DERET POSITIF lanjutan

Kalkulus Lanjut

Oleh: Fiki Alghadari

Uji Banding Limit

Teorema: Andaikan . , dan

Apabila , maka

dan bersama-sama akan konvergen atau divergen. Apabila

dan konvergen, maka konvergen.

0na 0nb

Lb

a

n

n

n

lim

L0 na

nb

0L

nb na

Lanjutan …

Perhatikan

Contoh 4: Apakah konvergen atau divergen.

Bandingkan dengan deret

Bandingkan dengan deret

12

ln

n n

n

12

1

n n

1

1

n n

Lanjutan …

Berdasarkan teorema uji limit banding dan contoh sebelum bagian ini, konvergen atau divergen deret yang akan di uji harus bersesuaian dengan konvergen atau divergennya deret pembanding.

Lanjutan …

Berbeda dengan uji deret berikut. Uji deret berikut tidak memerlukan pengetahuan tentang konvergen atau tidaknya deret pembanding.

Uji Hasilbagi

Teorema: Andaikan sebuah deret yang sukunya positif dan andaikan

(i) Jika deret konvergen

(ii) Jika deret divergen

(iii) Jika , pengujian ini tidak memberi kepastian.

na

pa

a

n

n

n

1lim

1p

1p

1p

Lanjutan …

Perhatikan contoh sebelumnya, uji kekonvergenan suatu deret dibandingkan dengan dan .

Pengujian tidak memberikan kepastian karena menurut uji hasilbagi bahwa kedua deret ini memiliki nilai

12

1

n n

1

1

n n

1lim 1

n

n

n a

a

Lanjutan …

Karakteristik uji hasilbagi adalah menguji kekonvergenan deret yang mengandung , , atau . !n

nrnn

Lanjutan …

Silahkan latihan soal-soal

DERET GANTI TANDA

Kalkulus Lanjut

Oleh: Fiki Alghadari

Pendahuluan

Ada suatu bentuk deret

Contoh

Deret di atas adalah harmonik ganti tanda.

...4321 aaaa

...4

1

3

1

2

11

Lanjutan Perhatikan

Apabila jumlah parsial berindex genap dipisah dengan jumlah parsial berindex ganjil.

Jumlah parsial berindex genap naik dan terbatas di atas, konvergen, dengan limit misal .

Jumlah parsial berindex ganjil turun dan terbatas di bawah, konvergen dengan limit misal .

...4

1

3

1

2

11

'S

"S

Lanjutan …

Berdasarkan ilustrasi bukti geometris, maka

Dengan syarat apabila akan menjamin bahwa sehingga deret akan konvergen menuju nilai yang sama yaitu .

Oleh karena terletak antara dan , maka

11'" nnn aSSSS

01 na n

"' SS

"' SSS

SnS 1nS

11 nnnn aSSSS

Uji Deret Ganti-tanda

Artinya, diaproksimasi dengan , sehingga ada galat. Berikut teoremanya.

Teorema: Andaikan

Suatu deret ganti-tanda dengan . Apabila

maka deret konvergen. Kesalahan yang dibuat apabila jumlah diaproksimasi dengan jumlah

suku pertama tidak akan melebihi .

SnS

...4321 aaaa

01 nn aa

0lim

nn

a

S

nSn 1na

Lanjutan …

Contoh: Buktikan bahwa deret harmonik ganti tanda konvergen. Berapakah suku yang harus diambil agar selisih antara jumlah deret dan jumlah parsial tidak melebihi 0,01.

S

nS

01

limlim n

an

nn

99

01,01

1

01,0

01,0

1

n

n

a

SS

n

n

Lanjutan …

Silahkan latihan soal-soal

Lanjutan …

Apakah deret berikut konvergen

Uji deret ganti-tanda tidak berlaku untuk deret di atas. Apabila suku-suku diganti dengan nilai mutlaknya maka

dan ini adalah deret- . Karena deret- konvergen untuk

, maka deret suku-suku mutlah adalah konvergen.

...36

1

25

1

16

1

9

1

4

11

...36

1

25

1

16

1

9

1

4

11

p p

1p

Uji Kekonvergenan Mutlak

Sehingga deret yang semulanya ada suku-suku negatif juga konvergen. Berikut teoremanya.

Teorema: Jika konvergen maka konvergen. nu nu