SOLUSI PERSAMAAN NON LINIER (3)

USZ

Metode Newton Raphson

Metode Terbuka (1)

Metode Terbuka

Metode Newton-Raphson

Pilih nilai awal xr sembarang

Hitung xr + 1 dan f (xr + 1)

Apakah f (xr + 1) kecil? selesai

ya

tidak

xr = xr + 1

Bagan alir metode Newton-Raphson

Contoh 1. Hitunglah akar dari persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥 − 3 dengan metode

Newton-Raphson, dengan tebakan nilai awal xr = 1 !

Jawab:

𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥 − 3 = 0

Turunan pertama dari persamaan tersebut adalah:

𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0

𝑥𝑟+1 = 𝑥𝑟 −𝑓 𝑥𝑟

𝑓′ 𝑥𝑟 dengan nilai awal xr = x1 = 1

𝑓 𝑥1 = 1 = (1)3+(1)2−3 1 − 3 = −4

𝑓′(𝑥1 = 1) = 3 1 2 + 2 1 − 3 = 2

𝑥2 = 1 −−4

2= 3

Langkah berikutnya ditetapkan 𝒙𝟐 = 𝟑

𝑓 𝑥2 = 3 = (3)3+(3)2−3 3 − 3 = 24

𝑓′(𝑥2 = 3) = 3 3 2 + 2 3 − 3 = 30

𝑥3 = 3 −24

30= 2.2

Hitungan dilanjutkan dengan prosedur yang sama dan hasilnya diberikan dalam tabel di

bawah ini.

Iterasi N

𝒙𝒓 𝒙𝒓+𝟏 𝒇(𝒙𝒓) 𝒇′(𝒙𝒓) Lebar () 𝒙𝒓+𝟏 − 𝒙𝒓

1 1 3 -4 2 2

2 3 2.2 24 30 0.8

3 2.2 1.83 5.888 15.92 0.37

4 1.83 1.73778 0.987387 10.7067 0.09222

5 1.73778 1.73207 0.05442 9.535198 5.71 x 10-3

Akar dari fungsi 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟑

Contoh 2 Hitunglah akar 𝒇 𝒙 = 𝒆𝒙 − 𝟓𝒙𝟐 dengan metode Newton-Raphson, dengan

tebakan nilai awal xr = 1 dan ≤ 0.00001.

Jawab:

𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 − 5𝑥2

Turunan pertama dari persamaan tersebut adalah:

𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥 − 10𝑥

𝑥𝑟+1 = 𝑥𝑟 −𝑒𝑥−5𝑥2

𝑒𝑥−10𝑥 dengan nilai awal xr = x1 = 1

Tabel iterasinya:

Iterasi N

𝒙𝒓 𝒙𝒓+𝟏 𝒇(𝒙𝒓) 𝒇′(𝒙𝒓) Lebar () 𝒙𝒓+𝟏 − 𝒙𝒓

1 1 0.686651 -2.281718 -7.281718 0.313349

2 0.686651 0.610741 -0.370398 -4.879460 0.075910

3 0.610741 0.605295 -0.023227 --4.265614 5.44 x 10-3

4 0.605295 0.605267 -1.1767 x 10-4 -4.221157 2.8 x 10-5

5 0.605267 0.605267 5.1206 x 10-7 -4.220928 0.000000

Akar dari 𝒇 𝒙 = 𝒆𝒙 − 𝟓𝒙𝟐

THANKS

USZ