Post on 23-Jan-2020
REDUKSI ORDE MODEL PADA SISTEM LINIER WAKTU KONTINUDENGAN METODE PEMOTONGAN SETIMBANG
SKRIPSI
ADILAH RISYA RAHMI
PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKADEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGIUNIVERSITAS AIRLANGGA
2015
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi REDUKSI ORDE MODEL PADA SISTEM LINIER WAKTU KONTINU DENGAN METODE PEMOTONGAN SETIMBANG
ADILAH RISYA RAHMI
REDUKSI ORDE MODEL PADA SISTEM LINIER WAKTU KONTINUDENGAN METODE PEMOTONGAN SETIMBANG
SKRIPSI
Sebagai Salah Satu Syarat untuk MemperolehGelar Sarjana Sains Bidang Matematika
Pada Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Airlangga
Disetujui oleh:
Pembimbing I Pembimbing II
Dr. Fatmawati, M.Si. Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si.NIP. 19730704 199802 2 001 NIP. 19640103 198810 1 001
ii
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi REDUKSI ORDE MODEL PADA SISTEM LINIER WAKTU KONTINU DENGAN METODE PEMOTONGAN SETIMBANG
ADILAH RISYA RAHMI
LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI
Judul : Reduksi Orde Model pada Sistem Linier Waktu Kontinudengan Metode Pemotongan Setimbang
Penyusun : Adilah Risya RahmiNIM : 081112013Pembimbing I : Dr. Fatmawati, M.Si.Pembimbing II : Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si.Tanggal Ujian : 11 November 2015
Disetujui oleh:
Pembimbing I Pembimbing II
Dr. Fatmawati, M.Si. Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si.NIP. 19730704 199802 2 001 NIP. 19640103 198810 1 001
Mengetahui:Ketua Departemen MatematikaFakultas Sains dan Teknologi
Universitas Airlangga
Dr. Miswanto, M.Si.NIP. 19680204 199303 1 002
iii
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi REDUKSI ORDE MODEL PADA SISTEM LINIER WAKTU KONTINU DENGAN METODE PEMOTONGAN SETIMBANG
ADILAH RISYA RAHMI
PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI
Skripsi ini sudah dipublikasikan, namun juga tersedia di perpustakaan dalamlingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensikepustakaan, tetapi pengutipan harus seijin penyusun dan harus menyebutkansumbernya sesuai kebiasaan ilmiah.
Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga
iv
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi REDUKSI ORDE MODEL PADA SISTEM LINIER WAKTU KONTINU DENGAN METODE PEMOTONGAN SETIMBANG
ADILAH RISYA RAHMI
KATA PENGANTAR
Õæ��������k�QË@ áÒ��������k�QË@ é��������
�ÊË @ Õæ���������K.
Alhamdulillah, puji syukur penulis ucapkan kepada Allah S.W.T atas segala
nikmat dan hidayah-Nya sehingga penulis mampu menyelesaikan skripsi yang
berjudul ”Reduksi Orde Model pada Sistem Linier Waktu kontinu dengan Metode
Pemotongan Setimbang”. Semoga Allah senantiasa memberikan karunia, nikmat,
taufik, serta hidayah-Nya kepada kita semua sehingga setiap langkah dan perjalanan
selalu mendapat ridho dan kemudahan dariNya. Sholawat dan salam semoga
selalu tercurahkan kepada nabi Muhammad SAW yang telah menunjukkan jalan
kebenaran kepada kita semua.
Dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada
semua pihak yang telah mendukung sehingga terselesaikannya skripsi ini. Ucapan
terima kasih penulis ucapkan kepada:
1. Dr. Miswanto, M.Si. selaku Ketua Departemen Matematika Fakultas Sains
dan Teknologi Universitas Airlangga.
2. Dr. Fatmawati, M.Si. selaku pembimbing I dan Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si.
selaku dosen pembimbing II skripsi yang senantiasa nmencurahkan segenap
ilmu, waktu, dan tenaga untuk memberikan bimbingan, arahan, masukan
yang sangat berharga dan bermanfaat kepada penulis.
3. Dr. Herry Suprajitno, M.Si. selaku dosen wali yang selalu memberikan
motivasi dan arahan selama penulis belajar di program studi S1-Matematika
Departemen Matematika.
4. Dra. Utami Dyah Purwati, M.Si. selaku dosen penguji III dan Drs. Edi
Winarko, M.Cs. selaku dosen penguji IV yang telah memberikan masukan
yang bermanfaat kepada penulis.
v
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi REDUKSI ORDE MODEL PADA SISTEM LINIER WAKTU KONTINU DENGAN METODE PEMOTONGAN SETIMBANG
ADILAH RISYA RAHMI
5. Umi, Buya, Mbak Zafi yang di Jogja, Rahma yang di Padang, dan si kembar
(Armi dan Amri) serta keluarga besar yang telah memberikan doa, dukungan,
motivasi dan semangat kepada penulis selama ini.
6. Saudari-saudariku seperjuangan di jalan Allah SWT. Mbak Dhyna, Niken,
Hima, Mimin, Mbak Risa, Mbak Naning, Mbak Lail, Indah, Mbak Indah,
Elima, Iin, Erlin, Laila, Dewi, Devi, Ari, Salis, Ratna, Mbak Arista, Mbak
Nunung, dan masih banyak lagi yang belum tercantumkan.
7. Teman-teman ”RP” mulai dari Mbak Ninggar, Mbak Kunti, Ayundut, Nandut,
Zaimah, Empang, dan Nance yang membuat rame grup line. Sesama pejuang
Aljabar: Mawa, Nandut, dan Lina. Teman jalan-jalan dan menemani konsul:
Meiyn.
8. Teman-teman kos yang selalu memberikan semangat, Feri, Mbak Ira, Ratih,
Elma, dik Indah, Mbak Risa, Niken, dan Putri.
9. Teman-teman KKN-BM 51 Desa Gondang Wetan Kab. Nganjuk: Sudrajat,
Irfan, Deni, Agus, Kiki, Bella, Sari, Ade, Nining, dan Lucky yang secara
tidak langsung memberikan semangat bagi penulis.
10. Keluarga besar Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UNAIR angkatan
2011 yang telah memberikan warna, pengalaman dan cerita selama menjalani
perkuliahan, semoga ilmu yang kita peroleh barokah dan mampu menjadi
amal jariyah kita di surga kelak.
Penulis menyadari bahwa dalam skripsi ini masih banyak kekurangan. Oleh
karena itu, kritik dan saran yang bersifat konstruktif dari semua pihak sangat
dibutuhkan untuk perbaikan penulis dimasa mendatang. Semoga skripsi ini dapat
memberi manfaat kepada kita semua.
Penulis,
Adilah Risya Rahmi
vi
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi REDUKSI ORDE MODEL PADA SISTEM LINIER WAKTU KONTINU DENGAN METODE PEMOTONGAN SETIMBANG
ADILAH RISYA RAHMI
Adilah Risya Rahmi, 2015, Reduksi Orde Model pada Sistem Linier Waktu Kontinudengan Metode Pemotongan Setimbang. Skripsi ini di bawah bimbingan Dr.Fatmawati, M.Si. dan Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si., Departemen Matematika,Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga.
ABSTRAK
Pada skripsi ini terdapat dua pokok permasalahan, yaitu mengkonstruksi reduksiorde model pada sistem linier waktu kontinu dengan metode pemotongan setimbangdan mengimplementasikan hasil reduksi orde model pada permasalahan konduksipanas. Pada pembahasan ini, sistem linier waktu kontinu berorde n bersifattidak stabil asimtotis tetapi terstabilkan dan terdeteksi. Reduksi orde modelpada sistem linier waktu kontinu yang tidak stabil asimtotis dapat direduksimelalui dekomposisi sistem yang mempartisi sistem menjadi subsistem yang stabilasimtotis dan subsistem yang tidak stabil asimtotis. Metode pemotongan setimbangdilakukan pada subsistem yang stabil asimtotis sehingga diperoleh sistem tereduksiyang bersifat setimbang, stabil asimtotis, terkendali dan terobservasi. Subsistemstabil asimtotis yang telah tereduksi dijumlahkan pada subsistem yang tidak stabilasimtotis sehingga menghasilkan sistem tereduksi secara keseluruhan. Sistemtereduksi secara keseluruhan bersifat terstabilkan dan terdeteksi. Selanjutnya,sebagai studi kasus, sistem tereduksi dari sistem semula yang tidak stabil asimtotistetapi terstabilkan dan terdeteksi akan diterapkan pada permasalahan konduksipanas.
Kata kunci: dekomposisi sistem, pemotongan setimbang, reduksi orde model, sistemlinier, waktu kontinu.
vii
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi REDUKSI ORDE MODEL PADA SISTEM LINIER WAKTU KONTINU DENGAN METODE PEMOTONGAN SETIMBANG
ADILAH RISYA RAHMI
Adilah Risya Rahmi, 2015, Model Order Reduction for Continuous Time LinearSystems by Using Balanced Truncation. This undergraduate thesis was supervisedby Dr. Fatmawati, M.Si. and Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si., Department ofMathematics, Faculty of Science and Technology, Airlangga University.
ABSTRACT
In this thesis there are two principal problems, namely constructing modelorder reduction in continuous time linear systems with balanced truncation andimplement the results of the model order reduction of heat conduction problem.In this thesis, we assume that continuous time linear systems of n-order isunstable assymtotes but stabilized and detectized. Model order reduction incontinuous time linear systems unstable asymptotically can be reduced throughthe decomposition of the system that partitioning system into stable subsystemand unstable subsystem. Balanced truncation methods performed on stablesubsystems to obtain irreducible system with equilibrium feature, asymptoticallystable, controlled and observed. Asymptotically stable subsystems that have beenreduced accrued to the asymptotically unstable subsystem until producing wholereduced system. The characteristic of reduced systems have stabilized and detectedcharacteristic. Futhermore, the case study for asymptotically unstable subsystembut stabilized and detectized with balanced truncation applied in heat conductionproblems.
Keywords: balanced truncation, continuous time, decomposition systems, linearsystems, reduction of order model.
viii
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi REDUKSI ORDE MODEL PADA SISTEM LINIER WAKTU KONTINU DENGAN METODE PEMOTONGAN SETIMBANG
ADILAH RISYA RAHMI
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
LEMBAR PERNYATAAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
LEMBAR PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii
DAFTAR LAMPIRAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
BAB I PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5. Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1. Ruang Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3. Sistem Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
ix
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi REDUKSI ORDE MODEL PADA SISTEM LINIER WAKTU KONTINU DENGAN METODE PEMOTONGAN SETIMBANG
ADILAH RISYA RAHMI
2.4. Transformasi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5. Sifat Dasar Pada Sistem Linier Waktu Kontinu . . . . . . . . . 12
2.6. Persamaan Lyapunov Sistem Linier Waktu Kontinu . . . . . . 15
BAB III METODE PENELITIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1. Dekomposisi Sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2. Reduksi Orde Model dengan Metode Pemotongan Setimbang . 18
4.2.1. Realisasi Setimbang dari Subsistem Stabil . . . . . . . . 18
4.2.2. Metode Pemotongan Sistem Setimbang pada SubsistemStabil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2.3. Sifat Sistem Tereduksi dari Subsistem Stabil Asimtotis . 22
4.3. Sifat Sistem Tereduksi secara Keseluruhan. . . . . . . . . . . . 24
4.4. Studi Kasus pada Konduksi Panas. . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4.1. Hasil Simulasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.1. Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2. Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
LAMPIRAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
x
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi REDUKSI ORDE MODEL PADA SISTEM LINIER WAKTU KONTINU DENGAN METODE PEMOTONGAN SETIMBANG
ADILAH RISYA RAHMI
DAFTAR TABEL
Nomor Judul Halaman
4.1 Nilai eigen matriks Ars1 dari subsistem tereduksi orde 8 . . . . . . . . 34
xi
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi REDUKSI ORDE MODEL PADA SISTEM LINIER WAKTU KONTINU DENGAN METODE PEMOTONGAN SETIMBANG
ADILAH RISYA RAHMI
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Halaman
4.1 Proses pendiskritan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Sumber panas pada setiap partisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 Respon frekuensi pada sistem stabil asimtotis . . . . . . . . . . . . . 36
4.4 Respon frekuensi pada sistem tidak stabil asimtotis. . . . . . . . . . . 36
xii
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi REDUKSI ORDE MODEL PADA SISTEM LINIER WAKTU KONTINU DENGAN METODE PEMOTONGAN SETIMBANG
ADILAH RISYA RAHMI
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor Judul
xiii
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi REDUKSI ORDE MODEL PADA SISTEM LINIER WAKTU KONTINU DENGAN METODE PEMOTONGAN SETIMBANG
ADILAH RISYA RAHMI