RESUME MATERI STATISTIK (UTS)

PENGERTIAN STATISTIK

Pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan atau

penganalisaannya dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data dan penganalisisan yang

dilakukan.

PEMBAGIAN STATISTIKA

1. Statistika Deskriptif

Yaitu bidang ilmu statistika yang mempelajari tata cara pengumpulan, penyusunan dan

penyajian data yang dikumpulkan dari suatu penelitian.

2. Statistika Induktif

Yaitu bidang ilmu statistika yang mempelajari tata cara penarikan kesimpulan mengenai

keseluruhan data atau populasi berdasarkan sebagian data atau sampel dari populasi tersebut.

SYARAT-SYARAT DATA YANG BAIK :

Harus :

a. Objektif

b. Mewakili / Representative

c. Kesalahan baku harus kecil

d. Harus tepat waktu

e. Harus relevan

JENIS DATA :

1. Menurut sumbernya :

• Data Intern

• Data Ekstern (primer dan sekunder)

2. Menurut sifatnya :

DIAGRAM ALIR STATISTIK

Statistika Deskriptif

Statistika Inverensial

• Data Kualitatif

• Data Kuantitatif (diskret dan kontinu ).

3. Menurut waktu :

• Data lintas sektoral (cross sectional)

• Data berkala ( time series data )

VARIABEL

VARIABEL : Karakteristik yang mungkin bisa memberikan sekurang-kurangnya dua hasil

pengukuran atau perhitungan yang berbeda.

JENIS VARIABEL

1. Variabel Kualitatif

• Dikotomis

• Polikotomis

• Ordinal

2. Variabel Kuantitatif

• Kontinu (hasil pengukuran/bil.rational)

• Diskrit (hasil perhitungan/bil. bulat)

JENIS TABEL

• Tabel 1 arah à berisi 1 karakter

Contoh : Data Personalia berisi tentang Pendidikan saja.

• Tabel 2 arah à berisi 2 karakter

Contoh : Data Personalia berisi tentang Pendidikan dan Masa Kerja

• Tabel 3 arah à berisi 3 atau lebih karakter

Contoh : Data Personalia berisi tentang Pendidikan, Masa Kerja, dan Usia/Jenis

Kelamin/Agama, dll

JENIS GRAFIK

• Grafik Garis

• Grafik Batang

• Grafik Lingkaran

• Grafik Gambar

• Grafik Peta

MACAM-MACAM GRAFIK GARIS DAN BATANG

• Tunggal

• Berganda

• Komponen berganda

• Persentase komponen berganda

• Berimbang netto

Contoh Grafik Garis Tunggal

Contoh grafik garis berganda

Contoh grafik batang tunggal

Contoh grafik batang berganda

Contoh grafik lingkaran tunggal

Contoh grafik gambar

DISTRIBUSI FREKUENSI

J.Supranto “adalah salah satu cara untuk meringkas data dengan cara pengelompokan data ke

dalam beberapa kelompok (kelas) dan kemudian dihitung banyaknya data yang masuk ke dalam

tiap kelas.

Stephen K. Campbell (1987) ”A frequency Distribution is tabular or graphic devise for displaying

the data of interest for a single quantitative variable grouped into several classes along with the

number of observations, called the class frequency, associated with each indicated class“.

1. Distribusi Frekuensi (DF) NumerikalDF Numerikal adalah DF yang pembagian kelasnya

dinyatakan dalam bentuk angka.

2. Distribusi Frekuensi (DF) KatagorikalDF. Kategorikal adalah DF yang pembagian kelasnya

dinyatakan dalam macam data atau golongan data.

Langkah Membuat DF

1. Menentukan Jumlah Kelas

K = 1 + 3,3 log n

2. Menghitung Range ( R )

R = Nilai tertinggi – Nilai terendah

3. Menetukan Panjang Kelas (i)

i = R / K

Umur (tahun) Jumlah (orang)

20-29 12

30-39 26

40-49 24

50-59 18

Total 80

Macam Dagangan Total Penjualan (ton)

Beras 250

Beras Ketan 65

Kacang Tanah 462

Kedelai 325

Jagung 680

4. Menetukan Kelas

Semua data harus masuk ke dalam salah satu dari interval kelas tertentu.

5. Mencari Frekuensi Tiap-tiap Kelas

Menghitung banyaknya data/nilai pengamatan yang masuk pada kelas tertentu.

JUMLAH KELAS

• Menetukan Jumlah Kelas ( k )

k = 1 + 3,3 log n

k = 1 + 3,3 log 80

k = 1 + 3,3 ( 1,9031 )

k = 1 + 6,2802

k = 7,280 (bisa dibulatkan ke atas 8 kelas)

• Range Dan Panjang Kelas

Menghitung Range ( R )

R = Nilai Tertinggi – Nilai Terendah

R = 220 – 85

R = 135

Menetukan Panjang Kelas ( i )

i = R / K

i = 135 / 8 = 16,875 ≈ 17

PERHITUNGAN FREKUENSI

• Menentukan Kelas

Interval Kelas Tanda Catat Frekuensi

85 –101 //// // 7

102-118 //// //// / 11

119-135 //// //// //// /// 18

136-152 //// //// //// //// 19

153-169 //// / 6

170-186 //// //// 9

187-203 //// 5

204-220 //// 5

Jumlah 80

PENENTUAN BATAS KELAS

1. Batas-batas Kelas

Adalah cakupan kelas tersebut atas suatu data tertentu, yang membedakannya dengan kelas

lain. Batas kelas terdiri dari :

Batas Atas : 101

Batas Bawah : 85 ( kelas 85-101)

2. Frekuensi

Adalah jumlah data untuk tiap-tiap kelas (lihat kolom frekuensi).

3. Class Boundary (Batas Kelas)

Adalah pertengahan antara batas atas suatu kelas dengan batas bawah kelas di atasnya. Class

boundary dari kelas pertama dan kedua adalah : 101 + 102 / 2 = 101,5

4. Titik Tengah

adalah pertengahan tiap-tiap kelas, atau rata-rata batas bawah dengan batas atas kelas.

Contoh: TTK (1) = 85+101 / 2 = 93

5. Interval Kelas ( Class Interval )

Adalah jarak antara batas bawah dengan

batas atas dalam suatu kelas.

Contoh : Untuk kelas (1) nilai interval

kelasnya adalah : 101-84 = 17 (nilai ini

konstan utk kelas-kelas berikutnya).

6. Kelas terbuka

Kelas yang tidak jelas batas kelasnya di sebut

dengan kelas terbuka.

ContohDF Dengan Kelas Interval Terbuka Tidak Sama

(dengan variabel diskrit)

ContohDF Dengan

Kelas Interval Terbuka

TidakSama

(dengan variabel kontinu)

UKURAN SENTRAL

1. Mean (rata-rata)

- Rata-Rata Hitung (Aritmatik)

- Rata-Rata Ukur (Geometri)

- Rata-Rata Harmonis

Rumus Rata-rata Hitung :

Rata-rata Hitung (Aritmatik) :

2. Median Kuartil, Desil, Persentil

Median (n Ganjil)

MEDIAN (n Genap)

3. Modus

Modus adalah nilai yang sering muncul (frekuensi tertinggi)

Contoh : X = 2,2,3,4,5,5,5,6,7,7,8,9,11; Modus =5

DATA BERKELOMPOK

Untuk data berkelompok, penggunaan rumus untuk mencari modus dan median berbeda dengan

data tunggal. Rumus tersebut antara lain :

m

i

f

f 0

02

n

cLMed

X = ΣXn

X =Σf⋅XΣf

Dimana Σf =n

dimana k=n-12

Median=X k+1

dimana k= n2

Median= 12

( Xk+ Xk+1 )

Mod= L0+c {( f 1 )0

( f 1 )0+( f 2 )0}

L0=batasbawahkelas mod

UKURAN VARIASI (DISPERSI)

1. Simpangan Baku

2. Koefisien Variasi

3. Kemencengan Kurva (Skewness)

4. Keruncingan Kurva (Kurtosis)

SIMPANGAN BAKU

a. Data Tak Berkelompok Atau

b. Data Berkelompok

Rumus simpangan bakunya menjadi :

Koefisien Variasi

Untuk Populasi

Untuk Sampel

Kemencengan Kurva

Data tak berkelompok :

Data berkelompok :

x100%s

kvx

x100%KV

2k

1i

k

1i

2

NNc

iiii dfdf

S=√ 1n-1 {∑

i=1

n

X i2−

(∑i=1

n

X i)2

n }S=√ 1n {∑

i=1

n

X i2−

(∑i=1

n

X i)2

n }

α 3=1

nS3 ∑i=1

n

( X i−X )3

α 3=c3

S3 {1n∑i=1

k

f i d i3−3( 1

n∑i=1

k

f i d i2)( 1

n∑i=1

k

f i d i)+2( 1n∑i=1

k

f i di)3}

Keruncingan Kurva

Data tak berkelompok :

Data Berkelompok :

Standar Keruncingan

α4=1

nS4 ∑i=1

n

( X i− X )4

α 4=C4

S4 {1n ∑i=1

k

f i di4−4 (1n ∑

i=1

k

f i d i3)(1n ∑

i=1

k

f i di)+6(1n ∑

i=1

k

f i di2)(1n ∑

i=1

k

f i d i)2

−3 (1n ∑i=1

k

f i d i)4}

α 4≤3→ platykurtis (mendatar )α 4=3→mesokurtis(normal )α 4≥3→leptokurtis (meruncing )

ANALISIS KORELASI DAN REGRESI LINEAR SEDERHANA

KOEFISIEN KORELASI (r)

– r= 1 ; Hubungan sempurna kuat positif

– r= -1 ; Hubungan sempurna kuat negatif

– r= 0 ; Tidak ada hubungan

– r mendekati 1 atau -1 maka hubungan semakin kuat

– r mendekati 0 maka hubungan semakin lemah

Koefisien Penentuan = Kekuatan kontribusi X terhadap naik turunnya nilai Y

KP= r2

Koefisien KorelasiKorelasi Linear Sederhana (r) : -1 ≤ r ≤ 1

Rumusnya :

Koefisien Korelasi Data Berkelompok

Rumusnya :

KOEFISIEN KORELASI RANK (PERINGKAT)

Rumusnya :

r=n∑

i=1

n

X i Y i−∑i=1

n

X i∑i=1

n

Y i

√n∑i=1

n

X i2−(∑

i=1

n

X i)2 √n∑

i=1

n

Y i2−(∑

i=1

n

Y i)2

r=n (∑ uvf )−(∑ ufu) (∑ vfv )

√n (∑ u2 f u )−(∑ ufu )2√n (∑ v2 f v )−(∑ vfv )2

r rank=1−6∑ d

i2

n ( n2 -1)

Korelasi Data Kualitatif

Koefisien bersyarat = data kualitatif yang dipergunakan untuk mengukur kuatnya hubungan

(Contingency Coefficient Cc)

Nilai Cc → 0≤Cc<1

Rumusnya :

REGRESI

Regresi Linear Sederhana

Regresi Linear Berganda

Rumus Umum :

k=2→

matriksnya :

bXYa

XXn

YXYXnb

bXaY

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

2

11

2

111

'

Cc=√ χ2

χ2+n

n=∑i=1

p

∑j=1

q

f ij=∑i=1

p

ni .=∑j=1

q

n. j=∑i=1

p

∑j=1

q

nij

χ2=∑i=1

p

∑j=1

q (f ij−e ij )2

eij

Y '=b0+b1 X 1+b2 X2+. ..+bk X k

Y '=b0+b1 X 1+b2 X2

[ n ∑ X1 ∑ X2

∑ X1 ∑ X12 ∑ X1 X2

∑ X2 ∑ X1 X 2 ∑ X22 ] X [b0

b1

b2]=[ ∑Y

∑ X1 Y

∑ X2 Y ]

Regresi Parabola (Fungsi Kuadrat)

Rumus Umum :

matriksnya :

Y '=a+bX +cX2

[ n ∑ X ∑ X 2

∑ X ∑ X2 ∑ X 3

∑ X2 ∑ X3 ∑ X 4 ] X [abc ]=[ ∑Y

∑ XY

∑ X2Y ]

ANALISIS DATA BERKALA

Ada 4 metoda :

1. Metoda Tangan Bebas :

Metoda ini bersifat subyektif.

Kurva yang dihasilkan dapat berbeda tergantung siapa yang membuat trend.

Paling mudah membuatnya.

Paling tidak akurat.

2. Metoda Rata-rata Semi :

Caranya:

Dengan membagi data menjadi 2 kelompok yang jumlahnya sama. Kalau ada 10 data

masing-masing menjadi 5. Kalau ada 9 masing-masing menjadi 4, data ke-5 (yang

tengah) tidak diikutkan.

Masing-masing kelompok dicari rata-ratanya, sehingga didapat titik-titik koordinat dari

kelompok 1 dan 2.

Garis antara dua titik tersebut adalah merupakan trend.

3. Metoda Rata-rata Bergerak

Untuk rata-rata bergerak n waktu, maka urutan rata-rata hitungnya sebagai berikut :

Y 1+Y 2+ .. .+Y n

n,Y 2+Y 3+. ..+Y n+1

n,Y 3+Y 4+. ..+Y n+2

n, .. . dst .

Untuk n=3 maka urutan rata-rata hitungnya :

4. Metoda Kuadrat Terkecil

INDEKS MUSIMAN

Ada 4 metoda :

1. Metoda Rata-rata Sederhana

2. Metoda Relatif Bersambung

3. Metoda Rasio Terhadap Trend Kuadrat Terkecil

4. Metoda Rasio Terhadap Trend Rata-rata Bergerak

ANGKA INDEKS

1. Indeks Harga Relatif Sederhana :

2. Indeks Produksi Relatif Sederhana :

3. Indeks Harga Agregatif Tidak Tertimbang :

4. Indeks Rata-rata Harga Relatif :

5. Indeks Harga Tertimbang :

Y 1+Y 2+Y 3

3,Y 2+Y 3+Y 4

3,Y 3+Y 4+Y 5

3,. . .dst .

I t , o=pt

po

x 100%

I t , o=qt

qo

x100%

I t , o=∑ p t

∑ po

x 100%

I t , o=1n [ ∑ p t

∑ po

x100 % ]I t , o=

∑ p t qo

∑ poqo

x100 %

RUMUS ANGKA INDEKS

• Indeks harga Laspeyres

• Indeks produksi Laspeyres

• Indeks Harga Paasche

• Indeks produksi Paasche

• Indeks Irving Fisher

• Indeks Drobisch

• Indeks Marshal-Edge worth %100x)(

)(t,

too

toot qqp

qqpI

∑i =1

k

Pni Q0i

∑i=1

k

P0i Q0i

*100%

∑i =1

k

Pni Q0i

∑i=1

k

P0i Q0i

*100%

Pt , 0=∑i=1

k

P t Qt

∑i=1

k

P0i Qt

¿100%

Pt , 0=∑i=1

k

P t Qt

∑i=1

k

P t Q0

×100%

L=IndeksLaspeyresP=IndeksPaasche

I=√ LxP

I= L+P2

RESUME MATERI STATISTIK (UAS)

PROBABILITAS

Pengertian Probabilitas

Secara umum probabilitas merupakan peluang bahwa sesuatu akan terjadi. Nilai dari probabilitas

berkisar antara 0 dan 1.

Pendekatan Perhitungan Probabilitas

Pendekatan Klasik

Didasarkan pada asumsi bahwa seluruh hasil dari suatu eksperimen mempunyai kemungkinan

(peluang) yang sama.

Perhitungannya sebagai berikut.

Pendekatan Frekuensi Relatif

Didasarkan atas limit dari frekuensi relatif.

Perhitungannya sebagai berikut.

f i = frekuensi relatif kejadian i

X i= kejadian i

n = total jumlah observasi

x= frekuensi terjadinya kejadian A

n= ukuran sampel (jumlah observasi)

P( A )=xn

P( A )=1−P ( A )

P( X i )=limn→∞

f i

n

BEBERAPA ATURAN DASAR PROBABILITAS

Aturan Penjumlahan

Peluang kejadian saling meniadakan (kejadian di mana jika sebuah kejadian terjadi maka

kejadian tersebut meniadakan kejadian yang lain) :

P( A∪B )=P( A )+P( B)P( A∪B∪C )=( P( A )+P( B )+P (C )P( A1∪ A2∪. ..∪Ak )+P( Ai )

Peluang kejadian yang tidak saling meniadakan

P( A∪B )=P( A )+P( B)−P ( A∩B )

Aturan Perkalian

Peluang kejadian tak bebas/bersyarat → peluang terjadinya suatu kejadian dengan syarat

bahwa kejadian lain sudah terjadi atau akan terjadi :

P( B/ A )=P( A∩B )P( A )

P( A /B )=P( A∩B )P(B )

Peluang kejadian interseksi

P( A∩B )=P( A )P (B / A )=P (B )P( A /B )

Peluang kejadian bebas

PROBABILITAS MARJINAL

Dipakai pada saat beberapa kejadian terjadi bersamaan, di mana kejadian lainnya tersebut

mempengaruhi terjadinya kejadian yang pertama. Rumusnya sebagai berikut.

P( R )=∑ P( Si )P (R /S i)

P( A /B )=( A )P( B/ A )=P(B )P( A∩B )=P( A )⋅P( B)

TEOREMA BAYES

Teori untuk menghitung probabilitas tentang sebab-sebab terjadinya suatu kejadian (causes)

berdasarkan pengaruh yang dapat diperoleh sebagai hasil observasi. Teori ini bertujuan untuk

memecahkan masalah pembuatan keputusan yang mengandung ketidakpastian (decision making under

uncertainty). Rumus Bayes sebagai berikut.

P( Ai / A )=P ( A i )P( A / A i)

∑i=1

k

P( A i) P( A / Ai )

PERMUTASI DAN KOMBINASI

Permutasi ialah suatu urutan beberapa elemen di mana urutan itu penting (AB≠ BA)

m Pm=m!→ Permutasi m obyek diambil m setiap kali

m Px=m!

(m−x )! → Permutasi m obyek diambil x setiap kali

Kombinasi adalah susunan dari beberapa elemen di mana urutan tidak diperhatikan (AB = BA)

m C x=m!

x! (m−x )! → Kombinasi m obyek diambil x setiap kali

DISTRIBUSI TEORITIS

a. Distribusi Binomial

Syarat suatu eksperimen dapat dikatakan eksperimen Binomial:

Banyaknya eksperimen merupakan bilangan tetap.

Setiap eksperimen mempunyai dua hasil yang dikategorikan menjadi "sukses" dan

"gagal".

Probabilitas sukses sama pada setiap eksperimen.

Eksperimen tersebut harus bebas satu sama lain.

Rumusnya sebagai berikut.

pr ( x )= n !x ! (n−x )!

px qn−x

E( X )=np dan Var ( X )=npq

b. Distribusi Poisson

Hampir sama dengan distribusi binomial, hanya saja lebih akurat untuk mengkalkulasikan istribusi

probabilitas dengan kemungkinan sukses ( p) sangat kecil dan jumlah eksperimen (n ) sangat

besar. Rumusnya:

; E( X )= λ ; dan Var ( X )=λ

c. Distribusi Normal

Merupakan distribusi yang secara luas banyak digunakan dalam berbagai penerapan. Beberapa

karakteristik distribusi normal:

Memiliki dua parameter yaitu μ dan σ yang masing-masing menentukan lokasi dan

pr ( x )= λx e− λ

x !

bentuk distribusi.

Titik tertinggi kurva normal berada pada rata-rata.

Distribusi normal adalah distribusi yang simetris.

Simpangan baku (σ ) menentukan lebarnya kurva. Makin kecil σ bentuk kurva

semakin runcing.

Total luas daerah di bawah kurva normal adalah 1.

Jika jarak dari masing-masing nilai X diukur dengan simpangan baku σ , maka kira-

kira 68% berjarak 1σ , 95% berjarak 2σ dan 99% berjarak 3σ .

Rumusnya:

; E( X )=μ ; dan Var ( X )=σ 2

Ketiga distribusi teoritis tersebut tersedia dalam bentuk tabel untuk memudahkan penghitungan

terbatas.

f ( x )= 1σ √2 π

e−1

2 ( x−μσ )2

2.