Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean -...

22
Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean

Transcript of Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean -...

Page 1: Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean - …elearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/190000005-ST017-3... · menggunakan tabel kebenaran. F(A,B,C) ... Teorema dan hukum dasar

Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.

Ungkapan Boolean

dan

Aljabar Boolean

Page 2: Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean - …elearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/190000005-ST017-3... · menggunakan tabel kebenaran. F(A,B,C) ... Teorema dan hukum dasar

Ungkapan Boolean Ungkapan Boolean terdiri dari

Literal – variabel dan komplemennya

Operasi Logika

Contoh

F = A.B'.C + A'.B.C' + A.B.C + A'.B'.C'

F = (A+B+C').(A'+B'+C).(A+B+C)

F = A.B'.C' + A.(B.C' + B'.C)

literals logic operations

Page 3: Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean - …elearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/190000005-ST017-3... · menggunakan tabel kebenaran. F(A,B,C) ... Teorema dan hukum dasar

Ungkapan Boolean

Ungkapan Boolean dinyatakan menggunakan jaringan (atau

kombinasi) dari gerbang logik.

Setiap gerbang logik mengimplementasikan satu operasi

logik dalam ungkapan Boolean.

Setiap masukan ke gerbang logik mewakili satu literal

dalam ungkapan Boolean

f

x 1

x 2

Operasi logikliteral

Page 4: Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean - …elearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/190000005-ST017-3... · menggunakan tabel kebenaran. F(A,B,C) ... Teorema dan hukum dasar

Ungkapan Boolean

Ungkapan Boolean ditentukan melalui

Mensubstitusi 0 atau 1 untuk setiap literal

Menghitung nilai logika dari ungkapan

Tabel kebenaran menentukan nilai ungkapan Boolean untuk

setiap kombinasi variabel ungkapan Boolean.

Untuk setiap n-variabel ungkapan Boolean, tabel kebenaran

mempunyai 2n baris (satu untuk setiap kombinasi).

Page 5: Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean - …elearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/190000005-ST017-3... · menggunakan tabel kebenaran. F(A,B,C) ... Teorema dan hukum dasar

Ungkapan Boolean

Contoh:

Tentukan ungkapan Boolean untuk setiap kombinasi masukan

menggunakan tabel kebenaran.

F(A,B,C) = A'.B'.C + A.B'.C'

Page 6: Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean - …elearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/190000005-ST017-3... · menggunakan tabel kebenaran. F(A,B,C) ... Teorema dan hukum dasar

Ungkapan Boolean

Dua ungkapan Boolean sama jika mempunyai nilai yang sama

untuk setiap kombinasi variabel dalam ungkapan Boolean.

F1

= (A + B)'

F2

= A'.B'

Bagaimana membuktikan bahwa dua ungkapan Boolean itu

sama?

Tabel kebenaran

Aljabar Boolean

Page 7: Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean - …elearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/190000005-ST017-3... · menggunakan tabel kebenaran. F(A,B,C) ... Teorema dan hukum dasar

Ungkapan Boolean

Contoh:

Menggunakan tabel kebenaran, buktikan bahwa dua ungkapan

Boolean itu sama.

F1

= (A + B)'

F2

= A'.B'

Page 8: Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean - …elearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/190000005-ST017-3... · menggunakan tabel kebenaran. F(A,B,C) ... Teorema dan hukum dasar

Aljabar Boolean

George Boole mengembangkan deskripsi aljabar untuk proses yang

melibatkan logika dan penalaran.

Kemudian dikenal sebagai Aljabar Boolean

Claude Shannon kemudian mendemonstrasikan bahwa Aljabar

Boolean dapat digunakan untuk mendeskripsikan rangkaian

pensaklaran.

Rangkaian pensaklaran dibuat dari piranti yang mensaklar antara

dua keadaan (0 dan 1).

Aljabar pensaklaran merupakan kasus khusus Aljabar Boolean

yang semuanya mempunyai variabel yang hanya mempunyai dua

nilai yang berbeda.

Aljabar Boolean merupakan tool yang efektif untuk menganalisa

dan merancang rangkaian logik.

Page 9: Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean - …elearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/190000005-ST017-3... · menggunakan tabel kebenaran. F(A,B,C) ... Teorema dan hukum dasar

Teorema dan hukum dasar

Commutative Law A + B = B + A A.B = B.A

Associative Law A + (B + C) = (A + B) + C A . (B . C) = (A . B) . C

Distributive Law A.(B + C) = AB + AC A + (B . C) = (A + B) . (A + C)

Null Elements A + 1 = 1 A . 0 = 0

Identity A + 0 = A A . 1 = A

A + A = A A . A = A

Complement A + A' = 1 A . A' = 0

Involution A'' = A

Absorption (Covering) A + AB = A A . (A + B) = A

Simplification A + A'B = A + B A . (A' + B) = A . B

DeMorgan's Rule (A + B)' = A'.B' (A . B)' = A' + B'

Logic Adjacency (Combining) AB + AB' = A (A + B) . (A + B') = A

Consensus AB + BC + A'C = AB + A'C (A + B) . (B + C) . (A' + C) = (A + B) . (A' + C)

Idempotence

Page 10: Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean - …elearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/190000005-ST017-3... · menggunakan tabel kebenaran. F(A,B,C) ... Teorema dan hukum dasar

Hukum Distributif

A.(B + C) = AB + AC

F = WX.(Y + Z)

F = WXY + WXZ

G = B'.(AC + AD)

G = AB'C + AB'D

H = A.(W'X + WX' + YZ)

H = AW'X + AWX' + AYZ

A + (B.C) = (A + B).(A + C)

F = WX + (Y.Z)

F = (WX + Y).(WX + Z)

G = B' + (A.C.D)

G = (B' + A).(B' + C).(B' + D)

H = A + ( (W'X).(WX') )

H = (A + W'X).(A + WX')

Page 11: Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean - …elearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/190000005-ST017-3... · menggunakan tabel kebenaran. F(A,B,C) ... Teorema dan hukum dasar

Absorpsi (Covering)

A + AB = A

F = A'BC + A'

F = A'

G = XYZ + XY'Z + X'Y'Z' + XZ

G = XYZ + XZ + X'Y'Z'

G = XZ + X'Y'Z'

H = D + DE + DEF

H = D

A.(A + B) = A

F = A'.(A' + BC)

F = A'

G = XZ.(XZ + Y + Y')

G = XZ.(XZ + Y)

G = XZ

H = D.(D + E + EF)

H = D

Page 12: Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean - …elearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/190000005-ST017-3... · menggunakan tabel kebenaran. F(A,B,C) ... Teorema dan hukum dasar

Penyederhanaan

A + A'B = A + B

F = (AB + C).(B'D + C'E') + (AB + C)'

F = B'D + C'E' + (AB + C)'

A.(A' + B) = A . B

G = (X + Y).( (X + Y)' + (WZ) )

G = (X + Y) + WZ

Page 13: Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean - …elearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/190000005-ST017-3... · menggunakan tabel kebenaran. F(A,B,C) ... Teorema dan hukum dasar

Komplemen

A + A' = 1

F = ABC'D + ABCD

F = ABD.(C' + C)

F = ABD

A . A' = 0

G = (A + B + C + D).(A + B' + C + D)

G = (A + C + D) + (B . B')

G = A + C + D

Page 14: Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean - …elearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/190000005-ST017-3... · menggunakan tabel kebenaran. F(A,B,C) ... Teorema dan hukum dasar

Aljabar Boolean

Contoh:

Menggunakan aljabar Boolean, sederhanakan ungkapan Boolean

berikut.

F(A,B,C) = A'.B.C + A.B'.C + A.B.C

Page 15: Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean - …elearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/190000005-ST017-3... · menggunakan tabel kebenaran. F(A,B,C) ... Teorema dan hukum dasar

Boolean Algebra

Contoh:

Menggunakan aljabar Boolean, sederhanakan ungkapan Boolean

berikut.

F(A,B,C) = (A'+B'+C').(A'+B+C').(A+B'+C')

Page 16: Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean - …elearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/190000005-ST017-3... · menggunakan tabel kebenaran. F(A,B,C) ... Teorema dan hukum dasar

Hukum DeMorgan

Dapat dinyatakan sebagai berikut:

Komplemen produk (AND) adalah penjumlahan (OR) dari

komplemen.

(X.Y)' = X' + Y'

Komplemen penjumlahan (OR) merupakan produk (AND)

dari komplemen.

(X + Y)' = X' . Y'

Mudah diturunkan sampai n variabel.

Dapat dibuktikan menggunakan tabel kebenaran.

Page 17: Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean - …elearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/190000005-ST017-3... · menggunakan tabel kebenaran. F(A,B,C) ... Teorema dan hukum dasar

Bukti hukum DeMorgan

(X . Y)' = X' + Y'

Page 18: Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean - …elearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/190000005-ST017-3... · menggunakan tabel kebenaran. F(A,B,C) ... Teorema dan hukum dasar

x 1

x 2

x 1

x 2

x 1

x 2

x 1

x 2

x 1

x 2

x 1

x 2

x 1

x 2

x 1 x 2 + = (a)

x 1 x 2 + x 1 x 2 = (b)

Teorema DeMorgan

Page 19: Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean - …elearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/190000005-ST017-3... · menggunakan tabel kebenaran. F(A,B,C) ... Teorema dan hukum dasar

Urgensi Aljabar Boolean

Aljabar Boolean digunakan untuk menyederhanakan ungkapan

Boolean.

– Melalui aplikasi hukum dan teorema yang telah dijelaskan

Ungkapan penyederhanaan mengarahkan pada realisasi rangkaian

sederhana, yang biasanya menurunkan biaya, area yang diperlukan

dan daya yang dikonsumsi.

Tujuan perancang rangkaian digital adalah untuk mendesain dan

merealisasikan rangkaian digital yang optimal.

Page 20: Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean - …elearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/190000005-ST017-3... · menggunakan tabel kebenaran. F(A,B,C) ... Teorema dan hukum dasar

Penyederhanaan Aljabar

Alasan penyederhanaan ungkapan Boolean:

– Menurunkan biaya terkait dengan realisasi ungkapan Boolean

menggunakan gerbang logik.

– Menurunkan area (misal silikon) yang diperlukan untuk

pembuatan fungsi pensaklaran.

– Menurunkan konsumsi daya rangkaian.

Biasanya, tidak ada cara yang mudah untuk menentukan ungkapan

Boolean yang telah disederhanakan menjadi jumlah minimum

literal atau term.

– Tidak ada solusi unik

Page 21: Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean - …elearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/190000005-ST017-3... · menggunakan tabel kebenaran. F(A,B,C) ... Teorema dan hukum dasar

Penyederhanaan Aljabar

Ungkapan Boolean (atau pensaklaran) dapat disederhanakan

menggunakan metode berikut:

1. Perkalian

2. Pemfaktoran

3. Menkombinasi term

4. Menghilangkan term

5. Menghilangkan literal

6. Menambah term redundan

Tidak ada tool lain yang dapat digunakan untuk menyederhanakan ungkapan Boolean,

dan dinamakan peta Karnaugh.

Page 22: Ungkapan Boolean dan Aljabar Boolean - …elearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/190000005-ST017-3... · menggunakan tabel kebenaran. F(A,B,C) ... Teorema dan hukum dasar

Sekian untuk hari ini