Post on 26-Mar-2023
Variável dummy
Regressão linear por partes
Teste de restrições sobre os coeficientes de regressã o
Teste de Chow
Prof. José Franciscoprofessorjfmp@hotmail.com
Econometria
Variável explicativa (X) que assume apenas dois val ores: 0 e 1 (variável indicadora). Indica a presença (1) ou ausência (0) de um atributo.
Finalidade: Permitir a inserção de variáveis qualit ativas em um modelo de regressão, por exemplo, estado civil e sexo.
Por exemplo, considere um modelo de regressão linea r em que o rendimento anual do trabalho (Y) é explicado por variáveis que caracterizam o perfil do trabalhador: escolaridade (anos de estudo), idade e sexo.
rendimento anual (Y i) = ββββ0 + ββββ1 escolaridade i + ββββ2 idade i + ββββ3 sexo i + εεεεi
A variável sexo é qualitativa com duas categorias: f eminino e masculino.
Para inserir a variável sexo no modelo devemos cria r uma variável dummy que atribui os valores 0 e 1:
Sexoi = 1 se o sexo do trabalhador i é masculinoSexoi = 0 se o sexo do trabalhador i é feminino
A inversão na atribuição dos valores 0 e 1 aos sexo s não muda as conclusões obtidas a partir do modelo.
Variável dummy
Variável dummySe a variável qualitativa tem K categorias, então devemos incluir K-1 variáveis dummies no modelo.
Exemplo: Uma forma usual de mensurar o nível de esc olaridade consiste em pedir ao entrevistado que marque uma das opções aba ixo:� Analfabeto� Ensino básico incompleto� Ensino básico completo � Ensino fundamental completo� Ensino fundamental incompleto� Ensino Superior completo� Ensino Superior incompleto
Esta variável qualitativa tem sete categorias ( K=7), logo K-1=6 variáveis dummiesdevem ser incluídas no lado direito do modelo de re gressão, por exemplo:
Para um trabalhador com nível superior completo, apenas a variável dummy 6 assume valor igual a 1
Para um trabalhador analfabeto todas as variáveis dummies são iguais a 0.
Dummy(1) Dummy(2) Dummy(3) Dummy(4) Dummy(5) Dummy(6)Analfabeto 0 0 0 0 0 0Ensino básico incompleto 1 0 0 0 0 0Ensino básico completo 0 1 0 0 0 0Ensino fundamental incompleto 0 0 1 0 0 0Ensino fundamental completo 0 0 0 1 0 0Ensino superior incompleto 0 0 0 0 1 0Ensino superior completo 0 0 0 0 0 1
Variáveis dummiesCategorias
Variável dummy
rendimento anual i = ββββ0 + + ββββ2 idade i + ββββ3 dummy i + εεεεi ( )ij
j jDummy∑=
⋅
6
1
β
Escolaridade
Dummy = 1 se trabalhador i é masculinoDummy = 0 se trabalhador i é feminino
Modelo de regressão linear múltipla com as variávei s dummies
Variável dummy
Três formas de inserção das variáveis dummies em um modelo de regressão linear:
� Forma aditiva
� Forma multiplicativa
� Forma mista
Variável dummy – Forma aditivaA variável dummy altera o termo constante (intercepto) d o modelo de regressão linear.
iiii DXY εβββ +++= 210
Salário esperado, em função da escolaridade, para indivíduos do sexo masculino (Dt=1)
Y = salário do indivíduo iX = anos de estudo do indivíduo iD = variável dummy: 1 para indivíduo do sexo masculino0 para indivíduo do sexo feminino
( ) ( ) ii XYE 120 βββ ++=
Por hipótese logo:( ) 0=iE ε
( ) ii XYE 10 ββ += Salário esperado, em função da escolaridade, para indivíduos do sexo feminino (Dt=0)
Variável dummy – Forma aditiva
Escolaridade X
Salário Y
( )20 ββ +
0β
( ) ( ) ii XYE 120 βββ ++=
( ) ii XYE 10 ββ +=
Reta de regressão para os homens
Reta de regressão para as mulheres
Os pontos são as observaçõesmulhereshomens
ββββ2 é o diferencial entre os salários médios de homens e mulheres
O modelo aditivo admite que este diferencial é const ante e independe do nível de escolaridade do trabalhador. Esta hipótese parece p ouco plausível para este problema.
Variável dummy – Forma multiplicativaA variável dummy altera o coeficiente de uma variável explicativa do modelo de regressão linear.
iiiii XDXY εβββ +++= 210
Salário esperado, em função da escolaridade, para indivíduos do sexo masculino (Dt=1)
Y = salário do indivíduo iX = anos de estudo do indivíduo iD = variável dummy: 1 para indivíduo do sexo masculino0 para indivíduo do sexo feminino
( ) ( ) ii XYE 210 βββ ++=
Por hipótese logo:( ) 0=iE ε
( ) ii XYE 10 ββ += Salário esperado, em função da escolaridade, para indivíduos do sexo feminino (Dt=0)
Interação entre escolaridade e sexo
Variável dummy – Forma multiplicativa
Escolaridade X
Salário Y
( )20 ββ +
0β
( ) ( ) ii XYE 210 βββ ++=
( ) ii XYE 10 ββ +=
Reta de regressão para os homens
Reta de regressão para as mulheres
Os pontos são as observaçõesmulhereshomens
Para as mulheres cada ano de estudo adicional acres centa ββββ1 $ ao salário médio.
Para os homens cada ano de estudo adicional acresce nta ββββ1+ββββ2 $ ao salário médio.
O efeito de cada ano de estudo adicional sobre o sa lário médio depende do sexo do indivíduo (EFEITO DE INTERAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS E XPLICATIVAS)
Variável dummy – Forma mistaA variável dummy altera o intercepto e o coeficiente de uma variável explicativa do modelo de regressão linear.
iiiiii XDDXY εββββ ++++= 3210 Y = salário do indivíduo iX = anos de estudo do indivíduo iD = variável dummy: 1 para indivíduo do sexo masculino0 para indivíduo do sexo feminino
Salário esperado, em função da escolaridade, para indivíduos do sexo masculino (Dt=1)
( ) ( ) ( ) ii XYE 3120 ββββ +++=
Por hipótese logo:( ) 0=iE ε
( ) ii XYE 10 ββ += Salário esperado, em função da escolaridade, para indivíduos do sexo feminino (Dt=0)
Variável dummy – Forma mista
Escolaridade X
Salário Y
( )20 ββ +
0β
( ) ( ) ( ) ii XYE 3120 ββββ +++=
( ) ii XYE 10 ββ +=
Reta de regressão para os homens
Reta de regressão para as mulheres
Os pontos são as observaçõesmulhereshomens
Variável dummy em séries de tempoTambém permite distinguir o comportamento de um fenôme no em períodos de tempo com características diversas, por ex emplo:
� Sazonalidade: para dados mensais usamos 11 dummies , enquanto para dados trimestrais usamos 3 dummies. Por exemplo, para representar as quatro estações do ano podemos usar três variáveis dumm ies. Note que no verão todas as dummies valem zero (categoria de refe rência).
� Períodos anterior e posterior a uma medida econômica: uma dummyque assume valor 0 para o período anterior e o valor 1 para o período posterior.
� Indicador de períodos com racionamento e sem racioname nto de energia: uma dummy que assume valor 0 para o período anterior e o valor 1 para o período posterior.
Dummy(1) Dummy(2) Dummy(3)Verão 0 0 0Outono 1 0 0Inverno 0 1 0Primavera 0 0 1
EstaçõesVariáveis dummies
Exemplo 1 (Mattos, 1997)
A redução de consumo provocada pelo horário de verão te m efeito significativo no consumo anual de energia elétrica?
Para responder esta pergunta vamos estimar o seguinte mo delo de regressão linear múltipla a partir de dados anuais do S istema Elétrico Brasileiro:
ttttt uDPTQ ++++= 3210 ββββ
Qt = demanda de energia elétrica no ano tTt = tarifa média no ano tPt = PIB no ano tDt = variável dummy:
0 – se ano t não tem horário de verão 1 – se ano t tem horário de verão
Com base na teoria econômica esperamos que as estimat ivas dos coeficientes de regressão pertençam aos seguintes in tervalos:
000 321 <>< βββ
Exemplo 1 (Mattos, 1997)
=
1102901
1107851
11041221
11041371
11001001
1931091
0861111
0821171
0851341
0841431
X
=
115
113
108
103
100
94
90
81
76
69
Y
As séries de demanda (Q), tarifa média (T) e PIB (P) estão expressas em índices (ano base = 1986).
O horário de verão foi introduzido em 1985.
( ) YXXX TT 1ˆ −=β
Estimador de mínimos quadrados
5958,0ˆ
2660,1ˆ
2645,0ˆ
7319,5ˆ
3
2
1
0
−=
=
−=
=
β
β
β
β
Exemplo 1 (Mattos, 1997)Saída do Excel
tttt DPTQ 60,027,126,073,5ˆ −+−=� Apesar da pequena amostra, os sinais dos coeficient es de regressão estão de acordo com o esperado.� O coeficiente da variável dummy não é estatisticament e significativo, logo pode-se inferir que a economia de energia promovida pelo horário de verão não significativa em relação ao consumo anual.
P-valor > 5%Teste t não rejeita a hipótese nula ββββ3=0
Intervalo de confiança contém o zero, logo não rejeitamos a hipótese ββββ3=0
Exemplo 2 (Ragsdale, 2004)Previsão de vendas trimestrais com modelo de regres são linear
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
trimestres
Ven
das
($)
A série histórica das vendas apresenta tendência e sazonalidade
Exemplo 2 (Ragsdale, 2004)
ttttt uDDDttVendas ++++++= 3524132
210 ββββββ
tendência sazonalidade
4 trimestres, logo a sazonalidade é representada por 3 dummies
0
1
0
1
0
1
3
2
1
t
t
t
D
D
D
t = contador de trimestres
No histórico t vai de 1 até 20
Se primeiro trimestre
Se não é primeiro trimestre
Se segundo trimestre
Se não é segundo trimestre
Se terceiro trimestre
Se não é terceiro trimestre
Modelo de regressão linear a ser ajustado
( ) 32
210 ββββ +++= ttVendasE t
( ) 42
210 ββββ +++= ttVendasE t
( ) 52
210 ββββ +++= ttVendasE t
( ) 2210 ttVendasE t βββ ++=
primeiro trimestre
segundo trimestre
terceiro trimestre
quarto trimestre
Vendas esperadas
ttttt uDDDttVendas ++++++= 3524132
210 ββββββ
Exemplo 2 (Ragsdale, 2004)
Objetivo: com base no histórico 1998 – 2002 gerar previsões trimestrais para 2003
Histórico
Exemplo 2 (Ragsdale, 2004)
RESUMO DOS RESULTADOS
Estatística de regressãoR múltiplo 0,992741R-Quadrado 0,985534R-quadrado ajustado0,980368Erro padrão 82,19265Observações 20
ANOVAgl SQ MQ F F de significação
Regressão 5 6443613,818 1288723 190,7628 2,31527E-12Resíduo 14 94578,83513 6755,631Total 19 6538192,653
Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P 95% inferiores 95% superioresInterseção 824,4727 71,38844455 11,54911 1,53E-08 671,3595927 977,5858361Period 17,31886 13,43309658 1,289268 0,2182 -11,49229666 46,13000806Time^2 3,485476 0,620679918 5,615577 6,37E-05 2,154248511 4,81670293
1 -86,805 52,88906781 -1,64127 0,123007 -200,2408838 26,630855152 -424,737 52,40244365 -8,10528 1,18E-06 -537,1289039 -312,34457693 -123,453 52,09941535 -2,36957 0,032719 -235,1955882 -11,71112443
R2
Menor que os nívei de significância usual 5%, logo rejeito a hipótese nula ββββ1= ββββ2 = ββββ3 = ββββ4 = ββββ5 = 0
tttt DDDttVendas 3212 45,12374,42481,8646,331,1747,824 −−−++=
Valores menores que o nível de significância usual 5%, logo aceito as hipótese nulas ββββ1 =0 e ββββ3 =0
Exemplo 2 (Ragsdale, 2004)
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 5 10 15 20 25
trimestres
vend
as previstoobservado
Exemplo 2 (Ragsdale, 2004)
Previsão de vendas para o trimestre t
tttt DDDttVendas 3212 45,12374,42481,8646,331,1747,824 −−−++=
03,252781,862146,32131,1747,824 221 =−⋅+⋅+=Vendas
Previsão de vendas para o primeiro trimestre de 200 3 (t=21)
Previsão de vendas para o segundo trimestre de 2003 (t=22)
19,245574,4242246,32231,1747,824 222 =−⋅+⋅+=Vendas
Previsão de vendas para o terceiro trimestre de 200 3 (t=23)
49,292945,1232346,32331,1747,824 223 =−⋅+⋅+=Vendas
Previsão de vendas para o quarto trimestre de 2003 (t=24)
42,31092446,32431,1747,824 224 =⋅+⋅+=Vendas
Exemplo 2 (Ragsdale, 2004)
Regressão linear por partes (piecewise regression)
Uso de efeitos de interação com variáveis dummy
Exemplo: No estado do Amazonas, o consumo de energia elétrica na classe residencial (MWh) guarda uma associação com o PIB do setor comercial (R$ milhões)
Correlação = 0,9548
Regressão linear por partes (piecewise regression)
tePIBE ttεββ 1
0=
Na modelagem da demanda por energia elétrica é bastante comum o uso da seguinte especificação:
Consumo de energia elétrica da classe residencial
PIB do setor comercial
Erro
Elasticidade
ttt PIBE εββ ++= lnlnln 10
Equação de regressão linear
Transformação logarítmica
Regressão linear por partes (piecewise regression)Dados
Estimação por MQO
Note que há uma estrutura nos resíduos.
tt PIBE ln24,181,1ˆln += R2= 0,89
Regressão linear por partes (piecewise regression)O gráfico do Ln E contra Ln PIB sugere uma mudança de tendência.
A mudança de tendência foi provocada por uma modificação na metodologia do cálculo do PIB em 2002.
2002Reta de regressão
tt PIBE ln24,181,1ˆln +=
Regressão linear por partes (piecewise regression)Por meio da regressão linear por partes pode-se ajustar um modelo que considere a mudança de tendência, mas sem descontinuidade em 2002.
Especificação com adição de um termo de interação (piecewise).
( ) ttttt DPIBPIBPIBE εβββ +−++= 2002210 lnlnlnlnln
Dt é uma variável dummyDt = 1 para t ≥ 2002
Dt = 0 para t ≤ 2001
termo de interação entre Ln PIB e uma dummy
ttt PIBE εββ ++= lnlnln 10
( ) ( ) ttt PIBPIBE εββββ +++−= lnlnlnln 21200220
Para t ≤ 2001
Parat ≥ 2002
Observe que com uma única equação de regressão podemos ajustar equações diferentes para os períodos anterior e posterior ao ano de 2002. No ano de 2002 as duas equações fornecem o mesmo valor esperado da variável dependente.
Regressão linear por partes (piecewise regression)Dados
Estimação por MQO
( ) tttt DPIBPIBPIBE 2002lnln47,1ln22,298,6ˆln −−+−=
R2= 0,9839R2 ajustado = 0,9812
Regressão linear por partes (piecewise regression)
( ) tttt DPIBPIBPIBE 2002lnln47,1ln22,298,6ˆln −−+−=
tt PIBE ln22,298,6ˆln +−=
tt PIBE ln75,044,6ˆln +=
Teste de hipóteses simultâneas sobre coeficientesConsidere o modelo de regressão linear múltipla
Yi = ββββ0 + ββββ1Xi,1 +...+ ββββmXi,m + ββββm+1Xi,m+1 + ... + ββββkXi,k + εεεεi
Estamos interessados em avaliar a significância estatística de um subconjunto dos coeficientes de regressão.
Por exemplo, avaliar a significância dos m primeiros coeficientes simultâneamente.
Para este fim, vamos testar a hipótese nula de que nennhum dos m componentes sejam significativos, contra a hipótese alternativa de que pelo menos um deles seja:
H0: ββββ1 = ... = ββββm =0 Yi = ββββ0 + ββββm+1Xi,m+1 +...+ ββββkXi,k εεεεi
H1: ββββ1 ≠≠≠≠ 0 ou ... ou ββββm ≠≠≠≠ 0 Yi = ββββ0 + ββββ1Xi,1 +...+ ββββkXi,k + εεεεi
Estatística teste sob H0
Rejeita H0 se Fcalculado>Fcrítico
( )( )1,
Re
~
1
+−
+−
−
knJIrrestrito
Irrestritostrito
F
kn
SQEJ
SQESQESQERestrito = Soma dos quadrados dos resíduos do modelo restritoSQEIrrestrito = Soma dos quadrados dos resíduos do modelo irrestriton = número de observaçõesK = número de variáveis explicativasJ = número de restrições em H0 (neste caso, J=m)
Modelo restrito
Modelo irrestrito
Exemplo:
Uma análise das importações portuguesas, para o período 1981 a 1999, forneceu o seguinte conjunto de resultados, estimados a partir de observações trimestrais:
ln(IMPt) = 4,9 + 0,0491t (R2 = 0,9814)
ln(IMPt) = 4,92 + 0,0487t -0,365Dt + 0,0122Dt.t (R2 = 0,9869)
onde
t é um contador de trimestres.
IMPt é o total de importações no trimestre t.
Dt é uma variável dummy que vale 1 para observações após a entrada de Portugal na CEE, em 1986, e 0 caso contrário.
Teste a hipótese que as importações após a entrada de Portugal na CEE tiveram comportamento semelhante ao período antes da adesão.
Exemplo 3 ( Oliveira et al, 1997)
Exemplo:
Uma análise das importações portuguesas, para o período 1981 a 1999, forneceu o seguinte conjunto de resultados, estimados a partir de observações trimestrais:
ln(IMPt) = 4,9 + 0,0491t (R2 = 0,9814)
ln(IMPt) = 4,92 + 0,0487t -0,365Dt + 0,0122Dt.t (R2 = 0,9869)
β0
β0 β1 β2 β3
β1
Teste a hipótese que as importações após a entrada de Portugal na CEE tiveram comportamento semelhante ao período antes da adesão.
H0: β2 = β3 = 0 (modelo restrito) Estatística teste sob H0
H1: β2 ≠ 0 ou β3 ≠ 0 (modelo irrestrito)
Variáveis associadas com a entrada de Portugal no CEE
( )( )1,
Re
~
1
+−
+−
−
knJIrrestrito
Irrestritostrito
F
kn
SQEJ
SQESQE
Exemplo 3 ( Oliveira et al, 1997)
Exemplo:
( )SQTRSQESQT
SQE
SQT
SQESQT
SQT
SQRR 22 11 −=⇒−=−==
Parcela não explicada da variação total
da variável dependente Y
variação total da variável
dependente Y
( )( )1,2
2Re
2
~
1
+−
+−
−
knJIrrestrito
stritoIrrestrito
F
kn
RJ
RR
( )( )1,
Re
~
1
+−
+−
−
knJIrrestrito
Irrestritostrito
F
kn
SQEJ
SQESQE
No lugar das somas dos quadrados dos resíduos (SQE) foram fornecidos os coeficientes de determinação (R2)
Substituindo SQE por (1-R2)SQT tem-se que
Exemplo 3 ( Oliveira et al, 1997)
Exemplo:
Uma análise das importações portuguesas, para o período 1981 a 1999, forneceu o seguinte conjunto de resultados, estimados a partir de observações trimestrais:
n = 19 x 4 = 76 trimestres
ln(IMPt) = 4,9 + 0,0491t modelo restrito (R2restrito = 0,9814)
ln(IMPt) = 4,92 + 0,0487t -0,365Dt + 0,0122Dt.t (R2irrestrito = 0,9869)
Fcalculado = 0,20175
Fcrítico = INVF(0.05;2;72) no Excel = 3,12qf(0.95,2,72) no R
Conclusão: não rejeitamos H0
( ) ( )20175,0
13769814,02
9814,09869,0
1
2
2Re
2
=
+−
−
⇒
+−
−
kn
RJ
RR
Irrestrito
stritoIrrestrito
Exemplo 3 ( Oliveira et al, 1997)
Teste de quebra estrutural (Gregory Chow, 1960)
Testa a igualdade dos coeficientes de duas equações de regressão.
Útil na avaliação de quebra estrutural.
Permite determinar se as variáveis independentes têm impactos distintos em diferentes subrupos da população.
Considere o modelo de regressão linear:
Yi = ββββ0 + ββββ1Xi,1 + ... + ββββkXi,k + εεεεi
Se os dados são divididos em dois grupos,podemos ter duas estimativas para o mesmo modelo:
Yi = ββββ0,1 + ββββ1,1Xi,1 + ... + ββββk,1Xi,k + εεεεiYi = ββββ0,2 + ββββ1,2Xi,1 + ... + ββββk,2Xi,k + εεεεi
O teste de Chow envolve as seguintes hipóteses: H0: ββββ0,1=ββββ0,2 , ββββ1,1=ββββ1,2 ,..., ββββk,1=ββββk,2H1: ββββ0,1=ββββ0,2 , ββββ1,1=ββββ1,2 ,..., ββββk,1=ββββk,2
Modelo a ser estimado com n1 obs. do grupo 1Modelo a ser estimado com n2 obs. do grupo 2
Teste de quebra estrutural
H0: ββββ0,1=ββββ0,2 , ββββ1,1=ββββ1,2 ,..., ββββk,1=ββββk,2H1: ββββ0,1=ββββ0,2 , ββββ1,1=ββββ1,2 ,..., ββββk,1=ββββk,2
Estatística teste
SQEModelo_2 é obtida na ANOVA do modelo estimado com a amostra do grupo 2
SQEModelo_1 é obtida na ANOVA do modelo estimado com a amostra do grupo 1
( )
( )12
1
21
2_1_
2_1_
+−+++
+−
knn
SQESQEk
SQESQESQE
ModeloModelo
ModeloModelorestrito
SQErestrito é obtida na ANOVA do modelo estimado com toda a amostra
Exemplo 4 (OLIVEIRA et al, 1997)Com o objetivo de avaliar o impacto ambiental de diferentes políticas de gestão de Parques Naturais, foi efetuado um estudo, cobrindo os anos de 1960 a 1987, referente ao Parque Natural em Portugal (situado numa região fronteiriça), que entre outras, produziu a seguinte estimação, pelo método dos mínimos quadrados:
( ) ( ) ( )16,230,1709,1
61,974,367,12 21
−−−+−= ttt XXY
R2=0,984
OndeYt = número de espécies animais e vegetais em perigo de extinção, no ano tX2t = número de visitantes no parque (em milhares), no ano tX3t = despesa com pessoal especializado na conservação da natureza, a preços de 1980 (em milhões de escudos), no ano t.
No início de 1972, foi aberto à circulação de automóveis em um das fronteiras do parque. As seguintes equações de regressão foram estimadas:
( ) ( ) ( )92,998,032,6
51,051,092,34 21 ttt XXY −+=
( ) ( ) ( )73,107,034,9
31,842,311,31 21 ttt XXY −+=
R2=0,344
R2=0,997
1960 - 1971
1972 - 1987
1960 - 1987SY
2=54.8293,18
SY2=143,33
SY2=28.956,48
Exemplo 4 (OLIVEIRA et al, 1997)Em 1972, durante a polêmica gerada, um autarca defensor da abertura da fronteira do parque afirmou que, com base na experiência anterior, o aumento do número de visitantes não iria provocar efeitos significativos ao nível das espécies existentes no parque. Poder-se-ia refutar, na altura, tal afirmação?Para responder, precisamos tomar os resultados da regressão estimada com dados período 1960-1971.
( ) ( ) ( )92,998,032,6
51,051,092,34 21 ttt XXY −+=R2=0,344
1960 - 1971SY
2=143,33
β0 β1 β2
H0: β1=0 ( número de visitantes tem efeito nulo sobre conservação das espécias )H1: β1≠0 ( número de visitantes tem efeito não nulo sobre conservação das espécias )
32ˆ
1 ~ˆ
1
−ntsβ
βEstatística teste
52,098,9
51,0 =
t crítico ao nível alfa de 5%= INVT(0,05;12) = 2,8
t calculado
t calculado < t crítico, não rejeitamos a hipótese nula.
A um nível de significância de 5% e face à evidência estatística disponível em 1972, um aumento do número de visitantes não influencia significativamente o número de espécies em extinção, a afirmação não podia ser refutada.
Exemplo 4 (OLIVEIRA et al, 1997)O então diretor do parque contrapôs, na altura, que o passado não podia ser validamente utilizado como guia do que se passaria após a abertura da fronteira, uma vez que era de recear uma alteração do tipo de visitantes, menos preocupados com o ambiente, com repercussões que se alargariam ao impacto de outras variáveis. Verifique, se o temop veio dar ou não razão ao diretor.A argumentação do diretor do parque baseia-se na possibilidade de alteração dos impactos ambientais, uma mudança estrutural. Então é apropriado aplicar o teste de Chow e testar a hipótese de permanência da equação de regressão antes e após a abertura da fronteira do parque.
( ) ( ) ( )92,998,032,6
51,051,092,34 21 ttt XXY −+=
( ) ( ) ( )73,107,034,9
31,842,311,31 21 ttt XXY −+=
R2=0,344
R2=0,997
Modelo I1960 - 1971
Modelo II1972 - 1987
SY2=143,33
SY2=28.956,48
β0 β1 β2
H0: β0,I=β0,II e β1,I=β1,II e β2,I=β2,II ( não houve mudança estrutural )H1: β0,I≠β0,II ou β1,I≠ β1,II ou β2,I≠ β2,II ( houve mudança estrutural )
Exemplo 4 (OLIVEIRA et al, 1997)Teste de Chow
H0: β0,I=β0,II e β1,I=β1,II e β2,I=β2,II ( não houve mudança estrutural )H1: β0,I≠β0,II ou β1,I≠ β1,II ou β2,I≠ β2,II ( houve mudança estrutural )
Estatística teste
( )
( ))1(2,1
21
__
__
21~
12
1+−++
+−+++
+−
knnkIIModeloIModelo
IIModeloIModelorestrito
F
knn
SQESQEk
SQESQESQE
No lugar das somas dos quadrados dos resíduos (SQE) foram fornecidos os coeficientes de determinação (R2) e SY
2
k+1 = 3n1 = 12n2 = 16
Exemplo 4 (OLIVEIRA et al, 1997)Teste de Chow
H0: β0,I=β0,II e β1,I=β1,II e β2,I=β2,II ( não houve mudança estrutural )H1: β0,I≠β0,II ou β1,I≠ β1,II ou β2,I≠ β2,II ( houve mudança estrutural )
Estatística teste
( )
22
3__
__
IIModeloIModelo
IIModeloIModelorestrito
SQESQE
SQESQESQE
+
+−
( )SQTRSQESQT
SQE
SQT
SQESQT
SQT
SQRR 22 11 −=⇒−=−==
( ) ( ) 2
1
21 Y
n
ii SnSQTYYSQT −=⇒−=∑
=
( )( ) 22 11 YSnRSQE −−=
Exemplo 4 (OLIVEIRA et al, 1997)Teste de Chow
H0: β0,I=β0,II e β1,I=β1,II e β2,I=β2,II ( não houve mudança estrutural )H1: β0,I≠β0,II ou β1,I≠ β1,II ou β2,I≠ β2,II ( houve mudança estrutural )
( )98,66
2204,303.127,034.1
304,303.127,034.12,686.23
=+
+−
( )( )( )( )( )( ) 04,303.148,956.28116997,01
27,034.133,143112344,01
2,23686175,829.54128984,01
_
_
=−−=
=−−==−−=
IIModelo
IModelo
restrito
SQE
SQE
SQE
F calculado = 66,98
F crítico = INVF(0,05;3;22) = 3,04
F calculado > F crítico, logo rejeitamos H0
F calculado
A evidência estatística disponível posteriormente (até 1987) veio dar
razão aos argumentos apresentados em 1972, pelo diretor do parque
Referências Bibliográficas
Matos, O.C. Econometria básica: teoria e aplicações. Editora Atlas, São Paulo, 1997.
Oliveira, M.M., Aguiar, A., Carvalho, A., Mendes, V., Portugal, P. Econometria: Exercícios, Editora McGraw Hill de Portugal, Alfragide, 1997.
Ragsdale, C.T. Spreadsheet Modeling & Decision Analysis: A practical introduction to management science, 4e, Thompson, 2004.