Post on 19-Aug-2015
TRANSFORMASI ROTASI
1. Charottama Oshmar (03)2. Dzahniya Syafiqoh (06)3. Hana Saffanah (10)4. Khairani Azlina (18)5. M. Arkhan Prada. N (23)6. M. Kemal Fauzan (24)7. Nadhilah Putri. G (25)8. Naufal Farhan (27)9. Reyhan Anjani Putri (31)
XI-MIA 4
Transformasi Rotasi???
Transformasi yang memindahkan titik
pada bidang dengan perputaran
yang ditentukan oleh
pusat rotasi, besar
sudut rotasi dan arah sudut rotasi
3
12
3
6
9
Pengertian Rotasi
ARAH ROTASI
Berlawanan dengan arah jarum jam => POSITIF (+)
Searah dengan jarum jam => NEGATIF (-)
TITIK PUSAT ROTASI
BESAR SUDUT ROTASI
A B
C D
Q
A B
C D
Q x
y
1
2
3
-3
-2
-1
0-1-2-3-4 4-321
Persamaan Transformasi Rotasi pada Bidang
Misalkan titik P(x, y) terletak pada bidang Cartesius.
Titik P (x,y) dirotasi sehingga diperoleh bayangan P’ (x’ , y’).
Transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0,0)
Y
P(x, y)
P’(x’, y’)
0 AB
C
Dr
r
β
Di dalam segitiga OAP diperoleh :OA=OP cos β → x=r cos β
dan AP=OP sin β → y=r sin β
Di dalam segitiga OBP’ diperoleh :OB = OP’ cos (β+ θ ) X’=r cos β cos θ - r sin β sin θ X’=x cos θ - y sin θ BP’ = OP’ sin (β+ θ ) Y’=r sin (β+ θ ) Y’=r sin β cos θ + r cos β sin θ Y’=y cos θ + x sin θ
x
Perhatikan gambar berikut !
A(x,y)
A1(x cos –y sin , x sin + y cos)
M = cos -sin
sin cos
Matriks Transformasi
Persamaan Transformasi : =x1
y1
x
y
cos -sin
sin cos
ROTASI DENGAN PUSAT P(0,0)
Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k)
),,( khM
Y
P(x, y)
P’(x’, y’)
0
M(h,k)
Jika titik P(x,y) kita pandang terhadap titik pusat M(h,k) maka posisi titik P terhadap titik M dapat dituliskan P(x-h, y-k).dan posisi bayangannya P’(x’-h, y’-k) Sehingga dengan demikia dapat dituliskan bayang titik P tersebut didalam koordinat kartesiusnya sbb:P(x,y) P’(x’,y’) dimana :X’-h =(x-h) cos θ – (y-k) sin θ Y’-k =(x-h) sin θ + (y-k) cos θSecara matriks dapat dituliskan sbb :
k
h
ky
hx
y
x
cossin
sincos
'
'X
A(x,y)
A1 [a+(x-a) cos –(y-b) sin , b+(x-a) sin + (y-b) cos]
Rotasi dengan pusat P(a,b)
P(a,b) Persamaan Transformasi
+
cos -sin
sin cos
a
b
x-a
y-b =x1
y1
SOAL
Tentukan matriks rotasi yang bersesuaian dengan [0,]
Jawab: rotasi [0,] berarti . Matriks rotasinya adalah:===
PEMBAHASAN
SOAL
• Titik di rotasi dengan titik pusat di O (0,0) sehingga diperoleh bayangan titik Tentukan koordinat titik bayangan jika jauh rotasinya:
PEMBAHASANa) Bayangan dari oleh rotasi
Jadi, bayangan dari oleh rotasi adalah b) Bayangan dari oleh rotasi
Jadi, bayangan dari oleh rotasi adalah
Titik P (-1, 4) diputar 45° searah jarum jam dengan titik pusat di O. Tentukan koordinat bayangan dari
titik P oleh rotasi itu
Soal
PEMBAHASAN
Diketahui: ∙ α = 45° ∙ (x,y) = (-1,
4) ∙ P (0,0)
Rumus: ∙ Terhadap Pusat (0,0)
=
Jawaban
=
=
=
X = = y= =
Soal
Tentukan bayangan atau peta dar titik P(-2, 5) oleh rotasi dengan pusat di O(0, 0) sejauh radian.
PEMBAHASAN• Persamaan transformasi rotasi dengan pusat
O(0, 0) :X’ = x cosα – y sinαY’ = x sinα + y cosα
=
Jawab :X’ = -2cos 5sin = -2 (0) – 5 (1) = -5Y’ = -2sin 5cos = -2 (1) + 5 (0) = -2P’(x’, y’) = (-5, -2)
Jawab : = = = = P’(x’, y’) = (-5, -2)
SOAL
Tentukan bayangan titik-titik sudut segitiga ABC dengan koordinat titik-titik sudut A(-2, 1), B(-6, 2), dan C(-3, 4) oleh rotasi [O, ]
PEMBAHASANKarena rotasi berpusat O(0, 0) dan sejauh (90o), maka kita dapat menggunakan rumush sebagai berikut:
( )( ) = ( ) Sehingga diperoleh:
Maka bayangan titik-titik segitiga adalah A(-1, -2), B(-2, -6), dan C(-4, -3)
𝑥𝑦
0 −11 0
𝑥 𝑏𝑎𝑦𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛𝑦 𝑏𝑎𝑦𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛
Titik Sudut Rumus Titik Bayangan
A(-2, 1) ( )( )=( ) A(-1, -2)
B(-6, 2) ( )( )=( ) B(-2, -6)
C(-3, 4) ( )( )=( ) C(-4, -3)
0 −11 0
0 −11 0
0 −11 0
−21
−62
−34
−1−2
−2−6
−4−3
SOAL
Diberikan persamaan lingkaran +-4x+6y-12=0
Cari bayangan persamaan tersebut oleh transformasi rotasi terhadap O(0,0) sebesar radian!
PEMBAHASAN
• A (x,y) A’ (-y,x)• A (2,-3) A’ (3,2)• Sehingga persamaan : +-6x-4y-12=0
90
Contoh soalTentukan bayangan bangun ABC
dengan koordinat titik A(2,3), B(6,3)
dan C(5,6) diputar dengan sudut 90
terhadap titik pusat O(0,0).
PEMBAHASANx’ = 2 cos (-90) - 3sin (-90)x’ = 2(0) – 3 (-1) = 3y’ = 2 sin (-90) + 3 cos (-90)y’ = 2 (-1) + 3 (0) = -2
1 2 3
1
2
34
4 5
5
6
6
7 8 91
23456
x’ = 6 cos(-90) – 3 sin(-90)x’ = 6 (0) – 3(-1) = 3y’ = 6 sin(-90) + 3 cos(-90)y’ = 6 (-1) + 3 (0) = -6
C(5,6)
A(2,3) B(6,3)
C(5,6)
A’(3,-2)
B’(3,-6)C’(6,-5)
A(2,3) A’(x’,y’) = A’(3,-2)
B’(x’,y’) = B’(3,-6) B(6,3)
x’ = 5 cos (-90) – 6 sin(-90)x’ = 5 (0) – 6 (-1) = 6y’ = 5 sin (-90) + 6 cos (-90)y’ = 5 (-1) + 6 (0) = -5
C’(x’,y’) = C’(6,-5)