Post on 30-Jun-2015
RESUME MATERI STATISTIK (UTS)
PENGERTIAN STATISTIK
Pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan atau
penganalisaannya dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data dan penganalisisan yang
dilakukan.
PEMBAGIAN STATISTIKA
1. Statistika Deskriptif
Yaitu bidang ilmu statistika yang mempelajari tata cara pengumpulan, penyusunan dan
penyajian data yang dikumpulkan dari suatu penelitian.
2. Statistika Induktif
Yaitu bidang ilmu statistika yang mempelajari tata cara penarikan kesimpulan mengenai
keseluruhan data atau populasi berdasarkan sebagian data atau sampel dari populasi tersebut.
SYARAT-SYARAT DATA YANG BAIK :
Harus :
a. Objektif
b. Mewakili / Representative
c. Kesalahan baku harus kecil
d. Harus tepat waktu
e. Harus relevan
JENIS DATA :
1. Menurut sumbernya :
• Data Intern
• Data Ekstern (primer dan sekunder)
2. Menurut sifatnya :
DIAGRAM ALIR STATISTIK
Statistika Deskriptif
Statistika Inverensial
• Data Kualitatif
• Data Kuantitatif (diskret dan kontinu ).
3. Menurut waktu :
• Data lintas sektoral (cross sectional)
• Data berkala ( time series data )
VARIABEL
VARIABEL : Karakteristik yang mungkin bisa memberikan sekurang-kurangnya dua hasil
pengukuran atau perhitungan yang berbeda.
JENIS VARIABEL
1. Variabel Kualitatif
• Dikotomis
• Polikotomis
• Ordinal
2. Variabel Kuantitatif
• Kontinu (hasil pengukuran/bil.rational)
• Diskrit (hasil perhitungan/bil. bulat)
JENIS TABEL
• Tabel 1 arah à berisi 1 karakter
Contoh : Data Personalia berisi tentang Pendidikan saja.
• Tabel 2 arah à berisi 2 karakter
Contoh : Data Personalia berisi tentang Pendidikan dan Masa Kerja
• Tabel 3 arah à berisi 3 atau lebih karakter
Contoh : Data Personalia berisi tentang Pendidikan, Masa Kerja, dan Usia/Jenis
Kelamin/Agama, dll
JENIS GRAFIK
• Grafik Garis
• Grafik Batang
• Grafik Lingkaran
• Grafik Gambar
• Grafik Peta
MACAM-MACAM GRAFIK GARIS DAN BATANG
• Tunggal
• Berganda
• Komponen berganda
• Persentase komponen berganda
• Berimbang netto
Contoh Grafik Garis Tunggal
Contoh grafik garis berganda
Contoh grafik batang tunggal
Contoh grafik batang berganda
Contoh grafik lingkaran tunggal
Contoh grafik gambar
DISTRIBUSI FREKUENSI
J.Supranto “adalah salah satu cara untuk meringkas data dengan cara pengelompokan data ke
dalam beberapa kelompok (kelas) dan kemudian dihitung banyaknya data yang masuk ke dalam
tiap kelas.
Stephen K. Campbell (1987) ”A frequency Distribution is tabular or graphic devise for displaying
the data of interest for a single quantitative variable grouped into several classes along with the
number of observations, called the class frequency, associated with each indicated class“.
1. Distribusi Frekuensi (DF) NumerikalDF Numerikal adalah DF yang pembagian kelasnya
dinyatakan dalam bentuk angka.
2. Distribusi Frekuensi (DF) KatagorikalDF. Kategorikal adalah DF yang pembagian kelasnya
dinyatakan dalam macam data atau golongan data.
Langkah Membuat DF
1. Menentukan Jumlah Kelas
K = 1 + 3,3 log n
2. Menghitung Range ( R )
R = Nilai tertinggi – Nilai terendah
3. Menetukan Panjang Kelas (i)
i = R / K
Umur (tahun) Jumlah (orang)
20-29 12
30-39 26
40-49 24
50-59 18
Total 80
Macam Dagangan Total Penjualan (ton)
Beras 250
Beras Ketan 65
Kacang Tanah 462
Kedelai 325
Jagung 680
4. Menetukan Kelas
Semua data harus masuk ke dalam salah satu dari interval kelas tertentu.
5. Mencari Frekuensi Tiap-tiap Kelas
Menghitung banyaknya data/nilai pengamatan yang masuk pada kelas tertentu.
JUMLAH KELAS
• Menetukan Jumlah Kelas ( k )
k = 1 + 3,3 log n
k = 1 + 3,3 log 80
k = 1 + 3,3 ( 1,9031 )
k = 1 + 6,2802
k = 7,280 (bisa dibulatkan ke atas 8 kelas)
• Range Dan Panjang Kelas
Menghitung Range ( R )
R = Nilai Tertinggi – Nilai Terendah
R = 220 – 85
R = 135
Menetukan Panjang Kelas ( i )
i = R / K
i = 135 / 8 = 16,875 ≈ 17
PERHITUNGAN FREKUENSI
• Menentukan Kelas
Interval Kelas Tanda Catat Frekuensi
85 –101 //// // 7
102-118 //// //// / 11
119-135 //// //// //// /// 18
136-152 //// //// //// //// 19
153-169 //// / 6
170-186 //// //// 9
187-203 //// 5
204-220 //// 5
Jumlah 80
PENENTUAN BATAS KELAS
1. Batas-batas Kelas
Adalah cakupan kelas tersebut atas suatu data tertentu, yang membedakannya dengan kelas
lain. Batas kelas terdiri dari :
Batas Atas : 101
Batas Bawah : 85 ( kelas 85-101)
2. Frekuensi
Adalah jumlah data untuk tiap-tiap kelas (lihat kolom frekuensi).
3. Class Boundary (Batas Kelas)
Adalah pertengahan antara batas atas suatu kelas dengan batas bawah kelas di atasnya. Class
boundary dari kelas pertama dan kedua adalah : 101 + 102 / 2 = 101,5
4. Titik Tengah
adalah pertengahan tiap-tiap kelas, atau rata-rata batas bawah dengan batas atas kelas.
Contoh: TTK (1) = 85+101 / 2 = 93
5. Interval Kelas ( Class Interval )
Adalah jarak antara batas bawah dengan
batas atas dalam suatu kelas.
Contoh : Untuk kelas (1) nilai interval
kelasnya adalah : 101-84 = 17 (nilai ini
konstan utk kelas-kelas berikutnya).
6. Kelas terbuka
Kelas yang tidak jelas batas kelasnya di sebut
dengan kelas terbuka.
ContohDF Dengan Kelas Interval Terbuka Tidak Sama
(dengan variabel diskrit)
ContohDF Dengan
Kelas Interval Terbuka
TidakSama
(dengan variabel kontinu)
UKURAN SENTRAL
1. Mean (rata-rata)
- Rata-Rata Hitung (Aritmatik)
- Rata-Rata Ukur (Geometri)
- Rata-Rata Harmonis
Rumus Rata-rata Hitung :
Rata-rata Hitung (Aritmatik) :
2. Median Kuartil, Desil, Persentil
Median (n Ganjil)
MEDIAN (n Genap)
3. Modus
Modus adalah nilai yang sering muncul (frekuensi tertinggi)
Contoh : X = 2,2,3,4,5,5,5,6,7,7,8,9,11; Modus =5
DATA BERKELOMPOK
Untuk data berkelompok, penggunaan rumus untuk mencari modus dan median berbeda dengan
data tunggal. Rumus tersebut antara lain :
m
i
f
f 0
02
n
cLMed
X = ΣXn
X =Σf⋅XΣf
Dimana Σf =n
dimana k=n-12
Median=X k+1
dimana k= n2
Median= 12
( Xk+ Xk+1 )
Mod= L0+c {( f 1 )0
( f 1 )0+( f 2 )0}
L0=batasbawahkelas mod
UKURAN VARIASI (DISPERSI)
1. Simpangan Baku
2. Koefisien Variasi
3. Kemencengan Kurva (Skewness)
4. Keruncingan Kurva (Kurtosis)
SIMPANGAN BAKU
a. Data Tak Berkelompok Atau
b. Data Berkelompok
Rumus simpangan bakunya menjadi :
Koefisien Variasi
Untuk Populasi
Untuk Sampel
Kemencengan Kurva
Data tak berkelompok :
Data berkelompok :
x100%s
kvx
x100%KV
2k
1i
k
1i
2
NNc
iiii dfdf
S=√ 1n-1 {∑
i=1
n
X i2−
(∑i=1
n
X i)2
n }S=√ 1n {∑
i=1
n
X i2−
(∑i=1
n
X i)2
n }
α 3=1
nS3 ∑i=1
n
( X i−X )3
α 3=c3
S3 {1n∑i=1
k
f i d i3−3( 1
n∑i=1
k
f i d i2)( 1
n∑i=1
k
f i d i)+2( 1n∑i=1
k
f i di)3}
Keruncingan Kurva
Data tak berkelompok :
Data Berkelompok :
Standar Keruncingan
α4=1
nS4 ∑i=1
n
( X i− X )4
α 4=C4
S4 {1n ∑i=1
k
f i di4−4 (1n ∑
i=1
k
f i d i3)(1n ∑
i=1
k
f i di)+6(1n ∑
i=1
k
f i di2)(1n ∑
i=1
k
f i d i)2
−3 (1n ∑i=1
k
f i d i)4}
α 4≤3→ platykurtis (mendatar )α 4=3→mesokurtis(normal )α 4≥3→leptokurtis (meruncing )
ANALISIS KORELASI DAN REGRESI LINEAR SEDERHANA
KOEFISIEN KORELASI (r)
– r= 1 ; Hubungan sempurna kuat positif
– r= -1 ; Hubungan sempurna kuat negatif
– r= 0 ; Tidak ada hubungan
– r mendekati 1 atau -1 maka hubungan semakin kuat
– r mendekati 0 maka hubungan semakin lemah
Koefisien Penentuan = Kekuatan kontribusi X terhadap naik turunnya nilai Y
KP= r2
Koefisien KorelasiKorelasi Linear Sederhana (r) : -1 ≤ r ≤ 1
Rumusnya :
Koefisien Korelasi Data Berkelompok
Rumusnya :
KOEFISIEN KORELASI RANK (PERINGKAT)
Rumusnya :
r=n∑
i=1
n
X i Y i−∑i=1
n
X i∑i=1
n
Y i
√n∑i=1
n
X i2−(∑
i=1
n
X i)2 √n∑
i=1
n
Y i2−(∑
i=1
n
Y i)2
r=n (∑ uvf )−(∑ ufu) (∑ vfv )
√n (∑ u2 f u )−(∑ ufu )2√n (∑ v2 f v )−(∑ vfv )2
r rank=1−6∑ d
i2
n ( n2 -1)
Korelasi Data Kualitatif
Koefisien bersyarat = data kualitatif yang dipergunakan untuk mengukur kuatnya hubungan
(Contingency Coefficient Cc)
Nilai Cc → 0≤Cc<1
Rumusnya :
REGRESI
Regresi Linear Sederhana
Regresi Linear Berganda
Rumus Umum :
k=2→
matriksnya :
bXYa
XXn
YXYXnb
bXaY
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iii
2
11
2
111
'
Cc=√ χ2
χ2+n
n=∑i=1
p
∑j=1
q
f ij=∑i=1
p
ni .=∑j=1
q
n. j=∑i=1
p
∑j=1
q
nij
χ2=∑i=1
p
∑j=1
q (f ij−e ij )2
eij
Y '=b0+b1 X 1+b2 X2+. ..+bk X k
Y '=b0+b1 X 1+b2 X2
[ n ∑ X1 ∑ X2
∑ X1 ∑ X12 ∑ X1 X2
∑ X2 ∑ X1 X 2 ∑ X22 ] X [b0
b1
b2]=[ ∑Y
∑ X1 Y
∑ X2 Y ]
Regresi Parabola (Fungsi Kuadrat)
Rumus Umum :
matriksnya :
Y '=a+bX +cX2
[ n ∑ X ∑ X 2
∑ X ∑ X2 ∑ X 3
∑ X2 ∑ X3 ∑ X 4 ] X [abc ]=[ ∑Y
∑ XY
∑ X2Y ]
ANALISIS DATA BERKALA
Ada 4 metoda :
1. Metoda Tangan Bebas :
Metoda ini bersifat subyektif.
Kurva yang dihasilkan dapat berbeda tergantung siapa yang membuat trend.
Paling mudah membuatnya.
Paling tidak akurat.
2. Metoda Rata-rata Semi :
Caranya:
Dengan membagi data menjadi 2 kelompok yang jumlahnya sama. Kalau ada 10 data
masing-masing menjadi 5. Kalau ada 9 masing-masing menjadi 4, data ke-5 (yang
tengah) tidak diikutkan.
Masing-masing kelompok dicari rata-ratanya, sehingga didapat titik-titik koordinat dari
kelompok 1 dan 2.
Garis antara dua titik tersebut adalah merupakan trend.
3. Metoda Rata-rata Bergerak
Untuk rata-rata bergerak n waktu, maka urutan rata-rata hitungnya sebagai berikut :
Y 1+Y 2+ .. .+Y n
n,Y 2+Y 3+. ..+Y n+1
n,Y 3+Y 4+. ..+Y n+2
n, .. . dst .
Untuk n=3 maka urutan rata-rata hitungnya :
4. Metoda Kuadrat Terkecil
INDEKS MUSIMAN
Ada 4 metoda :
1. Metoda Rata-rata Sederhana
2. Metoda Relatif Bersambung
3. Metoda Rasio Terhadap Trend Kuadrat Terkecil
4. Metoda Rasio Terhadap Trend Rata-rata Bergerak
ANGKA INDEKS
1. Indeks Harga Relatif Sederhana :
2. Indeks Produksi Relatif Sederhana :
3. Indeks Harga Agregatif Tidak Tertimbang :
4. Indeks Rata-rata Harga Relatif :
5. Indeks Harga Tertimbang :
Y 1+Y 2+Y 3
3,Y 2+Y 3+Y 4
3,Y 3+Y 4+Y 5
3,. . .dst .
I t , o=pt
po
x 100%
I t , o=qt
qo
x100%
I t , o=∑ p t
∑ po
x 100%
I t , o=1n [ ∑ p t
∑ po
x100 % ]I t , o=
∑ p t qo
∑ poqo
x100 %
RUMUS ANGKA INDEKS
• Indeks harga Laspeyres
• Indeks produksi Laspeyres
• Indeks Harga Paasche
• Indeks produksi Paasche
• Indeks Irving Fisher
• Indeks Drobisch
• Indeks Marshal-Edge worth %100x)(
)(t,
too
toot qqp
qqpI
∑i =1
k
Pni Q0i
∑i=1
k
P0i Q0i
*100%
∑i =1
k
Pni Q0i
∑i=1
k
P0i Q0i
*100%
Pt , 0=∑i=1
k
P t Qt
∑i=1
k
P0i Qt
¿100%
Pt , 0=∑i=1
k
P t Qt
∑i=1
k
P t Q0
×100%
L=IndeksLaspeyresP=IndeksPaasche
I=√ LxP
I= L+P2
RESUME MATERI STATISTIK (UAS)
PROBABILITAS
Pengertian Probabilitas
Secara umum probabilitas merupakan peluang bahwa sesuatu akan terjadi. Nilai dari probabilitas
berkisar antara 0 dan 1.
Pendekatan Perhitungan Probabilitas
Pendekatan Klasik
Didasarkan pada asumsi bahwa seluruh hasil dari suatu eksperimen mempunyai kemungkinan
(peluang) yang sama.
Perhitungannya sebagai berikut.
Pendekatan Frekuensi Relatif
Didasarkan atas limit dari frekuensi relatif.
Perhitungannya sebagai berikut.
f i = frekuensi relatif kejadian i
X i= kejadian i
n = total jumlah observasi
x= frekuensi terjadinya kejadian A
n= ukuran sampel (jumlah observasi)
P( A )=xn
P( A )=1−P ( A )
P( X i )=limn→∞
f i
n
BEBERAPA ATURAN DASAR PROBABILITAS
Aturan Penjumlahan
Peluang kejadian saling meniadakan (kejadian di mana jika sebuah kejadian terjadi maka
kejadian tersebut meniadakan kejadian yang lain) :
P( A∪B )=P( A )+P( B)P( A∪B∪C )=( P( A )+P( B )+P (C )P( A1∪ A2∪. ..∪Ak )+P( Ai )
Peluang kejadian yang tidak saling meniadakan
P( A∪B )=P( A )+P( B)−P ( A∩B )
Aturan Perkalian
Peluang kejadian tak bebas/bersyarat → peluang terjadinya suatu kejadian dengan syarat
bahwa kejadian lain sudah terjadi atau akan terjadi :
P( B/ A )=P( A∩B )P( A )
P( A /B )=P( A∩B )P(B )
Peluang kejadian interseksi
P( A∩B )=P( A )P (B / A )=P (B )P( A /B )
Peluang kejadian bebas
PROBABILITAS MARJINAL
Dipakai pada saat beberapa kejadian terjadi bersamaan, di mana kejadian lainnya tersebut
mempengaruhi terjadinya kejadian yang pertama. Rumusnya sebagai berikut.
P( R )=∑ P( Si )P (R /S i)
P( A /B )=( A )P( B/ A )=P(B )P( A∩B )=P( A )⋅P( B)
TEOREMA BAYES
Teori untuk menghitung probabilitas tentang sebab-sebab terjadinya suatu kejadian (causes)
berdasarkan pengaruh yang dapat diperoleh sebagai hasil observasi. Teori ini bertujuan untuk
memecahkan masalah pembuatan keputusan yang mengandung ketidakpastian (decision making under
uncertainty). Rumus Bayes sebagai berikut.
P( Ai / A )=P ( A i )P( A / A i)
∑i=1
k
P( A i) P( A / Ai )
PERMUTASI DAN KOMBINASI
Permutasi ialah suatu urutan beberapa elemen di mana urutan itu penting (AB≠ BA)
m Pm=m!→ Permutasi m obyek diambil m setiap kali
m Px=m!
(m−x )! → Permutasi m obyek diambil x setiap kali
Kombinasi adalah susunan dari beberapa elemen di mana urutan tidak diperhatikan (AB = BA)
m C x=m!
x! (m−x )! → Kombinasi m obyek diambil x setiap kali
DISTRIBUSI TEORITIS
a. Distribusi Binomial
Syarat suatu eksperimen dapat dikatakan eksperimen Binomial:
Banyaknya eksperimen merupakan bilangan tetap.
Setiap eksperimen mempunyai dua hasil yang dikategorikan menjadi "sukses" dan
"gagal".
Probabilitas sukses sama pada setiap eksperimen.
Eksperimen tersebut harus bebas satu sama lain.
Rumusnya sebagai berikut.
pr ( x )= n !x ! (n−x )!
px qn−x
E( X )=np dan Var ( X )=npq
b. Distribusi Poisson
Hampir sama dengan distribusi binomial, hanya saja lebih akurat untuk mengkalkulasikan istribusi
probabilitas dengan kemungkinan sukses ( p) sangat kecil dan jumlah eksperimen (n ) sangat
besar. Rumusnya:
; E( X )= λ ; dan Var ( X )=λ
c. Distribusi Normal
Merupakan distribusi yang secara luas banyak digunakan dalam berbagai penerapan. Beberapa
karakteristik distribusi normal:
Memiliki dua parameter yaitu μ dan σ yang masing-masing menentukan lokasi dan
pr ( x )= λx e− λ
x !
bentuk distribusi.
Titik tertinggi kurva normal berada pada rata-rata.
Distribusi normal adalah distribusi yang simetris.
Simpangan baku (σ ) menentukan lebarnya kurva. Makin kecil σ bentuk kurva
semakin runcing.
Total luas daerah di bawah kurva normal adalah 1.
Jika jarak dari masing-masing nilai X diukur dengan simpangan baku σ , maka kira-
kira 68% berjarak 1σ , 95% berjarak 2σ dan 99% berjarak 3σ .
Rumusnya:
; E( X )=μ ; dan Var ( X )=σ 2
Ketiga distribusi teoritis tersebut tersedia dalam bentuk tabel untuk memudahkan penghitungan
terbatas.
f ( x )= 1σ √2 π
e−1
2 ( x−μσ )2
2.