV (100,60)
V(105,70)
V'(101,33)
170 m
A(95,50)
6%
1
-ax2
bxV (100,60)
bx= 10,20=> b= (10,20/170)= 0,06
ax2= 4,37=> a= (4,37/ 1702)= 1,512110727 * 10-4
bx= 10,20=> b= (10,20/170)= 0,06
ax2= 4,37=> a= (4,37/ 1702)= 1,512110727 * 10-4
59 G. Mediero
C. Parabólicas de R. No Equidistantes C. Parabólicas de R. No Equidistantes
V(105,70)
V'(101,33)
170 m
A(95,50)
6%
1
-ax2
bxV (100,60)
V(105,70)
V'(101,33)
170 m
A(95,50)
6%
1
-ax2
bxV (100,60)
Distancias 0 25 50 75 100 125 150
bx 0,00 1,50 3,00 4,50 6,00 7,50 9,00
ax2 0,00 -0,09 -0,48 -0,85 -1,51 -2,36 -3,40
A 95,50 95,50 95,50 95,50 95,50 95,50 85,50
y 95,50 96,91 98,12 99,15 99,99 100,64 101,10
60 G. Mediero
Parábola I Parábola I
C. Parabólicas de R. No Equidistantes C. Parabólicas de R. No Equidistantes
180 m
V2
B(98,50)
bx2-ax
B'V'(101,33)
180 m
V2
B(98,50)
bx2-ax
B'V'(101,33)
Parábola II Parábola II
bx= (DV’V2 * 2)= (102,10 – 101,33)* 2= 1,54
b= (1,54/180)= 8,555555556 * 10-3
B’= (V’ + DV’V2) = 101,33 + 1,54= 102,87
ax2= 102,87 – 98,50=4,37
a= (4,37/ 1802)= 1,348765432 * 10-4
bx= (DV’V2 * 2)= (102,10 – 101,33)* 2= 1,54
b= (1,54/180)= 8,555555556 * 10-3
B’= (V’ + DV’V2) = 101,33 + 1,54= 102,87
ax2= 102,87 – 98,50=4,37
a= (4,37/ 1802)= 1,348765432 * 10-4
61 G. Mediero
C. Parabólicas de R. No Equidistantes C. Parabólicas de R. No Equidistantes
180 m
V2
B(98,50)
bx2-ax
B'V'(101,33)
180 m
V2
B(98,50)
bx2-ax
B'V'(101,33)
Parábola II Parábola II
Dist. 5 30 55 80 105 130 155 180
bx 0,04 0,26 0,47 0,68 0,90 1,11 1,33 1,54
ax2 0,00 -0,12 -0,41 -0,86 -1,48 -2,28 -3,24 -4,37
A 101,33 101,33 101,33 101,33 101,33 101,33 101,33 101,33
y 101,37 101,47 101,39 101,15 100,75 100,16 99,42 98,50
62 G. Mediero
G. Mediero 64
Cálculo de Volúmenes Cálculo de Volúmenes
MÉTODOS MÉTODOS
1.- Secciones horizontales medias
605
606
607
608
609609,66
h
h
h
h
h'
S1
S2
S3S4
S5
2.- Prismatoide o prismoide
S
S'
Sm
V= h * (S + S' + 4Sm)2
5.- Fórmula de la altura media
V= B * (h1 + h2 + h4)3
2.- Fórmula aproximada de la sección media
S + S' + 4Sm S + S'2
V= h * (S + S')
26
4.- Fórmula del tronco de pirámide
S
S'
h
V= h * (S + S' + SS')3
h1
h2
h3h4
V'= B' * (h2 + h3 + h4)3
B'B
7.- Cálculo del volumen por cuadrículas
a b c d e f
g i
60
55
h
hm
g
ab
h
h1h4
h2
h3
Vabhg= (h1+h2+h3+h4) * ab * ag4
8.- Volumenes por perfiles transversales
T1
T2
A
B
D1
D2
C
D
D3
E
F
T3
pp
6.- Fórmula aproximada de la altura media
V= (B + B') * (h1 + h2 + h3 + h4)4
1.- Secciones horizontales medias
605
606
607
608
609609,66
h
h
h
h
h'
S1
S2
S3S4
S5
2.- Prismatoide o prismoide
S
S'
Sm
V= h * (S + S' + 4Sm)2
5.- Fórmula de la altura media
V= B * (h1 + h2 + h4)3
2.- Fórmula aproximada de la sección media
S + S' + 4Sm S + S'2
V= h * (S + S')
26
4.- Fórmula del tronco de pirámide
S
S'
h
V= h * (S + S' + SS')3
h1
h2
h3h4
V'= B' * (h2 + h3 + h4)3
B'B
7.- Cálculo del volumen por cuadrículas
a b c d e f
g i
60
55
h
hm
g
ab
h
h1h4
h2
h3
Vabhg= (h1+h2+h3+h4) * ab * ag4
8.- Volumenes por perfiles transversales
T1
T2
A
B
D1
D2
C
D
D3
E
F
T3
pp
6.- Fórmula aproximada de la altura media
V= (B + B') * (h1 + h2 + h3 + h4)4
G. Mediero 65
Cálculo de Volúmenes (Formulación) Cálculo de Volúmenes (Formulación)
FERFILES TRANSVERSALES I FERFILES TRANSVERSALES I
T1
T2
A
B
L1
T1
T2
A
B
L1
VT= T1 + T2 * L1
2
VT= T1 + T2 * L1
2
G. Mediero 66
Cálculo de Volúmenes (Formulación) Cálculo de Volúmenes (Formulación)
FERFILES TRANSVERSALES II FERFILES TRANSVERSALES II
VD= D1 + D2 * L2
2
VD= D1 + D2 * L2
2
D1
D2
L2
C
D
D1
D2
L2
C
D
G. Mediero 67
Cálculo de Volúmenes (Formulación) Cálculo de Volúmenes (Formulación)
FERFILES TRANSVERSALES III FERFILES TRANSVERSALES III
VD= D32 * L3
D3 + T3 2
VD= D32 * L3
D3 + T3 2 D3
E
F
T3
L3
D3
E
F
T3
L3
VT= T32 * L3
D3 + T3 2
VT= T32 * L3
D3 + T3 2
G. Mediero 68
Cálculo de Volúmenes (Formulación) Cálculo de Volúmenes (Formulación)
FERFILES TRANSVERSALES IV FERFILES TRANSVERSALES IV
VD= D5 + D6 * L4
2
VD= D5 + D6 * L4
2
VD= D42 * L4
D4 + T4 2
VD= D42 * L4
D4 + T4 2 D5
G
D4
D6
T4 H
L4
D5
G
D4
D6
T4 H
L4 VT= T42 * L4
D4 + T4 2
VT= T42 * L4
D4 + T4 2
G. Mediero 69
Cálculo de Volúmenes (Formulación) Cálculo de Volúmenes (Formulación)
FERFILES TRANSVERSALES V FERFILES TRANSVERSALES V VD= D + 0 * LD
2
VT = T + 0 * LT
2
VD= D + 0 * LD
2
VT = T + 0 * LT
2
VD= D2 * L
D + T 2
VD= D2 * L
D + T 2 VT= T2 * L
D + T 2
VT= T2 * L
D + T 2
L
LD
LT
D
T
L
LD
LT
D
T
D + T = D
L LD
LD= D * L
D + T
D + T = D
L LD
LD= D * L
D + T
D + T = T
L LT
LT= T * L
D + T
D + T = T
L LT
LT= T * L
D + T
G. Mediero 70
Cálculo de Volúmenes Cálculo de Volúmenes
PERSPECTIVA DE PERFILES I PERSPECTIVA DE PERFILES I
D
T
B
A P. PASO
D
T
B
A P. PASO
G. Mediero 71
Cálculo de Volúmenes Cálculo de Volúmenes
PERSPECTIVA DE PERFILES II PERSPECTIVA DE PERFILES II
P. PASOC
D
P. PASOC
D
G. Mediero 72
Cálculo de Volúmenes (Ejemplo) Cálculo de Volúmenes (Ejemplo)
Perfiles Transversales (Ejemplo)
A la vista de los perfiles transversales
que aparecen en el croquis adjunto, se
pide calcular el movimiento de tierras
tanto en desmonte como en terraplén,
entre perfiles consecutivos, así como
el movimiento de tierras total.
Ha de tenerse en cuenta, que la
distancia reducida entre los perfiles,
es la siguiente:
Entre 1 y 2 10 m.
Entre 2 y 3 14 m.
Entre 3 y 4 18 m.
2,5 m
2
1 m2
3 m
1,8 m2
2
21,5 m
22 m
1,7 m2
0,5 m2
1
3
4
2
Derecha Izquierda
G. Mediero 73
Cálculo de Volúmenes (Ejemplo) Cálculo de Volúmenes (Ejemplo)
Entre 1 y 2 Fórmulas
VT= T1
2 * L
T1 + D2 2
VD= D22 * L
T1 + D2 2
3
21,7 m 4
Derecha
21 m
2
3 m2
1
2,5 m2
1,5 m
20,5 m
Izquierda
2
2 m2
1,8 m2
PP
PP
PP
Entre 1 y 2 Cálculos
VT= T1
2 * L= 4,32 * 10= 9,94 m3
T1 + D2 2 4,3 + 5,0 2
VD= D22 * L= 5,02 * 10= 13,44 m3
T1 + D2 2 4,3 + 5,0 2
G. Mediero 74
Cálculo de Volúmenes (Ejemplo) Cálculo de Volúmenes (Ejemplo)
3
21,7 m 4
Derecha
21 m
2
3 m2
1
2,5 m2
1,5 m
20,5 m
Izquierda
2
2 m2
1,8 m2
PP
PP
PP
Entre 2 y 3 Cálculos
VDDCHA.= D2 + D3 * L= 3 + 1 *14= 28,00 m3
2 2
VDIZDA.= D22 * L= 2,02 *14 = 8,00 m3
D2 +T3 2 2,0+1,5 2
VTIZDA.= T32 * L= 1,52 *14= 4,50 m3
D2 + T3 2 2,0+1,5 2
Entre 2 y 3 Fórmulas
VDDCHA.= D2 + D3 * L
2
VDIZDA.= D22 * L
D2 + T3 2
VTIZDA.= T32 * L
D2 + T3 2
G. Mediero 75
Cálculo de Volúmenes (Ejemplo) Cálculo de Volúmenes (Ejemplo)
Entre 3 y 4 Fórmulas
VDDCHA.= D3
2 * L
D3 + T4 2
VTDCHA.= T42 * L
D3 + T4 2
VTIZDA.= T32 * L
T3 + D4 2
VDIZDA.= D42 * L
T3 + D4 2
3
21,7 m 4
Derecha
21 m
2
3 m2
1
2,5 m2
1,5 m
20,5 m
Izquierda
2
2 m2
1,8 m2
PP
PP
PP
G. Mediero 76
Cálculo de Volúmenes (Ejemplo) Cálculo de Volúmenes (Ejemplo)
Entre 3 y 4 Cálculos
VDDCHA.= D3
2 *L= 1,02 *18= 3,33 m3
D3 + T4 2 1,0 +1,7 2
VTDCHA.= T42 *L= 1,72 *18= 9,63 m3
D3 + T4 2 1,0 +1,7 2
VTIZDA.= T32 *L= 1,52 *18= 10,13 m3
T3 + D4 2 1,5 +0,5 2
VDIZDA.= D42 *L= 0,52 *18= 1,13 m3
T3 + D4 2 1,5 +0,5 2
3
21,7 m 4
Derecha
21 m
2
3 m2
1
2,5 m2
1,5 m
20,5 m
Izquierda
2
2 m2
1,8 m2
PP
PP
PP
Volumen Total
Volumen de Desmonte= 53,90 m3
Volumen de Terraplén= 34,20 m3