1

Transformasi(Translasi, Rotasi dan Dilatasi)

22

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat

Menentukanpeta atau bayangan suatu kurva

hasil dari suatu Translasi, Rotasi atau Dilatasi

33

Transformasi Untuk memindahkan suatu titik ataubangun pada sebuah bidang dapatdikerjakan dengan transformasi.

Transformasi T pada suatu bidang‘memetakan’ tiap titik P pada bidang

menjadi P’ pada bidang itu pula.Titik P’ disebut bayangan atau peta titik P

44

Jenis-jenis Transformasi

a. Translasi*)

b. Refleksi c. Rotasi*) d. Dilatasi*)

*) yang dibahas kali ini

55

Tranlasiartinya pergeseran

66

Jika translasi T =

memetakan titik P(x,y) ke P´(x’,y’)maka x’ = x + a dan y’ = y + bditulis dalam bentuk matrik:

ba

ba

yx

y'x'

77

Contoh 1Diketahui segitiga OAB dengan

koordinat titik O(0,0), A(3,0) dan

B(3,5).Tentukan koordinat bayangan

segitiga OAB tersebut bila

ditranslasi oleh T =

31

88

Bahasan(0,0) → (0 + 1, 0 + 3)

0’(1,3) (3,0) → (3 + 1, 0 + 3)

A’(4,3) (3,5) → (3 + 1, 5 + 3)

B’(4,8)X

y

O

31

T

31

T

31

T

99

Contoh 2

Bayangan persamaan lingkaran

x2 + y2 = 25

oleh translasi T =

adalah….

31

1010

Bahasan

X

P (-1,3) ●

●

1111

Karena translasi T = maka

x’ = x – 1 → x = x’ + 1.….(1)

y’ = y + 3 → y = y’ – 3…..(2)

(1) dan (2) di substitusi ke x2 + y2 = 25

diperoleh (x’ + 1)2 + (y’ – 3)2 = 25;

Jadi bayangannya adalah:

(x + 1)2 + (y – 3)2 = 25

31

1212

Contoh 3Oleh suatu translasi, peta titik (1,-5)

adalah (7,-8). Bayangan kurva

y = x2 + 4x – 12 oleh translasi

tersebut adalah….

1313

BahasanMisalkan translasi tersebut T =

Bayangan titik (1,-5) oleh translasi T

adalah (1 + a, -5 + b) = (7,-8)

1+ a = 7 → a = 6

-5+ b = -8 → b = -3

ba

1414

a = 6 dan b = -3 sehingga

translasi tersebut adalah T =

Karena T =

Maka x’ = x + 6 → x = x’ – 6

y’ = y – 3 → y = y’ + 6

36

36

1515

x = x’ – 6 dan y = y’ + 3 disubstitusi

ke y = x2 + 4x – 12

y’ + 3 = (x’ – 6)2 + 4(x’ – 6) – 12

y’ + 3 = (x’)2 – 12x’ + 36 + 4x’ - 24 -12y’ = (x’)2 – 8x’ – 3

Jadi bayangannya: y = x2 – 8x – 3

1616

Rotasiartinya perputaran

ditentukan olehpusat dan besar sudut putar

1717

Rotasi Pusat O(0,0) Titik P(x,y) dirotasi sebesar berlawanan arah jarum jamdengan pusat O(0,0) dan

diperoleh bayangan P’(x’,y’) maka: x’ = xcos - ysin

y’ = xsin + ycos

1818

Jika sudut putar = ½π(rotasinya dilambangkan dengan R½π)

maka x’ = - y dan y’ = xdalam bentuk matriks:

Jadi R½π =

yx

yx

0110

''

0110

1919

Contoh 1Persamaan bayangan garis x + y = 6 setelah dirotasikan

pada pangkal koordinat dengansudut putaran +90o, adalah….

2020

PembahasanR+90

o berarti: x’ = -y → y = -x’ y’ = x → x = y’disubstitusi ke: x + y = 6 y’ + (-x’) = 6

y’ – x’ = 6 → x’ – y’ = -6Jadi bayangannya: x – y = -6

2121

Contoh 2Persamaan bayangan garis

2x - y + 6 = 0 setelah dirotasikanpada pangkal koordinat dengansudut putaran -90o , adalah….

2222

PembahasanR-90

o berarti:x’ = xcos(-90) – ysin(-90)y’ = xsin(-90) + ycos(-90)x’ = 0 – y(-1) = yy’ = x(-1) + 0 = -x’ atau

dengan matriks:

yx

0110

'y'x

2323

R-90o berarti: x’ = y → y = x’

y’ = -x → x = -y’disubstitusi ke: 2x - y + 6 = 0 2(-y’) - x’ + 6 = 0

-2y’ – x’ + 6 = 0 x’ + 2y’ – 6 = 0

Jadi bayangannya: x + y – 6 = 0

2424

Jika sudut putar = π(rotasinya dilambangkan dengan H)

maka x’ = - x dan y’ = -ydalam bentuk matriks:

Jadi H =

yx

yx

10

01''

10

01

2525

ContohPersamaan bayangan parabola

y = 3x2 – 6x + 1 setelah dirotasikan

pada pangkal koordinat dengansudut putaran +180o, adalah….

2626

PembahasanH berarti: x’ = -x → x = -x’ y’ = -y → y = -y’disubstitusi ke: y = 3x2 – 6x + 1 -y’= 3(-x’)2 – 6(-x’) + 1 -y’ = 3(x’)2 + 6x + 1 (dikali -1)Jadi bayangannya: y = -3x2 – 6x - 1

2727

Dilatasi

Adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun tetapi tidak mengubah bentuk bangunnya.

2828

Dilatasi Pusat O(0,0) dan faktor skala k

Jika titik P(x,y) didilatasi terhadappusat O(0,0) dan faktor skala k

didapat bayangan P’(x’,y’) makax’ = kx dan y’ = ky

dan dilambangkan dengan [O,k]

2929

ContohGaris 2x – 3y = 6 memotongsumbu X di A dan memotongsumbu Y di B. Karena dilatasi

[O,-2], titik A menjadi A’ dan titik B menjadi B’.

Hitunglah luas segitiga OA’B’

3030

Pembahasangaris 2x – 3y = 6

memotong sumbu X di A(3,0)memotong sumbu Y di B(0,2)karena dilatasi [O,-2] maka

A’(kx,ky)→ A’(-6,0) danB’(kx,ky) → B’(0,-4)

3131

Titik A’(-6,0), B’(0,-4) dan titik O(0,0) membentuk segitiga

seperti pada gambar:

Sehingga luasnya = ½ x OA’ x OB’

= ½ x 6 x 4 = 12

X

Y-4

-6 OA

B

3232

Dilatasi Pusat P(a,b) dan faktor skala k

bayangannya adalahx’ = k(x – a) + a dan

y’ = k(y – b) + bdilambangkan dengan

[P(a,b) ,k]

3333

Contoh

Titik A(-5,13) didilatasikanoleh [P,⅔] menghasilkan A’.

Jika koordinat titik P(1,-2),makakoordinat titik A’ adalah….

3434

PembahasanA(x,y) A’(x’,y’)

x’ = k(x – a) + ay’ = k(y – b) + b

A(-5,13) A’(x’ y’)

[P(a,b) ,k]

[P(1,-2),⅔]

3535

x’ = k(x – a) + ay’ = k(y – b) + b

A(-5,13) A’(x’ y’)x’ = ⅔(-5 – 1) + 1 = -3

y’= ⅔(13 – (-2)) + (-2) = 8Jadi koordinat titik A’(-3,8)

[P(1,-2),⅔]

3636

Transformasi InversUntuk menentukan bayangan suatu kurva oleh transformasi

yang ditulis dalam bentukmatriks, digunakantransformasi invers

3737

Contoh

Peta dari garis x – 2y + 5 = 0oleh transformasi yang

dinyatakan dengan matriksadalah….

3211

3838

Pembahasan

A(x,y) A’(x’ y’)

Ingat: A = BX maka X = B-1.A

3211

yx

3211

''yx

y'x'

1213

231

yx

3939

y'x'

1213

231

yx

y'x'

1213

yx

Diperoleh: x = 3x’ – y’ dan

y = -2x’ + y’

y' 2x'

y' 3x'yx

4040

x = 3x’ – y’ dan y= -2x’ + y’disubstitusi ke x – 2y + 5 = 03x’ – y’ – 2(-2x’ + y’) + 5 = 03x’ – y’ + 4x’ – 2y’ + 5 = 07x’ – 3y’ + 5 = 0Jadi bayangannya: 7x – 3y + 5 = 0

4141

SELAMAT BELAJARSELAMAT BELAJAR

KEMBALIKEMBALI