LIMIT DAN KONTINUITASTIM PENGAJAR KALKULUS 2

LIMIT

Perhatikan fungsi yang ditentukan oleh rumus :

f(x) tidak terdefinisi pada x = 0, karena di titik ini f(x)

bernilai 0/0 (tidak punya arti), tetapi kita masih

dapat menanyakan apa yang terjadi pada f(x)

bilamana x mendekati 0 atau apakah f(x) mendekati

beberapa bilangan tertentu bilamana x mendekati 0

?

Jawaban Limit (x2 – x)/2x untuk x mendekati 0

adalah –1/2.

x

xxxf

2)(

2

KONSEP LIMIT

Misalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil

sedemikian hingga:

• Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (x≠a), f(x)

dekat ke L

• Bila x mendekati a tetapi x≠a, maka f(x) mendekati L

• Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L

dengan membuat x cukup dekat a tetapi tidak sama

dengan a

Maka dapat dikatakan bahwa limit f(x) bila x mendekati a

adalah L,

LxfLimax

)(

LIMIT FUNGSI 2 VARIABEL

Misalkan f suatu fungsi dua variabel ,dan andaikan

f didefinisikan pada setiap titik dalam daerah

lingkaran dengan pusat (xo,yo) kecuali pada titik

(xo,yo).

Menyatakan bahwa jika diberikan sebarang

terdapat bilangan >0 sedemikian hingga f(x,y)

memenuhi dimana jarak antara (x,y)

dan (xo,yo) memenuhi

Lyxfoo yxyx

),(lim),(),(

,0

Lyxf ),(

2

o

2

o )y-(y)x-(x0

LIMIT FUNGSI 3 VARIABEL

Misalkan f suatu fungsi tiga variabel ,dan andaikan f

didefinisikan pada setiap titik dalam daerah

lingkaran dengan pusat (xo,yo,zo) kecuali pada titik

(xo,yo,zo).

Menyatakan bahwa jika diberikan sebarang

terdapat bilangan >0 sedemikian hingga f(x,y,z)

memenuhi dimana jarak antara

(x,y,z) dan (xo,yo,zo) memenuhi

Lzyxfooo zyxzyx

),,(lim),,(),,(

,0

Lzyxf ),,(

2o

2o

2o )z-(z)y-(y)x-(x0

SIFAT-SIFAT LIMIT

Theorema

Jika dan , maka:

a. , jika c suatu konstanta

b.

c.

d.

e. , jika L2 0

1),(),(

),(lim Lyxfoo yxyx

2),(),(

),(lim Lyxgoo yxyx

1),(),(

),(lim cLyxcfoo yxyx

21),(),(

)],(),([lim LLyxgyxfoo yxyx

21),(),(

)],(),([lim LLyxgyxfoo yxyx

21),(),(

)],(),([lim LLyxgyxfoo yxyx

2

1

),(),( ),(

),(lim

L

L

yxg

yxf

oo yxyx

SIFAT-SIFAT LIMIT

Theorema

Jika dan , maka:

a. , jika c suatu konstanta

b.

c.

d.

e. , jika L2 0

1),,(),,(

),,(lim Lzyxfooo zyxzyx

2),,(),,(

),,(lim Lzyxgooo zyxzyx

21),,(),,(

)],,(),,([lim LLzyxgzyxfooo zyxzyx

21),,(),,(

)],,(),,([lim LLzyxgzyxfooo zyxzyx

21),,(),,(

)],,(),,([lim LLzyxgzyxfooo zyxzyx

2

1

),,(),,( ),,(

),,(lim

L

L

zyxg

zyxf

ooo zyxzyx

1),,(),,(

),,(lim cLzyxcfooo zyxzyx

KONTINUITAS

Suatu fungsi dua variabel f disebut kontinu di titik

(xo,yo) jika

1. f(xo,yo) terdefinisi

2. ada

3.

),(lim),(),(

yxfoo yxyx

),(),(lim 00),(),(

yxfyxfoo yxyx

KONTINUITAS

Suatu fungsi tiga variabel f disebut kontinu di titik

(xo,yo,zo) jika

1. f(xo,yo,zo) terdefinisi

2. ada

3.

),,(lim),,(),,(

zyxfooo zyxzyx

),,(),,(lim 000),,(),,(

zyxfzyxfooo zyxzyx

Theorema

Jika g dan h suatu fungsi satu variabel yang

kontinu, maka f(x,y)=g(x)h(y) adalah suatu

fungsi kontinu dari x dan y

Jika g suatu fungsi kontinu satu variabel

dan h fungsi kontinu dari dua variabel, maka

fungsi komposisi f(x,y) = g(h(x,y)) adalah

fungsi kontinu dari x dan y

CONTOH

Fungsi kontinu, karena f(x,y)

merupakan perkalian dua fungsi kontinu

dan .

Fungsi adalah fungsi kontinu

bersyarat, fungsi tersebut kontinu disetiap titik

kecuali pada hyperbola xy=1.

Tunjukan bahwa fungsi

kontinu pada titik (-1,2)

523),( yxyxf 23)( xxg

5)( yyh

xy

yxyxf

1),(

23

22),(

yx

xyyxf

, jika fungsi f(x,y) mendekati L

pada saat (x,y) (xo, yo) untuk semua kurva

kontinu yang melalui titik (xo, yo).

Jika dua kurva kontinu melalui titik (xo, yo) dimana

mempunyai limit f(x,y) berbeda, atau jika sebarang

kurva menyebabkan f(x,y) tidak mempunyai limit,

maka tidak ada.

Hal yang sama berlaku untuk fungsi tiga variabel.

Lyxfoo yxyx

),(lim),(),(

),(lim),(),(

yxfoo yxyx