Misal diketahui suatu fungsi f yang terderensialkanpada suatu selang yang memuat akar. Ambilsebarang nilai awal x0. Karena f terderensial di x0,maka f mempunyai garis singgung di x0. Asumsikanbahwa gradiennya tidak sama dengan 0. Akibatnyagaris singgung tersebut akan memotong sumbu x,sebut di x1. Dengan cara yang sama, f di x1 jugamempunyai garis singgung yang tidak nol, sehinggagaris singgung tersebut akan memotong sumbu x dix2. Proses berlanjut sehingga titik potong-titikpotong tersebut akan konvergen ke akar f.

Akar

x0 x1x2x3

Perhatikan bahwa

)('

)(

)(0)('

0

001

01

00

xf

xfxx

xx

xfxf

Dengan cara yang sama diperoleh:

)('

)(

1

112

xf

xfxx

Secara umum diperoleh model iterasi N-R sebagai berikut:

0)(',)('

)(1 i

i

iii xfdengan

xf

xfxx

Proses iterasi berhenti, bila:

ii xx 1

Atau

ex

xx

i

ii

1

1

Perhatikan grafik berikut:

Proses iterasi akan divergen berosilasi.

akar

x0x1 x2

Agar metode N-R konvergen, maka harus dipenuhi syarat sbb:

0)(',1)('

)(")(2

xfdenganxf

xfxf

)(1 ii xgx

Perhatikan kembali model iterasi titik tetap sebagai berikut:

Misalkan

)('

)()(

xf

xfxxg

2

2

)('

)(")(

)('

)(")()(')('1)('

xf

xfxf

xf

xfxfxfxfxg

Dengan demikian diperoleh syarat konvergensi metode N-R adalah :

1)('

)(")(2

xf

xfxf

Contoh :

Lakukan 6 langkah iterasi metode N-R untuk menghampirisalah akar dari persamaan :

xexf x 4)(Hitung juga kesalahan relatif dari akar aproksimasi yang diperoleh!

x0x1x2

Pada metode Newton-Raphson diperlukan perhitungan

turunan fungsi f, f’. Turunan tersebut dapat dihilangkan

dengan cara menggantinya dengan bentuk yang ekuivalen,

yakni gradien talibusur. Perhatikan gambar berikut:

Misalkan diberikan dua nilai awal, sebut x0 dan x1. Karena f

kontinyu, maka f0 dan f1 pasti ada. Kemudian dibuat tali busur

yang menghubungkan titik (x0, f0) dan (x1, f1).

akar

Jika diasumsikan gradiennya tidak nol, maka talibusur

tersebut akan memotong sumbu x, katakan di x2.

Karena f kontinyu, maka f2 pasti ada. Kemudian dibuat

talibusur yang menghubungkan (x1, f1) dan (x2, f2),

yang memotong sumbu x di x3, proses berlanjut dan

pada akhirnya titik potong talibusur dengan sumbu x

akan konvergen ke akar.

Pandang model iterasi N-R

0)(',)('

)(1 i

i

iii xfdengan

xf

xfxx

1

1)()()('

ii

ii

xx

xfxf

x

yxf

Jika

Maka diperoleh model iterasi secant sebagai berikut:

)()(

))((

1

11

ii

iiiii

xfxf

xxxfxx

Proses iterasi berhenti , jika :

ex

xxatauxx

i

iiii

1

11

Contoh :

Lakukan 6 langkah iterasi metode secant untukmenghampiri akar dari persamaan :

xexf x 4)(

Hitung juga kesalahan relatif dari akar aproksimasi yang diperoleh!