Geometri transformasi (Rotasi)

32
BAB I ROTASI A. Pengertian Rotasi Rotasi (perputaran) merupakan suatu transformasi yang memasangkan titik ke himpunan titik lainnya dengan cara memutar. Atau dengan kata lain rotasi adalah peristiwa memindahkan suatu objek (gambar) melalui garis lengkung dengan pusat pada titik tertentu dan dengan sudut putar yang tertentu dengan arah searah atau berlawanan arah jarum jam yang menyebabkan kedudukan gambar berubah. Pada transformasi rotasi terlihat bahwa titik atau bangun bayangan kongruen dengan bangun semula, maka rotasi memiliki sifat transformasi isometri seperti translasi dan refleksi. Pada transformasi isometri, jarak merupakan besaran yang tidak berubah (inverian). Rotasi (perputaran) ditentukan oleh: 1. Titik pusat rotasi 2. Besar sudut rotasi 3. Arah sudut rotasi Apabila arah perputaran searah dengan arah jarum jam, maka dipandang sebagai sudut yang negatif. Sebaliknya apabila arah perputaran berlawanan dengan arah jarum jam maka dipandang sebagai sudut yang positif. 1

Transcript of Geometri transformasi (Rotasi)

Page 1: Geometri transformasi (Rotasi)

BAB I

ROTASI

A. Pengertian Rotasi

Rotasi (perputaran) merupakan suatu transformasi yang memasangkan

titik ke himpunan titik lainnya dengan cara memutar. Atau dengan kata lain rotasi

adalah peristiwa memindahkan suatu objek (gambar) melalui garis lengkung

dengan pusat pada titik tertentu dan dengan sudut putar yang tertentu dengan arah

searah atau berlawanan arah jarum jam yang menyebabkan kedudukan gambar

berubah.

Pada transformasi rotasi terlihat bahwa titik atau bangun bayangan

kongruen dengan bangun semula, maka rotasi memiliki sifat transformasi isometri

seperti translasi dan refleksi. Pada transformasi isometri, jarak merupakan besaran

yang tidak berubah (inverian).

Rotasi (perputaran) ditentukan oleh:

1. Titik pusat rotasi

2. Besar sudut rotasi

3. Arah sudut rotasi

Apabila arah perputaran searah dengan arah jarum jam, maka dipandang

sebagai sudut yang negatif. Sebaliknya apabila arah perputaran berlawanan

dengan arah jarum jam maka dipandang sebagai sudut yang positif.

Pada gambar dibawah ini titik P disebut dengan pusat rotasi dan disebut

jarak perputaran.

B

A’

P A B'

Gambar 1.1 Arah Rotasi

1

Page 2: Geometri transformasi (Rotasi)

B. Rotasi Berpusat di Titik O(0, 0)

Dari gambar disamping diketahui bahwa:

OP = OP’ = r y’ P’(x’, y’)

Dari OXP:

cos y P(x, y)

x = r cos

sin

y = r sin O x’ x

Gambar 1.2 Rotasi di titik O (0, 0)

Maka dari OX’P’:

x’ = r cos ( ) y’ = r sin( )

x’ = r ( ) y’ = r ( )

x’ = r y’ = r

x’ = x cos y sin y’ = x sin + y cos

Dengan memperhatikan uraian tersebut, dapat dikatakan bahwa rotasi

berpusat di O(0, 0) sebesar akan memetakan titik P(x, y) ke titik P’(x’, y’) dengan:

x’ = x cos y sin

y’ = x sin + y cos

Contoh Soal:

Tentukan bayangan titik P (-8, 6) dirotasikan 450 terhadap titik pusat O (0,

0) jika:

a. Berlawanan arah dengan jarum jam

b. Searah dengan jarum jam

Penyelesaian:

a. x’ = x cos y sin

= -8 cos 450 – 6 sin 450

= -8 -6

= -4 - 3

= -7

2

Page 3: Geometri transformasi (Rotasi)

y’ = x sin + y cos

= -8 sin 450 + 6 cos 450

= -8 + 6

= -4 + 3

= -

P (-8, 6) [0, 450] P’(-7 , - )

b. x’ = x cos y sin

= -8 cos (-450) – 6 sin (-450)

= -8 -6

= -4 + 3

= -

y’ = x sin + y cos

= -8 sin (-450) + 6 cos (-450)

= -8 + 6

= 4 + 3 = 7

P (-8, 6) [0, -450] P’(- , 7 )

Berikut ini beberapa kemungkinan untuk nilai khusus dari :

1. Untuk = 0

x’ = x cos0 - y sin0 y’ = x sin 0 + y cos 0

x’ = x (1) – y (0) y’ = x (0) + y (1)

x’ = x y’ = y

Sehingga P(x, y) P’(x, y)

Dengan cara yang sama diperoleh:

2. Untuk = 90

P(x, y) P’(-y, x)

3. Untuk = -90

P(x, y) P’(y, -x)

4. Untuk = 180

P(x, y) P’(-x, -y)

3

Page 4: Geometri transformasi (Rotasi)

5. Untuk = -180

P(x, y) P’(-x, -y)

6. Untuk = 270

P(x, y) P’(y, -x)

7. Untuk = -270

P(x, y) P’(-y, x)

Rotasi untuk sudut-sudut diatas dalam sumbu koordinat dapat dilihat pada

gambar 1.3 berikut ini. Sedangkan untuk sudut yang lainnya dapat dicari dengan

cara yang sama.

y y

P(x, y) = P’(x’, y’)P’(x’, y’) P(x, y)

900

0 x 0 x

y y

P(x, y) P(x, y)

1800 2700

0 x 0 x

P’(x’, y’) P’(x’, y’)

Gambar 1.3 Rotasi sudut-sudut istimewa

Contoh Soal:

Diketahui sebuah titik P(3, 3) yang dirotasikan sejauh 900. Tentukanlah

bayangan titik P?

4

Page 5: Geometri transformasi (Rotasi)

1

-1 4

4

x

A’(-1, 4)

A(4, 1)

900

Penyelesaian: y

P(x, y) P’(-y, x)

P(3, 3) P’(-3, 3) P’(-3, 3) 3 P(3, 3)

900

-3 0 3 x

Matriks yang Bersesuaian Dengan Rotasi di Titik O(0, 0)

Diketahui bahwa rotasi yang berpusat di titik O (0, 0) adalah:

x’ = x cos y sin

y’ = x sin + y cos

Maka dapat dibuat matriks yang bersesuaian yaitu:

Contoh Soal:

Titik A (4, 1) dirotasikan terhadap titik O (0, 0) sejauh 900 berlawanan arah

putaran jam. Tentukanlah bayangan titik A?

Penyelesaian: y

A (4, 1) A’ (-1, 4)

C. Rotasi Berpusat di Titik A(a,b)

Perhatikan gambar di bawah ini:

5

Page 6: Geometri transformasi (Rotasi)

P’(x’, y’)

y’

(y-b)

y P(x, y)

b A(a, b)

(x-a)

O a x’ x

Gambar 1.4 Rotasi A (a,b)

Dari gambar di atas diketahui:

AP = AP’ = r

Dari AXP:

cos

(x - a) = r cos

sin

(y - b) = r sin

Maka dari AX’P’:

x’ – a = r cos

x’ – a = r

x’ – a =

x’ = a + (x - a) cos - (y - b) sin

y’ – b = r sin

y’ – b = r

y’ – b =

y’ = b + (x - a) sin + (y - b) cos

Dengan memperhatikan uraian diatas, dapat dikatakan bahwa rotasi

berpusat di A(a, b) sebesar akan memetakan titik P(x, y) ke titik P’(x’, y’)

dengan :

x’ = a + (x - a) cos - (y - b) sin

y’ = b + (x - a) sin + (y - b) cos

6

Page 7: Geometri transformasi (Rotasi)

Berikut ini kemungkinan untuk nilai khusus dari jika dirotasikan pada

titik A (a, b):

1. Untuk = 90

x’ = a + (x - a) cos - (y - b) sin

x’ = a + (x - a) cos - (y - b) sin

x’ = a + (0) - (y - b) .1

x’ = a + b –y

y’ = b + (x - a) sin + (y - b) cos

y’ = b + (x - a) sin + (y - b) cos

y’ = b + (x - a) .1 +0

y’ = -a + b + x

Sehingga P(x, y) P’(a + b –y, -a + b + x)

Dengan cara yang sama diperoleh:

2. Untuk = -90

P(x, y) P’(a – b + y, a + b –x)

3. Untuk = 180

P(x, y) P’(2a – x, 2b - y)

4. Untuk = -180

P(x, y) P’(2a – x, 2b - y)

5. Untuk = 270

P(x, y) P’(a – b + y, a + b -x)

6. Untuk = -270

P(x, y) P’(a + b – y, -a + b + x)

Contoh Soal:

Diketahui segitiga dengan titik K(-2, 3), L(4, 5) dan M(3, 4). Tentukanlah

bayangan segitiga PQR jika dirotasikan sebesar -900 dengan pusat rotasi A (3, 2).

Penyelesaian:

P(x, y) P’ (a – b + y, a + b – x)

K(-2, 3) K’(4, 7)

7

Page 8: Geometri transformasi (Rotasi)

1

-2 4

y

5

K(-2, 3)

K’(4, 7)

-9003

L(4, 5)

6

5

7

x3

L’(6, 1)

M’(5, 2)

M(3, 4)

2 A(3, 2)

L(4, 5) L’(6, 1)

M(3, 4) M’(5, 2)

0

Matriks yang Bersesuaian Dengan Rotasi di Titik A(a, b)

Diketahui bahwa rotasi yang berpusat di titik A(a, b) adalah:

x’ = a + (x - a) cos - (y - b) sin

y’ = b + (x - a) sin + (y - b) cos

Maka dapat dibuat matriks yang bersesuaian yaitu:

Contoh Soal:

1. Diketahui garis PQ dengan P(2, -3) dan Q(3, 2) dirotasikan sejauh 1800

berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi A(-1, 1). Tentukan P’Q’?

Penyelesaian:

- Untuk titik P(2, -3)

8

Page 9: Geometri transformasi (Rotasi)

32

-3P(2, -3)

P’(-4, 5)

Q’(-5, 0)

-5

5

=

=

P(2, -3) P’(-4, 5)

- Untuk titik Q(3, 2)

=

=

Q(3, 2) P’(-5, 0)

y

A 900

0 x

2. Tentukan persamaan bayangan garis 2x – y + 10 = 0 dengan pusat (-2, 4)

dirotasikan sebesar .

Penyelesaian:

9

Q(3, 2)

Page 10: Geometri transformasi (Rotasi)

Cara I:

Matriks transformasi dari = -900 =

2x – y + 10 = 0

Misalkan: x = 0 y = 0

0 – y +10 = 0 2x – 0 + 10 = 0

- y = -10 2x = -10

y = 10 x =

Jadi titik A (0, 10) dan titik B (-5, 0)

- Tititk A (0, 10) dirotasikan terhadap .

=

=

P(0, 10) P’(4, 2)

- Tititk B (-5, 0) dirotasikan terhadap .

=

=

P(-5, 0) P’(-6, 7)

Jadi bayangan dari garis 2x – y + 10 = 0 adalah:

10

Page 11: Geometri transformasi (Rotasi)

-10(y – 2) = 5(x – 4)

-10y + 20 = 5x – 20

5x + 10y – 40 = 0

x + 2y – 8 = 0

Cara II:

=

= x' = y – 6 y’ = -x + 2

y = x’ + 6 x = -y’ + 2

Subsitusi ke persamaan garis:

2x – y + 10 = 0

2(-y’ + 2) – (x’ + 6) + 10 = 0

-2y’ + 4 – x’ – 6 + 10 = 0

-x’ – 2y’ + 8 = 0

x’ + 2y’ – 8 = 0

Maka bayangan dari garis 2x – y + 10 = 0 adalah x + 2y – 8 = 0

y

10

2x – y + 10 = 0

x + 2y – 8 = 0

2

11

Page 12: Geometri transformasi (Rotasi)

y

x-6 -5 4

BAB II

ROTASI PADA IRISAN KERUCUT

A. Rotasi Pada Lingkaran

Rotasi pada lingkaran lebih ditekankan pada perotasian, yaitu titik pusat

lingkaran. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut:

Contoh Soal:

1. Diketahui lingkaran dengan pusat rotasi di titik O(0, 0) yang dirotasikan

sejauh 900 searah jarum jam dengan persamaan x2 + y2 = 25. Tentukanlah

persamaan lingkaran dan gambarkan!

Penyelesaian:

Persamaan lingkaran x2 + y2 = 25:

Pusat O(0, 0) dan jari-jari (r) =

Sehingga terdapat beberapa titik yaitu dimisalkan titik A(5, 0), B( 0, 5),

C(0, -5) dan D(0, 5).

P(x, y) P’(y, -x)

A(5, 0) A’(0, -5)

B( 0, 5) B’(5, 0)

C(0, -5) C’(-5, 0)

D(0, 5) D’(5, 0)

Dengan demikian persamaan lingkaran yang baru adalah x2 + y2 = 25.

12

Page 13: Geometri transformasi (Rotasi)

x

900

O

5

-5 5

-5

2. Diketahui persamaan lingkaran . Tentukanlah

persamaan lingkaran jika dirotasikan sebesar -1800 dengan pusat rotasi A(-

1, 1).

Penyelesaian:

Cara I:

Misalkan pusat lingkaran P(x1, y1) dan titik perputaran A(a, b).

Pusat lingkaran P(x1, y1) = P(3, 4) dan r = 2

P(x, y) P’(2a – x, 2b - y)

P(3, 4) P’(-5, -2)

Maka persamaan lingkaran yang baru adalah:

13

Page 14: Geometri transformasi (Rotasi)

y

x

1800

4

3

-2

-1

1

Cara II:

P(x, y) P’(2a – x, 2b - y)

y’ = 2b - y

A(-1, 1) ……(1) A(-1, 1) ……(2)

Persamaan (1) dan (2) disubtitusikan ke persamaan:

Maka persamaan lingkaran yang baru adalah

-5 0

B. Rotasi Pada Parabola

Pada parabola rotasi dilakukan pada titik puncak dan titik fokus. Untuk

lebih jelas dapat dilihat pada contoh dibawah ini:

Contoh Soal:

1. Diketahui persamaan parabola . Tentukan persamaan

parabola setelah dirotasikan dengan titik perputaran O(0, 0) sejauh 900

berlawanan arah jarum jam.

Penyelesaian:

14

Page 15: Geometri transformasi (Rotasi)

x

y

900

4

2

-4

4 8

-8

2

Bila parabola berpuncak di P(h, k), maka:

- Puncak (2, -4)

-

- Fokus: F(p + h, k) = F(4, -4)

-Direktris: x = -p + h = 2-2 = 0

Dirotasikan sebesar 900, maka:

P(x, y) P’(-y, x)

P(2, -4) P’(4, 2)

F(4, -4) F’(4, 4)

Maka didapat titik pusat bayangan adalah P’(4, 2) dan fokusnya F’(4, 4),

dimana parabola terbuka keatas sehingga persamaan parabolanya adalah:

15

Page 16: Geometri transformasi (Rotasi)

2. Diketahui persamaan direktris parabola adalah garis x = 1, sedangkan

fokus F(3, 2). Tentukanlah persamaan parabola tersebut dan persamaan

bayangannya setelah dirotasikan sejauh 1800 dengan pusat rotasi A(-1, 4).

Penyelesaian:

- Fokus: F(p + h, k) = F(3, 2)

p + h = 3……(1)

-Direktris: x = -p + h = 1

-p + h = 1…..(2)

Persamaan (1) dan (2) dieliminasi:

p + h = 3

-p + h = 1

h = 2 p + h = 3

p + 2 = 3

p = 3 – 2 = 1

- Puncak (2, 2)

-

-Sumbu simetri: y = k = 2

Maka persamaan parabolanya:

Dirotasikan sebesar 1800 dengan pusat rotasi A(-1, 4), maka:

16

+

Page 17: Geometri transformasi (Rotasi)

x

y

1 3 8

2 y = 2

-4-5

6

y = -6

4

-1

P(x, y) P’(2a – x, 2b - y)

P(2, 2) P’(-4, 6)

F(3, 2) F’(-5, 6)

F’(p + h, k) = F’(-5, 6)

p + h = -5

p +(-4) = -5

p = -5+4 = -1

-Sumbu simetri: y’ = k = 6

-Direktris: x = -p + h = -(-1)- 4 = -3

x = -3

1800

x = 1

Maka didapat titik pusat bayangan adalah P’(-4, 6) dan fokusnya F’(-5, 6),

dimana parabola terbuka kekiri sehingga persamaan parabolanya adalah:

17

Page 18: Geometri transformasi (Rotasi)

C. Rotasi Pada Elips

Perotasian pada elips dilakukan terhadap titik pusat dan titik puncak di

sumbu x dan y. Perotasian juga dilakukan terhadap titik fokus. Untuk lebih

jelasnya perhatikan contoh berikut:

Contoh Soal:

1. Diketahui persamaan elips dirotasikan sejauh 2700 berlawanan

arah jarum jam dengan pusat rotasi di titik O(0, 0). Tentukan persamaan

bayangan dan gambarkan!

Penyelesaian:

Sumbu mayor terletak di sumbu x, maka titik puncak dan titik fokus

terletak di sumbu x, dimana a > b.

Sumbu mayor 2a = 2.5 = 10

Sumbu minor = 2b = 2.3 = 6

c =

-Fokus: F1(4, 0) dan F2(-4, 0)

-Titik Puncak: A1(5, 0) dan A2(-5, 0)

-Titik pada sumbu minor: B1(0, 3) dan B2(0, -3)

Dirotasikan sebesar 2700 dengan pusat rotasi O(0, 0), maka:

P(x, y) P’(y, -x)

P(0, 0) P’(0, 0)

F1(4, 0) F1’(0, -4)

F2(-4, 0) F2’(0, 4)

A1(5, 0) A1’(0, -5)

A2(-5, 0) A2’(0, 5)

B1(0, 3) B1’(3, 0)

B2(0, -3) B2’(-3, 0)

18

Page 19: Geometri transformasi (Rotasi)

Titik puncak dan titik fokus pada sumbu y sehingga sumbu mayor terletak

di y, dimana a < b.

Maka persamaan parabolanya adalah:

y

5 A2’

F2’ 4

B1 3

2700

A2 -5 -4 F2 3 B2’ 0 B1’ 3 F1 4 5 A1 x

B2 -3

F1’ -4

-5 A1’

2. Diketahui persamaan elips dirotasikan sejauh 900

berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi di titik O(0, 0). Tentukan

persamaan bayangan dan gambarkan!

Penyelesaian:

Sumbu mayor terletak di sumbu x maka titik puncak dan titik fokus

terletak di sumbu x, dimana a > b.

Sumbu mayor 2a = 2.6 = 12

19

Page 20: Geometri transformasi (Rotasi)

Sumbu minor = 2b = 2.5 = 10

c =

-Pusat: P(h, k) = (2, 2)

-Fokus: F1(h + c, k) = F1(5, 2) dan F2(h – c, k) = F2(-1, 2)

-Puncak: A1(h + a, k) = A1(8, 2) dan A2 = (h – a, k) = A2(-4, 2)

- Titik pada sumbu minor: B1(h, k + b) = B1(2, 7)

B2(h, k - b) = B2(2, -3)

Dirotasikan sebesar 900 dengan pusat rotasi O(0, 0), maka:

P(x, y) P’(-y, x)

P(2, 2) P’(-2, 2)

F1(5, 2) F1’(-2, 5)

F2(-1, 2) F2’(-2, -1)

A1(8, 2) A1’(-2, 8)

A2(-4, 2) A2’(-2, -4)

B1(2, 7) B1’(-7, 2)

B2(2, -3) B2’(3, 2)

Titik puncak dan titik fokus pada sumbu y sehingga sumbu mayor terletak

di y, dimana a < b.

Maka persamaan parabolanya adalah:

y

A1’ 8 B1

20

Page 21: Geometri transformasi (Rotasi)

7

F1’ 5

B1’ A2 P’ F2 2 P B2’ F1 A1

1800

-4 -2 -1 0 2 3 5 8 x

-1

-2

-3 B2

A2’ -4

D. Rotasi Pada Hiperbola

Perotasian pada hiperbola sama halnya dengan elips yaitu dilakukan

terhadap titik pusat dan titik puncak di sumbu x dan y. Perotasian juga dilakukan

terhadap titik fokusnya, untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut:

Contoh Soal:

Diketahui persamaan hiperbola dirotasikan sejauh 2700

berlawanan dengan arah jarum jam. Tentukan bayangan hiperbola dan gambarkan

jika:

a. Titik putar di O(0, 0)

b. Titik putar di A(1, 0)

Penyelesaian:

Karena a > b, maka titik puncak dan titik fokus terdapat di sumbu x,

sehingga didapat:

Sumbu mayor 2a = 2.4 = 8

Sumbu minor = 2b = 2.3 = 6

c =

21

Page 22: Geometri transformasi (Rotasi)

F1

A2 A1

F2

B1 3

B2 -3

B1’ B2’

A2’ 4

A1 -4

F2’

F1’

2700

-Pusat O(0, 0)

-Fokus: F1 = (5, 0)dan F2 = (-5, 0)

-Puncak: A1 = (4, 0) dan A2 = (-4, 0)

-Titik pada sumbu minor: B1(0, 3) dan B2(0, -3)

a. Dirotasikan sebesar 2700 dengan pusat rotasi O(0, 0), maka:

P(x, y) P’(y, -x)

P(0, 0) P’(0, 0)

F1(5, 0) F1’(0, -5)

F2(-5, 0) F2’(0, 5)

A1(4, 0) A1’(0, -4)

A2(-4, 0) A2’(0, 4)

B1(0, 3) B1’(3, 0)

B2(0, -3) B2’(-3, 0)

Titik puncak dan titik fokus pada sumbu y sehingga sumbu mayor terletak

di y, dimana a < b.

Maka persamaan hiperbolanya adalah:

5

-5 -4 -3 0 3 4 5 x

-5

b. Dirotasikan sebesar 2700 dengan pusat rotasi A(1, 0), maka:

P(x, y) P’(a – b + y, a + b -x)

P(0, 0) P’(1, 0)

22

Page 23: Geometri transformasi (Rotasi)

F1A2

A1

F2

B1 3

B2 -3A1’

B1’B2’

-4

F2’

F1’

2700

5

F1(5, 0) F1’(1, -4)

F2(-5, 0) F2’(1, 6)

A1(4, 0) A1’(1, -3)

A2(-4, 0) A2’(1, 5)

B1(0, 3) B1’(4, 1)

B2(0, -3) B2’(-2, 1)

Karena pusat hiperbola mengalami perubahan dan parabolanya terbuka ke

atas dan ke bawah, dimana a < b.

Maka persamaan hiperbolanya adalah:

6 F2’

A2’

4

-5 -4 -3 -2 -1 0 P 1 P’ 3 4 5 x

-1

E. Komposisi Dua Rotasi Berurutan yang Sepusat

Jika titik P(x, y) diputar sejauh berlawanan arah jarum jam dengan titik

pusat rotasi O(0, 0), diperoleh bayangan P’(x’, y’) yang dilanjutkan dengan

perputaran sejauh berlawanan arah jarum jam dengan titik pusat rotasi O(0, 0)

23

Page 24: Geometri transformasi (Rotasi)

yang sama, sehingga diperoleh bayangan P’’(x’’, y’’). dalam bentuk bagan ditulis

sebagai berikut:

P(x, y) P’(x’, y’) P’’(x’’, y’’)

Dengan demikian:

y

P’’(x’’, y’’)

P’(x’, y’)

O P(x, y) x

Berdasarkan uraian diatas dapat disimpulkan bahwa dua rotasi berurutan

yang sepusat ekuivalen dengan sebuah rotasi sejauh jumlah masing-masing rotasi

semula terhadap pusat yang sama.

24