MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 2012 · PDF fileParsial Substitusi ... Pengertian ... 1 1: ab/c...

Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA i

MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA

2012

MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA ii

MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA

Penyusun

Drs. Slamet Wibowo

Seno Soebekti, Spd.

Dra. Lutfinayati

Penyunting

Team MGMP Matematika

DKI

Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA iii

2012

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa senantiasa terpanjatkan atas rahmat dan hidayah

yang terlimpah dengan terbitnya Suplemen Pembelajaran Matematika dengan media Kalkulator ini.

Suplemen pembelajaran ini merupakan wujud dari visi dan misi MGMP Matematika SMA Provinsi

DKI Jakarta dalam kiprahnya meningkatkan prestasi belajar siswa dalam rangka mencerdaskan

kehidupan bangsa.

Ucapan terimaksih kami tujukan kepada Bapak Budiana selaku Kepala seksi kurikulum Dinas

Pendidikan Provinsi DKI Jakarta, atas sumbang saran dan dukungan moril sehingga suplemen ini

dapat diselesaikan tepat pada waktunya. Kami juga mengucapkan terimakasih setinggi-tinginya

kepada Bapak Wicak dari Kasio Indonesia yang telah memberikan dukungan peralatan yang sangat

membantu kami dalam penyusunan suplemen ini. Tak lupa kami mengucapkan terimakasih kepada

Bapak Sarjito selaku ketua MGMP Matematika Provinsi DKI yang telah memberikan kepaercayaan

kepada kami untuk dapat merealisasikan gagasan pembelajaran menggunakan media Kalkulator ini.

Suplemen ini disusun dan diterbitkan untuk membantu para siswa SMA/MA dalam meningkatkan

kompetensi siswa pada pelajaran Matematika di tingkat Sekolah Menengah Atas. Pemanfaatan

Kalkulator dalam proses pembelajaran Matematika diharapkan mampu mendorong kreativitas dan

motivasi belajar siswa, karena kalkulator mampu membantu memecahkan masalah yang rumit

sehingga siswa dapat pacu untuk meningkatkan daya analisisnya. Dengan demikian pada akhirnya

diharapkan dapat meningkatkan efisiensi dan efektivitas belajar sehingga mempertajam kesiapan

dalam meraih sukses pada Ujian Nasional.

Meskipun demikian tinggi harapan kami, menyadari berbagai keterbatasan, suplemen ini tentu

masih banyak kekurangan dan tentu jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, mohon kiranya para

pembaca dan para pengguna, khususnya teman sejawat kami sudi kiranya memberikan masukan

dalam bentuk kritik dan saran untuk perbaikan dan penyempurnaannya pada edisi-edisi berikutnya.

Akhirnya, semoga suplemen ini dapat digunakan buku ini dapat berguna peningkatan mutu

pembelajaran pada umumnya dan matematika pada khususnya

Jakarta, Desember 2011

Tim Penulis

MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA iv

Sambutan Kepala Seksi Kurikulum Bidang SMP/SMA

Dinas Pendidikan Provinsi DKI Jakarta

Salah satu upaya Dinas pendidikan Provinsi DKI Jakarta adalah memacu kualitas

pembelajaran yang menghasilkan lulusan yang kreatif dan inovatif. Di tengah perkembangan

teknologi yang pesat, maka para pendidik harus terus mengembangkan kreatifitas dan inovasi

dalam memanfaatkan teknologi untuk pembelajaran sehingga mengoptimalkan pencapaian

kompetensi peserta didik dan sekaligus membangun kreatifitas dan inovasi. .

Kalkulator Seri Pendidikan atau Education Series merupakan produk teknologi yang

dirancang untuk membantu siswa dalam memecahkan masalah-masalah matematika dalam

kehidupan sehari-hari. Pemanfaatan kalkulator dalam pembelajaran matematika perlu dilakukan

agar mengoptimalkan pencapaian kompetensi peserta didik sekaligus agar para lulusan dapat

dengan cepat menyesuaikan diri dengan perkembangan teknologi. Untuk itu Musyawarah Guru

Mata Pelajaran (MGMP) Matematika SMA Provinsi DKI Jakarta berkerja sama dengan Casio

Indonesia telah melakukan rintisan pengintegrasian pemanfaatan kalkulator seri pendidikan ke

dalam media belajar, metodologi, pendekatan dan teknik pembelajaran sejak tahun 2010, melalui

serangkaian kegiatan anatar lain : workshop pemanfaatan kalkulator seri pendidikan untuk guru,

lomba matematika kalkulator (Mator) untuk siswa, dan penyusunan silabus pembelajaran

matematika yang mengintegrasikan pemanfaatan kalkulator seri pendidikan.

Dari serangkaian uji coba pemanfaatan kalkulator dalam pembelajaran matematika

ternyata kalkulator dapat meningkatkan rasa percaya diri bahwa setiap masalah dalam perhitungan

matematika pasti dapat diselesaikan seberapa besar atau kecilnya hasil akhir. Disamping itu

penggunaan kalkulator pada situasi yang tepat dapat : mempercepat pencarian pola-pola umum,

Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA v

menghilangkan ketakutan siswa akan kegagalan perhitungan, menimbulkan motivasi dan rasa

percaya diri serta menghindari perhitungan rutin dan berlarut-larut.

Suplemen diharapkan dapat membantu para guru matematika dalam mengintegrasikan

pemanfaatan kalkulator dalam pembelajaran sehingga meningkatkan kualitas pembelajaran

Matematika pada jenjang SMA di Provinsi DKI Jakarta. Suplemen ini ini merupakan draft pertama

yang perlu terus disempurnakan sehingga mencapai hasil optimal. Ucapan terima kasih dan

penghargaan yang setinggi-tingginya saya sampaikan kepada PT. Casio Indonesia, MGMP

Matematika SMA Provinsi DKI Jakarta, para guru serta para siswa yang telah memberikan

kontribusinya dalam penyusunan suplemen ini.

Jakarta, Desember 2011

Kepala Seksi Kurikulum Bidang SMP/SMA

Dinas Pendidikan Provinsi DKI Jakarta

Drs. H. Budiana, MM

MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA vi

DAFTAR ISI

Kata Pengantar i

Sambutan Kepala Seksi Kurikulum Bidang SMP/SMA ii

Daftar isi iv

Silabus Pembelajaran berbasis kalkulator 1

Menoperasikan Kalkulator 6

1. Integral 9

2. Program Linear 14

3. Notasi Sigma, Barisan dan Deret 21

4. Matrik 27

5. Vektor 34

6. Transformasi 40

7. Eksponen dan Logaritma 48

8. Kunci Jawaban 58

Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA vii

SILABUS

Nama Sekolah : SMA

Mata Pelajaran : Matematika

Kelas/Program : XII / IPA

Semester : 1

Standar Kompetensi : 1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah.

Kompetensi

Dasar

Materi Pokok/

Pembelajaran Indikator Waktu Sumber Belajar

1.1 Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu

Integral Tak tentu

Integral Tentu

Menentukan integral tentu dengan menggunakan sifat-sifat integral

Menyelesaikan masalah sederhana yang melibatkan integral tentu

2x45’

Sumber:

Suplemen

Pembelajaran

Matematika dengan

kalkulator

1.2 Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana

Teknik

Pengintegralan:

Substitusi

Parsial

Substitusi Trigonometri

Menentukan integral dengan dengan cara substitusi

Menetukan integral dengan dengan cara parsial

Menentukan integral dengan dengan cara substitusi trigonometri

1.3 Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volum benda putar

Luas Daerah

Volume Benda Putar

Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu pada koordinat.

Menghitung volume benda putar.

MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 2

Standar Kompetensi : 2. Menyelesaikan masalah program linear.

Kompetensi Dasar Materi Pokok/

Pembelajaran Indikator Waktu

Sumber

Belajar

2.1 Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya

Solusi Program

Linier

Menentukan nilai optimum dari fungsi objektif

Menafsirkan solusi dari

masalah program linear

2x45’

Sumber:

Suplemen Pembelajaran Matematika dengan kalkulator

Standar Kompetensi : 3. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan

masalah.



Sumber

Belajar

3.1. Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain

Matriks

Operasi dan Sifat Matriks

Matriks Persegi

Melakukan operasi aljabar atas dua matriks

Mengenal invers matriks persegi

2x45’

Sumber:

Suplemen

Pembelajaran

Matematika

dengan

kalkulator

3.2. Menentukan determinan dan invers matriks 2x2

Determinan dan

Invers matriks

Menentukan determinan matriks 2x2

Menentukan invers dari

matrks 2x2

3.3. Menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel

Penerapan matrik

pada sistem

persamaan linier

Menentukan persamaan matriks dari sistem persamaan linier

Menyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan matriks invers

Suplemen Pembelajaran Matematika dengan Media Kalkulator Kelas XII SMA 3



Sumber

Belajar

3.4. Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah

Pengertian Vektor

Operasi dan sifat vektor

Menentukan operasi aljabar vektor : jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar, dan lawan suatu vektor

2x45’

Sumber:

Suplemen

Pembelajaran

Matematika

dengan

kalkulator

3.5. Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah.

Perkalian skalar

dua Vektor

Menentukan hasilkali skalar dua vektor di bidang dan ruang

3.6. Menggunakan transformasi geometri yang dapat dinyatakan dengan matriks dalam pemecahan masalah

Transformasi

Geometri

Menjelaskan arti geometri dari suatu transformasi bidang

Melakukan operasi berbagai jenis transformasi: translasi refleksi, dilatasi, dan rotasi.

Menentukan persamaan matriks dari transformasi pada bidang.

2x45’

3.7. Menentukan komposisi dari beberapa transformasi geometri beserta matriks transformasinya

Komposisi

Transformasi

Geometri

Menentukan aturan transformasi dari komposisi beberapa transformasi

Menentukan persamaan matriks dari komposisi transformasi pada bidang.


SILABUS

Nama Sekolah : SMA

Mata Pelajaran : Matematika

Kelas/Program : XII / IPA

Semester : 2

Standar Kompetensi : 4. Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah.



Sumber

Belajar

4.1. Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri

Barisan Bilangan

Barisan dan deret Aritmatika dan Geometri

Menghitung suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmetika dan deret geometri.

2x45’

Sumber:

Suplemen

Pembelajaran

Matematika

dengan

kalkulator

4.2. Menggunakan notasi sigma dalam deret dan induksi matematika dalam pembuktian

Notasi Sigma

Induksi Matematika

Menuliskan suatu deret dengan notasi sigma.

4.3. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret

Model

Matematika dari

masalah deret

Mengidentifikasi masalah yang berkaitan dengan deret.

Merumuskan model

matematika dari

masalah deret

4.4. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret dan penafsirannya

Solusi dari

masalah deret

Menentukan penyelesaian model matematika yang berkaitan dengan deret

Memberikan tafsiran terhadap hasil penyelesaian yang diperoleh


Standar Kompetensi : 5. Menggunakan aturan yang berkaitan dengan fungsi eksponen dan logaritma

dalam pemecahan masalah



Sumber

Belajar

5.1. Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah.

Fungsi eksponen

dan Logaritma

Menghitung nilai fungsi eksponen dan logaritma

Menyelesiakan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponen dan logaritma.

2x45’

Sumber:

Suplemen

Pembelajaran

Matematika

dengan

kalkulator

5.2. Menggambar grafik fungsi eksponen dan logaritma.

Grafik Fungsi

eksponen dan

Logaritma

Menentukan nilai fungsi eksponen dan logaritma untuk menggambar grafik

5.3. Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen atau logaritma dalam penyelesaian pertidaksamaan eksponen atau logaritma sederhana

Pertidaksamaan

Eksponen dan

Logaritma

Menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen dan syaratnya

Menentukan penyelesaian pertidaksamaan logaritma dan syaratnya


MENGOPERASIKAN KALKULATOR

SERI FX 991 ES

1. OPERASI DASAR

1 Menghidupkan Kalkulator W

2 Mematikan kalkulator qC

3 Penggunaan Tombol

a. Menampilkan karakter di sebelah kiri

q

b. Menampilkan karakter di sebelah kanan atas

Q

4 Menghapus

a. Menghapus satu karakter o

b. Menghapus semua karakter C

c. Menghapus setup Q9(CLR)1=C

d. Menghapus memori 2=C

e. Menghapus semua 3=C

2. MODE PERHITUNGAN

Ww

1 1 : COMP Perhitungan umum

2 2 : CMPLX Perhitungan bilangan komplek

3 3 : STAT Perhitungan statistika dan regresi

4 4 : BASE-N Perhitungan dengan basis N

5 5 : EQN Penyelesaian persamaan linear, persamaan

kuadrat dan persamaan pangkat tiga

6 6 : MATRIX Perhitungan matrik

7 7 : TABLE Menentukan nilai fungsi untuk domain

tertentu

8 6 : VECTOR Perhitungan Vektor

Ww

1: COMP 2: CMPLX

3:STAT 4: BASE-N

5:EQN 6: MATRIX

7:TABLE 8: VECTOR


3. SETUP KALKULATOR

qw (SETUP)

qw (SETUP)R

1 1: Mth IO Format tampilan matematika

2 2.LineIO Format tampilan linear

3 3.Deg Menetapkan satuan sudut derajat

4 4.Rad Menetapkan satuan sudut radian

5 5.Grad Menetapkan satuan sudut grads

6 6.Fix Menetapkan jumlah angka desimal

7 7. Sci Menetapkan jumlah angka dalam

bentuk baku

8 8 . Norm Menetapkan selang display eksponensial

1 1: ab/c Format pecahan campuran

2 2. d/c Format pecahan umum

3 3.CMPLX Menetapkan format bilangan

komplek

4 4.Stat Menetapkan tampilan frekuensi

5 5.Disp Menetapkan pemisah sedimal

6 6. Cont Menetapkan kontras display

(monitor)

qw (SETUP)

qw (SETUP)R


Contoh Operasi dasar kalkulator

1. Menghidupkan kalkulator W

2 Menghitung operasi

2 x 23+ 13: 4

2O23+13P4=

hasil = 4

197 n 49.25

3 Mengubah operasi menjadi 2 x 23+ 17: 4

!!!o=

hasil = 4

201 n 50.25

4 Menghapus memori q9(clr)2=C

5 Menghitung operasi bentuk pecahan

2

5

4

3

23

7

3

a3$7$+qaA3$

2$3$p(a4$5$)d

=

hasil = 525

1814 n 3.45523

6 Menghitung

sin 3

qw4

jaqx10xL$3$)=

hasil = 2

3 n 0.8660254038

catatan :

tombol yang diketikqx10x yang muncul

7 Menentukan nilai x dari

51212 X

2Q((x)p1$Qr(=)

512qr(solve)=

hasil x = 256.5

L-R =0

catatan :

tombol yang diketikQ( yang muncul x

8 Menentukan akar persamaan

2x2 - 3x - 5=0

Ww53

2=p3=p5==

hasil

x1 = 2

5 R

x2= - 1


BAB I

INTEGRAL

RINGKASAN MATERI

INTEGRAL TERTENTU FUNGSI ALJABAR

Pemakaian fungsi tombol kalkulator

Tombol Kegunaan

Op+Psa Melakukan operasi aljabar

y Menentukan nilai integral tertentu

Qn

Q)

Menuliskan variabel y

Menuliskan variabel x

Contoh

1. HITUNGLAH

Mode

Matematika Ww1

Tombol integral y

Memasukan

fungsi integran a1R2$Q)(x)^4$p3

Memasukan batas

integrasi $ p2E6

Menampilkan

hasil integral =(5

3764)

2. HITUNGLAH 3

1

2 1xx dx

Mode Matematika Ww1

Tombol integral y

Memasukan fungsi

integran Q)(x)sQ)(x)d +1 $

Memasukan batas

integrasi $1 E3

Menampilkan hasil

integral =(= 9.598116492


A. INTEGRAL TERTENTU FUNGSI TRIGONOMETRI

Contoh soal

1. Hitunglah

0

2 cos dxxx

Mode Matematika Ww1

Setup sudut radian qw4 Tombol integral y

Memasukan fungsi

integran Q)dkQ))

Memasukan batas

integrasi $0$ aqK$2

Menampilkan hasil

integral ( 1,291636899)

2. Hitunglah

0

3

0

3 cos)(sincossin dxxxdxxx =

Mode Matematika Ww1

Setup sudut radian qw4 Tombol integral y

Memasukan fungsi

integran jQ)(X))^3$kQ)(X))

Memasukan batas

integrasi $0EqK )(

Menampilkan hasil

integral =(7.118403934X10

-3)

C. APLIKASI INTEGRAL

Contoh Soal

1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = , garis x = -0,5 dan x = 16

Jawab

Karena antara x = - 0.5 sampai x = 16 tidak terdapat titik potong antara kurva

maka luasnya adalah = 16

5.034x

Mode Matematika Ww1

Tombol integral y

Memasukan fungsi

integran s4 Q)(X)+3$


Memasukan batas

integrasi $p0.5E16

Menampilkan hasil

integral =91,23643927

2. Tentukan luas yang dibatasi oleh kurva 122 2 xxy dan 622 xxy

Jawaban

Karena luas hanya dibatasi dua kurva maka batas yang dimaksud adalah titik potong antara kedua kurva tersebut

Menentukan titik potong

054

62122

2

22

xx

xxxx

Untuk menetukan x1 dan x2 kita bisa menggunakan kalkulator mode persamaan kuadrat, tetapi pada kasus ini persamaan cukup sederhana sehingga mudah di faktorkan

15

0)1)(5(

0542

xx

xx

xx

Batas integrasi adalah x = -1 dan x = 5

Luas = 5

1

2 54 dxxx

Mode Matematika Ww1

Tombol integral y

Memasukan fungsi

integran Q)(X)d3p4Q)(X)p5

Memasukan batas

integrasi $p1E5

Menampilkan hasil

integral =-36

Jadi luasnya adalah 36


3. Tentukan volume bangun ruang berikut jika diputar sumbu x sejauh 360 o

Jawaban

Tentukan titik potong dua kurva

y1=y2 x +7 = 9 – x2

x2 + x – 2 = 0

( x+ 2 )(x - 1 ) =0

x = -2 dan x = 1

Batas integrasi x= -2 dan x =1

Volume = 1

2

222 )7()9( dxxx

Mode Matematika Ww1

Tombol integral qK( )y

Memasukan fungsi

integran (9pQ((X)d)dp(Q)(X)+7)d

Memasukan batas

integrasi $p2E1

Menampilkan hasil

integral = 5

333


LATIHAN SOAL INTEGRAL

1.

2. dx

3.

4.

5.

6. 4

0

2cos

xdxx

7. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva,y = - x2 + 4x sb-x, garis x = 1 dan x = 3 adalah …

8. Luas daerah yang dibatasi oleh oleh kurva y = x2 - 2x dan y = - x2 +6x +24 adalah …

9. Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 + 2x dan garis y = 4x + 6 , sama dengan

… .

10. Luas daerah yang dibatasi oleh

11. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva adalah

...…

12. Daerah yang dibatasi oleh y = 4 – x2

, sumbu x, sumbu y, dan garis x = 1, Volume

benda putar yang terjadi, jika daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu X adalah …

13. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x ,

garis y = x – 5 dan sumbux , di kuadran I diputar sejauh 3600 mengelilingi sumbu x

adalah …

14. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva = 8x, garis

x = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 3600 adalah … .

15. Jika A adalah daerah yang dibatasi oleh

mengelilingi sumbu y, tentukaan volume benda putar yang terjadi.


BAB II

PROGRAM LINEAR

Pemakaian fungsi dan tombol kalkulator fx-570ES

Tombol Kegunaan

w 5 1 system persamaan linear 2 variabel

A. NILAI OPTIMUM SYSTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR

Contoh soal

1. Tentukanlah nilai maksimum f(x,y) = 3x+4y dari system pertidaksamaan linear

sbb:

2x +y < 50

4x + 3y < 120

x > 0

y > 0

Penyelesaian

Perhatikan gambar daerah himpunan penyelesaian berikut :

Nilai maksimum hanya mungkin di titik A B atau C

Tentukan koordinat titik C dengan kalkulator


Koordinat titik C adalah (15,20)

Dari gambar koordinat titik A(25,0) dan B(0,40)

Hitung Nilai f(x,y) = 3x+4y dengan kalkulator

Nilai maksimum dititik C adalah 160

2. Tentukanlah nilai maksimum f(x,y) = 3x+2y dari system pertidaksamaan linear

gambar berikut:

Penyelesaian

Pertidaksamaan melalui (80,0) dan (0,40) adalah 40 x + 80 y < 40. 80

x + 2 y < 80

Pertidaksamaan melalui (40,0) dan (0,60) adalah 60 x + 40 y < 60. 40

3x + 2 y < 120


Mode Persamaan

linear 2 variabel w51

Input Koefisien

persamaan kuadrat 2=1=50= 4=3=120=

Tampilkan hasilnya = 15R20

Mode Perhitungan w1

Menghitung F(x,y) titik A(25,0)

dan hasilnya 3O25+4O0 = 75

Menghitung F(x,y) titik B(0,40)


Menghitung F(x,y) titik C(15,20)






Nilai maksimum dititik A atau C adalah 120

B. MENYELESAIKAN MODEL MATEMATIKA

3. Seorang pedagang minuman memiliki modal Rp. 200.000,00. Dia akan menjual 2

jenis minuman. Mimuman A dibeli denga harga Rp. 6.000,00 dan dijual Rp.

6.500,00 . Mimuman B dibeli denga harga Rp. 8.000,00 dan dijual Rp. 9.000,00.

Bila tempatnya hanya mampu menampung 30 botol, tentukan laba maksimum

yang diperoleh.

Penyelesaian

Jenis minuman Banyaknya Modal Laba

A x 6.000 500

B y 8.000 1.000

30 200.000

Mode Persamaan


Input Koefisien



Mode Perhitungan w1








Pertidaksamaan

Banyaknya botol x + y < 30 ( I )

Pembelian 6.000 x + 8.000 y < 200.000

3 x + 4 y < 100 ( II )

Banyaknya botol A x > 0 ( III )

Banyaknya botol B y > 0 ( IV )

Fungsi Obyektif F(x,y) = 500 x + 1000 y

Perhatikan gambar berikut




Mode Persamaan


Input Koefisien





Laba maksimum dititik A atau B adalah Rp. 25.000;

Soal-soal

1. Daerah yang diarsir pada grafik di samping merupakan himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linier. Tentukan nilai maksimum 5x+ 4y !

Y

2x+3y=12

2x + y = 8

X

2. Tentukan nilai maksimum fungsi sasaran z = 8x+6y dengan syarat :

6024 yx

4842 yx

0x

0y

3. Diketahui model matematika sebagai berikut.

82 yx

70 x

41 y .

Mode Perhitungan w1


dan hasilnya 500O30+1000O0 = 15.000


dan hasilnya 500O0+1000O25 = 25.000


dan hasilnya 500O20+1000O10 = 20.000


Tentukan nilai minimum fungsi sasaran

f(x, y) = 5x + 10y !

4. Luas daerah parkir 176 m2, luas rata-rata untuk mobil sedan 4 m2 dan bus 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 20 kendaraan, biaya parkir untuk mobil sedan Rp.1 000,00 per jam dan untuk bus Rp.2 000,00 per jam. Jika dalam satu jam tidak ada kendaraan yang datang dan pergi, maka hasil maksimum yang mungkin didapat oleh tempat parkir itu adalah ....

5. Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun toko 2 tipe. Untuk toko tipe A diperlukan tanah seluas 100 m2 dan tipe B diperlukan 75 m2. Jumlah toko yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan tiap tipe A sebesar Rp7.000.000,00 dan tiap tipe B sebesar Rp4.000.000,00. Keuntungan maksimum yang diperoleh dari penjualan toko tersebut adalah adalah ....

6. Menjelang hari raya Idul Adha, Pak Mahmud hendak berjualan sapi dan kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di Jawa Tengah berturut-turut Rp9 000 000,00 dan Rp.8 000 000,00. Modal yang ia miliki adalah Rp124 000 000, 00. Pak Mahmud menjual sapi dan kerbau di Jakarta dengan harga berturut-turut Rp10 300 000,00 dan Rp9 200 000,00. Kandang yang ia miliki hanya dadpat menampung tidak lebih dari 15 ekor. Agar mencapai keumtungan maksimum, maka banyak sapi dan kerbau yang harus dibeli Pak Mahmud adalah adalah ....

7. Sebuah rombongan wisata yang terdiri dari 240 orang akan menyewa kamar-kamar hotel untuk satu malam. Kamar yang tersedia di hotel itu adalah kamar untuk 2 orang dan untuk 3 orang. Rombongan itu akan menyewa kamar hotel sekurang-kurangnya 100 kamar. Besar sewa kamar untuk 2 orang dan kamar untuk 3 orang per malam berturut-turut adalah Rp 200.000,00 dan Rp 250.000,00. Besar sewa kamar minimal per malam untuk seluruh rombongan adalah ....

8. Pada tanah seluas 24.000 m2 dibangun perumahan dengan dua tipe. Tipe A dengan luas 150 m2 dan tipe B dengan luas 100 m2. Jumlah rumah yang dibangun tidak lebih dari 200 unit. Jika laba untuk setiap rumah tipe A Rp4.000.000,00 dan setiap rumah tipe B Rp3.000.000,00, maka laba maksimum yang dapat diperoleh adalah….

9. Seorang penjahit membuat dua jenia pakaian untuk dijual. Pakaian jenis I memerlukan 2 m

kain katun dan 4 meter kain sutera, dan pakaian jenis II memerlukan 5 m kain katun dan 3 m

kain sutera. Bahan katun yang tersedia 70 m dan sutera 84 m. Pakaian jenis I dijual dengan laba

Rp25 000, 00 / buah dan pakaian jenis II mendapat laba Rp50 000,00 /buah. Agar ia

memperoleh laba yang sebesar-besarnya, maka banyaknya pakaian jenis I dan jenis II berturut-

turut adalah ...


10. Sebuah industri kecil memproduksi dua jenis barang A dan barang B dengan memakai dua mesin

M1 dan M2. Untuk membuat barang A mesin M1 beroperasi selama 2 menit dan mesin M2

beroperasi selama 1 menit. Dan untuk membuat barang B mesin M1 beroperasi selama 1 menit

dan M2 beroperasi selama 1 menit. Mesin M1 dan mesin M2 masing-masing beroperasi tidak

lebih dari 4 jam dan 3 jam setiap hari. Keuntungan bersih untuk barang A adalah Rp250,00 dan

tiap barang B adalah Rp500,00, maka keuntungan maksimum yang diperoleh adalah….


BAB III

BARISAN DAN DERET

DEFINISI

1. 1 + 2 + 3 +....+ n =

n

i

n1

2. 12 + 22 + 32 +....+ n2 =

n

i

n1

2

3. 2.12 + 2.22 + 2.32 +....+ 2.n2 =

n

i

n1

2.2

4. Barisan dan deret Aritmatika

Rumus suku ke-n Un = a + (n – 1 )b

Rumus jumlah n suku Sn =

2

)1(2( bnan

5. Barisan dan deret gometri

Rumus suku ke-n Un = a.r n – 1

Rumus jumlah n suku Sn = r

ra

r

ra nn

1

)1(

1

)1(

Rumus geometri tak hingga = 1

~

r

as


Tombol Kegunaan


q i Menghitung deret suatu bilangan


Contoh

1. Hitunglah deret berikut ini

50

1

4

n

n

50

1

4

n

n =65666665

2. Tentukan jumlah 20 suku pertama deret bilangan 2+6+18+48+....

Jawaban

Deret tersebut adalah deret Geometri dengan suku pertama a=2 dan rasio r = 3

Suku ke-n dirumuskan

Un=arn-1

Un=2.3n-1

Sehingga jumlah 70 suku pertama adalah

70

1

132n

nxSn

Jumlah 20 suku pertama deret bilangan 2+6+18+48+.... = 3486784400

3. Tentukan jumlah dari : 31+37+43+49+......+ 445

jawaban

adalah deret aritmetika dengan a = 31, b=6, dan l=445

l = un = a+(n-1)b = 445

31 +(n-1)6 = 445

Mode Matematika Ww1

Mengaktifkan tombol

sigma q i )(

Meng-input fungsi Q) ^4$

Meng-input batas $1E50

Menampilkan hasil =(65666665)

Mode Matematika Ww1

Mengaktifkan tombol

sigma q i )(

Meng-input fungsi 2O3^q((x) )p1

Meng-input batas $1 E20



31 + 6n – 6 =445

n = 70

rumus un = a + (n-1)b

= 31 + (n-1)6

= 31 + 6n -6

= 25 +6n

dengan notasi sigma jumlah bilangan tersebut adalah

70

1

625i

i

Jumlah bilangan itu adalah 16660

Dengan rumus jumlah

16660

)44531(35

)(2

7070

laS

4. Tentukan jumlah dari bilangan berikut : 4, 12, 36, 108 sampai 30 suku

adalah deret geometri dengan : a= 4, r = 3 dan n=30

rumus suku ke-n

un= arn-1

= 4.3n-1

dengan notasi sigma jumlah bilangan tersebut adalah

30

1

13.4i

n

Mode Matematika Ww1

Mengaktifkan tombol

sigma q i )(

Meng-input fungsi 25+6Q) (x)$




Dengan rumus jumlah

14

30

30

10 x 24.11782264

13

)13(4

1

)1(

S

r

raS

n

n

Jumlah bilangan itu adalah 4.117822642 x 10 14

5. Seorang siswa membaca sebuah buku dan menyadari bahwa ia membaca semakin cepat.

Hari pertama ia membaca 19 halaman, hari berikutnya ia menambah 3 halaman, demikian

dia lakukan selama beberapa hari.

a. Tentukan banyak halaman yang dibaca selama 15 hari.

b. Berapa lama yang dibutuhkan siswa tersebut jika buku yang dibacanya berisi 426

halaman?

Jawab

a. adalah deret aritmetika dengan suku awal 19 dan beda 3

Un = a + (n-1)b = 19+(n-1)3

Un = 3n + 16

menghitung jumlah 15 suku pertama Mode Matematika Ww1

Mengaktifkan tombol sigma q i )(

Meng-input fungsi 3 Q)(x)+16

Meng-input batas $1 E15


Banyaknya halaman yang dibaca selama 15 hari = 600 halaman

Mode Matematika Ww1

Mengaktifkan tombol

sigma q i )(

Meng-input fungsi 4[3^Q) (x)p1$


Menampilkan hasil =(4.117822642 x 10 14)


b. Waktu yang digunakan untuk membaca 426 halaman adalah jumlah n suku pertama dari

deret aritmetika dengan jumlah 426

4262

))1(2(

bnanSn

852 = n(3n + 35 )

3n2 + 35n – 852 = 0 cari nilai n dengan kalkulator yaitu

Waktu yang digunakan untuk membaca 426 halaman adalah 12 hari

]

Mode persamaan

kuadrat Ww53

Meng-input data 3 Q)+16

Meng-input batas 3=35=p852=



Latihan

1. Hitunglah deret berikut

a.

100

1

2 53n

nn

b.

100

0n

n

2. Seorang siswa membaca sebuah buku dan menyadari bahwa ia membaca semakin cepat.

Hari pertama ia membaca 21 halaman, hari berikutnya ia menambah 5 halaman, demikian

dia lakukan selama beberapa hari.

a. Tentukan banyak halaman yang dibaca selama 14 hari.

b. Berapa hari paling waktu yang dibutuhkan siswa tersebut jika buku yang dibacanya

berisi 1370 halaman?

3. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah

144. Tentukan jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut .

4. Seorang pegawai menabung pada sebuah bank. Tahun pertama setiap bulannya ia

menabung Rp100.000,00.Tahun kedua, setiap bulannya ia menabung Rp125.000,00. Tahun

ketiga, setiap bulannya ia menabung Rp150.000,00 dan seterusnya setiap tahun bertambah

Rp25.000,00. Banyak uang pegawai itu yang ditabungnya setelah 15 tahun(bunga yang di

bank tidak ikut diperhitungkan) adalah….

5. Dari suatu deret aritmetika diketahui U3 = 13 dan U7 = 29. Tentukan jumlah sembilan puluh

lima suku pertama deret tersebut.

6. Empat buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika. Jika perkalian bilangan pertama

dan keempat adalah 46, dan perkalian bilangan kedua dan ketiga adalah 144, tentukan

jumlah keempat bilangan tersebut.

7. Jika di antara suku pertama dan suku ke dua suatu barisan geometri disisipkan 4 bilangan,

maka dapat diperoleh barisan aritmetika dengan beda 2. Jika suku ke-3 barisan geometri

tersebut adalah 40. Tentukan rasio barisan geometri tersebut


8. Dari deret aritmetika diketahui suku tengah 32. Jika jumlah n suku pertama deret itu 672,

tentukan banyak suku deret tersebut.

9. Sebuah mobil dibeli dengan haga Rp. 80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi ¾

dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun ?

10. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian ¾ kali

tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Hitunglah panjang seluruh

lintasan bola.

11. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing – masing potongan membentuk

barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek sama dengan 6 cm dan potongan tali

terpanjang sama dengan 384 cm, hitunglah panjang keseluruhan tali tersebut.

12. Diketahui uang Adi bertambah setiap tahunnya dengan nilai tetap. sedangkan uang Budi

setiap tahunnya naik 2 kali lipat. pada tahun 2003 jumlah uang mereka Rp. 8.850. pada

tahun 2004 uang mereka sama yaitu Rp. 6.400. Tentukan Selisih uang mereka pada pada

tahun 1999.

13. Jumlah deret geometri tak hingga 2 + 1 + ½2 + ½ + … adalah ….

14. Jika 3411

....11

142

xxx. Tentukan nilai x

15. Jika barisan geometri y+1 , 2y-2 , 7y-1,.... mempunyai rasio positif. Tentukan suku ke-4


BAB IV

MATRIKS


Tombol Kegunaan

mode 6 mode matrik

q4(MATRIKS) Menentukan matrik dan input elemen matrik.

u invers

A. PENJUMLAHAN PENGURANGAN DAN PERKALIAN MATRIKS

Untuk mengoperasikan matrik dilakukan dengan mengubah mode matriks yaitu mode 6.

Kemudian menentukan matriks yang akan dioperasikan dan meng-input elemen

elemennya dengan q4(MATRIKS), dilanjutkan dengan men-input operasi matrik yang

dimaksudkan

Contoh soal dan jawaban

1. Diketahui Matrik

10

7

56

34

32

10CA B

Tentukanlah :

a. 5A + 2 B

b. 6 A – 3 B

c. A X B

d. AT X B

JAWAB

Masukkan semua data terlebih dahulu

Mode Matrik Ww6C

Menentukan matriks A

dan input elemennya q42(DATA)1(MatA) 5 (2 X 2 ) 0=1=2=3=

Menentukan matriks B

dan input elemennya q42(DATA)2(MatB) 5 (2 X 2 ) 4=3=6=5=

Menentukan matriks C

dan input elemennya q42(DATA)3(MatC) 6 (2 X 1) 7=10=C


a. Hitung operasi 5A + 2 B

b. Hitung operasi 6 A – 3 B

c. Hitung operasi A X B

d. Hitung operasi AT X B

2. Diketahui Matrik

3

7

4

57

2

3

4

3

2

4

35

2

3

1

BA

Tentukan

a. A+2B

b. AxB

c. ATxB-1

Mengi-input operasi

5A + 2 B

5q4(MATRIKS)3( Mat A )+2q4(MATRIKS )4 (Mat B)

Menampilkan hasil =

Mengi-input operasi

6 A – 3 B

6 q4(MATRIKS)3( Mat A ) -

3q4(MATRIKS )4 (Mat B) Menampilkan hasil

=

Mengi-input operasi

A X B

q43 q44=

Menampilkan hasil =

2126

56

Mengi-input operasi

AT X B

q48(Trn )q43(Mat A ) )q44(Mat A )

Menampilkan hasil =

1822

1012



Catatan :

Untuk mendpat angkha pecahan input gunakan a.Keluaran lihat hasil kanan

bawah.

a. Hitung operasi A+2B

b. Hitung operasi A X B

c. Hitung operasi AT X B-1

Mode Matrik Ww6C


dan input elemennya q42(DATA)1(MatA) 5 (2 X 2 ) 1a3=2a5=p3a4=2a3=


dan input elemennya q42(DATA)2(MatB) 5 (2 X 2 ) p4a3=2a7=5a4=7a3=C

Mengi-input operasi

A + 2 B

q4(MATRIKS)3( Mat A )+2q4(MATRIKS )4 (Mat B)

Menampilkan hasil

=

3

16

4

735

34

3

7

Mengi-input operasi

A X B

Cq43 q44=

Menampilkan hasil

=

126

169

6

1135

36

18

1

Mengi-input operasi

AT X B

Cq48(Trn )q43(Mat A ) )q44(Mat B )u

Menampilkan hasil

=

2185

632

2185

6323

6

184

91


B. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS

1. Cari determinan dan invers matriks A

1. Carilah determinan dan Invers Matriks A2X2

A =

35

12 (ordo 2 x 2 )

a. Tentukan det A

b. Tentukan invetrs A

Jawab :

a. Menentukan Det A

b. Menentukan Invers matrik A atau A-1

C. PERSAMAAN MATRIKS

Untuk menyelesaikan persamaan matrik gunakan persamaan berikut

BAX

BAX

1

atau

1

BAX

BXA

Contoh soal dan jawaban

Mode Matriks Ww6C


dan input elemennya q42(DATA)1(MatA) 5 (2 X 2 )

2=1=5=3=C

Menentukan determinan

matriks A q47(det (q43 (MAT A))=

Menampilkan hasil = 1

Meng-input Invers

Matriks A atau (A-1) q43u

Menampilkan hasil =

25

13


21

53

42

86

34

23CBA

Tentukanlah X yang memenuhi:

a. AX= B

b. CX= A+B

c. XA=BC

Langkah-langkah

Memasukan matriks

a. Menentukan matriks X dari persamaan AX= B Matrik X ditentukan dari persamaan X=A

-1B

b. Menentukan matriks X dari persamaan CX= A+B Matrik X ditentukan dari persamaan X=C

-1(A+B)

Jadi Matrik X=

715

1528

Mode Matrik Ww6C


dan input elemennya q42(DATA)1(MatA) 5 (2 X 2 ) 3=2=4=3=


dan input elemennya q42(DATA)2(MatB) 5 (2 X 2 ) 6=8=p2=p4=

Menentukan matriks C

dan input elemennya q42(DATA)3(MatC) 5 (2 X 2 ) 3=5=p1=p2=C

Meng-input operasi

A-1

B q43(MatA) u q44

Menampilkan hasil =

22

2226

Meng-input operasi

C-1

(A+B)

q45(MatC) u

(q43(MatA)+q44(MatB))

Menampilkan hasil =

715

1528


c. Menentukan matriks X dari persamaan XA= BC Matrik X ditentukan dari persamaan X=(BC)A

-1

Jadi Matrik X=

715

1528

LATIHAN SOAL

1. Dikethui

23

11

13

12BdanA Tentukan Matrik .......2 BA

2. Jika,

01

25

20

11,

43

21CdanBA , maka bentuk yang paling

sederhana dari (A+C)(A-B) adalah ... .

3. Jika matriks

63

42

51

404

132BdanA , maka hasil dari 2AXB= ... .

4. Diketahui matriks , dan matriks , M atriks adalah ... .

5. Diketahui matriks , dan matriks , 12 BA = ... .

6. Jika , dan matriks , maka 21)( BAT = ... .

7. Jika

2

1

4

343

A dan

5

31

53

2

B , , maka = ... .

Meng-input operasi

(BC)A-1

(q44(MatB)

q45(MatC))q43u

Menampilkan hasil =

715

1528


8. Jika X adalah matriks berordo 2x2 berlaku hubungan

23

11

23

12X maka X =

... .

9. Jika

13

34

23

11

23

12P maka P = ... .

10. Dikethui , tentukan det A2

11. Tentukan, determinan dan invers matriks

12. Sebuah perusahaan memproduksi Tiga jenis barang yang dijual di tiga kota dengan

dengan hasil penjualan dan harga seperti berikut ini :

Kota

Jumlah terjual

Produk P Produk Q Produk R

A 561 435 423

B 345 543 410

C 500 550 435

Harga produk P : Rp 400.000, produk Q : Rp 450.000, Produk R : Rp 500.000

Hitung total penjualan untuk produk A , B dan C dengan matrik


BAB V

VEKTOR

Untuk mengoperasikan vektor matrik dilakukan dengan mengubah mode vektor

yaitu mode 8. Kemudian menentukan matriks yang akan dioperasikan dan meng-input

elemen elemennya dengan q5(MATRIKS), dilanjutkan dengan men-input operasi matrik

yang dimaksudkan

Rumus Dasar

1. Hasil kali skalar vektor a

dengan vektor b

adalah a

.b cosba

2. Sudut antara 2 vektor yaitu ba

ba

.

cos

3. Proyeksi vektor

a. Proyeksi skalar ortogonal vektor pada vektor yaitu

b

baba

.

b. Panjang proyeksi skalar ortogonal vektor pada vektor yaitu

b

baba

.

Proyeksi vektor ortogonal vektor pada vektor yaitu

bb

baba

.


Tombol Kegunaan


Ww8 Memulai operasi pada vektor

q5 Menghitung operasi pada vektor


Contoh

1. Diketahui a = 3i + 7j – 4k dan b = i – 5j + 8k. Tentukan

a) Besar masing-masing vektor

b) a + 2b

c) a.b

d) axb

e) Sudut antara vektor a dan b

f) Proyeksi vektor a pada vektor b

jawab


a. Menentukan besar vektor a dan vektor b

Besar Vektor a =8.602325 dan besar vektor b = 9.486832

b. Menentukan vektor a + 2b

vektor a + 2b = 5i -3j +12k

Mode Vektor Ww8C

Menentukan Vektor a

dan input elemennya q5111 3=7=p4=C

Menentukan Vektor b

dan input elemennya q5121 1=p5=8=C

Menentukan besar Vektor a qcq53)= 8.602325

Menentukan besar Vektor b qcq54)= 9.486832

Meng-input operasi a + 2b q53(VctA)+ 2q54(VctB)

Menentukan hasil = 1235


c. Menentukan vektor axb

vektor a x b = 36i -28 j -22k

d. Menentukan hasil a.b

a .b = -64

e. Sudut antara vektor a dan b gunakan rumus ba

ba

.

cos

ba

ba .cos 1

Sudut antara vektor a dan b = 141.6494199 derajat

Menentukan besar Vektor

a X b Cq53(VctA)O q54(VctB)

Menentukan hasil = 222836

Menentukan besar Vektor

a.b

C q53 q57 (.)q54=

Menentukan hasil =-64

Meng-input operasi

ba

ba .cos 1

Cqk(cos-1)( q53(VctA) q57 (.)q54(VctB)) P(qcq53(VctA) )qcq54(VctB) ))

Menentukan hasil = 141.6494199


f. Proyeksi skalar ortogonal vektor a pada vektor b gunakan rumus b

baba

.

Proyeksi skalar ortogonal vektor a pada vektor b = -6.746192234

Latihan

1. Diketahui a = 13i +17j – 14k dan b = 9i – 15j +1 8k. Tentukan

a. Besar masing-masing vektor

b. 2a - b

c. a.b

d. axb

2. Diketahui a = 5

2i + 5j – 6k dan b =

7

3i – 5j -15k. Tentukan

b. 3a + 2b

c. Besar vektor a+3b

d. sudut antara vektor a dan b

e. vektor satuan yang tegak lurus dengan vektor a dan b

3. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, –3, 2), dan R(–1, 0, 2). Tentukan besar sudut PRQ .

4. Diketahui 2a , 9b , 5ba . Tentukan besar sudut antara vector a dan vector b

5. Tentukan besar sudut antara

4

12

23

a dan

3

30

12

b .

Meng-input operasi

b

ba

.

C( q53(VctA) q57 (.)q54(VctB))

Pqcq54(VctB) )

Menentukan hasil =-6.746192234


6. Jika 2a , 3b , dan sudut ( b,a ) = 120°, maka ....b2a3

7. Diketahui 13a , 1b 1, 1 ba 0. Tentukan panjang vector a + b .

8. Diketahui 6a ; ( a – b ).( a + b ) = 0, dan a ( a – b )=3. Tentukan besar sudut antara vector

a dan b .

9. Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(12,2 2, 0) dan C(0,- 2,-12). Tentukan proyeksi orthogonal

____

AB pada ____

AC .

10. Diketaui vector kjia 443 , kjib 32 , dan kjic 534 . Tentukan panjang

proyeksi vector cba pada )( .

11. Diketahui vector kjiu 64221 dan kjiv 422 . Tentukan Proyeksi vector orthogonal

u pada v .

12. Diketahui vector

2

x

1

a ,

1-

1

2

b , dan proyeksi a pada b adalah 6

2. Sudut antara a dan

b adalah α, tentukan nilai cos α .

13. Panjang proyeksi orthogonal vector pkjibvektorpadakjia 23523 , pada

adalah 5 Tentukan nilai p .

14. Diketahui titik A(4, 9, –8) dan B(–4, –3, 2). Titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan 1 :

3.Tentukan panjang ____

PB .

15. Diketahui titik A(2,3,-4) B(-4,6,-7) dan C(0,-4,1) tentukan luas segitiga ABC


BAB VI

TRANSFORMASI

Beberapa jenis transformasi : pencerminan (refleksi), perputaran (refleksi), perkalian (dilatasi)

JENIS MATRIKS TRANSFORMASI

Pencerminan terhadap sb. X

10

01

Pencerminan terhadap sb. Y

10

01

Pencerminan thd. grs y = x

01

10

Pencerminan thd. grs y = – x

01

10

Rotasi sebesar 90o thd. O(0,0)

01

10

Rotasi sebesar 180o thd. O(0,0)

(refleksi thd O(0,0))

10

01

Rotasi sebesar

cossin

sincos

Dilatasi k thd. O(0,0)

k

k

0

0

Refleksi terhadap garis y = mx

2

2

2

22

2

1

1

1

21

2

1

1

m

m

m

mm

m

m

m

Dilatsi dengan Pusat O(0,0) dan skala k

k

k

0

0


A. Transformasi titik

Kita menggunakan operasi matrik untuk menentukan banyangan satu atau beberapa titik

Contoh

1. Tentukan bayangan titik A(3,1), B(2,-5) dan C(-3,4) oleh pencerminan terhadap sumbu x

[Matrik transformasi] [titik]=[Banyangan titik]

Secara umum dapat digmbarkan

nasihTransforma

Matrik

Asal

Titik=

Akhir

Titik

10

01

451

323

=

1''

'''

' CBA

CBA

yyy

xxx

Langkah langkah

Bayangan titik A adalah A’(3,-1) Bayangan titik B adalah B’(2,5) Bayangan titik C adalah C’(-3,-4)

Mode matrik

Ww6

Menentukaan matrik A

15

Mengisi koefisien matrik A

1=0=0=p1=C

Menentukaan matrik B

q124

Mengisi koefisien matrik B

3=2=p3=1=p5=4=C

Mengalikan matrik A dengan Matrik B

q43Oq44

Menampilkan hasil =

451

323


2. Tentukan bayangan titik A(3,1), B(2,-5) dan C(-3,4) oleh pencerminan terhadap sumbu Rotasi

dengan pusat 0(0,0) sejauh 60o

60cos60sin

60sin60cos

451

323=

1''

'''

' CBA

CBA

yyy

xxx

Langkah langkah

Bayangan titik A adalah A’(0.6339;3.098)

Bayangan titik B adalah B’(5.3302;-0767)

Bayangan titik C adalah C’(-4.965,-0.598)

Transformasi Kurva

secara umum tranformasi kurva y=f(x) dilakukan dengan cara

siTransforma

Matrikx

y

x

'

'

y

x

y

x

siTransforma

Matrik

'

'

y

x

Setup sudut dalam derajat Wqw3

Mode matrik

Ww6


15


k60)=pj60)=j60)=k60)=C


q4124


3=2=p3=1=p5=4=C

Mengalikan matrik A dengan Matrik B

q43Oq44=

Menampilkan hasil =

598.0767.0098.3

965.43301.56339.0


Hasil x dan y disubtitusikan ke kurva asal

contoh

1. Tentukan bayangan garis y = 2x + 3 oleh pencerminan garis y = x

Matrik pencerminan y = x adalah M=

01

10

Menentukan invers Matrik M

Invers Matriks A adalah

Tentukan bayangan dari persamaan berikut

'

'

01

10

y

x

y

x

x= 0x+1.y ’= y’

y= 1.x’ +0y’ = x’

bayangan adalah x’=2y’+3 atau x=2y+3 atau y= -2

3

2

1x

3. Tentukan bayangan garis y = 2x + 3 oleh matrik transformasi M=

31

52


Mode matrik

Ww6


15


0=1=1=0=C

Menentukan invers Matriks A (q43)u

Menampilkan hasil =

01

10

01

10


Invers Matriks A adalah

X dan y ditentukan oleh persamaan

'

'

21

53

y

x

y

x

sehingga x = 3 x’ -5 y’

y = -x’ +2 y’

Bayangan y = 2x + 3 menjadi -x’ + 2y’ =2(3x’ – 5y’) +3

x + 2y = 6x - 10 y + 3

12y = 5x + 3

12

3

12

5 xy

Komposisi transformasi

suatu titik A(x,y) ditransformasikan oleh matrik M1 dilanjutkan oleh matrik M2 digambaran

M2.M1

y

x=

'

'

y

x

Contoh

1. Tentukan bayangan titik A(3,1), B(2,-5) dan C(-3,4) oleh pencerminan terhadap sumbu y

dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat O(0,0) dan skala 3

30

03

10

01

=

1''

'''

' CBA

CBA

yyy

xxx

Langkah langkah

Mode matrik

Ww6


15


3=5=1=3=C


Menampilkan hasil =

21

53

21

53

451

323


Bayangan titik A adalah A’(-9;-9)

Bayangan titik B adalah B’(-6;-6)

Bayangan titik C adalah C’(9;9)

4. Tentukan bayangan garis y = 6X - 4 0leh matrik transformasi M=

21

32dilanjutkan oleh dengan

dilatasi dengan pusat O(0,0) dan skala 2

M = M2 M1=

20

02

21

32=

42

62


Mode matrik

Ww6


15


3=0=0=3=C


q4125


3=2=p3=1=p5=4=C

Menentukaan matrik C q4124

Mengisi koefisien matrik C

3=2=p3=1=p5=4=C

Mengalikan matrik A dengan Matrik B dan Matrik C

q43Oq44Oq45=

Menampilkan hasil =

969

969


Invers Matriks M adalah

5.05.0

5.11

x dan y ditentukan dari persamaan berikut :

Mengisi koefisien matrik

'

'

5.05.0

5.11

y

x

y

x

sehingga x = - x’ – 1.5 y’

y = 0.5 x’ – 0.5 y’

Bayangan y = 6x + 3 menjadi - x’ – 1.5 y’=6(0.5 x’ – 0.5 y’) - 4

x – 1.5y = 3x - 3 y - 4

1.5 y = 2x – 4 kalikan 2

3 y = 6x – 8

3

82 xy

Mode matrik

Ww6


15


2=6=2=34C


Menampilkan hasil =

5.05.0

5.11


Soal-soal

1. Tentukan bayangan titik A(2,1) B(-6,3) dan C(5,-4) oleh

a. Pencerminan garis y = - x

b. Dilatasi dengan pusat O(0,0) skala = 4

c. Matrik Transformasi

34

21

d. Rotasi dengan pusat O(0,0) sejauh 120o

e. Garis y = - 2x+3

2. Tentukan bayangan garis 2 x + 3y = 10 dicerminkan y = - x

3. Tentukan bayangan garis y = 4 x + 3 Dilatasi dengan pusat O(0,0) skala = 4

4. Tentukan bayangan garis y = x 2 oleh Matrik Transformasi

34

21

5. Tentukan bayangan garis 4 x + 3y = 12 Rotasi dengan pusat O(0,0) sejauh 120o

6. Tentukan bayangan garis 2x + 3y = 6 oleh pencerminan garis y = 3x

7. Tentukan bayangan garis x2

+ y2

- 2x - 6y - 6 = 0 percerminan garis x = 3

8. Tentukan bayangan garis 3x + 5y = 15 jika dicerminkan sumbu x dilanjutakan rotasi

90o dengan puast O(0,0)

9. Tentukan bayangan garis y = 2x +4 jika dicerminkan garis y = x dilanjutkan oleh

matrik

35

12

10. Tentukan bayangan garis y = 3x +5 jika ditransformasikan berturut-turut oleh matrik

matrik

35

12

32

11dan


BAB VII

FUNGSI, PERSAMAAN

EKSPONEN DAN LOGARITMA

FUNGSI EKSPONEN

Bentuk umum )()( xUaxf , a > 0 a≠ 1 disebut fungsi eksponen dengan bilangan

pokok a

Untuk menggambar dapat digunakan fungsi tabel pada kalkulator

Contoh.

1. Gambarlah grafik fungsi y = 2X+1 , pada interval -4 < x < 4

Langkah langkah

2) Masukan persamaan

Mode tabel Ww7

Meng-input fungsi 2^$Q)(x)+1

Meng-input stars , step dan end

=p 4=4=1=

Menampilkan hasil =

1 2 3 4 5 6 7 8 9

X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

F(X) 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32


Gambar seperti berikut ini

2. Gambarlah grafik fungsi y =

1

3

1

x

, pada interval -4 < x < 3

Langkah langkah

Mode tabel Ww7

Meng-input fungsi (a$3$)^$Q)(x)+1

Meng-input stars , step dan end

=p 4=3=1=

Menampilkan hasil =

1

2

3

4

5

6

7

X

-4

-3

-2

-1

0

1

2

F(X)

27

9

3

1

0.333

0.111

0.037


Gambar seperti berikut ini

Persamaan eksponen

A. Bentuk ba xf )(

Untuk f(x) linear gunakan fungsi solve untuk menyelesaian persamaan tanpa

harus menyamakan bilangan pokok dahulu, karena hasilnya hanya ada satu x

yang memenuhi

Contoh .

1. Tentukan x yang memenuhi persamaan 273 12 x

Langkah-langkah

Yang memenuhi persamaan 273 12 x

adalah x = 2

Untuk f(x) tidak linear kita harus ubah sehingga bilangan pokoknya sama,

persamaan f(x) = na log kita selesaikan dengan kalkulator

Mode Matematika Ww1

Meng-input persamaan 3^2Q((x)p1$Qr(=)27

Menggunakan fungsi

solve qr(solve)

Menampilkan hasil = 2


Contoh

2. Tentukan x yang memenuhi persamaa 52 42 xx

Kita ubah

05log4

5log4

22

22

22

5log242

xx

xx

xx

Selesaikan dengan persamaan kuadrat

yang memenuhi persamaa 52 42 xx

adalah x1 = - 0.4249 x2 = - 53.579

af(x)= ag(x)

Untuk f(x) linear gunakan fungsi solve untuk menyelesaian persamaan tanpa harus menyamakan bilangan pokok dahulu, untuk f(x) atau g(x) tidak linear samakan bilangan pokoknya, selesaikan dengan persamaan kuadrat

Contoh

3. Tentukan x yang memenuhi persamaa 52132 1642 xxx

Kita ubah menjadi

092

104132

44

)4(4

2

2

104132

522132

2

2

xx

xxx

xxx

xxx

Mode Persamaan Ww53

Meng-input koefisien

persamaan kuadrat 1=4=i2)(5)=

Menampilkan hasil = x1 = - 0.4249 R x2 = - 53.579


Yang memenuhi persamaa 52132 1642 xxx

adalah danx4

7311

4

7312

x

)()( )()( xgxf xhxh

623 )2()2(2 xxx xx

Mode Persamaan

kuadrat Ww53


persamaan kuadrat 2=p1=p9===

Menampilkan hasil =

4

7311

x

R

4

7312

x


23

4

1 xy

12 23 xxy

3264

113

x

315 273 xx

3

5322

3

19

x

xx

2

3223223

xx

322

103103

xx

xx

0322.322 xx

063.53 142 xx

25

32

2

3

qp

qp

25

32

92

3

p

qp

Mode Persamaan Ww53


persamaan kuadrat 1=p1=p6=

Menampilkan hasil = x1 = 3 R x2 = - 2


FUNGSI LOGARITMA

Bentuk umum xxf a log)( , a > 0 a≠ 1 disebut fungsi logaritma bilangan pokok a

Untuk menggambar dapat digunakan fungsi tabel pada kakulator

Contoh.

1. Gambarlah grafik fungsi y = x3log2 , pada interval 0< x < 15

Langkah langkah

Daerah interval dari 0.125 sampai 1 dengan step 0.25

Daerah interval dari 1 sampai 18 dengan step 1

Mode tabel Ww7

Meng-input fungsi i2$3Q)(x)

Meng-input

=0.25=1=0.25=

Menampilkan hasil = 1 2 3

X 0.125 0.375 0.625 0.875

F(X) - 1 0.5849 1.3 1,8

Mode tabel Ww7

Meng-input fungsi i2$3Q)(x)

Meng-input

=1=18=1=

Menampilkan hasil (dipilih yang

bulat saja) =

1 2 3 8 16

X 1 2 4 8 16

F(X) 2 3 4 5 6


2.Gambarlah grafik fungsi y = x3log3

1

, pada interval 0< x < 15

Langkah langkah

Daerah interval dari 27

1sampai 1 dengan step 0.25 (dapat menggunakan ketentuan lain)

Daerah interval dari 1 sampai 18 dengan step 0.25

Mode tabel Ww7

Meng-input fungsi i2$3Q) (x)=

Meng-input

a1$27=1=0.25=


bulat saja) =

1

2

3

X

0.37

0.287

0.787

F(X)

0.371

-0.488

-0.819


nxua )(log

6)12log(2 x

Mode tabel Ww7

Meng-input fungsi i2$3Q) (x)=

Meng-input

1=27=1=


bulat saja) =

1 3 9 20

X 1 3 9 20

F(X) -1 -2 -3 -3.726


6)12log(2 x

3)32log( 22 xx

na alog

0832

232

2log)32log(

3)32log(

2

32

3222

22

xx

xx

xx

xx

)(log)(log xgxf aa

ModeMatematika Ww1

Meng-input persamaan i22$Q( p1

$Qr 6

Menggunakan fungsi solve qr(solve)

Menampilkan hasil = 32.5

Mode Persamaan kuadrat Ww53


persamaan kuadrat 2=p3=p8=

Menampilkan hasil =

4

7331

x

R

4

7332

x


)1log(1)1log( 923 xx

0107

9912

)1(9)1(

)1(9log)1log(

)1log(9log)1log(

)1log(9log)1log(

2

2

22

9229

99229

992232

xx

xxx

xx

xx

xx

xx

)1log(1)1log( 55 xx

5)1log(

6)1log(

2

2

x

x

)1

2log(log

1log

2

x

xx

x

x

xxx

xxx

log

1

log

1

log

1)93log(

2

5

5

3

3

2

2

4)3log(log 22 xx

24log.3)1log( 14 xx

)21log(3log).1log( 5523 xx

Mode Persamaan kuadrat Ww53

Meng-input koefisien persamaan

kuadrat 1=p7=+10=

Menampilkan hasil =

2

5

2

1

x

x


1)2

3log()32log( 42 xx

x

xx

x

x

1

2loglog

1log

2

yx

yx

log21)4log(

1)53log(22

3


JAWABAN SOAL

BAB I INTEGRAL

1. 12

52730

2. 98

3. -4,469442089

4. 2

5. 3

11

6. 0.2255621096

7. 3

17

8. 1703

2

9. 4 3

10. 48

4732

11. 3

12. 15

813

13. ( 293

1 )

14. 5

325

15. 59.5086162

BAB II PROGRAM LINEAR

1. 23

2. 180

3. 10

4. Rp 26 000,00

5. Rp 700.000.000,00

6. 4 sapi dan 11 kerbau

7. Rp 22.000.000,00

8. Rp 680.000.000,00

9. 15 dan 8

10. Rp 90.000,00

BAB III DERET

1 a. 353000

b. 671.4629471

2. a. 749 b. 20

3. 660 4. Rp 49.500.000,00 5. 230 6. 78 7. 2 8. 21 9. Rp. 185.000.000 10. 70


11. 762 12. Rp. 2.450

13. 2 + 2 2

14. 4

1

15. – 108

BAB IV MATRIK

1.

59

14

2.

1028

1436

3.

8816

3222

4.

613

413

5.

5.125.3

5.225.5

6.

8

45

16

1718

57

6

223

7.

7654.3351.0

8703.2194.0

8.

13

01

9.

2845

914

10. 2.50694444

11. determinan = 5

107

invers =

107

65

107

6

107

15214

125

107

14

214

37107

70

107

10

107

25

12. Rp 31.1650.000, Rp. 58.7350.000 , Rp

66.5000.000

BAB V VEKTOR

1. a. 23538406.1957342371.25 ba

b . 17i+49j-36k

c. -250

d. -74 i -2309j – 348 k

2. a. kji 48535

72

b. 51.998447721

c. 58.2065566o

b. -0.9986910838 i + 0.0326103211 j –

0.039404138 k

3. 90o 4. 135o 5. 83,5287o 6. 12 7. 14.605o


8. 60o 9. 0i +6.7272 j +40.3636 k 10. 4.2426

11. 2

617

12. 9

6

13. 6

14. 2

773

15. 30.14962686

BAB VI TRANSFORMASI

1. a. )5,4('),6,3('),2,1(' CA B

b. )16,20('),12,24('),4,8(' CA B

c. )8,13('),15,12('),11,0(' CA B

d. )33012.6,9641.0('),696.6,4019.0('),2321.1,866.1(' CA B

e. )5

8,

20

139(',3,

10

69('),

5

11,

10

7('

CA B

2. 2 x + 3y = -10

3. y = 4 x + 12

4. 22 41244911

1yxyxxy

5. 24)334()334( yx

6. x + 18y = 30

7. x2 + y2 - 10x - 6y +18 = 0

8. 5x + 3y = - 15

9. 13x - 5y - 4 =0

10. 53x - 19y + 5 =0

BAB VII EKSPONEN

1. a

b.


2. a. 9

2

b. 5

c. X1= 1.128902443 , X2= -2.878902443

d. 0.371522536

e. -1, 3, 3

11,

3

10

f. 2 dan 3

g. 184535123.012log2

1 3

j 0.7864499969

BAB VIII LOGARITMA

1. 449489743.26

2. 632

1dan

3. 3

1

4. 2

5. 65539

6. 634

3dan

7. - 4 dan 5

8. 2

5

9. 3

1

10. x = 2.372281324 , y = 1.457427108

MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 2012 · PDF fileParsial Substitusi ... Pengertian ... 1 1: ab/c...

Documents

Transcript of MGMP MATEMATIKA DKI JAKARTA 2012 · PDF fileParsial Substitusi ... Pengertian ... 1 1: ab/c...