LOGO MATEMATIKA BISNIS (Deret) - febriyanto · PDF fileseperti deret hitung, ... Rumus jumlah...

14
LOGO MATEMATIKA BISNIS (Deret) DOSEN FEBRIYANTO, SE., MM. www.febriyanto79.wordpress.com 1

Transcript of LOGO MATEMATIKA BISNIS (Deret) - febriyanto · PDF fileseperti deret hitung, ... Rumus jumlah...

Page 1: LOGO MATEMATIKA BISNIS (Deret) - febriyanto · PDF fileseperti deret hitung, ... Rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-n, yakni: 1 p a(1 p) ... tingkat per tumbuhannya 4% per

LOGOMATEMATIKA BISNIS

(Deret)

DOSEN

FEBRIYANTO, SE., MM.

www.febriyanto79.wordpress.com1

Page 2: LOGO MATEMATIKA BISNIS (Deret) - febriyanto · PDF fileseperti deret hitung, ... Rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-n, yakni: 1 p a(1 p) ... tingkat per tumbuhannya 4% per

MATEMATIKA BISNIS

Matematika Bisnis memberikan pemahaman ilmu mengenai konsep matematika dalam bidang bisnis.

Sehingga suatu masalah dapat menjadi lebih sederhana untuk disajikan, dipahami, dianalisa, dan dipecahkan.

Matematika Bisnis - Deret (Febriyanto, SE., MM.)

2

Page 3: LOGO MATEMATIKA BISNIS (Deret) - febriyanto · PDF fileseperti deret hitung, ... Rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-n, yakni: 1 p a(1 p) ... tingkat per tumbuhannya 4% per

MATEMATIKA BISNIS

Deret hitung (DH)

Deret hitung ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu.

Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini

Matematika Bisnis - Deret (Febriyanto, SE., MM.)

3

Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda, yaitu selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan.

Contoh:

• 1) 5, 10, 15, 20, 25, 30 (pembeda = 5)

• 2) 83, 73, 63, 53, 43, 33 (pembeda = - 10)

• 3) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 (pembeda = 2)

Page 4: LOGO MATEMATIKA BISNIS (Deret) - febriyanto · PDF fileseperti deret hitung, ... Rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-n, yakni: 1 p a(1 p) ... tingkat per tumbuhannya 4% per

MATEMATIKA BISNIS

Suku ke-n dari deret hitung

Besarnya nilai suku tertentu (ke-n) dari sebuah deret hitung dapat dihitung melalui sebuah rumus.

• a : suku pertama atau S1

• b : pembeda

Sn = a +(n-1)b

Matematika Bisnis - Deret (Febriyanto, SE., MM.)

4

• b : pembeda

• n : indeks suku

Sebagai contoh, nilai suku ke-10 (S10) dari

deret hitung 5, 10, 15, 20, 25, 30 adalah

• S10 = a + (n - 1)b

• S10 = 5 + (10 - 1)5

• S10 = 5 + 45

• S10 = 50.

Suku ke-10 dari deret hitung 5, 10, 15, 20, 25, 30 adalah 50.

Page 5: LOGO MATEMATIKA BISNIS (Deret) - febriyanto · PDF fileseperti deret hitung, ... Rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-n, yakni: 1 p a(1 p) ... tingkat per tumbuhannya 4% per

MATEMATIKA BISNIS

Jumiah n suku deret hitung

Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu adalahjumlah nilai suku-sukunya, sejak suku pertama (S1 atau a) sampaidengan suku ke-n (Sn) yang bersangkutan.

Menghitung jumlah sebuah deret hitung sampai dengan sukutertentu n, terdapat empat bentuk rumus yang bisa digunakan

n

n

Matematika Bisnis - Deret (Febriyanto, SE., MM.)

5

Jumlah deret hitung 5, 10, 15, 20, 25, 30 sampai suku ke-10adalah

• J 10 = 10/2 (5 + S10)

• J10 = 5 (5 + 50)

• J10 = 275

n

1iin SJ b1-n2a

2

nJ n

nn Sa2

nJ b1-n

2

nnaJ n

Jika Sn belum diketahui

Page 6: LOGO MATEMATIKA BISNIS (Deret) - febriyanto · PDF fileseperti deret hitung, ... Rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-n, yakni: 1 p a(1 p) ... tingkat per tumbuhannya 4% per

Deret dalam Penerapan Bisnis

Model Perkembangan Usaha Contoh

Sebuah perusahaan menghasilkan 3.000 unit produk pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan karyawan dan peningkatan produktivitas, perusahaan dapat meningkatkan produksinya sebanyak 500 unit setiap bulan. Jika perkembangan produksinya tetap, berapa unit produk yang dihasilkannya pada bulan kelima? Berapa unit produk yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut?

Matematika Bisnis - Deret (Febriyanto, SE., MM.) 6

dengan bulan tersebut?

Diketahui:• a = 3.000 S5 = 3.000 + (5 - 1)500 = 5.000 • b = 500• n = 5

• Jumlah produksi pada bulan kelima adalah 5.000 unit produk, sedangkan jumlah seluruh produk yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut 20.000 unit.

20.0005.0003.0002

5J 5

Sn = a +(n-1)b nn Sa2

nJ

Page 7: LOGO MATEMATIKA BISNIS (Deret) - febriyanto · PDF fileseperti deret hitung, ... Rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-n, yakni: 1 p a(1 p) ... tingkat per tumbuhannya 4% per

Deret dalam Penerapan Bisnis

Model Perkembangan Usaha Kasus 2

Besarnya penerimaan PT “ME" dari hasil penjualan barangnya Rp.620 juta pada tahun kelima dan Rp.880 juta pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung, berapa perkembangan penerimaannya per tahun? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp.360 juta ?

Matematika Bisnis - Deret (Febriyanto, SE., MM.) 7

tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp.360 juta ?

Diketahui:• S5 = 620• S7 = 880• Sn = 360

• Ditanya:– S1 = ?– n = ? Jika penerimaan = 360

Page 8: LOGO MATEMATIKA BISNIS (Deret) - febriyanto · PDF fileseperti deret hitung, ... Rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-n, yakni: 1 p a(1 p) ... tingkat per tumbuhannya 4% per

Deret dalam Penerapan Ekonomi

Dalam jutaan: S7 = 880 a + 6b = 880 S5 = 620 a + 4b = 620

2b = 260b = 130.

Perkembangan penerimaan per tahun sebesar Rp 130 juta.a + 4b = 620

a = 620 - 4b

Sn = a +(n-1)b

Matematika Bisnis - Deret (Febriyanto, SE., MM.) 8

a = 620 - 4b a = 620 - 4(130) a = 100

Penerimaan pada tahun pertama (S1) sebesar Rp 100 juta. 360 = 100 + (n - 1) 130 360 = 100 + 130n - 130 360 = 100 - 130 + 130n 360 = -30 + 130n 360 + 30 = 130n 390 = 130n 390/130 = n n = 3

Penerimaan sebesar Rp 360 juta diterima pada tahun ketiga.

Page 9: LOGO MATEMATIKA BISNIS (Deret) - febriyanto · PDF fileseperti deret hitung, ... Rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-n, yakni: 1 p a(1 p) ... tingkat per tumbuhannya 4% per

DeretDeret

Deret Ukur (DU)

Deret ukur ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu.

Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda, yakni merupakan hasil bagi nilai

Matematika Bisnis - Deret (Febriyanto, SE., MM.) 9

dinamakan pengganda, yakni merupakan hasil bagi nilai suatu suku terhadap nilai suku di depannya.

Contoh

• 3, 6, 12, 24, 48, 96 (pengganda = 2)

• 512, 256, 128, 64, 32, 16 (pengganda = 0,5)

• 1, 4, 16, 54, 216 (pengganda = 4)

Page 10: LOGO MATEMATIKA BISNIS (Deret) - febriyanto · PDF fileseperti deret hitung, ... Rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-n, yakni: 1 p a(1 p) ... tingkat per tumbuhannya 4% per

DeretDeret

Suku ke-n dari DU

Rumus penghitungan suku tertentu dari sebuah deret ukur:

•• Sn = apSn = apnn--11

» a : suku pertama

» p : pengganda

» n : indeks suku

Matematika Bisnis - Deret (Febriyanto, SE., MM.) 10

» n : indeks suku

Contoh

• Nilai suku ke 10 (S10) dari deret ukur 3, 6, 12, 24, 48, 96 adalah

» S10 = 3 (2)10-1

» S10 = 3 (512)

» S10 = 1536

• Suku ke 10 dari deret ukur tersebut adalah 1536

Page 11: LOGO MATEMATIKA BISNIS (Deret) - febriyanto · PDF fileseperti deret hitung, ... Rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-n, yakni: 1 p a(1 p) ... tingkat per tumbuhannya 4% per

Deret

Jumlah n suku deret hitung

Jumlah deret ukur sampai suku tertentu adalah jumlah nilai dari suku pertama sampai dengan suku ke-n.

Rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-n, yakni:

p1

)pa(1Jatau

1 -p

1)a(pJ

n

n

n

n

Matematika Bisnis - Deret (Febriyanto, SE., MM.) 11

Contoh:

• Jumlah n suku ke 10 dari deret hitung 3, 6, 12, 24, 48, 96 :

• Diketahui

– a = 3

– p = 2 p>1

1 p :Jika 1p:Jika

p11 -pnn

30691

3(1023)J

1 -2

1)3(2J

10

10

10

Page 12: LOGO MATEMATIKA BISNIS (Deret) - febriyanto · PDF fileseperti deret hitung, ... Rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-n, yakni: 1 p a(1 p) ... tingkat per tumbuhannya 4% per

Deret dalam Penerapan Bisnis

Model Pertumbuhan Penduduk

Pt = P1 R t-1 Dimana R = 1 + r

Pi : Jumlah pada tahun pertama (basis)

Matematika Bisnis - Deret (Febriyanto, SE., MM.)

12

Pi : Jumlah pada tahun pertama (basis)

Pt : Jumlah pada tahun ke-t

r : persentase pertumbuhan per tahun

t : indeks waktu (tahun)

Page 13: LOGO MATEMATIKA BISNIS (Deret) - febriyanto · PDF fileseperti deret hitung, ... Rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-n, yakni: 1 p a(1 p) ... tingkat per tumbuhannya 4% per

Deret dalam Penerapan Bisnis

Model Pertumbuhan Penduduk

Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991, tingkat per tumbuhannya 4% per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006. Jika mulai tahun 2006 pertumbuhannya menurun menjadi 2,5%, berapa jumlahnya 11 tahun kemudian ?

Pt = P1 R t-1 Dimana: R = 1 + r

Matematika Bisnis - Deret (Febriyanto, SE., MM.) 13

P1 = 1 juta P tahun 2006 = P12006 = 1 juta (1,04)15

r = 0,04 = 1 juta (1,800943)

R = 1,04 = 1.800.943 jiwa

P1 = 1.800.943 P 11 tahun kemudian = P11

r = 0,025

R = 1,025 P11 = 1.800.943 (1,025)10

P11 = 2.305.359 jiwa

Page 14: LOGO MATEMATIKA BISNIS (Deret) - febriyanto · PDF fileseperti deret hitung, ... Rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-n, yakni: 1 p a(1 p) ... tingkat per tumbuhannya 4% per

LOGO

(www.Febriyanto79.wordpress.com)

14