Post on 09-Jul-2016
description
Transformasi Laplace untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial
Penyelesaian persamaan diferensial dengan mencari tanggapan homogen dan
tanggapan paksa yang telah dibahas dalam Bab sebelumnya. Penyelesaian dengan cara
tersebut memerlukan perumpamaan tanggapan yang tepat. Cara yang lebih mudah untuk
menyelesaikan persamaan diferensial tanpa harus menggunakan perumpamaan tanggapan
adalah dengan transformasi Laplace.
Untuk mendapatkan solusi persamaan diferensial yang pertama dilakukan adalah
pengubahan persamaan ke bentuk s. Untuk lebih jelasnya disajikan contoh berikut:
Contoh:
Carilah penyelesaian untuk persamaan diferensial berikut ini:
x+ 3 x+ 2 x = 0 , x (0 ) = a , x (0 ) = b
Penyelesaian:
ℓ ¿¿
ℓ (x¿
) = s x (s ) − sx (o )
ℓ ¿¿¿
¿maka,
(s2 + 3 s + 2 ) x (s ) = as + b +3a
X ( s ) = as + b + 3as2 + 3 s + 2
= as + b + 3a(s+1 ) (s+2 )
= 2a + bs+1
− a+bs+2
Laplace balik dari X (s) menghasilkan:
X ( t ) = ℓ−1 [X (s ) ]= ℓ−1 [2a + b
s+1 ] − ℓ−1 [a+bs+2 ]= (2a + b ) e−t − (a+b ) e−2 t ( t ≥ 0 )
7
a) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Konstan
Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menentukan selesaian suatu
persamaandiferensial dengan koefisien konstan.
Misal ditentukan persamaan diferensial
d2Ydx
+ p dYdx
+qY=F ( x ) atau Y ''+pY '+qY=F ( x ) dengan p,q adalah konstanta dan
persamaan tersebut mempunyai syarat awal atau batas Y(0)=A dan Y’(0)=B, A dan B adalah
konstanta yang diberikan.
Selesaian persamaan diferensial yang diketahui dapat ditentukan dengan cara
melakukan transformasi Laplace pada masing-masing persamaan dan selanjutnya gunakan
syarat awal yang diberikan. Akibatnya diperoleh persamaan Aljabar L {Y ( x )}= y ( s ).Selesaian yang diperlukan diperoleh dengan menggunakan transformasi Laplace
invers dari y(s). Cara ini dapat diperluas pada persamaan-pers amaan diferensial tingkat
tinggi.
Contoh
Tentukan selesaian persamaan diferencial berikut.
1) Y ''+Y=x dengan Y(0) = 0 dan Y’(0)=-2
Jawab
Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan diferensial
diperoleh
L {Y +Y rbrace =L left lbrace Y¿}+L {Y }=L{x }
Menurut sifat transformasi Laplace
L {F(n)( t )}=sn L{F( t )}−sn−1F(0 )−sn−2F \( 0 \) - . . . . - ital sF rSup { size 8{n - 2} } \( 0 \) - F rSup { size 8{n - 1} } \( 0 \) } { ¿, sehingga
={s2 L {Y }−sY (0 )−Y ' (0 )}−L {Y }=L( x )
⇔(s2 y−s+2 )+ y= 1s2
⇔(s2+1 ) y= 1s2
+(s−2)
8
⇔ y= 1s2 (s2+1 )
+ s−2s2+1
=
1s2
− 1s2+1
+ ss2+1
− 2s2+1
=
1s2
+ ss2+1
− 3s2+1
Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers
Y=L−1{ 1s2 +
ss2+1
−3s2+1 }
=L−1{ 1
s2 }−L−1{ ss2+1 }−L−1{ 3
s2+1 } =x+cos x−3sin x
Untuk pemeriksaan jawab di atas
Y=1+cos x−3sin x
Y '=−sin x−3cos x
Y ''=−cos x+3 sin x
Y ''+Y=(−cos x+3sin x )+( x+cos x−3 sin x )=x dan Y(0) = 1, Y’(0)=-2
2) Y ''−3Y '+2Y=4e2 x dengan Y(0) = -3 dan Y’(0)=5
Jawab
Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan diferencial diperoleh
L ¿¿Menurut sifat (5) transformasi Laplace
L {F(n)( t )}=sn f ( s )−sn−1F(0 )−sn−2F \( 0 \) - . . . . - ital sF rSup { size 8{n - 2} } \( 0 \) - F rSup { size 8{n - 1} } \( 0 \) } {¿, sehingga
L ¿¿
={s2 L {Y }−sY (0 )−Y ' (0 )}−3 {sL{Y }−Y (0 )}+2L {Y }=L(4e2 x )
={s2 y+3 s−5 }−3 {sy+3}+2 y= 4s−2
⇔(s2−3 s+2) y= 4s−2
+3 s−14
⇔ y= 4(s2−3 s+2)(s−2 )
+ 3 s−14s2−3 s+2
9
=−3 s2+20 s−24
(s−1 )(s−2 )2
= −7s−1
+ 4s−2
+ 4(s−2 )2
Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers
Y=L−1{ −7s−1 +
4s−2+
4(s−2)2 }
=L−1{ −7
s−1 }+L−1{ 4s−2 }+L−1{ 4
(s−2 )2 } =−7ex+4e2 x+4 xe2 x
b) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Variabel
Transformasi Laplace juga dapat digunakan untuk menentukan selesaian persamaan
diferensial dengan koefien variable. Khususnya persamaan diferensial yang berbentuk
xnY (n )( x ) sehingga transformasi Laplace diperoleh L {xmY (n)( x )}={(−1)m d
m
dsmL {Y (n)(x )}}
Hal ini sesuai dengan sifat transformasi Laplace
Jika L {F ( t )}=f ( s ) maka L {tnF ( t )}= (−1 )n d
n
dsnf (s )= (−1 ) f (n )(s )
Untuk jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut
Tentukan selesaian persamaan diferensial
1) xY ''+2Y '+xY=0 dengan Y(0) = 1 dan Y(π )= 0
Jawab
Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan diperoleh:
L ¿¿⇔L¿¿
⇔(−1 )1 dds {s2 y−sY (0 )−Y ' (0 )}+2( sy−Y ( 0))+(−1)1 d
ds( y )=0
⇔−1 dds
{s2 y−s−1 }+2(sy−1)+(−1 )1 dds
( y )=0
⇔−{2 sy+s2 dyds−1−0 }+2( sy−1 )+(−1) dyds
=0
10
⇔−2 sy−s2 y '+1+2 sy−2− y '=0
⇔−(s2+1) y '=1
⇔ y '=− 1(s2+1 )
Diperoleh y=−∫ 1
(s2+1)ds=−arctan s +C
Karena y→0 bila s→∞ kita dapatkan c= π
2 , sehingga
y= π2−arctan s=arctan 1
s
Akhirnya didapat Y=L {arctan 1
s }=sin tt , hal ini memenuhi Y(π )=0
2) Y ''−xY '+Y=1 , dengan Y(0) = 1 dan Y’(0) = 2
Jawab
Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan diperoleh:
L ¿¿⇔L¿¿
⇔ {s2 y−sY (0 )−Y ' (0 )}−(−1)1 dds
{sy−Y (0 )}+ y= 1s
⇔ {s2 y−s .1−2}+ dds
(sy−1)+ y=0
s
ysyysys 1')'(22
ssyssy 12)1(' 2
Persamaan di atas merupakan persamaan difererensial liner tingkat satu derajat satu dan
dapat diubah menjadi:
⇔ y '+(s+ 1s ) y=1+2
s+ 1s2
Faktor integral persamaan di atas adal e∫(s+ 1 )ds
=e12s2+2 ln s
=s2 e12s2
11
Maka
dds
( s2e12s2
y )=(1+2s+
1s2 )s2 e
s2
2
Sehingga y=1sesy∫(1+2
s+ 1s2
)s2es2
2 ds
=1s+ 2s2
+ cs2es2
2
Akhirnya diperoleh y=1+2 t
Soal-soal :
2xyy’ – y2 + x2 = 0
12