Geometri transformasi (Rotasi)
-
Upload
astari-adja -
Category
Education
-
view
1.556 -
download
30
Transcript of Geometri transformasi (Rotasi)
BAB I
ROTASI
A. Pengertian Rotasi
Rotasi (perputaran) merupakan suatu transformasi yang memasangkan
titik ke himpunan titik lainnya dengan cara memutar. Atau dengan kata lain rotasi
adalah peristiwa memindahkan suatu objek (gambar) melalui garis lengkung
dengan pusat pada titik tertentu dan dengan sudut putar yang tertentu dengan arah
searah atau berlawanan arah jarum jam yang menyebabkan kedudukan gambar
berubah.
Pada transformasi rotasi terlihat bahwa titik atau bangun bayangan
kongruen dengan bangun semula, maka rotasi memiliki sifat transformasi isometri
seperti translasi dan refleksi. Pada transformasi isometri, jarak merupakan besaran
yang tidak berubah (inverian).
Rotasi (perputaran) ditentukan oleh:
1. Titik pusat rotasi
2. Besar sudut rotasi
3. Arah sudut rotasi
Apabila arah perputaran searah dengan arah jarum jam, maka dipandang
sebagai sudut yang negatif. Sebaliknya apabila arah perputaran berlawanan
dengan arah jarum jam maka dipandang sebagai sudut yang positif.
Pada gambar dibawah ini titik P disebut dengan pusat rotasi dan disebut
jarak perputaran.
B
A’
P A B'
Gambar 1.1 Arah Rotasi
1
B. Rotasi Berpusat di Titik O(0, 0)
Dari gambar disamping diketahui bahwa:
OP = OP’ = r y’ P’(x’, y’)
Dari OXP:
cos y P(x, y)
x = r cos
sin
y = r sin O x’ x
Gambar 1.2 Rotasi di titik O (0, 0)
Maka dari OX’P’:
x’ = r cos ( ) y’ = r sin( )
x’ = r ( ) y’ = r ( )
x’ = r y’ = r
x’ = x cos y sin y’ = x sin + y cos
Dengan memperhatikan uraian tersebut, dapat dikatakan bahwa rotasi
berpusat di O(0, 0) sebesar akan memetakan titik P(x, y) ke titik P’(x’, y’) dengan:
x’ = x cos y sin
y’ = x sin + y cos
Contoh Soal:
Tentukan bayangan titik P (-8, 6) dirotasikan 450 terhadap titik pusat O (0,
0) jika:
a. Berlawanan arah dengan jarum jam
b. Searah dengan jarum jam
Penyelesaian:
a. x’ = x cos y sin
= -8 cos 450 – 6 sin 450
= -8 -6
= -4 - 3
= -7
2
y’ = x sin + y cos
= -8 sin 450 + 6 cos 450
= -8 + 6
= -4 + 3
= -
P (-8, 6) [0, 450] P’(-7 , - )
b. x’ = x cos y sin
= -8 cos (-450) – 6 sin (-450)
= -8 -6
= -4 + 3
= -
y’ = x sin + y cos
= -8 sin (-450) + 6 cos (-450)
= -8 + 6
= 4 + 3 = 7
P (-8, 6) [0, -450] P’(- , 7 )
Berikut ini beberapa kemungkinan untuk nilai khusus dari :
1. Untuk = 0
x’ = x cos0 - y sin0 y’ = x sin 0 + y cos 0
x’ = x (1) – y (0) y’ = x (0) + y (1)
x’ = x y’ = y
Sehingga P(x, y) P’(x, y)
Dengan cara yang sama diperoleh:
2. Untuk = 90
P(x, y) P’(-y, x)
3. Untuk = -90
P(x, y) P’(y, -x)
4. Untuk = 180
P(x, y) P’(-x, -y)
3
5. Untuk = -180
P(x, y) P’(-x, -y)
6. Untuk = 270
P(x, y) P’(y, -x)
7. Untuk = -270
P(x, y) P’(-y, x)
Rotasi untuk sudut-sudut diatas dalam sumbu koordinat dapat dilihat pada
gambar 1.3 berikut ini. Sedangkan untuk sudut yang lainnya dapat dicari dengan
cara yang sama.
y y
P(x, y) = P’(x’, y’)P’(x’, y’) P(x, y)
900
0 x 0 x
y y
P(x, y) P(x, y)
1800 2700
0 x 0 x
P’(x’, y’) P’(x’, y’)
Gambar 1.3 Rotasi sudut-sudut istimewa
Contoh Soal:
Diketahui sebuah titik P(3, 3) yang dirotasikan sejauh 900. Tentukanlah
bayangan titik P?
4
1
-1 4
4
x
A’(-1, 4)
A(4, 1)
900
Penyelesaian: y
P(x, y) P’(-y, x)
P(3, 3) P’(-3, 3) P’(-3, 3) 3 P(3, 3)
900
-3 0 3 x
Matriks yang Bersesuaian Dengan Rotasi di Titik O(0, 0)
Diketahui bahwa rotasi yang berpusat di titik O (0, 0) adalah:
x’ = x cos y sin
y’ = x sin + y cos
Maka dapat dibuat matriks yang bersesuaian yaitu:
Contoh Soal:
Titik A (4, 1) dirotasikan terhadap titik O (0, 0) sejauh 900 berlawanan arah
putaran jam. Tentukanlah bayangan titik A?
Penyelesaian: y
A (4, 1) A’ (-1, 4)
C. Rotasi Berpusat di Titik A(a,b)
Perhatikan gambar di bawah ini:
5
P’(x’, y’)
y’
(y-b)
y P(x, y)
b A(a, b)
(x-a)
O a x’ x
Gambar 1.4 Rotasi A (a,b)
Dari gambar di atas diketahui:
AP = AP’ = r
Dari AXP:
cos
(x - a) = r cos
sin
(y - b) = r sin
Maka dari AX’P’:
x’ – a = r cos
x’ – a = r
x’ – a =
x’ = a + (x - a) cos - (y - b) sin
y’ – b = r sin
y’ – b = r
y’ – b =
y’ = b + (x - a) sin + (y - b) cos
Dengan memperhatikan uraian diatas, dapat dikatakan bahwa rotasi
berpusat di A(a, b) sebesar akan memetakan titik P(x, y) ke titik P’(x’, y’)
dengan :
x’ = a + (x - a) cos - (y - b) sin
y’ = b + (x - a) sin + (y - b) cos
6
Berikut ini kemungkinan untuk nilai khusus dari jika dirotasikan pada
titik A (a, b):
1. Untuk = 90
x’ = a + (x - a) cos - (y - b) sin
x’ = a + (x - a) cos - (y - b) sin
x’ = a + (0) - (y - b) .1
x’ = a + b –y
y’ = b + (x - a) sin + (y - b) cos
y’ = b + (x - a) sin + (y - b) cos
y’ = b + (x - a) .1 +0
y’ = -a + b + x
Sehingga P(x, y) P’(a + b –y, -a + b + x)
Dengan cara yang sama diperoleh:
2. Untuk = -90
P(x, y) P’(a – b + y, a + b –x)
3. Untuk = 180
P(x, y) P’(2a – x, 2b - y)
4. Untuk = -180
P(x, y) P’(2a – x, 2b - y)
5. Untuk = 270
P(x, y) P’(a – b + y, a + b -x)
6. Untuk = -270
P(x, y) P’(a + b – y, -a + b + x)
Contoh Soal:
Diketahui segitiga dengan titik K(-2, 3), L(4, 5) dan M(3, 4). Tentukanlah
bayangan segitiga PQR jika dirotasikan sebesar -900 dengan pusat rotasi A (3, 2).
Penyelesaian:
P(x, y) P’ (a – b + y, a + b – x)
K(-2, 3) K’(4, 7)
7
1
-2 4
y
5
K(-2, 3)
K’(4, 7)
-9003
L(4, 5)
6
5
7
x3
L’(6, 1)
M’(5, 2)
M(3, 4)
2 A(3, 2)
L(4, 5) L’(6, 1)
M(3, 4) M’(5, 2)
0
Matriks yang Bersesuaian Dengan Rotasi di Titik A(a, b)
Diketahui bahwa rotasi yang berpusat di titik A(a, b) adalah:
x’ = a + (x - a) cos - (y - b) sin
y’ = b + (x - a) sin + (y - b) cos
Maka dapat dibuat matriks yang bersesuaian yaitu:
Contoh Soal:
1. Diketahui garis PQ dengan P(2, -3) dan Q(3, 2) dirotasikan sejauh 1800
berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi A(-1, 1). Tentukan P’Q’?
Penyelesaian:
- Untuk titik P(2, -3)
8
32
-3P(2, -3)
P’(-4, 5)
Q’(-5, 0)
-5
5
=
=
P(2, -3) P’(-4, 5)
- Untuk titik Q(3, 2)
=
=
Q(3, 2) P’(-5, 0)
y
A 900
0 x
2. Tentukan persamaan bayangan garis 2x – y + 10 = 0 dengan pusat (-2, 4)
dirotasikan sebesar .
Penyelesaian:
9
Q(3, 2)
Cara I:
Matriks transformasi dari = -900 =
2x – y + 10 = 0
Misalkan: x = 0 y = 0
0 – y +10 = 0 2x – 0 + 10 = 0
- y = -10 2x = -10
y = 10 x =
Jadi titik A (0, 10) dan titik B (-5, 0)
- Tititk A (0, 10) dirotasikan terhadap .
=
=
P(0, 10) P’(4, 2)
- Tititk B (-5, 0) dirotasikan terhadap .
=
=
P(-5, 0) P’(-6, 7)
Jadi bayangan dari garis 2x – y + 10 = 0 adalah:
10
-10(y – 2) = 5(x – 4)
-10y + 20 = 5x – 20
5x + 10y – 40 = 0
x + 2y – 8 = 0
Cara II:
=
= x' = y – 6 y’ = -x + 2
y = x’ + 6 x = -y’ + 2
Subsitusi ke persamaan garis:
2x – y + 10 = 0
2(-y’ + 2) – (x’ + 6) + 10 = 0
-2y’ + 4 – x’ – 6 + 10 = 0
-x’ – 2y’ + 8 = 0
x’ + 2y’ – 8 = 0
Maka bayangan dari garis 2x – y + 10 = 0 adalah x + 2y – 8 = 0
y
10
2x – y + 10 = 0
x + 2y – 8 = 0
2
11
y
x-6 -5 4
BAB II
ROTASI PADA IRISAN KERUCUT
A. Rotasi Pada Lingkaran
Rotasi pada lingkaran lebih ditekankan pada perotasian, yaitu titik pusat
lingkaran. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut:
Contoh Soal:
1. Diketahui lingkaran dengan pusat rotasi di titik O(0, 0) yang dirotasikan
sejauh 900 searah jarum jam dengan persamaan x2 + y2 = 25. Tentukanlah
persamaan lingkaran dan gambarkan!
Penyelesaian:
Persamaan lingkaran x2 + y2 = 25:
Pusat O(0, 0) dan jari-jari (r) =
Sehingga terdapat beberapa titik yaitu dimisalkan titik A(5, 0), B( 0, 5),
C(0, -5) dan D(0, 5).
P(x, y) P’(y, -x)
A(5, 0) A’(0, -5)
B( 0, 5) B’(5, 0)
C(0, -5) C’(-5, 0)
D(0, 5) D’(5, 0)
Dengan demikian persamaan lingkaran yang baru adalah x2 + y2 = 25.
12
x
900
O
5
-5 5
-5
2. Diketahui persamaan lingkaran . Tentukanlah
persamaan lingkaran jika dirotasikan sebesar -1800 dengan pusat rotasi A(-
1, 1).
Penyelesaian:
Cara I:
Misalkan pusat lingkaran P(x1, y1) dan titik perputaran A(a, b).
Pusat lingkaran P(x1, y1) = P(3, 4) dan r = 2
P(x, y) P’(2a – x, 2b - y)
P(3, 4) P’(-5, -2)
Maka persamaan lingkaran yang baru adalah:
13
y
x
1800
4
3
-2
-1
1
Cara II:
P(x, y) P’(2a – x, 2b - y)
y’ = 2b - y
A(-1, 1) ……(1) A(-1, 1) ……(2)
Persamaan (1) dan (2) disubtitusikan ke persamaan:
Maka persamaan lingkaran yang baru adalah
-5 0
B. Rotasi Pada Parabola
Pada parabola rotasi dilakukan pada titik puncak dan titik fokus. Untuk
lebih jelas dapat dilihat pada contoh dibawah ini:
Contoh Soal:
1. Diketahui persamaan parabola . Tentukan persamaan
parabola setelah dirotasikan dengan titik perputaran O(0, 0) sejauh 900
berlawanan arah jarum jam.
Penyelesaian:
14
x
y
900
4
2
-4
4 8
-8
2
Bila parabola berpuncak di P(h, k), maka:
- Puncak (2, -4)
-
- Fokus: F(p + h, k) = F(4, -4)
-Direktris: x = -p + h = 2-2 = 0
Dirotasikan sebesar 900, maka:
P(x, y) P’(-y, x)
P(2, -4) P’(4, 2)
F(4, -4) F’(4, 4)
Maka didapat titik pusat bayangan adalah P’(4, 2) dan fokusnya F’(4, 4),
dimana parabola terbuka keatas sehingga persamaan parabolanya adalah:
15
2. Diketahui persamaan direktris parabola adalah garis x = 1, sedangkan
fokus F(3, 2). Tentukanlah persamaan parabola tersebut dan persamaan
bayangannya setelah dirotasikan sejauh 1800 dengan pusat rotasi A(-1, 4).
Penyelesaian:
- Fokus: F(p + h, k) = F(3, 2)
p + h = 3……(1)
-Direktris: x = -p + h = 1
-p + h = 1…..(2)
Persamaan (1) dan (2) dieliminasi:
p + h = 3
-p + h = 1
h = 2 p + h = 3
p + 2 = 3
p = 3 – 2 = 1
- Puncak (2, 2)
-
-Sumbu simetri: y = k = 2
Maka persamaan parabolanya:
Dirotasikan sebesar 1800 dengan pusat rotasi A(-1, 4), maka:
16
+
x
y
1 3 8
2 y = 2
-4-5
6
y = -6
4
-1
P(x, y) P’(2a – x, 2b - y)
P(2, 2) P’(-4, 6)
F(3, 2) F’(-5, 6)
F’(p + h, k) = F’(-5, 6)
p + h = -5
p +(-4) = -5
p = -5+4 = -1
-Sumbu simetri: y’ = k = 6
-Direktris: x = -p + h = -(-1)- 4 = -3
x = -3
1800
x = 1
Maka didapat titik pusat bayangan adalah P’(-4, 6) dan fokusnya F’(-5, 6),
dimana parabola terbuka kekiri sehingga persamaan parabolanya adalah:
17
C. Rotasi Pada Elips
Perotasian pada elips dilakukan terhadap titik pusat dan titik puncak di
sumbu x dan y. Perotasian juga dilakukan terhadap titik fokus. Untuk lebih
jelasnya perhatikan contoh berikut:
Contoh Soal:
1. Diketahui persamaan elips dirotasikan sejauh 2700 berlawanan
arah jarum jam dengan pusat rotasi di titik O(0, 0). Tentukan persamaan
bayangan dan gambarkan!
Penyelesaian:
Sumbu mayor terletak di sumbu x, maka titik puncak dan titik fokus
terletak di sumbu x, dimana a > b.
Sumbu mayor 2a = 2.5 = 10
Sumbu minor = 2b = 2.3 = 6
c =
-Fokus: F1(4, 0) dan F2(-4, 0)
-Titik Puncak: A1(5, 0) dan A2(-5, 0)
-Titik pada sumbu minor: B1(0, 3) dan B2(0, -3)
Dirotasikan sebesar 2700 dengan pusat rotasi O(0, 0), maka:
P(x, y) P’(y, -x)
P(0, 0) P’(0, 0)
F1(4, 0) F1’(0, -4)
F2(-4, 0) F2’(0, 4)
A1(5, 0) A1’(0, -5)
A2(-5, 0) A2’(0, 5)
B1(0, 3) B1’(3, 0)
B2(0, -3) B2’(-3, 0)
18
Titik puncak dan titik fokus pada sumbu y sehingga sumbu mayor terletak
di y, dimana a < b.
Maka persamaan parabolanya adalah:
y
5 A2’
F2’ 4
B1 3
2700
A2 -5 -4 F2 3 B2’ 0 B1’ 3 F1 4 5 A1 x
B2 -3
F1’ -4
-5 A1’
2. Diketahui persamaan elips dirotasikan sejauh 900
berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi di titik O(0, 0). Tentukan
persamaan bayangan dan gambarkan!
Penyelesaian:
Sumbu mayor terletak di sumbu x maka titik puncak dan titik fokus
terletak di sumbu x, dimana a > b.
Sumbu mayor 2a = 2.6 = 12
19
Sumbu minor = 2b = 2.5 = 10
c =
-Pusat: P(h, k) = (2, 2)
-Fokus: F1(h + c, k) = F1(5, 2) dan F2(h – c, k) = F2(-1, 2)
-Puncak: A1(h + a, k) = A1(8, 2) dan A2 = (h – a, k) = A2(-4, 2)
- Titik pada sumbu minor: B1(h, k + b) = B1(2, 7)
B2(h, k - b) = B2(2, -3)
Dirotasikan sebesar 900 dengan pusat rotasi O(0, 0), maka:
P(x, y) P’(-y, x)
P(2, 2) P’(-2, 2)
F1(5, 2) F1’(-2, 5)
F2(-1, 2) F2’(-2, -1)
A1(8, 2) A1’(-2, 8)
A2(-4, 2) A2’(-2, -4)
B1(2, 7) B1’(-7, 2)
B2(2, -3) B2’(3, 2)
Titik puncak dan titik fokus pada sumbu y sehingga sumbu mayor terletak
di y, dimana a < b.
Maka persamaan parabolanya adalah:
y
A1’ 8 B1
20
7
F1’ 5
B1’ A2 P’ F2 2 P B2’ F1 A1
1800
-4 -2 -1 0 2 3 5 8 x
-1
-2
-3 B2
A2’ -4
D. Rotasi Pada Hiperbola
Perotasian pada hiperbola sama halnya dengan elips yaitu dilakukan
terhadap titik pusat dan titik puncak di sumbu x dan y. Perotasian juga dilakukan
terhadap titik fokusnya, untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut:
Contoh Soal:
Diketahui persamaan hiperbola dirotasikan sejauh 2700
berlawanan dengan arah jarum jam. Tentukan bayangan hiperbola dan gambarkan
jika:
a. Titik putar di O(0, 0)
b. Titik putar di A(1, 0)
Penyelesaian:
Karena a > b, maka titik puncak dan titik fokus terdapat di sumbu x,
sehingga didapat:
Sumbu mayor 2a = 2.4 = 8
Sumbu minor = 2b = 2.3 = 6
c =
21
F1
A2 A1
F2
B1 3
B2 -3
B1’ B2’
A2’ 4
A1 -4
F2’
F1’
2700
-Pusat O(0, 0)
-Fokus: F1 = (5, 0)dan F2 = (-5, 0)
-Puncak: A1 = (4, 0) dan A2 = (-4, 0)
-Titik pada sumbu minor: B1(0, 3) dan B2(0, -3)
a. Dirotasikan sebesar 2700 dengan pusat rotasi O(0, 0), maka:
P(x, y) P’(y, -x)
P(0, 0) P’(0, 0)
F1(5, 0) F1’(0, -5)
F2(-5, 0) F2’(0, 5)
A1(4, 0) A1’(0, -4)
A2(-4, 0) A2’(0, 4)
B1(0, 3) B1’(3, 0)
B2(0, -3) B2’(-3, 0)
Titik puncak dan titik fokus pada sumbu y sehingga sumbu mayor terletak
di y, dimana a < b.
Maka persamaan hiperbolanya adalah:
5
-5 -4 -3 0 3 4 5 x
-5
b. Dirotasikan sebesar 2700 dengan pusat rotasi A(1, 0), maka:
P(x, y) P’(a – b + y, a + b -x)
P(0, 0) P’(1, 0)
22
F1A2
A1
F2
B1 3
B2 -3A1’
B1’B2’
-4
F2’
F1’
2700
5
F1(5, 0) F1’(1, -4)
F2(-5, 0) F2’(1, 6)
A1(4, 0) A1’(1, -3)
A2(-4, 0) A2’(1, 5)
B1(0, 3) B1’(4, 1)
B2(0, -3) B2’(-2, 1)
Karena pusat hiperbola mengalami perubahan dan parabolanya terbuka ke
atas dan ke bawah, dimana a < b.
Maka persamaan hiperbolanya adalah:
6 F2’
A2’
4
-5 -4 -3 -2 -1 0 P 1 P’ 3 4 5 x
-1
E. Komposisi Dua Rotasi Berurutan yang Sepusat
Jika titik P(x, y) diputar sejauh berlawanan arah jarum jam dengan titik
pusat rotasi O(0, 0), diperoleh bayangan P’(x’, y’) yang dilanjutkan dengan
perputaran sejauh berlawanan arah jarum jam dengan titik pusat rotasi O(0, 0)
23
yang sama, sehingga diperoleh bayangan P’’(x’’, y’’). dalam bentuk bagan ditulis
sebagai berikut:
P(x, y) P’(x’, y’) P’’(x’’, y’’)
Dengan demikian:
y
P’’(x’’, y’’)
P’(x’, y’)
O P(x, y) x
Berdasarkan uraian diatas dapat disimpulkan bahwa dua rotasi berurutan
yang sepusat ekuivalen dengan sebuah rotasi sejauh jumlah masing-masing rotasi
semula terhadap pusat yang sama.
24