11

Irisan Kerucut, Translasi, Rotasi

A. Pengertian Irisan kerucutA. Pengertian Irisan kerucut  1. Definisi Irisan Kerucut1. Definisi Irisan Kerucut Irisan kerucut adalah sebuah bangun datar yang diperoleh Irisan kerucut adalah sebuah bangun datar yang diperoleh dengan cara memotong kerucut lingkaran tegak berselimut dengan cara memotong kerucut lingkaran tegak berselimut ganda menurut aturan tertentu.ganda menurut aturan tertentu.     2. lingkaran 2. lingkaran Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Titik tertentu berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Titik tertentu disebut pusat lingkaran. Jarak yang sama disebut jari-jari disebut pusat lingkaran. Jarak yang sama disebut jari-jari lingkaran.lingkaran.    

IRISAN KERUCUT

B. Persamaan LingkaranB. Persamaan Lingkaran1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari r1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari rPerhatikan gambar di bawah ini !Perhatikan gambar di bawah ini !

Persamaan dalam x dan y yang memenuhi Persamaan dalam x dan y yang memenuhi pada Gambar di samping adalah :pada Gambar di samping adalah :

X

r

O

Y

O

P (X,Y)

x2 + y2 = r2

Kedudukan titik P(x,y) terhadap lingkaran dapat terletak pada, di dalam, ataupun Kedudukan titik P(x,y) terhadap lingkaran dapat terletak pada, di dalam, ataupun di luar limgkaran.di luar limgkaran.a.a.Jika titik P(x,y) terletak pada lingkaran, maka berlaku xJika titik P(x,y) terletak pada lingkaran, maka berlaku x22 + y + y2 2 = r= r22. . b.b.Jika titik P(x,y) terletak di dalam lingkaran, maka berlaku xJika titik P(x,y) terletak di dalam lingkaran, maka berlaku x22 + y + y2 2 < r< r22..c.c.Jika titik P(x,y) terletak di luar lingkaran, maka berlaku xJika titik P(x,y) terletak di luar lingkaran, maka berlaku x22 + y + y2 2 > r> r22..  

Contoh:Contoh:Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dengan jari-jari 5 !Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dengan jari-jari 5 !  Jawab:Jawab:

xx22 + y + y2 2 = r= r22

xx22 + y + y2 2 = 5= 522

xx22 + y + y2 2 = 25= 25   rr2 2 = 169= 169Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat pada titik pangkal dan melalui titik (5, Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat pada titik pangkal dan melalui titik (5, 12) adalah x12) adalah x22 + y + y2 2 = 169.= 169.

2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat (a, b) dan Jari-jari r2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat (a, b) dan Jari-jari r

Contoh:Contoh: 1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3, 6) dan 1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3, 6) dan berjari-jari r = 7 !berjari-jari r = 7 !Jawab:Jawab:(x – a)(x – a)22 + (y – b) + (y – b)2 2 = r= r22

(x – 3)(x – 3)22 + (y – 6) + (y – 6)2 2 = 7= 722

(x – a)(x – a)22 + (y – b) + (y – b)2 2 = 49= 49

Y

r

)

P (X,Y)

r

a

b

XO

(a,b)

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran3. Bentuk Umum Persamaan LingkaranJika bentuk persamaan lingkaran (x – a)Jika bentuk persamaan lingkaran (x – a)22 + (y – b) + (y – b)2 2 = r= r2 2 kita kita

jabarkan menjadi suku-suku yang paling sederhana, maka kita jabarkan menjadi suku-suku yang paling sederhana, maka kita peroleh bentuk sebagai berikut :peroleh bentuk sebagai berikut :(x – a)(x – a)22 + (y – b) + (y – b)2 2 = r= r22

xx 2 2 – 2ax + a– 2ax + a2 2 + y+ y 2 2 – 2by + b– 2by + b2 2 = r= r22

xx 2 2 + y+ y 2 2 – 2ax – 2by + a– 2ax – 2by + a2 2 + b+ b2 2 = r= r22

xx 2 2 + y+ y 2 2 – 2ax – 2by + a– 2ax – 2by + a2 2 + b+ b2 2 - r- r22 = 0 = 0atau ditulis :atau ditulis :

Dengan : Pusat lingkaran P( ) Jari-jari lingkaran r = x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0

CBA 22 )21()

21(

BA21,

21

Contoh: Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x 2 + y 2 + 6x + 4y – 3 = 0 !

Jawab:Pusat lingkaran = Jari-jari lingkaran : r = Jadi, pusat P(-3, -2) dan jari-jari r = 4.

)2,3()21,

21( PBAP

416349323 22

88

Tranlasiartinya pergeseran

99

Jika translasi T =

memetakan titik P(x,y) ke P´(x’,y’)maka x’ = x + a dan y’ = y + bditulis dalam bentuk matrik:

ba

ba

yx

y'x'

1010

Contoh 1Diketahui segitiga OAB dengan

koordinat titik O(0,0), A(3,0) dan

B(3,5).Tentukan koordinat bayangan

segitiga OAB tersebut bila

ditranslasi oleh T =

31

1111

Bahasan(0,0) → (0 + 1, 0 + 3)

0’(1,3) (3,0) → (3 + 1, 0 + 3)

A’(4,3) (3,5) → (3 + 1, 5 + 3)

B’(4,8)X

y

O

31

T

31

T

31

T

1212

Contoh 2

Bayangan persamaan lingkaran

x2 + y2 = 25

oleh translasi T =

adalah….

31

1313

Bahasan

X

P (-1,3) ●

●

1414

Karena translasi T = maka

x’ = x – 1 → x = x’ + 1.….(1)

y’ = y + 3 → y = y’ – 3…..(2)

(1) dan (2) di substitusi ke x2 + y2 = 25

diperoleh (x’ + 1)2 + (y’ – 3)2 = 25;

Jadi bayangannya adalah:

(x + 1)2 + (y – 3)2 = 25

31

1515

Contoh 3Oleh suatu translasi, peta titik (1,-5)

adalah (7,-8). Bayangan kurva

y = x2 + 4x – 12 oleh translasi

tersebut adalah….

1616

BahasanMisalkan translasi tersebut T =

Bayangan titik (1,-5) oleh translasi T

adalah (1 + a, -5 + b) = (7,-8)

1+ a = 7 → a = 6

-5+ b = -8 → b = -3

ba

1717

a = 6 dan b = -3 sehingga

translasi tersebut adalah T =

Karena T =

Maka x’ = x + 6 → x = x’ – 6

y’ = y – 3 → y = y’ + 6

36

36

1818

x = x’ – 6 dan y = y’ + 3 disubstitusi

ke y = x2 + 4x – 12

y’ + 3 = (x’ – 6)2 + 4(x’ – 6) – 12

y’ + 3 = (x’)2 – 12x’ + 36 + 4x’ - 24 -12y’ = (x’)2 – 8x’ – 3

Jadi bayangannya: y = x2 – 8x – 3

1919

Rotasiartinya perputaran

ditentukan olehpusat dan besar sudut putar

2020

Rotasi Pusat O(0,0) Titik P(x,y) dirotasi sebesar berlawanan arah jarum jamdengan pusat O(0,0) dandiperoleh bayangan P’(x’,y’) maka: x’ = xcos - ysin y’ = xsin + ycos

2121

Jika sudut putar = ½π(rotasinya dilambangkan dengan R½π)

maka x’ = - y dan y’ = xdalam bentuk matriks:

Jadi R½π =

yx

yx

0110

''

0110

2222

Contoh 1Persamaan bayangan garis x + y = 6 setelah dirotasikan

pada pangkal koordinat dengansudut putaran +90o, adalah….

2323

PembahasanR+90

o berarti: x’ = -y → y = -x’ y’ = x → x = y’disubstitusi ke: x + y = 6 y’ + (-x’) = 6

y’ – x’ = 6 → x’ – y’ = -6Jadi bayangannya: x – y = -6

2424

Contoh 2Persamaan bayangan garis

2x - y + 6 = 0 setelah dirotasikanpada pangkal koordinat dengansudut putaran -90o , adalah….

2525

PembahasanR-90

o berarti:x’ = xcos(-90) – ysin(-90)y’ = xsin(-90) + ycos(-90)x’ = 0 – y(-1) = yy’ = x(-1) + 0 = -x’ atau

dengan matriks:

yx

0110

'y'x

2626

R-90o berarti: x’ = y → y = x’

y’ = -x → x = -y’disubstitusi ke: 2x - y + 6 = 0 2(-y’) - x’ + 6 = 0

-2y’ – x’ + 6 = 0 x’ + 2y’ – 6 = 0

Jadi bayangannya: x + y – 6 = 0

2727

Jika sudut putar = π(rotasinya dilambangkan dengan H)

maka x’ = - x dan y’ = -ydalam bentuk matriks:

Jadi H =

yx

yx

10

01''

10

01

2828

ContohPersamaan bayangan parabola

y = 3x2 – 6x + 1 setelah dirotasikan

pada pangkal koordinat dengansudut putaran +180o, adalah….

2929

PembahasanH berarti: x’ = -x → x = -x’ y’ = -y → y = -y’disubstitusi ke: y = 3x2 – 6x + 1 -y’= 3(-x’)2 – 6(-x’) + 1 -y’ = 3(x’)2 + 6x + 1 (dikali -1)Jadi bayangannya: y = -3x2 – 6x - 1

3030

SELAMAT BELAJARSELAMAT BELAJAR