Rancangan FaktorialFactorial Design

By : Ika Damayanti, SSi, MSi

Rancangan Faktorial

Rancangan faktorial digunakan untuk menyelidikisecara bersamaan efek beberapa faktor berlainan. Terdapat efek kombinasi dari beberapa faktorDisebut rancangan faktorial karena : hampir semua faktor dikombinasikan ataudisilangkan dengan hampir semua taraf tiap faktorlainnya yang ada dalam eksperimen.

Rancangan Faktorial

Berdasarkan adanya banyak taraf dalam tiap faktor, eksperimen ini sering diberi nama denganmenambahkan perkalian antara banyak taraf faktoryang satu dengan lainnya.Jika ada a level dari faktor A dan b level dari faktor B, maka terdapat ab kombinasi perlakuan.Misal dalam eksperimen terdapat 2 faktor, terdiri atas4 taraf dan 3 taraf, maka diperoleh percobaanfaktorial 4x3

Organisasi Data untuk Desain Faktorial 2 Faktor

nyyy

11

112111

......,,

ny

yy

12

122121

......,,

bn

bb

yyy

1

2111

......,,

nyyy

21

212211

......,,

ny

yy

22

222221

......,,

bn

bb

yyy

2

2212

......,,

na

aa

yyy

1

1211

......,,

na

aa

yyy

2

2221

......,,

abn

abab

yyy

......,, 21

1

2Faktor A

M

a

Faktor B 1 2 … b

Model dari efek tetap:

a Level faktor diambil dari A faktor yang tetap, b level faktor diambildari B faktor yang tetap.

Model dari pengamatan ini adalah :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

∈++++=nkbjai

y ijkijjiijk

,...,2,1,...,2,1,...,2,1

)(τββτµ

µ = rata-rata umum

iτ = efek dari level ke-i dari faktor A

jβ = efek dari level ke-j dari faktor B

ij)(τβ = efek dari interaksi antara iτ dan jβ

ijk∈ = komponen random error

Hipotesis

00 == iH τ (tidak terdapat efek dari faktor A) 01 ≠= iH τ

00 == jH β (tidak terdapat efek dari faktor B)

01 ≠= jH β

0)(0 == ijH τβ (tidak terdapat efek interaksi)

0)(1 ≠= ijH τβ

ANOVASumber Variasi Sum of Squares df Mean Square F Perlakuan A

abny

bny

SSa

iA

i2...

1

2.. −=∑

=

a-1

1−=

aSS

MS AA

E

A

MSMS

Perlakuan B

abny

any

SSb

j

jB

2...

1

2.. −=∑

=

b-1

1−=

bSS

MS BB

E

B

MSMS

Interaksi BAsubtotalAB SSSSSSSS −−= dengan :

∑∑= =

−=a

a

b

j

ijsubtotal abn

yn

ySS

1

2...

1

2.

(a-1)(b-1) )1)(1( −−

=ba

SSMS AB

AB E

AB

MSMS

Error BAABTE SSSSSSSSSS −−−= atau

subtotalTE SSSSSS −=

ab(n-1) )1( −

=nab

SSMS E

E

Total ∑∑∑= = =

−=a

a

b

j

n

kijkT abn

yySS

1

2...

1 1

2 abn-1

Model dari efek randoma Level faktor A dan b level faktor B diambil dari faktor

yang random.

Model dari pengamatan ini adalah :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

∈++++=nkbjai

y ijkijjiijk

,...,2,1,...,2,1,...,2,1

)(τββτµ

µ , iτ , jβ , ij)(τβ , ijk∈ merupakan variabel random

Hipotesis

020 == τσH (tidak terdapat efek dari faktor A)

021 ≠= τσH

02

0 == βσH (tidak terdapat efek dari faktor B)

021 ≠= βσH

02

0 == τβσH (tidak terdapat efek interaksi)

021 ≠= τβσH

!!!! Perhatikan bahwa : ANOVA pada efek random dikerjakan sama dengan efek tetap

Model Efek Mixed (Campuran)

Jika A merupakan faktor tetap, dan B merupakanfaktor random.

Model dari pengamatan ini adalah :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

∈++++=nkbjai

y ijkijjiijk

,...,2,1,...,2,1,...,2,1

)(τββτµ

Hipotesis

00 == iH τ (tidak terdapat efek dari faktor A) 01 ≠= iH τ

02

0 == βσH (tidak terdapat efek dari faktor B)

021 ≠= βσH

02

0 == τβσH (tidak terdapat efek interaksi)

021 ≠= τβσH

Perhitungan ANOVA & Uji F

Untuk perhitungan ANOVA, nilai SS, MS sama seperti model efek tetap.Yang berbeda adalah pengujian F-nya. Perhatikan :

• untuk hipotesis 00 == iH τ

AB

A

MSMS

F =

• untuk hipotesis 02

0 == βσH

E

B

MSMS

F =

• untuk hipotesis 02

0 == τβσH

E

AB

MSMS

F =

Contoh Latihan

Example 6-1. (Montgomerry, 1976, pg. 129)Or Example 5-1 (Montgomerry, 2001, pg. 180)

Rancangan Faktorial UmumRancangan faktorial 2 faktor, bisa digeneralisasimenjadi bentuk umum dengan a level dari faktor A, blevel dari faktor B, c level dari faktor C, dst…Sehingga secara umum terdapat abc…n observasi, jika terdapat n pengulangan.

Rancangan Faktorial 3 FaktorModel dari pengamatan ini adalah :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

====

∈++++++++=

nlckbjai

y ijklijkjkikijkjiijk

,....,2,1,...,2,1,...,2,1,...,2,1

)()()()( τβγβγτγτβγβτµ

µ = rata-rata umum

iτ = efek dari level ke-i dari faktor A

jβ = efek dari level ke-j dari faktor B

kγ = efek dari level ke-k dari faktor C

ij)(τβ = efek dari interaksi antara iτ dan jβ

ij)(τβγ = efek dari interaksi antara iτ , jβ dan lγ

ijkl∈ = komponen random error

ANOVA untuk Rancangan Faktorial 3 FaktorSumber Variasi

Sum of Squares df Mean Square F

A abcny

bcny

SSa

iA

i2....

1

2... −=∑

=

a-1

1−=

aSS

MS AA

E

A

MSMS

B abcny

acny

SSb

j

jB

2....

1

2... −=∑

=

b-1

1−=

bSS

MS BB

E

B

MSMS

C abcny

abnySS

c

k

kC

2....

1

2... −=∑

=

c-1

1−=

CSSMS C

C E

C

MSMS

AB BA

a

a

b

j

ijAB SSSS

abcny

cny

SS −−−=∑∑= =1

2....

1

2..

(a-1)(b-1) )1)(1( −−

=ba

SSMS AB

AB E

AB

MSMS

AC CA

a

a

c

k

kiAC SSSS

abcny

bnySS −−−=∑∑

= =1

2....

1

2..

(a-1)(c-1) )1)(1( −−

=ca

SSMS ACAC

E

AC

MSMS

BC CB

b

j

c

k

jkBC SSSS

abcny

any

SS −−−=∑∑= =1

2....

1

2..

(b-1)(c-1) )1)(1( −−

=cb

SSMS BCBC

E

BC

MSMS

ABC

BCACABCBA

a

i

b

j

c

k

ijkABC

SSSSSSSSSSSSabcny

ny

SS

−−−−−−

+−=∑∑∑= = =1

2....

1 1

2.

(a-1)(b-1)(c-1) )1)(1)(1( −−−

=cba

SSMS ABCABC

E

ABC

MSMS

Error )( ABCsubtotalTE SSSSSS −= abc(n-1) )1( −

=nabc

SSMS EE

Total ∑∑∑∑= = = =

−=a

a

b

j

c

k

n

lijklT abcn

yySS

1

2....

1 1 1

2 abcn-1

Contoh Latihan :

Example 6-3. (Montgomerry, 1976, pg. 145)Or Example (Montgomerry, … 2001, pg… )