TRANSFORMASI ROTASI

1. Charottama Oshmar (03)2. Dzahniya Syafiqoh (06)3. Hana Saffanah (10)4. Khairani Azlina (18)5. M. Arkhan Prada. N (23)6. M. Kemal Fauzan (24)7. Nadhilah Putri. G (25)8. Naufal Farhan (27)9. Reyhan Anjani Putri (31)

XI-MIA 4

Transformasi Rotasi???

Transformasi yang memindahkan titik

pada bidang dengan perputaran

yang ditentukan oleh

pusat rotasi, besar

sudut rotasi dan arah sudut rotasi

3

12

3

6

9

Pengertian Rotasi

ARAH ROTASI

Berlawanan dengan arah jarum jam => POSITIF (+)

Searah dengan jarum jam => NEGATIF (-)

TITIK PUSAT ROTASI

BESAR SUDUT ROTASI

A B

C D

Q

A B

C D

Q x

y

1

2

3

-3

-2

-1

0-1-2-3-4 4-321

Persamaan Transformasi Rotasi pada Bidang

Misalkan titik P(x, y) terletak pada bidang Cartesius.

Titik P (x,y) dirotasi sehingga diperoleh bayangan P’ (x’ , y’).

Transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0,0)

Y

P(x, y)

P’(x’, y’)

0 AB

C

Dr

r

β

Di dalam segitiga OAP diperoleh :OA=OP cos β → x=r cos β

dan AP=OP sin β → y=r sin β

Di dalam segitiga OBP’ diperoleh :OB = OP’ cos (β+ θ ) X’=r cos β cos θ - r sin β sin θ X’=x cos θ - y sin θ BP’ = OP’ sin (β+ θ ) Y’=r sin (β+ θ ) Y’=r sin β cos θ + r cos β sin θ Y’=y cos θ + x sin θ

x

Perhatikan gambar berikut !

A(x,y)

A1(x cos –y sin , x sin + y cos)

M = cos -sin

sin cos

Matriks Transformasi

Persamaan Transformasi : =x1

y1

x

y

cos -sin

sin cos

ROTASI DENGAN PUSAT P(0,0)

Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k)

),,( khM

Y

P(x, y)

P’(x’, y’)

0

M(h,k)

Jika titik P(x,y) kita pandang terhadap titik pusat M(h,k) maka posisi titik P terhadap titik M dapat dituliskan P(x-h, y-k).dan posisi bayangannya P’(x’-h, y’-k) Sehingga dengan demikia dapat dituliskan bayang titik P tersebut didalam koordinat kartesiusnya sbb:P(x,y) P’(x’,y’) dimana :X’-h =(x-h) cos θ – (y-k) sin θ Y’-k =(x-h) sin θ + (y-k) cos θSecara matriks dapat dituliskan sbb :

k

h

ky

hx

y

x

cossin

sincos

'

'X

A(x,y)

A1 [a+(x-a) cos –(y-b) sin , b+(x-a) sin + (y-b) cos]

Rotasi dengan pusat P(a,b)

P(a,b) Persamaan Transformasi

+

cos -sin

sin cos

a

b

x-a

y-b =x1

y1

SOAL

Tentukan matriks rotasi yang bersesuaian dengan [0,]

Jawab: rotasi [0,] berarti . Matriks rotasinya adalah:===

PEMBAHASAN

SOAL

• Titik di rotasi dengan titik pusat di O (0,0) sehingga diperoleh bayangan titik Tentukan koordinat titik bayangan jika jauh rotasinya:

PEMBAHASANa) Bayangan dari oleh rotasi

Jadi, bayangan dari oleh rotasi adalah b) Bayangan dari oleh rotasi

Jadi, bayangan dari oleh rotasi adalah

Titik P (-1, 4) diputar 45° searah jarum jam dengan titik pusat di O. Tentukan koordinat bayangan dari

titik P oleh rotasi itu

Soal

PEMBAHASAN

Diketahui: ∙ α = 45° ∙ (x,y) = (-1,

4) ∙ P (0,0)

Rumus: ∙ Terhadap Pusat (0,0)

=

Jawaban

=

=

=

X = = y= =

Soal

Tentukan bayangan atau peta dar titik P(-2, 5) oleh rotasi dengan pusat di O(0, 0) sejauh radian.

PEMBAHASAN• Persamaan transformasi rotasi dengan pusat

O(0, 0) :X’ = x cosα – y sinαY’ = x sinα + y cosα

=

Jawab :X’ = -2cos 5sin = -2 (0) – 5 (1) = -5Y’ = -2sin 5cos = -2 (1) + 5 (0) = -2P’(x’, y’) = (-5, -2)

Jawab : = = = = P’(x’, y’) = (-5, -2)

SOAL

Tentukan bayangan titik-titik sudut segitiga ABC dengan koordinat titik-titik sudut A(-2, 1), B(-6, 2), dan C(-3, 4) oleh rotasi [O, ]

PEMBAHASANKarena rotasi berpusat O(0, 0) dan sejauh (90o), maka kita dapat menggunakan rumush sebagai berikut:

( )( ) = ( ) Sehingga diperoleh:

Maka bayangan titik-titik segitiga adalah A(-1, -2), B(-2, -6), dan C(-4, -3)

𝑥𝑦

0 −11 0

𝑥 𝑏𝑎𝑦𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛𝑦 𝑏𝑎𝑦𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛

Titik Sudut Rumus Titik Bayangan

A(-2, 1) ( )( )=( ) A(-1, -2)

B(-6, 2) ( )( )=( ) B(-2, -6)

C(-3, 4) ( )( )=( ) C(-4, -3)

0 −11 0

0 −11 0

0 −11 0

−21

−62

−34

−1−2

−2−6

−4−3

SOAL

Diberikan persamaan lingkaran +-4x+6y-12=0

Cari bayangan persamaan tersebut oleh transformasi rotasi terhadap O(0,0) sebesar radian!

PEMBAHASAN

• A (x,y) A’ (-y,x)• A (2,-3) A’ (3,2)• Sehingga persamaan : +-6x-4y-12=0

90

Contoh soalTentukan bayangan bangun ABC

dengan koordinat titik A(2,3), B(6,3)

dan C(5,6) diputar dengan sudut 90

terhadap titik pusat O(0,0).

PEMBAHASANx’ = 2 cos (-90) - 3sin (-90)x’ = 2(0) – 3 (-1) = 3y’ = 2 sin (-90) + 3 cos (-90)y’ = 2 (-1) + 3 (0) = -2

1 2 3

1

2

34

4 5

5

6

6

7 8 91

23456

x’ = 6 cos(-90) – 3 sin(-90)x’ = 6 (0) – 3(-1) = 3y’ = 6 sin(-90) + 3 cos(-90)y’ = 6 (-1) + 3 (0) = -6

C(5,6)

A(2,3) B(6,3)

C(5,6)

A’(3,-2)

B’(3,-6)C’(6,-5)

A(2,3) A’(x’,y’) = A’(3,-2)

B’(x’,y’) = B’(3,-6) B(6,3)

x’ = 5 cos (-90) – 6 sin(-90)x’ = 5 (0) – 6 (-1) = 6y’ = 5 sin (-90) + 6 cos (-90)y’ = 5 (-1) + 6 (0) = -5

C’(x’,y’) = C’(6,-5)