Post on 06-Feb-2018
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA i
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA
2012
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA ii
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA
Penyusun
Drs. Slamet Wibowo
Seno Soebekti, Spd.
Dra. Lutfinayati
Penyunting
Team MGMP Matematika
DKI
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA iii
2012
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa senantiasa terpanjatkan atas rahmat dan hidayah
yang terlimpah dengan terbitnya Suplemen Pembelajaran Matematika dengan media Kalkulator ini.
Suplemen pembelajaran ini merupakan wujud dari visi dan misi MGMP Matematika SMA Provinsi
DKI Jakarta dalam kiprahnya meningkatkan prestasi belajar siswa dalam rangka mencerdaskan
kehidupan bangsa.
Ucapan terimaksih kami tujukan kepada Bapak Budiana selaku Kepala seksi kurikulum Dinas
Pendidikan Provinsi DKI Jakarta, atas sumbang saran dan dukungan moril sehingga suplemen ini
dapat diselesaikan tepat pada waktunya. Kami juga mengucapkan terimakasih setinggi-tinginya
kepada Bapak Wicak dari Kasio Indonesia yang telah memberikan dukungan peralatan yang sangat
membantu kami dalam penyusunan suplemen ini. Tak lupa kami mengucapkan terimakasih kepada
Bapak Sarjito selaku ketua MGMP Matematika Provinsi DKI yang telah memberikan kepaercayaan
kepada kami untuk dapat merealisasikan gagasan pembelajaran menggunakan media Kalkulator ini.
Suplemen ini disusun dan diterbitkan untuk membantu para siswa SMA/MA dalam meningkatkan
kompetensi siswa pada pelajaran Matematika di tingkat Sekolah Menengah Atas. Pemanfaatan
Kalkulator dalam proses pembelajaran Matematika diharapkan mampu mendorong kreativitas dan
motivasi belajar siswa, karena kalkulator mampu membantu memecahkan masalah yang rumit
sehingga siswa dapat pacu untuk meningkatkan daya analisisnya. Dengan demikian pada akhirnya
diharapkan dapat meningkatkan efisiensi dan efektivitas belajar sehingga mempertajam kesiapan
dalam meraih sukses pada Ujian Nasional.
Meskipun demikian tinggi harapan kami, menyadari berbagai keterbatasan, suplemen ini tentu
masih banyak kekurangan dan tentu jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, mohon kiranya para
pembaca dan para pengguna, khususnya teman sejawat kami sudi kiranya memberikan masukan
dalam bentuk kritik dan saran untuk perbaikan dan penyempurnaannya pada edisi-edisi berikutnya.
Akhirnya, semoga suplemen ini dapat digunakan buku ini dapat berguna peningkatan mutu
pembelajaran pada umumnya dan matematika pada khususnya
Jakarta, Desember 2011
Tim Penulis
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA iv
Sambutan Kepala Seksi Kurikulum Bidang SMP/SMA
Dinas Pendidikan Provinsi DKI Jakarta
Salah satu upaya Dinas pendidikan Provinsi DKI Jakarta adalah memacu kualitas
pembelajaran yang menghasilkan lulusan yang kreatif dan inovatif. Di tengah perkembangan
teknologi yang pesat, maka para pendidik harus terus mengembangkan kreatifitas dan inovasi
dalam memanfaatkan teknologi untuk pembelajaran sehingga mengoptimalkan pencapaian
kompetensi peserta didik dan sekaligus membangun kreatifitas dan inovasi. .
Kalkulator Seri Pendidikan atau Education Series merupakan produk teknologi yang
dirancang untuk membantu siswa dalam memecahkan masalah-masalah matematika dalam
kehidupan sehari-hari. Pemanfaatan kalkulator dalam pembelajaran matematika perlu dilakukan
agar mengoptimalkan pencapaian kompetensi peserta didik sekaligus agar para lulusan dapat
dengan cepat menyesuaikan diri dengan perkembangan teknologi. Untuk itu Musyawarah Guru
Mata Pelajaran (MGMP) Matematika SMA Provinsi DKI Jakarta berkerja sama dengan Casio
Indonesia telah melakukan rintisan pengintegrasian pemanfaatan kalkulator seri pendidikan ke
dalam media belajar, metodologi, pendekatan dan teknik pembelajaran sejak tahun 2010, melalui
serangkaian kegiatan anatar lain : workshop pemanfaatan kalkulator seri pendidikan untuk guru,
lomba matematika kalkulator (Mator) untuk siswa, dan penyusunan silabus pembelajaran
matematika yang mengintegrasikan pemanfaatan kalkulator seri pendidikan.
Dari serangkaian uji coba pemanfaatan kalkulator dalam pembelajaran matematika
ternyata kalkulator dapat meningkatkan rasa percaya diri bahwa setiap masalah dalam perhitungan
matematika pasti dapat diselesaikan seberapa besar atau kecilnya hasil akhir. Disamping itu
penggunaan kalkulator pada situasi yang tepat dapat : mempercepat pencarian pola-pola umum,
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA v
menghilangkan ketakutan siswa akan kegagalan perhitungan, menimbulkan motivasi dan rasa
percaya diri serta menghindari perhitungan rutin dan berlarut-larut.
Suplemen diharapkan dapat membantu para guru matematika dalam mengintegrasikan
pemanfaatan kalkulator dalam pembelajaran sehingga meningkatkan kualitas pembelajaran
Matematika pada jenjang SMA di Provinsi DKI Jakarta. Suplemen ini ini merupakan draft pertama
yang perlu terus disempurnakan sehingga mencapai hasil optimal. Ucapan terima kasih dan
penghargaan yang setinggi-tingginya saya sampaikan kepada PT. Casio Indonesia, MGMP
Matematika SMA Provinsi DKI Jakarta, para guru serta para siswa yang telah memberikan
kontribusinya dalam penyusunan suplemen ini.
Jakarta, Desember 2011
Kepala Seksi Kurikulum Bidang SMP/SMA
Dinas Pendidikan Provinsi DKI Jakarta
Drs. H. Budiana, MM
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA vi
DAFTAR ISI
Kata Pengantar i
Sambutan Kepala Seksi Kurikulum Bidang SMP/SMA ii
Daftar isi iv
Silabus Pembelajaran berbasis kalkulator 1
Menoperasikan Kalkulator 6
1. Integral 9
2. Program Linear 14
3. Notasi Sigma, Barisan dan Deret 21
4. Matrik 27
5. Vektor 34
6. Transformasi 40
7. Eksponen dan Logaritma 48
8. Kunci Jawaban 58
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA vii
SILABUS
Nama Sekolah : SMA
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/Program : XII / IPA
Semester : 1
Standar Kompetensi : 1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah.
Kompetensi
Dasar
Materi Pokok/
Pembelajaran Indikator Waktu Sumber Belajar
1.1 Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu
Integral Tak tentu
Integral Tentu
Menentukan integral tentu dengan menggunakan sifat-sifat integral
Menyelesaikan masalah sederhana yang melibatkan integral tentu
2x45’
Sumber:
Suplemen
Pembelajaran
Matematika dengan
kalkulator
1.2 Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana
Teknik
Pengintegralan:
Substitusi
Parsial
Substitusi Trigonometri
Menentukan integral dengan dengan cara substitusi
Menetukan integral dengan dengan cara parsial
Menentukan integral dengan dengan cara substitusi trigonometri
1.3 Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volum benda putar
Luas Daerah
Volume Benda Putar
Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu pada koordinat.
Menghitung volume benda putar.
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 2
Standar Kompetensi : 2. Menyelesaikan masalah program linear.
Kompetensi Dasar Materi Pokok/
Pembelajaran Indikator Waktu
Sumber
Belajar
2.1 Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya
Solusi Program
Linier
Menentukan nilai optimum dari fungsi objektif
Menafsirkan solusi dari
masalah program linear
2x45’
Sumber:
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan kalkulator
Standar Kompetensi : 3. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan
masalah.
Kompetensi Dasar Materi Pokok/
Pembelajaran Indikator Waktu
Sumber
Belajar
3.1. Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain
Matriks
Operasi dan Sifat Matriks
Matriks Persegi
Melakukan operasi aljabar atas dua matriks
Mengenal invers matriks persegi
2x45’
Sumber:
Suplemen
Pembelajaran
Matematika
dengan
kalkulator
3.2. Menentukan determinan dan invers matriks 2x2
Determinan dan
Invers matriks
Menentukan determinan matriks 2x2
Menentukan invers dari
matrks 2x2
3.3. Menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel
Penerapan matrik
pada sistem
persamaan linier
Menentukan persamaan matriks dari sistem persamaan linier
Menyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan matriks invers
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 3
Kompetensi Dasar Materi Pokok/
Pembelajaran Indikator Waktu
Sumber
Belajar
3.4. Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah
Pengertian Vektor
Operasi dan sifat vektor
Menentukan operasi aljabar vektor : jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar, dan lawan suatu vektor
2x45’
Sumber:
Suplemen
Pembelajaran
Matematika
dengan
kalkulator
3.5. Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah.
Perkalian skalar
dua Vektor
Menentukan hasilkali skalar dua vektor di bidang dan ruang
3.6. Menggunakan transformasi geometri yang dapat dinyatakan dengan matriks dalam pemecahan masalah
Transformasi
Geometri
Menjelaskan arti geometri dari suatu transformasi bidang
Melakukan operasi berbagai jenis transformasi: translasi refleksi, dilatasi, dan rotasi.
Menentukan persamaan matriks dari transformasi pada bidang.
2x45’
3.7. Menentukan komposisi dari beberapa transformasi geometri beserta matriks transformasinya
Komposisi
Transformasi
Geometri
Menentukan aturan transformasi dari komposisi beberapa transformasi
Menentukan persamaan matriks dari komposisi transformasi pada bidang.
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 4
SILABUS
Nama Sekolah : SMA
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas/Program : XII / IPA
Semester : 2
Standar Kompetensi : 4. Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar Materi Pokok/
Pembelajaran Indikator Waktu
Sumber
Belajar
4.1. Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri
Barisan Bilangan
Barisan dan deret Aritmatika dan Geometri
Menghitung suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmetika dan deret geometri.
2x45’
Sumber:
Suplemen
Pembelajaran
Matematika
dengan
kalkulator
4.2. Menggunakan notasi sigma dalam deret dan induksi matematika dalam pembuktian
Notasi Sigma
Induksi Matematika
Menuliskan suatu deret dengan notasi sigma.
4.3. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret
Model
Matematika dari
masalah deret
Mengidentifikasi masalah yang berkaitan dengan deret.
Merumuskan model
matematika dari
masalah deret
4.4. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret dan penafsirannya
Solusi dari
masalah deret
Menentukan penyelesaian model matematika yang berkaitan dengan deret
Memberikan tafsiran terhadap hasil penyelesaian yang diperoleh
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 5
Standar Kompetensi : 5. Menggunakan aturan yang berkaitan dengan fungsi eksponen dan logaritma
dalam pemecahan masalah
Kompetensi Dasar Materi Pokok/
Pembelajaran Indikator Waktu
Sumber
Belajar
5.1. Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah.
Fungsi eksponen
dan Logaritma
Menghitung nilai fungsi eksponen dan logaritma
Menyelesiakan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponen dan logaritma.
2x45’
Sumber:
Suplemen
Pembelajaran
Matematika
dengan
kalkulator
5.2. Menggambar grafik fungsi eksponen dan logaritma.
Grafik Fungsi
eksponen dan
Logaritma
Menentukan nilai fungsi eksponen dan logaritma untuk menggambar grafik
5.3. Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen atau logaritma dalam penyelesaian pertidaksamaan eksponen atau logaritma sederhana
Pertidaksamaan
Eksponen dan
Logaritma
Menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen dan syaratnya
Menentukan penyelesaian pertidaksamaan logaritma dan syaratnya
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 6
MENGOPERASIKAN KALKULATOR
SERI FX 991 ES
1. OPERASI DASAR
1 Menghidupkan Kalkulator W
2 Mematikan kalkulator qC
3 Penggunaan Tombol
a. Menampilkan karakter di sebelah kiri
q
b. Menampilkan karakter di sebelah kanan atas
Q
4 Menghapus
a. Menghapus satu karakter o
b. Menghapus semua karakter C
c. Menghapus setup Q9(CLR)1=C
d. Menghapus memori 2=C
e. Menghapus semua 3=C
2. MODE PERHITUNGAN
Ww
1 1 : COMP Perhitungan umum
2 2 : CMPLX Perhitungan bilangan komplek
3 3 : STAT Perhitungan statistika dan regresi
4 4 : BASE-N Perhitungan dengan basis N
5 5 : EQN Penyelesaian persamaan linear, persamaan
kuadrat dan persamaan pangkat tiga
6 6 : MATRIX Perhitungan matrik
7 7 : TABLE Menentukan nilai fungsi untuk domain
tertentu
8 6 : VECTOR Perhitungan Vektor
Ww
1: COMP 2: CMPLX
3:STAT 4: BASE-N
5:EQN 6: MATRIX
7:TABLE 8: VECTOR
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 7
3. SETUP KALKULATOR
qw (SETUP)
qw (SETUP)R
1 1: Mth IO Format tampilan matematika
2 2.LineIO Format tampilan linear
3 3.Deg Menetapkan satuan sudut derajat
4 4.Rad Menetapkan satuan sudut radian
5 5.Grad Menetapkan satuan sudut grads
6 6.Fix Menetapkan jumlah angka desimal
7 7. Sci Menetapkan jumlah angka dalam
bentuk baku
8 8 . Norm Menetapkan selang display eksponensial
1 1: ab/c Format pecahan campuran
2 2. d/c Format pecahan umum
3 3.CMPLX Menetapkan format bilangan
komplek
4 4.Stat Menetapkan tampilan frekuensi
5 5.Disp Menetapkan pemisah sedimal
6 6. Cont Menetapkan kontras display
(monitor)
qw (SETUP)
qw (SETUP)R
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 8
Contoh Operasi dasar kalkulator
1. Menghidupkan kalkulator W
2 Menghitung operasi
2 x 23+ 13: 4
2O23+13P4=
hasil = 4
197 n 49.25
3 Mengubah operasi menjadi 2 x 23+ 17: 4
!!!o=
hasil = 4
201 n 50.25
4 Menghapus memori q9(clr)2=C
5 Menghitung operasi bentuk pecahan
2
5
4
3
23
7
3
a3$7$+qaA3$
2$3$p(a4$5$)d
=
hasil = 525
1814 n 3.45523
6 Menghitung
sin 3
qw4
jaqx10xL$3$)=
hasil = 2
3 n 0.8660254038
catatan :
tombol yang diketikqx10x yang muncul
7 Menentukan nilai x dari
51212 X
2Q((x)p1$Qr(=)
512qr(solve)=
hasil x = 256.5
L-R =0
catatan :
tombol yang diketikQ( yang muncul x
8 Menentukan akar persamaan
2x2 - 3x - 5=0
Ww53
2=p3=p5==
hasil
x1 = 2
5 R
x2= - 1
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 9
BAB I
INTEGRAL
RINGKASAN MATERI
INTEGRAL TERTENTU FUNGSI ALJABAR
Pemakaian fungsi tombol kalkulator
Tombol Kegunaan
Op+Psa Melakukan operasi aljabar
y Menentukan nilai integral tertentu
Qn
Q)
Menuliskan variabel y
Menuliskan variabel x
Contoh
1. HITUNGLAH
Mode
Matematika Ww1
Tombol integral y
Memasukan
fungsi integran a1R2$Q)(x)^4$p3
Memasukan batas
integrasi $ p2E6
Menampilkan
hasil integral =(5
3764)
2. HITUNGLAH 3
1
2 1xx dx
Mode Matematika Ww1
Tombol integral y
Memasukan fungsi
integran Q)(x)sQ)(x)d +1 $
Memasukan batas
integrasi $1 E3
Menampilkan hasil
integral =(= 9.598116492
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 10
A. INTEGRAL TERTENTU FUNGSI TRIGONOMETRI
Contoh soal
1. Hitunglah
0
2 cos dxxx
Mode Matematika Ww1
Setup sudut radian qw4 Tombol integral y
Memasukan fungsi
integran Q)dkQ))
Memasukan batas
integrasi $0$ aqK$2
Menampilkan hasil
integral ( 1,291636899)
2. Hitunglah
0
3
0
3 cos)(sincossin dxxxdxxx =
Mode Matematika Ww1
Setup sudut radian qw4 Tombol integral y
Memasukan fungsi
integran jQ)(X))^3$kQ)(X))
Memasukan batas
integrasi $0EqK )(
Menampilkan hasil
integral =(7.118403934X10
-3)
C. APLIKASI INTEGRAL
Contoh Soal
1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = , garis x = -0,5 dan x = 16
Jawab
Karena antara x = - 0.5 sampai x = 16 tidak terdapat titik potong antara kurva
maka luasnya adalah = 16
5.034x
Mode Matematika Ww1
Tombol integral y
Memasukan fungsi
integran s4 Q)(X)+3$
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 11
Memasukan batas
integrasi $p0.5E16
Menampilkan hasil
integral =91,23643927
2. Tentukan luas yang dibatasi oleh kurva 122 2 xxy dan 622 xxy
Jawaban
Karena luas hanya dibatasi dua kurva maka batas yang dimaksud adalah titik potong antara kedua kurva tersebut
Menentukan titik potong
054
62122
2
22
xx
xxxx
Untuk menetukan x1 dan x2 kita bisa menggunakan kalkulator mode persamaan kuadrat, tetapi pada kasus ini persamaan cukup sederhana sehingga mudah di faktorkan
15
0)1)(5(
0542
xx
xx
xx
Batas integrasi adalah x = -1 dan x = 5
Luas = 5
1
2 54 dxxx
Mode Matematika Ww1
Tombol integral y
Memasukan fungsi
integran Q)(X)d3p4Q)(X)p5
Memasukan batas
integrasi $p1E5
Menampilkan hasil
integral =-36
Jadi luasnya adalah 36
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 12
3. Tentukan volume bangun ruang berikut jika diputar sumbu x sejauh 360 o
Jawaban
Tentukan titik potong dua kurva
y1=y2 x +7 = 9 – x2
x2 + x – 2 = 0
( x+ 2 )(x - 1 ) =0
x = -2 dan x = 1
Batas integrasi x= -2 dan x =1
Volume = 1
2
222 )7()9( dxxx
Mode Matematika Ww1
Tombol integral qK( )y
Memasukan fungsi
integran (9pQ((X)d)dp(Q)(X)+7)d
Memasukan batas
integrasi $p2E1
Menampilkan hasil
integral = 5
333
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 13
LATIHAN SOAL INTEGRAL
1.
2. dx
3.
4.
5.
6. 4
0
2cos
xdxx
7. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva,y = - x2 + 4x sb-x, garis x = 1 dan x = 3 adalah …
8. Luas daerah yang dibatasi oleh oleh kurva y = x2 - 2x dan y = - x2 +6x +24 adalah …
9. Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 + 2x dan garis y = 4x + 6 , sama dengan
… .
10. Luas daerah yang dibatasi oleh
11. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva adalah
...…
12. Daerah yang dibatasi oleh y = 4 – x2
, sumbu x, sumbu y, dan garis x = 1, Volume
benda putar yang terjadi, jika daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu X adalah …
13. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x ,
garis y = x – 5 dan sumbux , di kuadran I diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu x
adalah …
14. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva = 8x, garis
x = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 3600 adalah … .
15. Jika A adalah daerah yang dibatasi oleh
mengelilingi sumbu y, tentukaan volume benda putar yang terjadi.
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 14
BAB II
PROGRAM LINEAR
Pemakaian fungsi dan tombol kalkulator fx-570ES
Tombol Kegunaan
w 5 1 system persamaan linear 2 variabel
A. NILAI OPTIMUM SYSTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR
Contoh soal
1. Tentukanlah nilai maksimum f(x,y) = 3x+4y dari system pertidaksamaan linear
sbb:
2x +y < 50
4x + 3y < 120
x > 0
y > 0
Penyelesaian
Perhatikan gambar daerah himpunan penyelesaian berikut :
Nilai maksimum hanya mungkin di titik A B atau C
Tentukan koordinat titik C dengan kalkulator
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 15
Koordinat titik C adalah (15,20)
Dari gambar koordinat titik A(25,0) dan B(0,40)
Hitung Nilai f(x,y) = 3x+4y dengan kalkulator
Nilai maksimum dititik C adalah 160
2. Tentukanlah nilai maksimum f(x,y) = 3x+2y dari system pertidaksamaan linear
gambar berikut:
Penyelesaian
Pertidaksamaan melalui (80,0) dan (0,40) adalah 40 x + 80 y < 40. 80
x + 2 y < 80
Pertidaksamaan melalui (40,0) dan (0,60) adalah 60 x + 40 y < 60. 40
3x + 2 y < 120
Tentukan koordinat titik C dengan kalkulator
Mode Persamaan
linear 2 variabel w51
Input Koefisien
persamaan kuadrat 2=1=50= 4=3=120=
Tampilkan hasilnya = 15R20
Mode Perhitungan w1
Menghitung F(x,y) titik A(25,0)
dan hasilnya 3O25+4O0 = 75
Menghitung F(x,y) titik B(0,40)
dan hasilnya 3O0+4O40 = 160
Menghitung F(x,y) titik C(15,20)
dan hasilnya 3O15+4O20 = 125
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 16
Koordinat titik C adalah (20,30)
Dari gambar koordinat titik A(40,0) dan B(0,40)
Hitung Nilai f(x,y) = 3x+2y dengan kalkulator
Nilai maksimum dititik A atau C adalah 120
B. MENYELESAIKAN MODEL MATEMATIKA
3. Seorang pedagang minuman memiliki modal Rp. 200.000,00. Dia akan menjual 2
jenis minuman. Mimuman A dibeli denga harga Rp. 6.000,00 dan dijual Rp.
6.500,00 . Mimuman B dibeli denga harga Rp. 8.000,00 dan dijual Rp. 9.000,00.
Bila tempatnya hanya mampu menampung 30 botol, tentukan laba maksimum
yang diperoleh.
Penyelesaian
Jenis minuman Banyaknya Modal Laba
A x 6.000 500
B y 8.000 1.000
30 200.000
Mode Persamaan
linear 2 variabel w51
Input Koefisien
persamaan kuadrat 1=2=80= 3=2=120=
Tampilkan hasilnya = 20R30
Mode Perhitungan w1
Menghitung F(x,y) titik A(40,0)
dan hasilnya 3O40+2O0 = 120
Menghitung F(x,y) titik B(0,40)
dan hasilnya 3O0+2O40 = 80
Menghitung F(x,y) titik C(20,30)
dan hasilnya 3O20+2O30 = 120
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 17
Pertidaksamaan
Banyaknya botol x + y < 30 ( I )
Pembelian 6.000 x + 8.000 y < 200.000
3 x + 4 y < 100 ( II )
Banyaknya botol A x > 0 ( III )
Banyaknya botol B y > 0 ( IV )
Fungsi Obyektif F(x,y) = 500 x + 1000 y
Perhatikan gambar berikut
Tentukan koordinat titik C dengan kalkulator
Koordinat titik C adalah (20,10)
Dari gambar koordinat titik A(30,0) dan B(0,25)
Mode Persamaan
linear 2 variabel w51
Input Koefisien
persamaan kuadrat 1=1=30= 3=4=100=
Tampilkan hasilnya = 20R10
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 18
Hitung Nilai f(x,y) = 500x+1000y dengan kalkulator
Laba maksimum dititik A atau B adalah Rp. 25.000;
Soal-soal
1. Daerah yang diarsir pada grafik di samping merupakan himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linier. Tentukan nilai maksimum 5x+ 4y !
Y
2x+3y=12
2x + y = 8
X
2. Tentukan nilai maksimum fungsi sasaran z = 8x+6y dengan syarat :
6024 yx
4842 yx
0x
0y
3. Diketahui model matematika sebagai berikut.
82 yx
70 x
41 y .
Mode Perhitungan w1
Menghitung F(x,y) titik A(30,0)
dan hasilnya 500O30+1000O0 = 15.000
Menghitung F(x,y) titik B(0,25)
dan hasilnya 500O0+1000O25 = 25.000
Menghitung F(x,y) titik C(20,10)
dan hasilnya 500O20+1000O10 = 20.000
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 19
Tentukan nilai minimum fungsi sasaran
f(x, y) = 5x + 10y !
4. Luas daerah parkir 176 m2, luas rata-rata untuk mobil sedan 4 m2 dan bus 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 20 kendaraan, biaya parkir untuk mobil sedan Rp.1 000,00 per jam dan untuk bus Rp.2 000,00 per jam. Jika dalam satu jam tidak ada kendaraan yang datang dan pergi, maka hasil maksimum yang mungkin didapat oleh tempat parkir itu adalah ....
5. Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun toko 2 tipe. Untuk toko tipe A diperlukan tanah seluas 100 m2 dan tipe B diperlukan 75 m2. Jumlah toko yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan tiap tipe A sebesar Rp7.000.000,00 dan tiap tipe B sebesar Rp4.000.000,00. Keuntungan maksimum yang diperoleh dari penjualan toko tersebut adalah adalah ....
6. Menjelang hari raya Idul Adha, Pak Mahmud hendak berjualan sapi dan kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di Jawa Tengah berturut-turut Rp9 000 000,00 dan Rp.8 000 000,00. Modal yang ia miliki adalah Rp124 000 000, 00. Pak Mahmud menjual sapi dan kerbau di Jakarta dengan harga berturut-turut Rp10 300 000,00 dan Rp9 200 000,00. Kandang yang ia miliki hanya dadpat menampung tidak lebih dari 15 ekor. Agar mencapai keumtungan maksimum, maka banyak sapi dan kerbau yang harus dibeli Pak Mahmud adalah adalah ....
7. Sebuah rombongan wisata yang terdiri dari 240 orang akan menyewa kamar-kamar hotel untuk satu malam. Kamar yang tersedia di hotel itu adalah kamar untuk 2 orang dan untuk 3 orang. Rombongan itu akan menyewa kamar hotel sekurang-kurangnya 100 kamar. Besar sewa kamar untuk 2 orang dan kamar untuk 3 orang per malam berturut-turut adalah Rp 200.000,00 dan Rp 250.000,00. Besar sewa kamar minimal per malam untuk seluruh rombongan adalah ....
8. Pada tanah seluas 24.000 m2 dibangun perumahan dengan dua tipe. Tipe A dengan luas 150 m2 dan tipe B dengan luas 100 m2. Jumlah rumah yang dibangun tidak lebih dari 200 unit. Jika laba untuk setiap rumah tipe A Rp4.000.000,00 dan setiap rumah tipe B Rp3.000.000,00, maka laba maksimum yang dapat diperoleh adalah….
9. Seorang penjahit membuat dua jenia pakaian untuk dijual. Pakaian jenis I memerlukan 2 m
kain katun dan 4 meter kain sutera, dan pakaian jenis II memerlukan 5 m kain katun dan 3 m
kain sutera. Bahan katun yang tersedia 70 m dan sutera 84 m. Pakaian jenis I dijual dengan laba
Rp25 000, 00 / buah dan pakaian jenis II mendapat laba Rp50 000,00 /buah. Agar ia
memperoleh laba yang sebesar-besarnya, maka banyaknya pakaian jenis I dan jenis II berturut-
turut adalah ...
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 20
10. Sebuah industri kecil memproduksi dua jenis barang A dan barang B dengan memakai dua mesin
M1 dan M2. Untuk membuat barang A mesin M1 beroperasi selama 2 menit dan mesin M2
beroperasi selama 1 menit. Dan untuk membuat barang B mesin M1 beroperasi selama 1 menit
dan M2 beroperasi selama 1 menit. Mesin M1 dan mesin M2 masing-masing beroperasi tidak
lebih dari 4 jam dan 3 jam setiap hari. Keuntungan bersih untuk barang A adalah Rp250,00 dan
tiap barang B adalah Rp500,00, maka keuntungan maksimum yang diperoleh adalah….
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 21
BAB III
BARISAN DAN DERET
DEFINISI
1. 1 + 2 + 3 +....+ n =
n
i
n1
2. 12 + 22 + 32 +....+ n2 =
n
i
n1
2
3. 2.12 + 2.22 + 2.32 +....+ 2.n2 =
n
i
n1
2.2
4. Barisan dan deret Aritmatika
Rumus suku ke-n Un = a + (n – 1 )b
Rumus jumlah n suku Sn =
2
)1(2( bnan
5. Barisan dan deret gometri
Rumus suku ke-n Un = a.r n – 1
Rumus jumlah n suku Sn = r
ra
r
ra nn
1
)1(
1
)1(
Rumus geometri tak hingga = 1
~
r
as
Pemakaian fungsi tombol kalkulator
Tombol Kegunaan
Op+Psa Melakukan operasi aljabar
q i Menghitung deret suatu bilangan
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 22
Contoh
1. Hitunglah deret berikut ini
50
1
4
n
n
50
1
4
n
n =65666665
2. Tentukan jumlah 20 suku pertama deret bilangan 2+6+18+48+....
Jawaban
Deret tersebut adalah deret Geometri dengan suku pertama a=2 dan rasio r = 3
Suku ke-n dirumuskan
Un=arn-1
Un=2.3n-1
Sehingga jumlah 70 suku pertama adalah
70
1
132n
nxSn
Jumlah 20 suku pertama deret bilangan 2+6+18+48+.... = 3486784400
3. Tentukan jumlah dari : 31+37+43+49+......+ 445
jawaban
adalah deret aritmetika dengan a = 31, b=6, dan l=445
l = un = a+(n-1)b = 445
31 +(n-1)6 = 445
Mode Matematika Ww1
Mengaktifkan tombol
sigma q i )(
Meng-input fungsi Q) ^4$
Meng-input batas $1E50
Menampilkan hasil =(65666665)
Mode Matematika Ww1
Mengaktifkan tombol
sigma q i )(
Meng-input fungsi 2O3^q((x) )p1
Meng-input batas $1 E20
Menampilkan hasil =(3486784400)
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 23
31 + 6n – 6 =445
n = 70
rumus un = a + (n-1)b
= 31 + (n-1)6
= 31 + 6n -6
= 25 +6n
dengan notasi sigma jumlah bilangan tersebut adalah
70
1
625i
i
Jumlah bilangan itu adalah 16660
Dengan rumus jumlah
16660
)44531(35
)(2
7070
laS
4. Tentukan jumlah dari bilangan berikut : 4, 12, 36, 108 sampai 30 suku
adalah deret geometri dengan : a= 4, r = 3 dan n=30
rumus suku ke-n
un= arn-1
= 4.3n-1
dengan notasi sigma jumlah bilangan tersebut adalah
30
1
13.4i
n
Mode Matematika Ww1
Mengaktifkan tombol
sigma q i )(
Meng-input fungsi 25+6Q) (x)$
Meng-input batas $1E70
Menampilkan hasil =(16660)
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 24
Dengan rumus jumlah
14
30
30
10 x 24.11782264
13
)13(4
1
)1(
S
r
raS
n
n
Jumlah bilangan itu adalah 4.117822642 x 10 14
5. Seorang siswa membaca sebuah buku dan menyadari bahwa ia membaca semakin cepat.
Hari pertama ia membaca 19 halaman, hari berikutnya ia menambah 3 halaman, demikian
dia lakukan selama beberapa hari.
a. Tentukan banyak halaman yang dibaca selama 15 hari.
b. Berapa lama yang dibutuhkan siswa tersebut jika buku yang dibacanya berisi 426
halaman?
Jawab
a. adalah deret aritmetika dengan suku awal 19 dan beda 3
Un = a + (n-1)b = 19+(n-1)3
Un = 3n + 16
menghitung jumlah 15 suku pertama Mode Matematika Ww1
Mengaktifkan tombol sigma q i )(
Meng-input fungsi 3 Q)(x)+16
Meng-input batas $1 E15
Menampilkan hasil =(600)
Banyaknya halaman yang dibaca selama 15 hari = 600 halaman
Mode Matematika Ww1
Mengaktifkan tombol
sigma q i )(
Meng-input fungsi 4[3^Q) (x)p1$
Meng-input batas $1E30
Menampilkan hasil =(4.117822642 x 10 14)
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 25
b. Waktu yang digunakan untuk membaca 426 halaman adalah jumlah n suku pertama dari
deret aritmetika dengan jumlah 426
4262
))1(2(
bnanSn
852 = n(3n + 35 )
3n2 + 35n – 852 = 0 cari nilai n dengan kalkulator yaitu
Waktu yang digunakan untuk membaca 426 halaman adalah 12 hari
]
Mode persamaan
kuadrat Ww53
Meng-input data 3 Q)+16
Meng-input batas 3=35=p852=
Menampilkan hasil =(12)
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 26
Latihan
1. Hitunglah deret berikut
a.
100
1
2 53n
nn
b.
100
0n
n
2. Seorang siswa membaca sebuah buku dan menyadari bahwa ia membaca semakin cepat.
Hari pertama ia membaca 21 halaman, hari berikutnya ia menambah 5 halaman, demikian
dia lakukan selama beberapa hari.
a. Tentukan banyak halaman yang dibaca selama 14 hari.
b. Berapa hari paling waktu yang dibutuhkan siswa tersebut jika buku yang dibacanya
berisi 1370 halaman?
3. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah
144. Tentukan jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut .
4. Seorang pegawai menabung pada sebuah bank. Tahun pertama setiap bulannya ia
menabung Rp100.000,00.Tahun kedua, setiap bulannya ia menabung Rp125.000,00. Tahun
ketiga, setiap bulannya ia menabung Rp150.000,00 dan seterusnya setiap tahun bertambah
Rp25.000,00. Banyak uang pegawai itu yang ditabungnya setelah 15 tahun(bunga yang di
bank tidak ikut diperhitungkan) adalah….
5. Dari suatu deret aritmetika diketahui U3 = 13 dan U7 = 29. Tentukan jumlah sembilan puluh
lima suku pertama deret tersebut.
6. Empat buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika. Jika perkalian bilangan pertama
dan keempat adalah 46, dan perkalian bilangan kedua dan ketiga adalah 144, tentukan
jumlah keempat bilangan tersebut.
7. Jika di antara suku pertama dan suku ke dua suatu barisan geometri disisipkan 4 bilangan,
maka dapat diperoleh barisan aritmetika dengan beda 2. Jika suku ke-3 barisan geometri
tersebut adalah 40. Tentukan rasio barisan geometri tersebut
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 27
8. Dari deret aritmetika diketahui suku tengah 32. Jika jumlah n suku pertama deret itu 672,
tentukan banyak suku deret tersebut.
9. Sebuah mobil dibeli dengan haga Rp. 80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi ¾
dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun ?
10. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian ¾ kali
tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Hitunglah panjang seluruh
lintasan bola.
11. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing – masing potongan membentuk
barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek sama dengan 6 cm dan potongan tali
terpanjang sama dengan 384 cm, hitunglah panjang keseluruhan tali tersebut.
12. Diketahui uang Adi bertambah setiap tahunnya dengan nilai tetap. sedangkan uang Budi
setiap tahunnya naik 2 kali lipat. pada tahun 2003 jumlah uang mereka Rp. 8.850. pada
tahun 2004 uang mereka sama yaitu Rp. 6.400. Tentukan Selisih uang mereka pada pada
tahun 1999.
13. Jumlah deret geometri tak hingga 2 + 1 + ½2 + ½ + … adalah ….
14. Jika 3411
....11
142
xxx. Tentukan nilai x
15. Jika barisan geometri y+1 , 2y-2 , 7y-1,.... mempunyai rasio positif. Tentukan suku ke-4
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 28
BAB IV
MATRIKS
Pemakaian fungsi tombol kalkulator
Tombol Kegunaan
mode 6 mode matrik
q4(MATRIKS) Menentukan matrik dan input elemen matrik.
u invers
A. PENJUMLAHAN PENGURANGAN DAN PERKALIAN MATRIKS
Untuk mengoperasikan matrik dilakukan dengan mengubah mode matriks yaitu mode 6.
Kemudian menentukan matriks yang akan dioperasikan dan meng-input elemen
elemennya dengan q4(MATRIKS), dilanjutkan dengan men-input operasi matrik yang
dimaksudkan
Contoh soal dan jawaban
1. Diketahui Matrik
10
7
56
34
32
10CA B
Tentukanlah :
a. 5A + 2 B
b. 6 A – 3 B
c. A X B
d. AT X B
JAWAB
Masukkan semua data terlebih dahulu
Mode Matrik Ww6C
Menentukan matriks A
dan input elemennya q42(DATA)1(MatA) 5 (2 X 2 ) 0=1=2=3=
Menentukan matriks B
dan input elemennya q42(DATA)2(MatB) 5 (2 X 2 ) 4=3=6=5=
Menentukan matriks C
dan input elemennya q42(DATA)3(MatC) 6 (2 X 1) 7=10=C
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 29
a. Hitung operasi 5A + 2 B
b. Hitung operasi 6 A – 3 B
c. Hitung operasi A X B
d. Hitung operasi AT X B
2. Diketahui Matrik
3
7
4
57
2
3
4
3
2
4
35
2
3
1
BA
Tentukan
a. A+2B
b. AxB
c. ATxB-1
Mengi-input operasi
5A + 2 B
5q4(MATRIKS)3( Mat A )+2q4(MATRIKS )4 (Mat B)
Menampilkan hasil =
Mengi-input operasi
6 A – 3 B
6 q4(MATRIKS)3( Mat A ) -
3q4(MATRIKS )4 (Mat B) Menampilkan hasil
=
Mengi-input operasi
A X B
q43 q44=
Menampilkan hasil =
2126
56
Mengi-input operasi
AT X B
q48(Trn )q43(Mat A ) )q44(Mat A )
Menampilkan hasil =
1822
1012
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 30
Masukkan semua data terlebih dahulu
Catatan :
Untuk mendpat angkha pecahan input gunakan a.Keluaran lihat hasil kanan
bawah.
a. Hitung operasi A+2B
b. Hitung operasi A X B
c. Hitung operasi AT X B-1
Mode Matrik Ww6C
Menentukan matriks A
dan input elemennya q42(DATA)1(MatA) 5 (2 X 2 ) 1a3=2a5=p3a4=2a3=
Menentukan matriks B
dan input elemennya q42(DATA)2(MatB) 5 (2 X 2 ) p4a3=2a7=5a4=7a3=C
Mengi-input operasi
A + 2 B
q4(MATRIKS)3( Mat A )+2q4(MATRIKS )4 (Mat B)
Menampilkan hasil
=
3
16
4
735
34
3
7
Mengi-input operasi
A X B
Cq43 q44=
Menampilkan hasil
=
126
169
6
1135
36
18
1
Mengi-input operasi
AT X B
Cq48(Trn )q43(Mat A ) )q44(Mat B )u
Menampilkan hasil
=
2185
632
2185
6323
6
184
91
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 31
B. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
1. Cari determinan dan invers matriks A
1. Carilah determinan dan Invers Matriks A2X2
A =
35
12 (ordo 2 x 2 )
a. Tentukan det A
b. Tentukan invetrs A
Jawab :
a. Menentukan Det A
b. Menentukan Invers matrik A atau A-1
C. PERSAMAAN MATRIKS
Untuk menyelesaikan persamaan matrik gunakan persamaan berikut
BAX
BAX
1
atau
1
BAX
BXA
Contoh soal dan jawaban
Mode Matriks Ww6C
Menentukan matriks A
dan input elemennya q42(DATA)1(MatA) 5 (2 X 2 )
2=1=5=3=C
Menentukan determinan
matriks A q47(det (q43 (MAT A))=
Menampilkan hasil = 1
Meng-input Invers
Matriks A atau (A-1) q43u
Menampilkan hasil =
25
13
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 32
21
53
42
86
34
23CBA
Tentukanlah X yang memenuhi:
a. AX= B
b. CX= A+B
c. XA=BC
Langkah-langkah
Memasukan matriks
a. Menentukan matriks X dari persamaan AX= B Matrik X ditentukan dari persamaan X=A
-1B
b. Menentukan matriks X dari persamaan CX= A+B Matrik X ditentukan dari persamaan X=C
-1(A+B)
Jadi Matrik X=
715
1528
Mode Matrik Ww6C
Menentukan matriks A
dan input elemennya q42(DATA)1(MatA) 5 (2 X 2 ) 3=2=4=3=
Menentukan matriks B
dan input elemennya q42(DATA)2(MatB) 5 (2 X 2 ) 6=8=p2=p4=
Menentukan matriks C
dan input elemennya q42(DATA)3(MatC) 5 (2 X 2 ) 3=5=p1=p2=C
Meng-input operasi
A-1
B q43(MatA) u q44
Menampilkan hasil =
22
2226
Meng-input operasi
C-1
(A+B)
q45(MatC) u
(q43(MatA)+q44(MatB))
Menampilkan hasil =
715
1528
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 33
c. Menentukan matriks X dari persamaan XA= BC Matrik X ditentukan dari persamaan X=(BC)A
-1
Jadi Matrik X=
715
1528
LATIHAN SOAL
1. Dikethui
23
11
13
12BdanA Tentukan Matrik .......2 BA
2. Jika,
01
25
20
11,
43
21CdanBA , maka bentuk yang paling
sederhana dari (A+C)(A-B) adalah ... .
3. Jika matriks
63
42
51
404
132BdanA , maka hasil dari 2AXB= ... .
4. Diketahui matriks , dan matriks , M atriks adalah ... .
5. Diketahui matriks , dan matriks , 12 BA = ... .
6. Jika , dan matriks , maka 21)( BAT = ... .
7. Jika
2
1
4
343
A dan
5
31
53
2
B , , maka = ... .
Meng-input operasi
(BC)A-1
(q44(MatB)
q45(MatC))q43u
Menampilkan hasil =
715
1528
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 34
8. Jika X adalah matriks berordo 2x2 berlaku hubungan
23
11
23
12X maka X =
... .
9. Jika
13
34
23
11
23
12P maka P = ... .
10. Dikethui , tentukan det A2
11. Tentukan, determinan dan invers matriks
12. Sebuah perusahaan memproduksi Tiga jenis barang yang dijual di tiga kota dengan
dengan hasil penjualan dan harga seperti berikut ini :
Kota
Jumlah terjual
Produk P Produk Q Produk R
A 561 435 423
B 345 543 410
C 500 550 435
Harga produk P : Rp 400.000, produk Q : Rp 450.000, Produk R : Rp 500.000
Hitung total penjualan untuk produk A , B dan C dengan matrik
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 35
BAB V
VEKTOR
Untuk mengoperasikan vektor matrik dilakukan dengan mengubah mode vektor
yaitu mode 8. Kemudian menentukan matriks yang akan dioperasikan dan meng-input
elemen elemennya dengan q5(MATRIKS), dilanjutkan dengan men-input operasi matrik
yang dimaksudkan
Rumus Dasar
1. Hasil kali skalar vektor a
dengan vektor b
adalah a
.b cosba
2. Sudut antara 2 vektor yaitu ba
ba
.
cos
3. Proyeksi vektor
a. Proyeksi skalar ortogonal vektor pada vektor yaitu
b
baba
.
b. Panjang proyeksi skalar ortogonal vektor pada vektor yaitu
b
baba
.
Proyeksi vektor ortogonal vektor pada vektor yaitu
bb
baba
.
Pemakaian fungsi tombol kalkulator
Tombol Kegunaan
Op+Psa Melakukan operasi aljabar
Ww8 Memulai operasi pada vektor
q5 Menghitung operasi pada vektor
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 36
Contoh
1. Diketahui a = 3i + 7j – 4k dan b = i – 5j + 8k. Tentukan
a) Besar masing-masing vektor
b) a + 2b
c) a.b
d) axb
e) Sudut antara vektor a dan b
f) Proyeksi vektor a pada vektor b
jawab
Masukkan semua data terlebih dahulu
a. Menentukan besar vektor a dan vektor b
Besar Vektor a =8.602325 dan besar vektor b = 9.486832
b. Menentukan vektor a + 2b
vektor a + 2b = 5i -3j +12k
Mode Vektor Ww8C
Menentukan Vektor a
dan input elemennya q5111 3=7=p4=C
Menentukan Vektor b
dan input elemennya q5121 1=p5=8=C
Menentukan besar Vektor a qcq53)= 8.602325
Menentukan besar Vektor b qcq54)= 9.486832
Meng-input operasi a + 2b q53(VctA)+ 2q54(VctB)
Menentukan hasil = 1235
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 37
c. Menentukan vektor axb
vektor a x b = 36i -28 j -22k
d. Menentukan hasil a.b
a .b = -64
e. Sudut antara vektor a dan b gunakan rumus ba
ba
.
cos
ba
ba .cos 1
Sudut antara vektor a dan b = 141.6494199 derajat
Menentukan besar Vektor
a X b Cq53(VctA)O q54(VctB)
Menentukan hasil = 222836
Menentukan besar Vektor
a.b
C q53 q57 (.)q54=
Menentukan hasil =-64
Meng-input operasi
ba
ba .cos 1
Cqk(cos-1)( q53(VctA) q57 (.)q54(VctB)) P(qcq53(VctA) )qcq54(VctB) ))
Menentukan hasil = 141.6494199
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 38
f. Proyeksi skalar ortogonal vektor a pada vektor b gunakan rumus b
baba
.
Proyeksi skalar ortogonal vektor a pada vektor b = -6.746192234
Latihan
1. Diketahui a = 13i +17j – 14k dan b = 9i – 15j +1 8k. Tentukan
a. Besar masing-masing vektor
b. 2a - b
c. a.b
d. axb
2. Diketahui a = 5
2i + 5j – 6k dan b =
7
3i – 5j -15k. Tentukan
b. 3a + 2b
c. Besar vektor a+3b
d. sudut antara vektor a dan b
e. vektor satuan yang tegak lurus dengan vektor a dan b
3. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, –3, 2), dan R(–1, 0, 2). Tentukan besar sudut PRQ .
4. Diketahui 2a , 9b , 5ba . Tentukan besar sudut antara vector a dan vector b
5. Tentukan besar sudut antara
4
12
23
a dan
3
30
12
b .
Meng-input operasi
b
ba
.
C( q53(VctA) q57 (.)q54(VctB))
Pqcq54(VctB) )
Menentukan hasil =-6.746192234
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 39
6. Jika 2a , 3b , dan sudut ( b,a ) = 120°, maka ....b2a3
7. Diketahui 13a , 1b 1, 1 ba 0. Tentukan panjang vector a + b .
8. Diketahui 6a ; ( a – b ).( a + b ) = 0, dan a ( a – b )=3. Tentukan besar sudut antara vector
a dan b .
9. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(12,2 2, 0) dan C(0,- 2,-12). Tentukan proyeksi orthogonal
____
AB pada ____
AC .
10. Diketaui vector kjia 443 , kjib 32 , dan kjic 534 . Tentukan panjang
proyeksi vector cba pada )( .
11. Diketahui vector kjiu 64221 dan kjiv 422 . Tentukan Proyeksi vector orthogonal
u pada v .
12. Diketahui vector
2
x
1
a ,
1-
1
2
b , dan proyeksi a pada b adalah 6
2. Sudut antara a dan
b adalah α, tentukan nilai cos α .
13. Panjang proyeksi orthogonal vector pkjibvektorpadakjia 23523 , pada
adalah 5 Tentukan nilai p .
14. Diketahui titik A(4, 9, –8) dan B(–4, –3, 2). Titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan 1 :
3.Tentukan panjang ____
PB .
15. Diketahui titik A(2,3,-4) B(-4,6,-7) dan C(0,-4,1) tentukan luas segitiga ABC
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 40
BAB VI
TRANSFORMASI
Beberapa jenis transformasi : pencerminan (refleksi), perputaran (refleksi), perkalian (dilatasi)
JENIS MATRIKS TRANSFORMASI
Pencerminan terhadap sb. X
10
01
Pencerminan terhadap sb. Y
10
01
Pencerminan thd. grs y = x
01
10
Pencerminan thd. grs y = – x
01
10
Rotasi sebesar 90o thd. O(0,0)
01
10
Rotasi sebesar 180o thd. O(0,0)
(refleksi thd O(0,0))
10
01
Rotasi sebesar
cossin
sincos
Dilatasi k thd. O(0,0)
k
k
0
0
Refleksi terhadap garis y = mx
2
2
2
22
2
1
1
1
21
2
1
1
m
m
m
mm
m
m
m
Dilatsi dengan Pusat O(0,0) dan skala k
k
k
0
0
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 41
A. Transformasi titik
Kita menggunakan operasi matrik untuk menentukan banyangan satu atau beberapa titik
Contoh
1. Tentukan bayangan titik A(3,1), B(2,-5) dan C(-3,4) oleh pencerminan terhadap sumbu x
[Matrik transformasi] [titik]=[Banyangan titik]
Secara umum dapat digmbarkan
nasihTransforma
Matrik
Asal
Titik=
Akhir
Titik
10
01
451
323
=
1''
'''
' CBA
CBA
yyy
xxx
Langkah langkah
Bayangan titik A adalah A’(3,-1) Bayangan titik B adalah B’(2,5) Bayangan titik C adalah C’(-3,-4)
Mode matrik
Ww6
Menentukaan matrik A
15
Mengisi koefisien matrik A
1=0=0=p1=C
Menentukaan matrik B
q124
Mengisi koefisien matrik B
3=2=p3=1=p5=4=C
Mengalikan matrik A dengan Matrik B
q43Oq44
Menampilkan hasil =
451
323
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 42
2. Tentukan bayangan titik A(3,1), B(2,-5) dan C(-3,4) oleh pencerminan terhadap sumbu Rotasi
dengan pusat 0(0,0) sejauh 60o
60cos60sin
60sin60cos
451
323=
1''
'''
' CBA
CBA
yyy
xxx
Langkah langkah
Bayangan titik A adalah A’(0.6339;3.098)
Bayangan titik B adalah B’(5.3302;-0767)
Bayangan titik C adalah C’(-4.965,-0.598)
Transformasi Kurva
secara umum tranformasi kurva y=f(x) dilakukan dengan cara
siTransforma
Matrikx
y
x
'
'
y
x
y
x
siTransforma
Matrik
'
'
y
x
Setup sudut dalam derajat Wqw3
Mode matrik
Ww6
Menentukaan matrik A
15
Mengisi koefisien matrik A
k60)=pj60)=j60)=k60)=C
Menentukaan matrik B
q4124
Mengisi koefisien matrik B
3=2=p3=1=p5=4=C
Mengalikan matrik A dengan Matrik B
q43Oq44=
Menampilkan hasil =
598.0767.0098.3
965.43301.56339.0
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 43
Hasil x dan y disubtitusikan ke kurva asal
contoh
1. Tentukan bayangan garis y = 2x + 3 oleh pencerminan garis y = x
Matrik pencerminan y = x adalah M=
01
10
Menentukan invers Matrik M
Invers Matriks A adalah
Tentukan bayangan dari persamaan berikut
'
'
01
10
y
x
y
x
x= 0x+1.y ’= y’
y= 1.x’ +0y’ = x’
bayangan adalah x’=2y’+3 atau x=2y+3 atau y= -2
3
2
1x
3. Tentukan bayangan garis y = 2x + 3 oleh matrik transformasi M=
31
52
Menentukan invers Matrik M
Mode matrik
Ww6
Menentukaan matrik A
15
Mengisi koefisien matrik A
0=1=1=0=C
Menentukan invers Matriks A (q43)u
Menampilkan hasil =
01
10
01
10
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 44
Invers Matriks A adalah
X dan y ditentukan oleh persamaan
'
'
21
53
y
x
y
x
sehingga x = 3 x’ -5 y’
y = -x’ +2 y’
Bayangan y = 2x + 3 menjadi -x’ + 2y’ =2(3x’ – 5y’) +3
x + 2y = 6x - 10 y + 3
12y = 5x + 3
12
3
12
5 xy
Komposisi transformasi
suatu titik A(x,y) ditransformasikan oleh matrik M1 dilanjutkan oleh matrik M2 digambaran
M2.M1
y
x=
'
'
y
x
Contoh
1. Tentukan bayangan titik A(3,1), B(2,-5) dan C(-3,4) oleh pencerminan terhadap sumbu y
dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat O(0,0) dan skala 3
30
03
10
01
=
1''
'''
' CBA
CBA
yyy
xxx
Langkah langkah
Mode matrik
Ww6
Menentukaan matrik A
15
Mengisi koefisien matrik A
3=5=1=3=C
Menentukan invers Matriks A (q43)u
Menampilkan hasil =
21
53
21
53
451
323
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 45
Bayangan titik A adalah A’(-9;-9)
Bayangan titik B adalah B’(-6;-6)
Bayangan titik C adalah C’(9;9)
4. Tentukan bayangan garis y = 6X - 4 0leh matrik transformasi M=
21
32dilanjutkan oleh dengan
dilatasi dengan pusat O(0,0) dan skala 2
M = M2 M1=
20
02
21
32=
42
62
Menentukan invers Matrik M
Mode matrik
Ww6
Menentukaan matrik A
15
Mengisi koefisien matrik A
3=0=0=3=C
Menentukaan matrik B
q4125
Mengisi koefisien matrik B
3=2=p3=1=p5=4=C
Menentukaan matrik C q4124
Mengisi koefisien matrik C
3=2=p3=1=p5=4=C
Mengalikan matrik A dengan Matrik B dan Matrik C
q43Oq44Oq45=
Menampilkan hasil =
969
969
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 46
Invers Matriks M adalah
5.05.0
5.11
x dan y ditentukan dari persamaan berikut :
Mengisi koefisien matrik
'
'
5.05.0
5.11
y
x
y
x
sehingga x = - x’ – 1.5 y’
y = 0.5 x’ – 0.5 y’
Bayangan y = 6x + 3 menjadi - x’ – 1.5 y’=6(0.5 x’ – 0.5 y’) - 4
x – 1.5y = 3x - 3 y - 4
1.5 y = 2x – 4 kalikan 2
3 y = 6x – 8
3
82 xy
Mode matrik
Ww6
Menentukaan matrik A
15
Mengisi koefisien matrik A
2=6=2=34C
Menentukan invers Matriks A (q43)u
Menampilkan hasil =
5.05.0
5.11
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 47
Soal-soal
1. Tentukan bayangan titik A(2,1) B(-6,3) dan C(5,-4) oleh
a. Pencerminan garis y = - x
b. Dilatasi dengan pusat O(0,0) skala = 4
c. Matrik Transformasi
34
21
d. Rotasi dengan pusat O(0,0) sejauh 120o
e. Garis y = - 2x+3
2. Tentukan bayangan garis 2 x + 3y = 10 dicerminkan y = - x
3. Tentukan bayangan garis y = 4 x + 3 Dilatasi dengan pusat O(0,0) skala = 4
4. Tentukan bayangan garis y = x 2 oleh Matrik Transformasi
34
21
5. Tentukan bayangan garis 4 x + 3y = 12 Rotasi dengan pusat O(0,0) sejauh 120o
6. Tentukan bayangan garis 2x + 3y = 6 oleh pencerminan garis y = 3x
7. Tentukan bayangan garis x2
+ y2
- 2x - 6y - 6 = 0 percerminan garis x = 3
8. Tentukan bayangan garis 3x + 5y = 15 jika dicerminkan sumbu x dilanjutakan rotasi
90o dengan puast O(0,0)
9. Tentukan bayangan garis y = 2x +4 jika dicerminkan garis y = x dilanjutkan oleh
matrik
35
12
10. Tentukan bayangan garis y = 3x +5 jika ditransformasikan berturut-turut oleh matrik
matrik
35
12
32
11dan
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 48
BAB VII
FUNGSI, PERSAMAAN
EKSPONEN DAN LOGARITMA
FUNGSI EKSPONEN
Bentuk umum )()( xUaxf , a > 0 a≠ 1 disebut fungsi eksponen dengan bilangan
pokok a
Untuk menggambar dapat digunakan fungsi tabel pada kalkulator
Contoh.
1. Gambarlah grafik fungsi y = 2X+1 , pada interval -4 < x < 4
Langkah langkah
2) Masukan persamaan
Mode tabel Ww7
Meng-input fungsi 2^$Q)(x)+1
Meng-input stars , step dan end
=p 4=4=1=
Menampilkan hasil =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
F(X) 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 49
Gambar seperti berikut ini
2. Gambarlah grafik fungsi y =
1
3
1
x
, pada interval -4 < x < 3
Langkah langkah
Mode tabel Ww7
Meng-input fungsi (a$3$)^$Q)(x)+1
Meng-input stars , step dan end
=p 4=3=1=
Menampilkan hasil =
1
2
3
4
5
6
7
X
-4
-3
-2
-1
0
1
2
F(X)
27
9
3
1
0.333
0.111
0.037
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 50
Gambar seperti berikut ini
Persamaan eksponen
A. Bentuk ba xf )(
Untuk f(x) linear gunakan fungsi solve untuk menyelesaian persamaan tanpa
harus menyamakan bilangan pokok dahulu, karena hasilnya hanya ada satu x
yang memenuhi
Contoh .
1. Tentukan x yang memenuhi persamaan 273 12 x
Langkah-langkah
Yang memenuhi persamaan 273 12 x
adalah x = 2
Untuk f(x) tidak linear kita harus ubah sehingga bilangan pokoknya sama,
persamaan f(x) = na log kita selesaikan dengan kalkulator
Mode Matematika Ww1
Meng-input persamaan 3^2Q((x)p1$Qr(=)27
Menggunakan fungsi
solve qr(solve)
Menampilkan hasil = 2
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 51
Contoh
2. Tentukan x yang memenuhi persamaa 52 42 xx
Kita ubah
05log4
5log4
22
22
22
5log242
xx
xx
xx
Selesaikan dengan persamaan kuadrat
yang memenuhi persamaa 52 42 xx
adalah x1 = - 0.4249 x2 = - 53.579
af(x)= ag(x)
Untuk f(x) linear gunakan fungsi solve untuk menyelesaian persamaan tanpa harus menyamakan bilangan pokok dahulu, untuk f(x) atau g(x) tidak linear samakan bilangan pokoknya, selesaikan dengan persamaan kuadrat
Contoh
3. Tentukan x yang memenuhi persamaa 52132 1642 xxx
Kita ubah menjadi
092
104132
44
)4(4
2
2
104132
522132
2
2
xx
xxx
xxx
xxx
Mode Persamaan Ww53
Meng-input koefisien
persamaan kuadrat 1=4=i2)(5)=
Menampilkan hasil = x1 = - 0.4249 R x2 = - 53.579
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 52
Yang memenuhi persamaa 52132 1642 xxx
adalah danx4
7311
4
7312
x
)()( )()( xgxf xhxh
623 )2()2(2 xxx xx
Mode Persamaan
kuadrat Ww53
Meng-input koefisien
persamaan kuadrat 2=p1=p9===
Menampilkan hasil =
4
7311
x
R
4
7312
x
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 53
23
4
1 xy
12 23 xxy
3264
113
x
315 273 xx
3
5322
3
19
x
xx
2
3223223
xx
322
103103
xx
xx
0322.322 xx
063.53 142 xx
25
32
2
3
qp
qp
25
32
92
3
p
qp
Mode Persamaan Ww53
Meng-input koefisien
persamaan kuadrat 1=p1=p6=
Menampilkan hasil = x1 = 3 R x2 = - 2
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 54
FUNGSI LOGARITMA
Bentuk umum xxf a log)( , a > 0 a≠ 1 disebut fungsi logaritma bilangan pokok a
Untuk menggambar dapat digunakan fungsi tabel pada kakulator
Contoh.
1. Gambarlah grafik fungsi y = x3log2 , pada interval 0< x < 15
Langkah langkah
Daerah interval dari 0.125 sampai 1 dengan step 0.25
Daerah interval dari 1 sampai 18 dengan step 1
Mode tabel Ww7
Meng-input fungsi i2$3Q)(x)
Meng-input
=0.25=1=0.25=
Menampilkan hasil = 1 2 3
X 0.125 0.375 0.625 0.875
F(X) - 1 0.5849 1.3 1,8
Mode tabel Ww7
Meng-input fungsi i2$3Q)(x)
Meng-input
=1=18=1=
Menampilkan hasil (dipilih yang
bulat saja) =
1 2 3 8 16
X 1 2 4 8 16
F(X) 2 3 4 5 6
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 55
2.Gambarlah grafik fungsi y = x3log3
1
, pada interval 0< x < 15
Langkah langkah
Daerah interval dari 27
1sampai 1 dengan step 0.25 (dapat menggunakan ketentuan lain)
Daerah interval dari 1 sampai 18 dengan step 0.25
Mode tabel Ww7
Meng-input fungsi i2$3Q) (x)=
Meng-input
a1$27=1=0.25=
Menampilkan hasil (dipilih yang
bulat saja) =
1
2
3
X
0.37
0.287
0.787
F(X)
0.371
-0.488
-0.819
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 56
nxua )(log
6)12log(2 x
Mode tabel Ww7
Meng-input fungsi i2$3Q) (x)=
Meng-input
1=27=1=
Menampilkan hasil (dipilih yang
bulat saja) =
1 3 9 20
X 1 3 9 20
F(X) -1 -2 -3 -3.726
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 57
6)12log(2 x
3)32log( 22 xx
na alog
0832
232
2log)32log(
3)32log(
2
32
3222
22
xx
xx
xx
xx
)(log)(log xgxf aa
ModeMatematika Ww1
Meng-input persamaan i22$Q( p1
$Qr 6
Menggunakan fungsi solve qr(solve)
Menampilkan hasil = 32.5
Mode Persamaan kuadrat Ww53
Meng-input koefisien
persamaan kuadrat 2=p3=p8=
Menampilkan hasil =
4
7331
x
R
4
7332
x
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 58
)1log(1)1log( 923 xx
0107
9912
)1(9)1(
)1(9log)1log(
)1log(9log)1log(
)1log(9log)1log(
2
2
22
9229
99229
992232
xx
xxx
xx
xx
xx
xx
)1log(1)1log( 55 xx
5)1log(
6)1log(
2
2
x
x
)1
2log(log
1log
2
x
xx
x
x
xxx
xxx
log
1
log
1
log
1)93log(
2
5
5
3
3
2
2
4)3log(log 22 xx
24log.3)1log( 14 xx
)21log(3log).1log( 5523 xx
Mode Persamaan kuadrat Ww53
Meng-input koefisien persamaan
kuadrat 1=p7=+10=
Menampilkan hasil =
2
5
2
1
x
x
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 59
1)2
3log()32log( 42 xx
x
xx
x
x
1
2loglog
1log
2
yx
yx
log21)4log(
1)53log(22
3
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 60
JAWABAN SOAL
BAB I INTEGRAL
1. 12
52730
2. 98
3. -4,469442089
4. 2
5. 3
11
6. 0.2255621096
7. 3
17
8. 1703
2
9. 4 3
10. 48
4732
11. 3
12. 15
813
13. ( 293
1 )
14. 5
325
15. 59.5086162
BAB II PROGRAM LINEAR
1. 23
2. 180
3. 10
4. Rp 26 000,00
5. Rp 700.000.000,00
6. 4 sapi dan 11 kerbau
7. Rp 22.000.000,00
8. Rp 680.000.000,00
9. 15 dan 8
10. Rp 90.000,00
BAB III DERET
1 a. 353000
b. 671.4629471
2. a. 749 b. 20
3. 660 4. Rp 49.500.000,00 5. 230 6. 78 7. 2 8. 21 9. Rp. 185.000.000 10. 70
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 61
11. 762 12. Rp. 2.450
13. 2 + 2 2
14. 4
1
15. – 108
BAB IV MATRIK
1.
59
14
2.
1028
1436
3.
8816
3222
4.
613
413
5.
5.125.3
5.225.5
6.
8
45
16
1718
57
6
223
7.
7654.3351.0
8703.2194.0
8.
13
01
9.
2845
914
10. 2.50694444
11. determinan = 5
107
invers =
107
65
107
6
107
15214
125
107
14
214
37107
70
107
10
107
25
12. Rp 31.1650.000, Rp. 58.7350.000 , Rp
66.5000.000
BAB V VEKTOR
1. a. 23538406.1957342371.25 ba
b . 17i+49j-36k
c. -250
d. -74 i -2309j – 348 k
2. a. kji 48535
72
b. 51.998447721
c. 58.2065566o
b. -0.9986910838 i + 0.0326103211 j –
0.039404138 k
3. 90o 4. 135o 5. 83,5287o 6. 12 7. 14.605o
MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 62
8. 60o 9. 0i +6.7272 j +40.3636 k 10. 4.2426
11. 2
617
12. 9
6
13. 6
14. 2
773
15. 30.14962686
BAB VI TRANSFORMASI
1. a. )5,4('),6,3('),2,1(' CA B
b. )16,20('),12,24('),4,8(' CA B
c. )8,13('),15,12('),11,0(' CA B
d. )33012.6,9641.0('),696.6,4019.0('),2321.1,866.1(' CA B
e. )5
8,
20
139(',3,
10
69('),
5
11,
10
7('
CA B
2. 2 x + 3y = -10
3. y = 4 x + 12
4. 22 41244911
1yxyxxy
5. 24)334()334( yx
6. x + 18y = 30
7. x2 + y2 - 10x - 6y +18 = 0
8. 5x + 3y = - 15
9. 13x - 5y - 4 =0
10. 53x - 19y + 5 =0
BAB VII EKSPONEN
1. a
b.
Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 63
2. a. 9
2
b. 5
c. X1= 1.128902443 , X2= -2.878902443
d. 0.371522536
e. -1, 3, 3
11,
3
10
f. 2 dan 3
g. 184535123.012log2
1 3
j 0.7864499969
BAB VIII LOGARITMA
1. 449489743.26
2. 632
1dan
3. 3
1
4. 2
5. 65539
6. 634
3dan
7. - 4 dan 5
8. 2
5
9. 3
1
10. x = 2.372281324 , y = 1.457427108