Post on 27-Mar-2016
description
mmittajs874.blogspot.com
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HAMKA
PUTARAN (ROTASI)
Definisi : Sebuah sudut berarah adalah suatu sudut yang salah satu kakinya ditentukan sebagai kaki awal dan kaki yang lain sebagai kaki akhir.
Lambang ABC adalah untuk sudut berarah dengan kaki awal dan kaki akhir .
Untuk melambangkan besarnya sebuah sudut berarah kita tentukan hal-hal berikut :
m ( ABC) = m (ABC) apabila orientasi ganda (BAC) adalah positif
m ( ABC) = - m (ABC) apabila orientasi ganda (BAC) adalah negatif
Apabila ABC sebuah sudut, maka ABC = CBA sehingga m ( ABC) = m ( CBA).
Tetapi untuk sebuah sudut berarah ABC, berlaku m ( ABC) = - m ( CBA). Ini
disebabkan orientasi ganda (BAC) selalu lawan orientasi ganda (BCA).
Apabila ada dua garis berpotongan yang tidak tegak lurus, sudut antara dua garis itu kita
pilih sudut lancip. Sebab ada dua pasang sudut bertolak belakang, satu pasang lancip dan
satu pasang tumpul.
Pada gambar 11.2 besarnya sudut antara garis s dan garis t adalah 70 sedangkan
besarnya sudut antara s dan u adalah 80.
Kita sekarang akan lebih merinci sudut antara dua garis sebagai berikut. Andaikan garis
s dan garis t berpotongan dititik A (gambar 11.3). andaikan P sebuah titik pada s
sedangkan B dan C dua titik t sehingga A terletak antara B dan C. Jika PAB lancip, maka
C
B
A
m ( ABC) = 45
C
A B
m ( CBA) = - 45
G
H I
m ( GHI) = 150
u t
s 70
30
Gambar 11.2
C
A
P
B
Gambar 11.3
mmittajs874.blogspot.com
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HAMKA
dikatakan bahwa sudut dari s ke t adalah PAB. Jika PAB tumpul, maka sudut dari s ke
t adalah PAC.
Pada gambar 11.3 jika m( PAB) = 150, maka besarnya sudut dari s ke t adalah m( PAC)
= -30 sedangkan besarnya sudut dari t ke s adalah m( CAP)= 30.
Pada gambar 11.4 anda dapat melihat bahwa :
1. Sudut dari s ke t : m( APB) = 70
2. Sudut dari s ke u : m( DPC) = -80
3. Sudut dari u ke t : m( CPB) = -30
Sehingga dapat dikatakan bahwa sudut berarah dari satu garis ke garis lain dapat
berkisar antara -90 hingga 90. Sedangkan sudut antara dua garis dapat berkisar antara 0
dan 90.
Dengan didasari oleh sudut-sudut berarah diatas kita sekarang dapat menyelidiki lebih
lanjut hasilkali reflexi-reflexi yang sumbu-sumbunya tidak saling tegak lurus dan juga
tidak sejajar. Sifat ini dituangkan dalam teorema berikut.
Teorema 11.1 : Andaikan s dan t dua garis yang tidak saling tegak lurus dan yang berpotongan di titik A. Andaikan P dan Q dua titik yang berlainan dengan A, maka m(
PAP) = m( QAQ) dengan P = MtMs (P) dan Q = MtMs (Q)
Bukti :
Kasus 1 . Andaikan P dan K terletak pada garis s (gambar 11.5.a)
maka MtMs (A) = A. Sebut peta ini A, jadi A = A, oleh karena MtMs sebuah isometri, maka
P, K dan A = A terletak pada satu garis yang melalui A. sehingga m( PAP) = m (
KAK).
Kasus 2. Apabila P s dan karena besar sudut-sudut tidak berubah terhadap isometri
maka m( PAK) = m( PAK)
u t
D
C B P
s A
F E
70
30
Gambar 11.4
mmittajs874.blogspot.com
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HAMKA
Oleh karena komposit dua refleksi garis adalah sebuah isometri langsung maka orientasi
ganda (APK) sama dengan orientasi ganda (APK)
Jadi m ( PAK) = m( PAK).
Apabila kedudukan P seperti dalam gambar 11.5.b maka m( PAP) = m(PAK) + m(
KAP). Sedangkan m( KAK) = m( KAP) + m(PAK). Sehingga m( PAP) = m(
KAK)
Kasus 3. Dengan cara yang serupa untuk kedudukan P seperti pada gambar 11.5.c, dapat
pula dibuktikan bahwa m( PAP) = m( KAK)
Jadi dapat disimpulkan bahwa :
Untuk setiap titik P A kita peroleh : m( PAP) = m( KAK)
Begitu pulan untuk titik Q : m( QAQ) = m( KAK)
Sehingga m( QAQ) = m( PAP)
Jadi oleh transformasi MtMs setiap titik terputar dengan sudut berarah yang sama
mengelilingi titik yang sama.
Definisi 2 : Andaikan A sebuah titik dan sebuah bilangan yang memenuhi -180 < < 180. Sebuah rotasi mengelilingi A adalah sebuah padanan RA : V V yang ditentukan
sebagai berikut :
1. RA (A) = A
2. Jika P A maka RA (P) = P sehingga m( PAP) = dan AP = AP.
Teorema 11.2 : Jika s dan t dua garis yang tidak tegak lurus dan yang berpotongan di A dan jika sudut antara garis s ke garis t adalah , maka RA = MtMs
Bukti :
Andaikan sebuah titik P A dan titik K A pada s. andaikan K = MtMs (K) maka m(
KAK) = 2 x = . Jika P = MtMs (P) maka menurut teorema 11.1 m( PAP) = m(
KAK) sehingga m( PAP) =
Berhubung A = MtMs (A) = A dan berhubung MtMs sebuah isometri maka PA = PA atau
PA = PA. menurut ketentuan maka MtMs = RA .
Menurut teorema diatas, komposit dua refleksi terhadap dua garis yang berpotongan
tidak tegak lurus adalah sebuah rotasi dengan titik potong kedua garis itu sebagai pusat.
mmittajs874.blogspot.com
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HAMKA
Jika kaki-kaki sudut dan membentuk dua sinar yang berlawanan arah, sehingga
misalnya (CBA), kita juga dapat mengatakan bahwa adalah ABC dengan
ukuran 180.
Kita dapat pula menulis m( ABC) = 180 atau m( ABC) = -180.
Dengan perluasan konsep sudut ini, kita juga dapat mendefinisikan rotasi dengan sudut
berukuran 180 atau 180. Maka rotasi demikian tidak lain suatu setengah putaran.
Sehingga dapat dikatakan bahwa
Akibat 1 : Hasilkali dua refleksi pada 2 garis adalah suatu rotasi atau suatu translasi. Oleh
karena setiap rotasi dapat diuraikan sebagai dua refleksi garis maka,
Akibat 2 : Setiap rotasi adalah suatu isometri langsung.
Contoh : Jika RA sebuah rotasi yang memetakan P pada P, tentukanlah dua pasang garis
yang dapat digunakan sebagai sumbu-sumbu refleksi sehingga komposit refleksi-refleksi
ini adalah rotasi yang diketahui.
Penyelesaian:
1. Andaikan s = , t adalah garis bagi PAP. Andaikan besarnya sudut dari s ke t
adalah maka RA = MtMs
2. Andaikan u = dan v sebuah garis yang melalui A sehingga besarnya sudut dari
u ke v adalah q maka juga RAQ = MvMu.
Komposisi (hasilkali) putaran
Teorema 11.3 : Hasilkali dua rotasi adalah sebuah rotasi atau sebuah translasi.
Bukti :
Andaikan ada rotasi RA,1 dan rotasi RB,z . Tarik garis s = , Jika m( XAY) = m( XAZ)
= , maka RA,1 = MsMt dan RB,z = MuMg. Jadi RB,z RA,1 = (MuMg)( MsMt ) = MuMt
Apabila u//t maka RB,2 RA,1adalah suatu geseran. Kalau u dan t berpotongan di C maka
MuMt adalah suatu rotasi yang berpusat di C.
Andaikan RC = RB,2 RA,1 hubungan apakah yang terdapat antara , 1 dan 2 ?
Dari gambar 11.10 kita lihat bahwa m( ABC) = 2 sedangkan m( BAC) = 1
Dengan demikian m( PCB) = (1 + 2 ) . Ini berarti bahwa sudut dari t ke u adalah
(1 + Z ), sehingga 2 = 1 + 2 .
Jika 1 + 2 > 180 maka = (1 + 2 ) 360
Sebagai gambaran, andaikan 2 = 140 dan 1 = 60. Dalam hal ini m( ACB) = 80 dan
m( PCB) = 100. Oleh karena m( ACB) = - 80 maka sudut dari t ke u adalah -80; jadi
= -160. Perhatikan bahwa -160 = (1 + 2 ) 360.
mmittajs874.blogspot.com
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HAMKA
KOMPOSISI (HasilKali) PUTARAN
Hasilkali atau komposisi dua putaran dengan satu pusat adalah sebuah putaran
dengan pusat yang sama disebut transformasi identitas. Transformasi identitas ini dapat
dianggap sebagai sebuah putaran pula dengan sudut putar sebesar 0. Jadi dapat
dikatakan bahwa himpunan putaran-putaran mengelilingi titik yang sama adalah
tertutup terhadap komposisi.
Teorema 11.3 : Hasilkali dua rotasi adalah sebuah rotasi atau sebuah translasi.
Pembuktian:
Andaikan terdapat rotasi ,1 dan rotasi , . Tarik garis s = , jika m( XAY) = m(
XAZ) = 2 maka ,1 = dan , = . Jadi , ,1 = ()( ) =
.
Apabila u//t maka adalah suatu rotasi yang berpusat di C. Andaikan , =
,2,1 . hubungan apakah yang terdapat antara 2 2 ?
Dari gambar 11.10 kita lihat bahwa m( ABC) = 2 sedangkan m( BAC) = 1 .
dengan demikian m( PCB) = (1 + 2). Ii berarti bahwa sudut dari t ke u adalah
(1 + Z). sehingga 2 = 1 + 2 .
Jika 1 + 2 > 180 maka = (1 + 2 ) 360.
Sebagai gambaran, andaikan 2 = 140 dan 1 = 60. Dalam hal ini m(< ACB) = 80 dan
m(< PCB) = 100. Oleh karena m( ACB) = - 80 maka sudut dari t ke u adalah 80. Jadi,
= - 160. Sehingga 160 = (1 + 2 ) 360