I KETUT GORDE YASE MAS, IR.MS.

Laboratorium Biometrika

Fakultas Peternakan, UNDIP

PENDAHULUAN

Pada percobaan satu faktor, pelaksanaan percobaan menggunakan rancangan dasar RAL, RAK, RBSL, dsb. Untuk percob. yg ta lebih dari satu faktor yg disebut sebagai percobaan faktorial, kita tetap menggunakan rancangan dasar tsb.

Satu faktor terdiri atas beberapa perlakuan yg dikenal seba-gai taraf faktor

Dalam percobaan faktorial ada beberapa kombinasi perla-kuan yg merupakan gabungan dari taraf faktor yg diamatipengaruhnya.

Asumsi dasar yg perlu ditegakkan dalam penggunaan faktorial adalah adanya interaksi antar taraf faktor.

Percobaan faktorial adl suatu percobaan mengenai sekumpulan perlakuan yg terdiri atas semua kombinasi yg mungkin dari taraf beberapa faktor.

Keuntungan dari Percobaan Faktorial

Lebih efisien dalam menggunakan sumber-sumber yg ada

Informasi yg diperoleh lebih komprehensif, karena kitamempelajari berbagai interaksi yg ada

Hasil percobaan dapat diterapkan dalam suatu kondisi yglebih luas karena kita mempelajari kombinasi dari berbagaifaktor

Konsekuensinya dari beberapa keuntungan diatas adl ana -lisis statistiknya menjadi lebih kompleks, kesulitan dalammenyediakan materi percobaan yg homogen dan pembo-rosan sumber daya yg ada, pengaruh kombinasi perlakuantertentu yg tidak diinginkan.

Pengertian : Pengaruh Sederhana (Simple Effects)Pengaruh Utama (Main Effects)Interaksi (Interactions)

FAKTORVARIETAS

(B)

FAKTOR PEMUPUKAN (A)

a₁ a₂

Rata-rata

(a₂ - a₁)

b₁

b₂

10 40

15 55

25 30

35 40

Rata-rata

(b₂ - b₁)

12,5 47,5

5 15

30 35

10

Pengaruh Sederhana (Simple Effects)

Berdasarkan data dalam tabel kita bisa menghitung pengaruh sederhana faktor A pada taraf tertentu dari faktor B, serta pengaruh sederhana faktor B pada taraf ter tentu dari faktor A.

(1).Pengaruh sederhana faktor A pada taraf b₁ = a₂b₁ - a₁b₁ =40 – 10 = 30

(2).Pengaruh sederhana faktor A pada taraf b₂= a₂b₂ - a₁b₂ = 55 – 15=40

(3).Pengaruh sederhana faktor B pada taraf a₁ = a₁b₂ - a₁b₁ = 15 – 10 = 5

(4).Pengaruh sederhana faktor B pada taraf a₂= a₂b₂ - a₂b₁ = 55 – 40 = 15Jadi pengaruh sederhana adl pengaruh dari suatu faktor tertentu pada taraf tertentu dari faktor lain

Pengaruh Utama (Main Effects)

Merupakan rata-rata dari pengaruh sederhana.

Berdasarkan tabel diatas, maka :

(1). Pengaruh Utama faktor A :

A=1/2{(a₂b₂-a₁b₂)+(a₂b₁-a₁b₁)}=1/2{(55-15)+(40-10)}=35

=1/2{(a₂b₂+a₂b₁)-(a₁b₂+a₁b₁)}=1/2{(55+40)-(15+10)}=35

(2). Pengaruh Utama faktor B :

B=1/2{(a₂b₂-a₂b₁)+(a₁b₂-a₁b₁)}=1/2{(55-40)+(15-10)}=10

=1/2{(a₂b₂+a₁b₂)-(a₂b₁+a₁b₁)}=1/2{(55+15)-(40+10)}=10

Pengaruh Interaksi (Interactions)

Merupakan rata-rata selisih respons diantara pengaruhsederhana suatu faktor.

Dengan demikian pengaruh interaksi :

AB = 1/2{(a₂b₂-a₁b₂)-(a₂b₁-a₁b₁)}=1/2{(55-15)-(40-10)}

= 1/2(40 – 30) = 5

(dalam bentuk pengaruh sederhana dari A)

AB = 1/2{(a₂b₂+a₁b₁)-(a₁b₂+a₂b₁)}=1/2{(55+10)-(15+40)}

= 1/2(65 - 55) = 5

(dalam bentuk pengaruh sederhana dari B)

Konsep dasar Interaksi Pengaruh interaksi menunjukkan hubungan ketergantungan suatu fak

tor terhadap taraf tertentu dari faktor lain artinya pengaruh sederhanasuatu faktor tergantung pada taraf tertentu dari faktor lain.

Jika hasil pengujian menunjukkan bahwa terdapat interaksi antarfaktor, maka perlu diusut bagaimana sifat ketergantungan antar faktortsb. artinya pengaruh sederhana harus diuji

Jika interaksi bermakna maka pengaruh utama tidak relevan lagi untukdiuji, krn pengaruh utama tidak dapat mencerminkan keadaan ygsesungguhnya, hal ini disebabkan krn pengaruh sederhana dari faktor2yg di cobakan tidak sama besarnya

Jika interaksi tidak bermakna, hal ini menujukkan bahwa pengaruhsederhana dari faktor yg dicobakan sama besar-nya, krn itu pengaruhutama dari faktor yg dicobakan sama besarnya, krn itu pengaruhutama dari suatu faktor , yg tidak lain adl rata2 dari pengaruh sederhana mampu mencerminkan pengaruh suatu faktor pada taraf tertentudari faktor lain. Ini berarti pengaruh utama dapat digeneralisasi

Pada prinsipnya pengujian interaksi bertujuan utk memeriksa apakahpengaruh sederhana sama besar atau tidak

Pengacakan dan Denah Rancangan

Pengacakan adalah salah satu dasar rancangan yg harus di-lakukan agar percobaan menghasilkan galat yg menyebarbebas dan normal dgn ragam tertentu.

Pengacakan untuk percob faktorial dilakukan sesuai rancangan dasar yg digunakan. Yang diacak adalah perlakuan dalam bentuk kombinasi antar berbagai taraf dari faktor2 ygdicobakan.

Denah rancangannya sesuai dengan rancangan dasar yg di-gunakan yi RAL, RAK, RBSL, dsb-nya

Percobaan Faktorial dengan RAL

Model Linear Additif utk 2 faktor

dimana :

= Nilai pengamatan pada satuan percobaan ke-k yg mendapat

kombinasi perlakuan ij (taraf ke-i dari faktor A dan taraf ke-

j dari faktor B)

= Nilai tengah populasi

= Pengaruh aditif taraf ke-i dari faktor A

= Pengaruh aditif taraf ke-j dari faktor B

= Pengaruh interaksi taraf ke-i faktor A dan taraf ke-j faktor B

= Pengaruh galat dari satuan percobaan ke-k yang memperoleh

kombinasi perlakuan ij

ijkijjiijkY )(

ijkY

ijk

ij

j

i

)(

Prosedur Analisis Ragam utk Dua Faktor dgn RAL Langkah 1. Hitung FK, JKT, JKP dan JKG atas dasar kombi-nasi

perlakuan, dimana r, a dan b masing-masing adalah banyaknyaulangan, banyaknya taraf faktor A dan B

Langkah 2.Tentukan db.masing-masing sumber ragam

db perlakuan = (ab – 1)db galat = ab(r – 1)db total = (rab – 1)

JKPJKTJKG

FKr

YJKP

FKYJKT

rab

YFK

ij

ijk

2

.

2

2

...

Lanjutan

Langkah 3. Dari nilai-nilai total perlakuan yg digunakan utkmenghitung JKP, tentukan jumlah kuadrat (JK) utk pengaruhutama dan interaksi, sbb.:

. Langkah 4. Tentukan derajat bebas utk pengaruh utama daninteraksi

db faktor (A) = a – 1db faktor (B) = b – 1db interaksi = (a-1)(b-1)

)()()(

)()(

)()(

2

2

BJKAJKJKPABJK

FKra

bBJK

FKrb

aAJK

j

i

Lanjutan

Langkah 5. Tentukan kuadrat tengah (KT) masing2 melaluipembagian antara JK dan db-nya

KT(A) = JK(A)/(a-1) ; KT(B)=JK(B)/(b-1)

KT(AB)= JK(AB)/(a-1)(b-1)

Langkah 6. Susun daftar analisis ragam

SumberKeragam

db JK KT F-hitung F-tabel5% 1%

PerlakuanAB

ABG a l a t

(ab-1)(a-1)(b-1)

(a-1)(b-1)[ab(r-1)]

JKPJK(A)JK(B)

JK(AB)JKG

KTPKT(A)KT(B)

KT(AB)KTG

KTP/KTGKT(A)/KTGKT(B)/KTG

KT(AB)/KTG

T o t a l (rab-1) JKT

Model untuk Faktorial dengan Dua Faktor

Ada empat model, yakni :

(1). Model Tetap (taraf faktor A dan taraf faktor B tetap)

(2). Model Acak (taraf faktor A dan taraf faktor B acak)

(3). Model Campuran (taraf faktor A tetap, taraf faktor

B acak)

(4). Model Campuran (taraf faktor A acak, taraf faktor

B tetap)

Model Tetap (taraf faktor A dan B tetap)

Pada model ini peneliti hanya berurusan dengan taraf darifaktor A dan B yg tetap dan kesimpulan yg ditarik hanyamenyangkut taraf2 faktor yg dicobakan

Asumsi :

Hipotesis yg diuji untuk model tetap :

(1) Ho : = 0 : tidak ada pengaruh interaksi

H1 : ada pengaruh interaksi terhadap respons teramati

(2) Ho : = 0 : tidak ada perbedaan respons antar taraf

faktor A yg dicobakan

H1 : ada perbedaan respons diantara taraf faktor A

0)( ijji

ij)(

i

Lanjutan Ho : = 0 : tidak ada perbedaan respons diantara taraf

faktor B yg dicobakan

H1 : Ada perbedaan respons diantara taraf faktor B

Catatan :

Hipotesis tentang pengaruh interaksi ditempatkan padabagian pertama, ini menunjukkan bahwa dalam percobaanfaktorial, kita perlu terlebih dahulu menguji hipotesis ten-tang interaksi ini. Jika terdapat pengaruh interaksi maka tidak perlu melakukan pengujian hipotesis pengaruh utamatapi yg penting adl mengusut lebih lanjut bagaimana ben-tuk hubungan ketergantungan diantara faktor A dan B

j

Kaidah keputusan pengujian hipotesis

(1).Hipotesis pengaruh interaksi diuji melalui :

F-hit (AB) = KT(AB)/KTG

dengan kaidah keputusan : Tolak Ho jika F-hit(AB)>F-tab dan sebaliknya, dimana v1=(a-1)(b-1) dan v2=ab(r-1)

(2).Hipotesis pengaruh utama (A) diuji melalui :

F-hit (A) = KTA/KTG

kaidah keputusan : Tolak Ho jika F-hit(A)>F-tab dan sebaliknya, dimana v1=(a-1) dan v2=ab(r-1)

(3).Hipotesis pengaruh utama (B) diuji melalui :

F-hit (B) = KTB/KTG

Kaidah keputusan : Tolak Ho jika F-hit(B)>F-tab dan sebaliknya, dimana v1=(b-1) dan v2=ab(r-1)

Model Acak (taraf faktor A dan B acak)

Asumsi yg dibutuhkan :

(1).Pengaruh taraf faktor A timbul secara acak, menyebarbebas normal dengan nilai tengah sama dgn nol danragam σ²α atau dituliskan αi ~ NI(0, σ²α)

(2).Pengaruh taraf faktor B timbul secara acak, menye-bar bebas normal dengan nilai tengah sama dgn noldan ragam σ²β atau dituliskan βj ~ NI(0, σ²β)

(3).Pengaruh interaksi (αβ)ij timbul secara acak, menye-bar bebas normal, dengan nilai tengah sama dgn noldan ra-gam (αβ)ij atau ditulis (αβ)ij ~ NI(0, σ²αβ)

Hipotesis yg diuji dalam model acak

Ho: σ²αβ =0, yg berarti tidak ada keragaman dalam popula

si kombinasi perlakuan

H1: σ²αβ >0, yg berarti ada keragaman dalam populasi kom

binasi perlakuan

Ho: σ²α =0, yg berarti tidak ada keragaman dalam popula

si taraf faktor A

H1: σ²α >0, yg berarti ada keragaman dalam populasi taraf

faktor A

Ho: σ²β =0, yg berarti tidak ada keragaman dalam popula-

si taraf faktor B

H1: σ²β >0, yg berarti ada keragaman dalam populasi taraf

faktor B

Kaidah keputusan pengujian hipotesis

Pengujian terhadap hipotesis (1), dilakukan dengan :

F-hitung (AB) = KT(AB)/KTG

Kaidah keputusan, jika :

F-hitung (AB) > F-tabel (α; v1,v2) maka tolak Ho

F-hitung (AB) ≤ F-tabel(α; v1,v2) maka terima Ho

Pengujian terhadap hipotesis (2), dilakukan dengan :

F-hitung (A) = KT(A)/KTG

Kaidah keputusan, jika :

F-hitung (A) > F-tabel (α; v1,v2) maka tolak Ho

F-hitung (A) ≤ F-tabel(α; v1,v2) maka terima Ho

Pengujian terhadap hipotesis (3), dilakukan dengan :

F-hitung (B) = KT(B)/KTG, kaidah keputusan sama diatas

Nilai Harapan Kuadrat Tengah (KT) Percobaan, Faktorial2 faktor dengan RAL. (Model Tetap, A dan B Tetap)

SUMBERKERAGAMAN

KUADRATTENGAH

EKSPEKTASI KUADRAT TENGAH(EKT)

PERLAKUAN

A

B

AB

GALAT

KT(A)

KT(B)

KT(AB)

KTG

T O T A L - -

2

22

22

22

)1)(1/()(

)1/(

)1/(

bar

bra

arb

ij

j

i

Nilai Harapan Kuadrat Tengah (KT) Percobaan Faktorial2 faktor dengan RAL (Model Acak, A dan B Acak)

SUMBERKERAGAMAN

KUADRATTENGAH

EKSPEKTASI KUADRAT TENGAH(EKT)

PERLAKUAN

A

B

AB

GALAT

KT(A)

KT(B)

KT(AB)

KTG

T O T A L - -

2

22

222

222

r

rar

rbr

Contoh

Suatu percobaan agronomi dilakukan untuk mengeta-hui pengaruh varietas jagung (faktor A) dan pemupukan nitrogen (faktor B) terhadap produksi tanaman ja-gung. Diasumsikan bahwa tingkat kesuburan tanah relatif homogen, sehingga digunakan rancangan percob.RAL dengan jumlah ulangan sebanyak 5 kali. Faktor varietas jagung terdiri dari 2 taraf, yi var. X (a₁ ) dan var Y(a₂). Faktor pemupukan nitrogen terdiri dari 2 taraf, yidosis pemupukan 0 kg N/Ha (b₁) dan dosis pemupuk-an 60 kg N/Ha (b₂). Percobaan dilakukan diatas tanahberukuran tertentu. Selain faktor var dan pupuk yg berbeda, semuanya sama. Produksi tanaman jagung di-ukur dalam satuan kg/petak. Ujilah hasil percob. tsb.

Data hasil percobaan terlihat sbb :

ULANGANKOMBINASI PERLAKUAN

a1b1 a1b2 a2b1 a2b2T O T A L

12345

8,53 17,53 32,00 39,1420,53 21,07 23,80 26,2012,53 20,80 28,87 31,3314,00 17,33 25,06 45,8010,80 20,07 29,33 40,20

∑Y

Ỳ

66,39 96,80 139,06 182,67

13,28 19,36 27,81 36,53

484,92

24,25

Lanjutan

Tabel Total Perlakuan

dimana :

a1b1=kombinasi perlak. var jagung X yg tak diberi pupuk N

a1b2=kombinasi perlak. var jagung X yg diberi pupuk N

a2b1=kombinasi perlak. var jagung Y yg tak diberi pupuk N

a2b2=kombinasi perlak. var jagung Y yg diberi pupuk N

FAKTORB

FAKTOR Aa1 a2 T O T A L

b1b2

66,39 139,0698,80 182,67

205,45279,47

T O T A L 163,19 321,73 484,92

Prosedur analisis ragam untuk model tetap

Langkah 1. Hitung FK, JKT, JKP dan JKG seperti pada pro-sedur RAL :

(1). FK=(484,92)²/(5)(2)(2) = 11757,37

(2). JKT=(8,53)²+(20,53)²+ ... +(40,20)² – 11757,37=1919,33

(3).JKP=(66,39)²+ ... +(182,67)² – 11757,37=1539,41

(4).JKG=1919,33 – 1539,41=379,92

Langkah 2. Tentukan derajat bebas masing2 SK

(1).db.Perlakuan = ab-1=(2)(2)-1=3

(2).db.Galat = ab(r-1)=(2)(2)(5-1)=16

(3).db.Total=rab-1=(5)(2)(2)-1=19

Langkah 3. Tentukan JK pengaruh utama dan interaksi

(1).JK(A)=[(163,19)² + (321,73)²]/(5)(2)-1757,37=1256,75

Lanjutan

(2).JK(B)=[(205,45)²+(279,47)²]/(5)(2) – 11757,37 = 273,95

(3).JK(AB)=JKP-JK(A)-JK(B)

=1539,41 – 1256,75 – 273,95=8,71

Langkah 4. Tentukan derajat bebas utk pengaruh utamadan interaksi :

(1).db.faktor (A) = a-1 = 2-1 =1

(2).db.faktor (B) = b-1 = 2-1 =1

(3).db.interaksi (AB) = (a-1)(b-1) = (2-1)(2-1) = 1

Langkah 5. Tentukan kuadrat tengah (KT) masing2 mela-lui pembagian antara JK dan db-nya, yi :

(1).KT(A)=JK(A)/(a-1)=1256,75/(2-1)=1256,75

(2).KT(B)=JK(B)/(b-1)=273,95/(2-1)=273,95

(3).KT(AB)=JK(AB)/(a-1)(b-1)=8,71/(2-1)(2-1)=8,71

Lanjutan

Langkah 6. Susun daftar analisis ragam

Langkah 7. Buat keputusan: dari anova terlihat bahwa pe-ngaruh interaksi tidak nyata, sedangkan pengaruh utamafaktor (A) dan (B) sangat nyata

Langkah 8. Buat kesimpulan

SumberKeragam

db JumlahKuadrat

KuadratTengah

F-hitung F-tabel5% 1%

PerlakuanAB

ABGalat

3111

16

1539,411256,75273,95

8,71379,92

-1256,75273,95

8,7123,75

52,92**11,53**0,37ns

4,49 8,534,49 8,534,49 8,53

T o t a l 19 1919,33 -

Grafik Hasil Percobaan

Untuk memperjelas hasil percobaan maka rata2 respons ta rafperlakuan perlu ditampilkan dalam grafik.

40 - var Y

30 -

20 - var X

10 - 0Nkg 60N kg

0 + +

Terlihat bahwa var Y memberikan hasil rata2 yg lebih tinggidibanding var X, demikian pula pemupukan 60kg N/ha memberikan hasil rata2 yg lebih tinggi d/p tanpa pupuk. Grafik juga me-nunjukkan garis yg hampir sejajar, ini menunjukkan tidak adainteraksi antara varietas dan pemupukan.

Menghitung besarnya Pengaruh Utama faktor A dan B

Pengaruh Utama Faktor A (varietas jagung):

(1).Pengaruh sederhana faktor A pada taraf b1 = a2b1 – a1b1 = 27,81 – 13,28 = 14,53

(2).Pengaruh sederhana faktor A pada taraf b2=a2b2 –a1b2 = 36,53 – 19,36 = 17,17

(3).Jadi pengaruh utama faktor A (rata2 pengaruh sederhana) = 1/2(14,53+17,17) = 15,8

Pengaruh Utama Faktor B (pemupukan) :

(1).Pengaruh sederhana faktor B pada taraf a1 = a1b2 – a1b1 = 19,36 – 13,28 = 6,08

(2).Pengaruh sederhana faktor B pada taraf a2=a2b2 –a2b1 = 36,53 – 27,81 = 8,72

(3).Jadi pengaruh utama faktor A (rata2 pengaruh sederhana) = 1/2(6,08+8,72) = 7,40

Menghitung pengaruh Interaksi

Pengaruh interaksi merupakan rata-rata selisih respons produksi diantara pengaruh sederhana dari suatu faktorsehingga :

AB = 1/2(17,17 – 14,53) dalam bentuk pengaruh sederhana

faktor A

= 1/2(8,72 – 6,08) dalam bentuk pengaruh sederhana

faktor B

= 1,32

Terlihat pengaruh interaksi kecil sekali, besaran ini setelahdiuji tidak nyata, sehingga dapat diartikan bahwa pengaruhsederhana dari faktor A atau B dianggap homogen atau sa-ma, sehingga perbedaan yg ada disebabkan karena faktorgalat)

Tingkat Keterandalan Hasil Percobaan

Rumus : R²= JK(model)/JKT, dimana

JK(model)=JK(A)+JK(B)+JK(AB), untuk contoh diatas, makaR²=(1256,75+273,95+8,71)/(1919,33)=0,8021

Ini artinya sekitar 80,21% dari keragaman hasil produksi tanam-an jagung disebabkan (diterangkan) oleh varietas, pemupukandan interaksi dari ke-2 nya.

Tetapi karena pengaruh interaksi tidak bermakna, maka utk per-cobaan ini dapat di rumuskan model tanpa interaksi. Dalam mo-del ini komponen interaksi (AB) dimasukkan kedalam kompo-nen galat. Model ini akan mengubah hasil percobaan, dimana keragaman total yg dapat dijelaskan (R²) juga berubah.

Jika penghilangankomponen interaksi masih mampu mempertahankan tk.keterandalan, maka model tanpa interaksi yg dipilihsbg model yg cocok dan sebaliknya.

Lanjutan

Model percobaan tanpa interaksi

Hasil Analisis Ragam Tanpa Interaksi

ijkjiijkY

SUMBERKERAGAMAN

db JumlahKuadrat

KuadratTengah

F-hit F-tabel5% 1%

Faktor (A)

Faktor (B)

G a l a t

1

1

17

1256,75

273,95

388,63

1256,75

273,95

22,86

54,98**

11,98**

4,45 8,40

T o t a l 19 1919,33

Lanjutan

Dari tabel anova tanpa interaksi, tingkat keterandalannyaadl R²=(JKA + JKB)/JKT=(1256,75+273,95)/1919,33=0,7975ini menunjukkan bahwa model tanpa interaksi mampu menerangkan keragaman total dari hasil prod jagung sebesar79,75% dan sisanya (1-R² )=0,2025 atau 20,25% disebabkanoleh galat percob. Dari uraian tsb terlihat bahwa penghila-ngan komponen interaksi dalam model tidak mempenga-ruhi tingkat keterandalan model. Penghilangan komponeninteraksi hanya mengurangi informasi tentang keragamantotal yg mampu dijelaskan sekitar (0,8021-0,7975)=0,0046atau 0,46%. Nilai ini tidak begitu besar sehingga bisa diabaikan, sehingga utk kasus percobaan yg dianalisis diataspenggunaan model tanpa interaksi cocok utk digunakanutk menjelaskan permasalahan percobaan tsb.

PERCOBAAN FAKTORIAL DENGAN RANCANGAN DASAR RAK

Pendahuluan

Percob. faktorial dgn rancangan dasar RAK tidak lain adlpenggunaan RAK sebagai rancangan percobaannya, sedangkan faktor yg dicobakan lebih dari satu faktor. Prinsipnyasama dengan penggunaan RAK utk faktor tunggal

Pengacakan dan Denah Rancangan

Kasus percobaan berikut : suatu percobaan dalam bidangpertanian yg ingin mempelajari pengaruh 3 faktor terhadapdaya kecambah (jumlah tanaman yg tumbuh). Percob. di-rancang dgn menggunakan RAK sbg rancangan dasarnya.Penelitian dilakukan dalam rumah kaca. Ke-3 faktor yg di-cobakan tsb adalah sbb. :

Lanjutan

Ke-3 faktor tsb. :

(1).Faktor species tanaman (A) yg ta. 3 jenis species yi: Alfafa (a₁), Red Clover (a₂) dan Sweet Clover (a₃)

(2).Faktor jenis tanah (B) yg ta. 3 taraf yi: tanah lem-pung (b₁), pasir (b₂) dan tanah liat (b₃)

(3).Faktor pemberian fungisida (C) yg ta. 2 taraf, yi: tanpa pemberian fungisida (c₁) dan pemberian fungisida (c₂)

Percobaan ini menggunakan rancangan dasar RAK dan ygdijadikan kelompok adl kedalaman penanaman dalam 3tingkat

Jadi percobaan tsb merupakan percobaan faktorial (3x3x2)atau disebut juga percobaan faktorial 3² x 2, sehinggaterdapat 18 kombinasi perlakuan.

Lanjutan

18 kombinasi perlakuan tsb adalah sbb. :

Catatan : a₁b₁c₁ adalah perlakuan species alfafa (a₁) yg ditanam pada tanah lempung (b₁) dan tidak diberikan fungisida (c₁ ) , dst-nya.

No. KombinasiPerlakuan

No. KombinasiPerlakuan

1. a₁ b₁ c₁2. a₁ b₁ c₂3. a₁ b₂ c₁4. a₁ b₂ c₂5. a₁ b₃ c₁6 a₁ b₃ c₂7. a₂ b₁ c₁8. a₂ b₂ c₁9. a₂ b₂ c₂

10. a₂ b₁ c₂11. a₂ b₃ c₁12. a₂ b₃ c₂13. a₃ b₁ c₁14. a₃ b₁ c₂15. a₃ b₂ c₁16. a₃ b₂ c₂17. a₃ b₃ c₁18. a₃ b₃ c₂

PENGGUNAAN TABEL BILANGAN ACAK

Karena masing2 perlakuan diulang 3x (ditanam pada 3 tingkat kedalaman) maka kita perlu menyediakan satuan percobaan sebanyak 3 x 18 = 54 satuan percob. yg dibagi kedalam3 kelompok yg berbeda sesuai dgn perbedaan kedalamanpenanaman. Masing2 kelompok ta. 18 sat.percob. sesuaidgn banyaknya perlakuan yg dicobakan.

Angka Acak Urutan Pilihan Pangkat (rank)

980 817616 465719 318322 125481 697469 972521 045499 209228 788

1 102 113 124 135 146 157 168 179 18

18 1612 714 56 29 138 1711 110 34 15

Lanjutan

Gunakan angka acak dalam susunan 3 digit dan dibaca ver-tikal, hasilnya terlihat pada tabel didepan.

Berdasarkan tabel tsb. gunakan urutan pemilihan sebagainomor perlakuan dan pangkat sebagai nomor satuan per-cobaan.

Untuk kelompok pertama, hasil pengacakan menunjukkanbahwa perlakuan 1 (a₁b₁c₁) dikenakan pada satuan percoba-an no.18, perlakuan 2 (a₁b₁c₂) diberikan pada satuan perco-baan no.12, perlakuan 3 (a₁b₂c₁) diberikan pada satuan per-cobaan no.14, dst-nya seperti dimuat pada tabel berikut

Setelah itu lakukan dengan prosedur yg sama utk penempatan perlakuan dalam kelompok kedua, demikian pula de-ngan cara yg sama untuk kelompok ketiga.

DENAH CONTOH DARI KELOMPOK PERTAMA

Denah contoh dari kelompok pertama pada percobaanfaktorial 3x3x2 dengan rancangan dasar RAK

1a₃ b₂ c₂

2a₃ b₁ c₁

3a₃ b₃ c₁

4a₂ b₂ c₂

5a₂ b₃ c₂

6a₁ b₂ c₂

7a₂ b₃ c₁

8a₁ b₃ c₂

9a₁ b₃ c₁

10a₂ b₂ c₁

11a₂ b₁ c₁

12a₁ b₁ c₂

13a₃ b₁ c₂

14a₁ b₂ c₁

15a₃ b₃ c₂

16a₂ b₁ c₂

17a₃ b₂ c₁

18a₁ b₁ c₁

Model Linear Aditif Percobaan Faktorial 3 Faktor

Model statistika utk percob. faktorial 3 faktor (A, B dan C)

dimana :

=nilai pengamatan dari kelompok ke-l, yg mempero-

leh taraf ke-i dari faktor A, taraf ke-j dari faktor B

dan taraf ke-k dari faktor C.

= nilai tengah umum yg sesungguhnya

= pengaruh aditif dari kelompok ke-l

= pengaruh aditif dari taraf ke-i faktor A

= pengaruh aditif dari taraf ke-j faktor B

= pengaruh aditif dari taraf ke-k faktor C

jkikijkjilijklY )()()(

ijklY

k

j

i

l

ijklijk )(

Lanjutan

= pengaruh interaksi taraf ke-i faktor A dan taraf ke-j

faktor B

= pengaruh interaksi taraf ke-i faktor A dan taraf ke-k

faktor C

= pengaruh interaksi taraf ke-j faktor B dan taraf ke-k

faktor C

= pengaruh interaksi antara taraf ke-i faktor A, taraf

ke-j faktor B dan taraf ke-k faktor C

= pengaruh galat percobaan pada kelompok ke-l, yang

memperoleh taraf ke-i faktor A, taraf ke-j faktor B

dan taraf ke-k faktor C

ij)(

ik)(

jk)(

ijk)(

ijkl

Asumsi Percobaan Faktorial 3 Faktor

Asumsi yang paling mendasar dan berlaku umum bagimodel linear aditif untuk percobaan faktorial dengantiga faktor diatas adalah galat percobaan harus timbulsecara acak, menyebar secara bebas dan normaldengan nilai tengah sama dengan nol dan ragam σ²,atau dinyatakan sebagai :

);0( 2 NIijkl

PROSEDUR ANALISIS RAGAM UTK 3 FAKTOR

Prosedur analisis ragam utk percob faktorial yg ta. 3 faktor(A, B dan C) dengan menggunakan rancangan dasar RAKadalah sbb. :

Langkah 1. Hitung FK, JKT, JKK, JKP, JKG seperti padaprosedur RAK tanpa memandang dulu percobaanfaktorial(kombinasi perlakuan). Jika r, a, b dan c masing2melambangkan banyaknya kelompok, banyaknya taraf faktor A, B dan C, maka :

FK = Y².... /rabc = (total jendral)²/banyaknya pengamatan

JKT = ∑Y²ijkl – FK = JK nilai pengamatan – FK

JKK =(∑Y²...l)/(abc) – FK = ∑[(total kelompok)²/(abc)]-FK

JKP = (∑Y²ijk)/(r) – FK = ∑[(total perlakuan)²/(r)] – FK

JKG = JKT – JKK - JKP

Lanjutan

Langkah 2. Tentukan derajat bebas masing2 sumber keragaman, yi : db.kelompok = (r – 1) ; db.perlakuan = (abc – 1) ;db.galat = (r – 1)(abc – 1) dan db.total = (rabc – 1)

Langkah 3. Dari nilai JKP yang diperoleh, tentukan penga-ruh utama dan interaksi antar faktor A, B dan C sbb.:

JK(A)=[∑(ai)²/(rbc)]–FK=[∑(total taraf faktor A)²/(rbc)]-FK

JK(B)=[∑(bj)²/(rac)]-FK=[∑(total taraf faktor B)²/(rac)]-FK

JK(C)=[∑(ck)²/(rab)]-FK=[∑(total taraf faktor C)²/(rab)]-FK

JK(AB)=[∑(aibj)²/(rc)]-FK – JK(A) – JK(B)

JK(AC)=[∑(aick)²/(rb)]-FK – JK(A) – JK(C)

JK(BC)=[∑(bjck)²/(ra)]-FK – JK(B) – JK(C)

Lanjutan

JK(ABC)=JKP-JK(A)-JK(B)-JK(C)-JK(AB)-JK(AC)-JK(BC) terlihatbahwa

JKP=JK(A)+JK(B)+JK(C)+JK(AB)+JK(AC)+JKBC+JK(ABC)

Langkah 4. Tentukan db. untuk pengaruh utama dan interaksifaktor2 A, B dan C, sbb. :

db. faktor (A) = (a - 1) ; db. interaksi (AB) = (a-1)(b-1)

db. faktor (B) = (b – 1) ; db. interaksi (AC) = (a-1)(c-1)

db. faktor (C) = (c – 1) ; db. interaksi (BC) = (b-1)(c-1)

db. interaksi (ABC) = (a-1)(b-1)(c-1)

Langkah 5. Tentukan kuadrat tengah (KT) masing2 melaluipembagian antara JK dengan db.-nya.

KT(A)=JK(A)/(a-1) ; KT(B)=JK(B)/(b-1) ; JK(C)=JK(C)/(c-1)

KT(AB)=JK(AB)/(a-1)(b-1) ; KT(AC)=JK(AC)/(a-1)(c-1)

KT(BC)=JK(BC)/(b-1)(c-1) ; KT(ABC)=JK(ABC)/(a-1)(b-1)(c-1)

Lanjutan

Langkah 6. Susun daftar analisis ragam

SumberKeragam

Derajatbebas

JumlahKuadrat

KuadratTengah

F-hit

Kelompok

Perlakuan

ABC

ABACBC

ABC

G a l a t

(r-1)

(abc-1)

(a – 1)(b – 1)(c – 1)

(a-1)(b-1)(a-1)(c-1)(b-1)(c-1)

(a-1)(b-1)(c-1)

(r-1)(abc-1)

JKK

JKP

JK(A)JK(B)JK(C)

JK(AB)JK(AC)JK(BC)

JK(ABC)

JKG

KTK

KTP

KT(A)KT(B)KT(C)

KT(AB)KT(AC)KT(BC)

KT(ABC)

KTG

KT(A)/KTGKT(B)/KTGKT(C)/KTG

KT(AB)/KTGKT(AC)/KTGKT(BC)/KTG

KT(ABC)/KTG

T o t a l (rabc-1) - -

Model untuk Percobaan Faktorial dengan 3 Faktor

Untuk percobaan faktorial yg ta. 3 faktor A, B dan Cada delapan (2³) model yang mungkin

(1).Model Tetap (taraf faktor A, B dan C bersifat tetap)

(2).Model Acak (taraf faktor A, B dan C bersifat acak)

(3).Model Campuran (taraf faktor A dan B tetap, C acak)

(4).Model Campuran (taraf faktor A dan C tetap, B acak)

(5).Model Campuran (taraf faktor B dan C tetap, A acak)

(6).Model Campuran (taraf faktor A tetap, B dan C acak)

(7).Model Campuran (taraf faktor B tetap, A dan C acak)

(8).Model Campuran (taraf faktor C tetap, A dan B acak)

Asumsi dan Hipotesis untuk Model Tetap

Dalam model tetap peneliti hanya berurusan dgn taraf2 faktor yg dicobakan, artinya kesimpulan yg dibuat hanya ber-laku utk percobaan yg dilakukan

Asumsi yg diperlukan utk model tetap :

∑Ai=∑Bj=∑Ck=∑(AB)ij=∑(AC)ik=∑(BC)jk=∑(ABC)ijk=0

Hipotesis yg perlu diuji :

(1). Ho : (ABC)ijk=0 (tidak ada pengaruh interaksi faktor A,

B dan C thd respons yg diamati)

H1 : minimal ada satu (ABC)ijk≠0, artinya ada pengaruh

interaksi terhadap respons yg diamati

(2). Ho : (AB)ij=0 (tidak ada pengaruh interaksi antara fak-

tor A dan B terhadap respons yg diamati)

H1 : minimal ada satu (AB)ij yg tak sama dgn nol.

Lanjutan

(3). Ho : (AC)ik=0 (tidak ada pengaruh interaksi antara faktor

A dan C)

H1 : minimal ada satu (AC)ik ≠ 0, yg berarti ada pengaruh

interaksi antara faktor A dan C

(4). Ho : (BC)jk=0 (tidak ada pengaruh interaksi antara faktor

B dan C)

H1 : minimal ada satu (BC)jk ≠0, yg berarti ada pengaruh

interaksi antara faktor B dan C

(5). Ho : Ai=0 (tidak ada pengaruh faktor A terhadap respons

yg diamati)

H1 : minimal ada satu Ai ≠0 yg berarti minimal ada satu

taraf faktor A yg berbeda dgn taraf faktor A lainnya

(6) dan (7) utk Bj dan Ck perumusannya sama dgn (5).

CATATAN

Dari hipotesis yg diajukan dalam pengujian model utkpercobaan faktorial dgn 3 faktor, terlihat bahwa hipotesis tentang pengaruh interaksi (ABC)ijk sengaja dida-hulukan dalam pengujian. Ini menunjukkan bahwa dalam percobaan faktorial yg terdiri dari 3 faktor, makaperlu terlebih dahulu memeriksa pengaruh interaksiantara faktor A, B dan C. Jika pengujian hipotesis pertama ini menunjukkan pengaruh interaksi (ABC)ijk nya-ta pada taraf α tertentu, maka pemeriksaan terhadaphipotesis yang lain tidak diperlukan lagi, dankonsekuensinya kita harus melanjutkan pengujianuntuk memeriksa pengaruh2 sederhana.

Contoh soal Suatu percobaan utk mengetahui pengaruh pakan terha-

dap pertambahan bobot badan anak domba. Ada 3 faktoryg dicobakan, yakni :

(1). Faktor penambahan Lysine (L) dengan taraf :

l1 = penambahan Lysine 0%

l2 = penambahan Lysine 0,05%

l3 = penambahan Lysine 0,10%

l4 = penambahan Lysine 0,15%

(2). Faktor penambahan Methionine (M) dengan taraf :

m1 = penambahan Methionine 0%

m2 = penambahan Methionine 0,025%

m3 = penambahan Methionine 0,05%

Lanjutkan...

Lanjutan :

(3). Faktor pemberian tepung kedelai sebagai sumber prote-in (P) dengan taraf :

p1 = pemberian tepung kedelai berkadar protein 12%

p2 = pemberian tepung kedelai berkadar protein 14%

Sebagai rancangan dasar digunakan RAK yg terdiri dari 2kelompok anak domba, PBB diukur dgn satuan gram.

*Percobaan diatas merupakan percobaan faktorial 4 x 3 x 2dimana masing-masing perlakuan diulang pada dua kelompok yang berbeda

*Percobaan tsb bersifat tetap, dimana peneliti hanya berke-inginan utk mengetahui pengaruh taraf2 faktor yg dicoba-kan terhadap respons PBB anak domba

Data percobaan terlihat dalam tabel berikut

FaktorLysine

(L)

FaktorMethionine

(M)

FaktorProtein

(P)

KelompokAnak Domba(I) (II)

Total Per lakuan

0

0

0,025

0,050

121412141214

1,11 0,971,52 1,451,09 0,991,27 1,22

0,85 1,211,67 1,24

2,082,972,082,492,082,91

0,05

0

0,025

0,050

121412141214

1,30 1,001,55 1,531,03 1,211,24 1,341,12 0,961,76 1,27

2,303,082,242,582,083,03

0,10

0

0,025

0,050

121412141214

1,22 1,131,38 1,081,34 1,411,40 1,211,34 1,191,46 1,39

2,352,462,752,612,532,85

Lanjutan tabel

FaktorLysine

(L)

FaktorMethionine

(M)

FaktorProtein

(P)

KelompokAnak Domba(I) (II)

TotalPerlakuan

0,15

0

0,025

0,050

121412141214

1,19 1,030,80 1,291,36 1,161,42 1,391,46 1,031,62 1,27

2,222,092,522,812,492,89

T o t a l k e l o m p o k 31,50 28,97 60,47

Lanjutan tabel

Data Total Faktor Lysine dan Methionine (L dan M)

Data Total Faktor Lysine dan Protein (L dan P)

Methionine(M)

Faktor Lysine (L)0 0,05 0,10 0,15

T o t a l

00,0250,050

5,05 5,38 4,81 4,314,57 4,82 5,36 5,334,97 5,11 5,38 5,38

19,5520,0820,84

T o t a l 14,59 15,31 15,55 15,02 60,47

Protein(P)

Faktor Lysine (L)0 0,05 0,10 0,15

T o t a l

1214

6,22 6,62 7,63 7,238,37 8,69 7,92 7,79

27,7032,77

T o t a l 14,59 15,31 15,55 15,02 60,47

Lanjutan

Data Total Faktor Methionine dan Protein (M dan P)

Model Linear Aditif

dimana : Uraikan menurut soal untuk percobaan faktorial4 x 3 x 2 seperti uraian diatas.

Protein(P)

Faktor Methionine (M)0 0,025 0,050

T o t a l

1214

8,95 9,59 9,1610,60 10,49 11,68

27,7032,77

T o t a l 19,55 20,08 20,84 60,47

ijklijkjkikijkjilijkl LMPMPLPLMPMLKY )()()()(

Prosedur Analisis Ragam meliputi langkah2 berikut :

* Langkah 1. Hitung FK, JKT, JKK, JKP dan JKG seperti RAK

FK = (60,47)²/(2)(4)(3)(2) = 76,1796

JKT = (1,11)² + ... + (1,27)² – 76,1796 = 2,0409

JKK = [(31,50)²+(28,97)²]/[(4)(3)(2)] – 76,1796 = 0,1334

JKP = [(2,08)²+...+(2,89)²]/(2) – 76,1796 = 1,2756

JKG = 2,0409 – 0,1334 – 1,2756 = 0,6319

* Langkah 2. Tentukan derajat bebas-nya

db. kelompok = (r – 1) = 2 – 1 = 1

db. perlakuan = (abc – 1) = (4)(3)(2) – 1 = 23

db. galat = (r-1)(abc-1) = (2-1)(24-1) = 23

db. total = (rabc – 1) = (2)(4)(3)(2) – 1 = 47

Lanjutan

* Langkah 3. Tentukan pengaruh utama dan interaksi faktorL, M dan P

JK(L)=[(14,59)²+...+(15,02)²]/[(2)(3)(2)] – 76,1796 = 0,0427

JK(M)=[(19,55)²+(20,08)²+(20,84)²]/[(2)(4)(2)] – 76,1796 = 0,0526

JK(P)=[(27,70)²+(32,77)²]/[(2)(4)(3)] – 76,1796 = 0,5355

JK(LM)=[(5,05)²+...+(5,38)²]/[(2)(2)] – 76,1796 – 0,0427 –0,0526 = 0,2543

JK(LP)=[(6,22)²+...+(7,79)²]/[(2)(3)] – 76,1796 – 0,0427 –0,5355 = 0,2399

JK(MP)=[(8,95)²+...+(11,68)²]/[(2)(4)] – 76,1796 – 0,0526 –0,5355 = 0,0821

JK(LMP)=1,2756-0,0427-0,0526-0,5355-0,2543-0,2399-0,0821 = 0,0685

Lanjutan* Langkah 4. Tentukan derajat bebas utk pengaruh utama

dan interaksi faktor-faktor A, B dan Cdb. faktor Lysine (L) = (a – 1) = (4 – 1) = 3db. faktor Methionine (M) = (b – 1) = (3 – 1) = 2db. faktor Protein (P) = (c – 1) = (2 – 1) = 1db. interaksi (LM) = (a-1)(b-1) = (4-1)(3-1) = 6db. interaksi (LP) = (a-1)(c-1) = (4-1)(2-1) = 3db. interaksi (MP) = (b-1)(c-1) = (3-1)(2-1) =2db interaksi (LMP) = (a-1)(b-1)(c-1) = (4-1)(3-1)(2-1) = 6

* Langkah 5. Tentukan kuadrat tengah (KT) masing-masingKT(L) = (0,0427)/(4-1) = 0,0142KT(M) = (0,0526)/(3-1) = 0,0263KT(P) = (0,5355)/(2-1) = 0,5355

Lanjutan

KT(LM) = (0,2543)/(4-1)(3-1) = 0,0424

KT(LP) = (0,2399)/(4-1)(2-1) = 0,0800

KT(MP) = (0,0821)/(3-1)(2-1) = 0,0410

KT(LMP) = (0,0685)/(4-1)(3-1)(2-1) = 0,0114

*Langkah 6. Susun Daftar Analisis Ragam (lihat halamanberikutnya)

*Langkah 7. Buat keputusan : dari tabel analisis ragam terli-hat bahwa hanya faktor protein saja yg berbeda nyata. Ma-ka hipotesis yg menyatakan tidak ada pengaruh protein di-tolak. Pengaruh interaksi tidak satupun yg nyata.

*Langkah 8. Buat kesimpulan : Hasil pengujian menunjuk-kan bahwa 2 taraf protein yg dicobakan memberikan res-pons yg berbeda dimana protein bertaraf 14% memberikanrata-rata respons lebih tinggi d/p taraf protein 12%.

Tabel Analisis Ragam Hasil Percobaan

SumberKeragaman

db. JK KT F-hit F-tabel5% 1%

KelompokPerlakuan*Lysine (L)*Methionine (M)*Protein (P)*Interaksi (LM)*Interaksi (LP)*Interaksi (MP)*Interaksi (LMP)G a l a t

123321632623

0,13341,27560,04270,05260,53550,25430,23990,08210,06850,6319

--

0,01420,02630,53550,04240,08000,04100,01140,0275

--

0,52ns0,96ns19,47**1,54ns2,91ns1,49ns0,41ns

3,03 4,763,42 5,864,28 7,882,53 3,713,03 4,763,42 5,662,53 3,71

T 0 t a l 47 2,0409 -

Kurva Bentuk Hubungan pengaruh sederhana FaktorProtein (P) pada berbagai Taraf Lysine.

1,45-1,40-1,35-1,30-1,25-1,20-1,15-1,10-1,05-1,00-

0 0,05 0,10 0,15