Interpolasi

Materi Ke- 6

❯❯❯❯❯

Cancel OK

Semoga selalu di garis depan

dalam berkarya nyata B.J. Habibie

Kriteria Capaian

Mahasiswa dapat :

Melakukan analisis interpolasi secara linier (orde 1) dan polinomial (orde 2 atau lebih).

Referensi:

Bambang Triatmodjo, 1992, Metode Numerik, Beta Offset, Yogyakarta (BAB V. Interpolasi)

Definisi

Pada prinsipnya, dalam interpolasi dicari suatu nilai yang berada di antara beberapa titik data yang telah diketahui nilainya.

What’s the Interpolation ?

Jenis Interpolasi : • Linier • Polinomial Orde 2 (Kuadrat) • Polinomial Orde n • Polinomial Lagrange

Regresi vs Interpolasi

Sumbu x

Sumbu y

x3,y3

x1,y1

x2,y2

x4,y4

xn-1,yn-1

xn,yn

GARIS C

GARIS A

GARIS B

Garis mana

yang

Regresi &

Interpolasi ?

Jenis Interpolasi

Sumbu x

Sumbu y

Sumbu x

Sumbu y

Sumbu x

Sumbu y

ORDER 1 ORDER 2

ORDER 3

Interpolasi Linier

Sumbu x

Sumbu y

A

E

C

B D

x x1 x0

f(x)

f(x1)

f(x0)

Prinsip Kesebangunan :

Dari dua segitiga sebangun ABC dan ADE, terdapat hubungan berikut :

01

01

0

01 )()()()(

xx

xfxf

xx

xfxf

)()()(

)()( 0

01

0101 xx

xx

xfxfxfxf

AD

DE

AB

BC

Contoh 1

Dicari nilai ln 2 dengan metode interpolasi linier berdasar data ln 1 = 0, dan ln 6 = 1,7917595. Hitung juga nilai tersebut berdasar data ln 1 dan ln 4 = 1,3862944. Untuk membandingkan hasil yang diperoleh, diketahui nilai eksak dari ln 2 = 0,69314718.

Penyelesaian:

35835190,0)12(16

07917595,10)2(1

f

• Berdasar nilai ln di x0 = 1 dan x1 = 6 • Berdasar nilai ln di x0 = 1 dan x1 = 4

• Besar kesalahan adalah : • Besar kesalahan adalah :

46209813,0)12(14

03862944,10)2(1

f

%3,48%10069314718,0

35835190,069314718,0

x %3,33%100

69314718,0

46209813,069314718,0

x

Interpolasi Polinomial Orde 2

))(()()( 1020102 xxxxbxxbbxf

)( 00 xfb

01

011

)()(

xx

xfxfb

02

01

01

12

12

2

)()()()(

xx

xx

xfxf

xx

xfxf

b

Bentuk umum persamaan :

Dimana koefisien b0, b1, dan b2 dihitung dari :

(x0,y0)

(x1,y1)

(x2,y2)

Contoh 2

Gunakan polinomial order 2 dengan data seperti dalam contoh 1:

Diketahui: • ln 1 = 0, • ln 4 = 1,3862944, dan • ln 6 = 1,7917595

0)( 00 xfb

46209813,014

03862944,1)()(

01

011

xx

xfxfb

051873116,016

46209813,046

3862944,17917595,1

2

b

Penyelesaian:

)4)(1(051873116,0)1(46209813,00)(2 xxxxf Untuk x = 2, maka

56584436,0)2(2 f

Interpolasi Polinomial Orde n

011

0122

011

00

110010

,,...,,

.

.

.

,,

,

......

xxxxfb

xxxfb

xxfb

xfb

xxxxxxbxxbbxf

nnn

nnn

Bentuk umum polinomial order n dan masing-masing nilai koefisien b0, b1, ... , bn adalah :

Interpolasi Polinomial Orde n

Penjabaran cara mencari nilai koefisien b0, b1, ... , bn adalah :

0

02111011

,...,,,...,,,,...,,

,,,,

,

xx

xxxfxxxfxxxxf

xx

xxfxxfxxxf

xx

xfxfxxf

n

nnnnnn

ki

kjji

kji

ji

ji

ji

Bentuk umum polinomial order n dapat ditulis :

01110

012100100

,...,,......

,,,

xxxfxxxxxx

xxxfxxxxxxfxxxfxf

nnn

Interpolasi Polinomial Orde n

Contoh langkah sistematis pembagian beda hingga sampai order 3 :

i xi f(xi) ke-1 ke-2 ke-3

0 x0 f(x0) f[x1, x0] f[x2, x1,x0] f[x3, x2, x1, x0]

1 x1 f(x1) f[x2, x1] f[x3, x2, x1]

2 x2 f(x2) f[x3, x2]

3 x3 f(x3)

Contoh 3

Gunakan polinomial order 3 dengan data seperti dalam contoh 1:

Diketahui: • ln 1 = 0, • ln 4 = 1,3862944, dan • ln 6 = 1,7917595 • ln 5 = 1,6094379

Penyelesaian:

21031020103 xxxxxxbxxxxbxxbbxf

Pembagian beda hingga pertama dihitung dengan persamaan sbb:

46209813,014

03862944,1, 01

xxf

20273255,046

3862944,17917595,1, 12

xxf

Contoh 3 (Lanjutan)

18232160,065

7917595,16094379,1, 23

xxf

Pembagian beda hingga kedua dihitung dengan persamaan sbb:

051873116,016

46209813,020273255,0,, 012

xxxf

020410950,045

20273255,018232160,0,, 123

xxxf

Pembagian beda hingga ketiga dihitung dengan persamaan sbb:

0078655415,015

)051873116,0(020410950,0,,, 0123

xxxxf

6410078655415,0

41051873116,0146209813,003

xxx

xxxxf

Langkah selanjutnya diserahkan ke mahasiswa...

Interpolasi Polinomial Lagrange

n

i

iin xfxLxf0

)()()(

ji

jn

ijj

ixx

xxxL

0

)(

Bentuk umum polinomial Lagrange order n adalah :

dengan :

dimana simbol merupakan perkalian.

Interpolasi Polinomial Lagrange

Bentuk umum polinomial Lagrange order 1 adalah :

1

0

1 )()()(i

ii xfxLxf

10

10 )(

xx

xxxL

)()()()()( 11001 xfxLxfxLxf

ji

j

ijj

ixx

xxxL

1

0

)(

01

01 )(

xx

xxxL

dengan :

Interpolasi Polinomial Lagrange

Bentuk umum polinomial Lagrange order 2 adalah :

2

0

2 )()()(i

ii xfxLxf

20

2

10

10 )(

xx

xx

xx

xxxL

)()()()()()()( 2211002 xfxLxfxLxfxLxf

ji

j

ijj

ixx

xxxL

2

0

)(

21

2

01

01 )(

xx

xx

xx

xxxL

12

1

02

02 )(

xx

xx

xx

xxxL

dengan :

Interpolasi Polinomial Lagrange

Bentuk umum polinomial Lagrange order 3 adalah :

dengan :

3

0

3 )()()(i

ii xfxLxf

30

3

20

2

10

10 )(

xx

xx

xx

xx

xx

xxxL

)()()()()()()()()( 332211003 xfxLxfxLxfxLxfxLxf

ji

j

ijj

ixx

xxxL

3

0

)(

31

3

21

2

01

01 )(

xx

xx

xx

xx

xx

xxxL

32

3

12

1

02

02 )(

xx

xx

xx

xx

xx

xxxL

23

2

13

1

03

03 )(

xx

xx

xx

xx

xx

xxxL