Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.

Ungkapan Boolean

dan

Aljabar Boolean

Ungkapan Boolean Ungkapan Boolean terdiri dari

Literal – variabel dan komplemennya

Operasi Logika

Contoh

F = A.B'.C + A'.B.C' + A.B.C + A'.B'.C'

F = (A+B+C').(A'+B'+C).(A+B+C)

F = A.B'.C' + A.(B.C' + B'.C)

literals logic operations

Ungkapan Boolean

Ungkapan Boolean dinyatakan menggunakan jaringan (atau

kombinasi) dari gerbang logik.

Setiap gerbang logik mengimplementasikan satu operasi

logik dalam ungkapan Boolean.

Setiap masukan ke gerbang logik mewakili satu literal

dalam ungkapan Boolean

f

x 1

x 2

Operasi logikliteral

Ungkapan Boolean

Ungkapan Boolean ditentukan melalui

Mensubstitusi 0 atau 1 untuk setiap literal

Menghitung nilai logika dari ungkapan

Tabel kebenaran menentukan nilai ungkapan Boolean untuk

setiap kombinasi variabel ungkapan Boolean.

Untuk setiap n-variabel ungkapan Boolean, tabel kebenaran

mempunyai 2n baris (satu untuk setiap kombinasi).

Ungkapan Boolean

Contoh:

Tentukan ungkapan Boolean untuk setiap kombinasi masukan

menggunakan tabel kebenaran.

F(A,B,C) = A'.B'.C + A.B'.C'

Ungkapan Boolean

Dua ungkapan Boolean sama jika mempunyai nilai yang sama

untuk setiap kombinasi variabel dalam ungkapan Boolean.

F1

= (A + B)'

F2

= A'.B'

Bagaimana membuktikan bahwa dua ungkapan Boolean itu

sama?

Tabel kebenaran

Aljabar Boolean

Ungkapan Boolean

Contoh:

Menggunakan tabel kebenaran, buktikan bahwa dua ungkapan

Boolean itu sama.

F1

= (A + B)'

F2

= A'.B'

Aljabar Boolean

George Boole mengembangkan deskripsi aljabar untuk proses yang

melibatkan logika dan penalaran.

Kemudian dikenal sebagai Aljabar Boolean

Claude Shannon kemudian mendemonstrasikan bahwa Aljabar

Boolean dapat digunakan untuk mendeskripsikan rangkaian

pensaklaran.

Rangkaian pensaklaran dibuat dari piranti yang mensaklar antara

dua keadaan (0 dan 1).

Aljabar pensaklaran merupakan kasus khusus Aljabar Boolean

yang semuanya mempunyai variabel yang hanya mempunyai dua

nilai yang berbeda.

Aljabar Boolean merupakan tool yang efektif untuk menganalisa

dan merancang rangkaian logik.

Teorema dan hukum dasar

Commutative Law A + B = B + A A.B = B.A

Associative Law A + (B + C) = (A + B) + C A . (B . C) = (A . B) . C

Distributive Law A.(B + C) = AB + AC A + (B . C) = (A + B) . (A + C)

Null Elements A + 1 = 1 A . 0 = 0

Identity A + 0 = A A . 1 = A

A + A = A A . A = A

Complement A + A' = 1 A . A' = 0

Involution A'' = A

Absorption (Covering) A + AB = A A . (A + B) = A

Simplification A + A'B = A + B A . (A' + B) = A . B

DeMorgan's Rule (A + B)' = A'.B' (A . B)' = A' + B'

Logic Adjacency (Combining) AB + AB' = A (A + B) . (A + B') = A

Consensus AB + BC + A'C = AB + A'C (A + B) . (B + C) . (A' + C) = (A + B) . (A' + C)

Idempotence

Hukum Distributif

A.(B + C) = AB + AC

F = WX.(Y + Z)

F = WXY + WXZ

G = B'.(AC + AD)

G = AB'C + AB'D

H = A.(W'X + WX' + YZ)

H = AW'X + AWX' + AYZ

A + (B.C) = (A + B).(A + C)

F = WX + (Y.Z)

F = (WX + Y).(WX + Z)

G = B' + (A.C.D)

G = (B' + A).(B' + C).(B' + D)

H = A + ( (W'X).(WX') )

H = (A + W'X).(A + WX')

Absorpsi (Covering)

A + AB = A

F = A'BC + A'

F = A'

G = XYZ + XY'Z + X'Y'Z' + XZ

G = XYZ + XZ + X'Y'Z'

G = XZ + X'Y'Z'

H = D + DE + DEF

H = D

A.(A + B) = A

F = A'.(A' + BC)

F = A'

G = XZ.(XZ + Y + Y')

G = XZ.(XZ + Y)

G = XZ

H = D.(D + E + EF)

H = D

Penyederhanaan

A + A'B = A + B

F = (AB + C).(B'D + C'E') + (AB + C)'

F = B'D + C'E' + (AB + C)'

A.(A' + B) = A . B

G = (X + Y).( (X + Y)' + (WZ) )

G = (X + Y) + WZ

Komplemen

A + A' = 1

F = ABC'D + ABCD

F = ABD.(C' + C)

F = ABD

A . A' = 0

G = (A + B + C + D).(A + B' + C + D)

G = (A + C + D) + (B . B')

G = A + C + D

Aljabar Boolean

Contoh:

Menggunakan aljabar Boolean, sederhanakan ungkapan Boolean

berikut.

F(A,B,C) = A'.B.C + A.B'.C + A.B.C

Boolean Algebra

Contoh:

Menggunakan aljabar Boolean, sederhanakan ungkapan Boolean

berikut.

F(A,B,C) = (A'+B'+C').(A'+B+C').(A+B'+C')

Hukum DeMorgan

Dapat dinyatakan sebagai berikut:

Komplemen produk (AND) adalah penjumlahan (OR) dari

komplemen.

(X.Y)' = X' + Y'

Komplemen penjumlahan (OR) merupakan produk (AND)

dari komplemen.

(X + Y)' = X' . Y'

Mudah diturunkan sampai n variabel.

Dapat dibuktikan menggunakan tabel kebenaran.

Bukti hukum DeMorgan

(X . Y)' = X' + Y'

x 1

x 2

x 1

x 2

x 1

x 2

x 1

x 2

x 1

x 2

x 1

x 2

x 1

x 2

x 1 x 2 + = (a)

x 1 x 2 + x 1 x 2 = (b)

Teorema DeMorgan

Urgensi Aljabar Boolean

Aljabar Boolean digunakan untuk menyederhanakan ungkapan

Boolean.

– Melalui aplikasi hukum dan teorema yang telah dijelaskan

Ungkapan penyederhanaan mengarahkan pada realisasi rangkaian

sederhana, yang biasanya menurunkan biaya, area yang diperlukan

dan daya yang dikonsumsi.

Tujuan perancang rangkaian digital adalah untuk mendesain dan

merealisasikan rangkaian digital yang optimal.

Penyederhanaan Aljabar

Alasan penyederhanaan ungkapan Boolean:

– Menurunkan biaya terkait dengan realisasi ungkapan Boolean

menggunakan gerbang logik.

– Menurunkan area (misal silikon) yang diperlukan untuk

pembuatan fungsi pensaklaran.

– Menurunkan konsumsi daya rangkaian.

Biasanya, tidak ada cara yang mudah untuk menentukan ungkapan

Boolean yang telah disederhanakan menjadi jumlah minimum

literal atau term.

– Tidak ada solusi unik

Penyederhanaan Aljabar

Ungkapan Boolean (atau pensaklaran) dapat disederhanakan

menggunakan metode berikut:

1. Perkalian

2. Pemfaktoran

3. Menkombinasi term

4. Menghilangkan term

5. Menghilangkan literal

6. Menambah term redundan

Tidak ada tool lain yang dapat digunakan untuk menyederhanakan ungkapan Boolean,

dan dinamakan peta Karnaugh.

Sekian untuk hari ini