LIMIT KONTINUITAS -...

UNIVERSITAS GUNADARMA

LIMIT &

KONTINUITAS

Nuryanto, ST., MT

Nuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MTNuryanto,ST.,MT

3.1 Limit Fungsi di Satu Titik

Pengertian limit secara intuisi

Perhatikan fungsi

Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1

Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut

0.9 0.99 0.999 1.11.011.0010.9999 1.00011

?1.9 1.99 1.999 1.9999 2.0001 2.001 2.01 2.1

Secara grafik

Dari tabel dan grafik disampingterlihat bahwa f(x) mendekati 2jika x mendekati 1

Secara matematis dapat dituliskanSebagai berikut

211lim

Dibaca “ limit dari untuk x mendekati1 adalah 2 1

Definisi(limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa berarti bahwa

)(limbilamana x dekat, tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L

2)2)(12(lim

2232lim

512lim2

xx 9)3)(9(lim

853lim1

Contoh

63lim9

4. )/1sin(lim0

Ambil nilai x yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut

)/1sin( x/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 7/2 8/2

1 0 -1 0 1 0 -1 0

Dari tabel terlihat bahwa bila x menuju 0, sin(1/x) tidak menuju kesatu nilai tertentu sehingga limitnya tidak ada

)(lim |)(|||00,0 Lxfcx

Definisi limit

Untuk setiap 0

Terdapat sedemikian sehingga 0

||0 cx |)(| Lxf

)(lim xfcx

LxfLxfLxfcxcxcx

)(limdan)(lim)(lim

Limit Kiri dan Limit Kanan

cxJika x menuju c dari arah kiri (dari arahbilangan yang lebih kecil dari c, limit disebutlimit kiri,

)(lim xfcx

Jika x menuju c dari arah kanan (dari arahbilangan yang lebih besar dari c, limit disebutlimit kanan,

Hubungan antara limit dengan limit sepihak(kiri/kanan)

notasi

Jika )(lim xfcx

)(lim xfcx

maka tidak ada )(lim xfcx

)(lim1

)(lim2

1,210,0,

xxxxxx

)(lim0

Contoh Diketahui

a. Hitung

d. Gambarkan grafik f(x)Jawab

a. Karena aturan fungsi berubah di x=0, maka perlu dicari limitkiri dan limit kanan di x=0

c. Hitung

b. Hitung) Jika ada

0)(lim0

)(lim2

)(lim0

0lim 2

)(lim0

b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limitkiri dan limit kanan di x=1

)(lim1

32lim 2

11lim)(limxx

xf )(lim1

62lim 2

Karena Tidak ada

c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka tidak perlu dicari limitkiri dan limit kanan di x=2

22)( xxf

Untuk x 02)( xxf

Grafik: parabola

Untuk 0<x<1

f(x)=x

Grafik:garis lurus

Untuk 1

Grafik: parabola

di x=1 limit tidakada

2. Tentukan konstanta c agar fungsi

)( 2 xcxxcx

mempunyai limit di x=-1

Agar f(x) mempunyai limit di x=-1, maka limit kiri harus sama denganlimit kanan

)(lim1

33lim1

)(lim1

1lim 2

Agar limit ada 3+1c=1-c

)(lim3

)(lim1

A. Diberikan grafik suatu fungsi f seperti gambar berikut .

Cari limit /nilai fungsi berikut, atau nyatakan bahwa limit /nilaifungsi tidak ada.

Soal Latihan

)(lim1

f x 1lim ( )

1lim ( )

xxxg 32)(

2lim ( )

1. Diketahui :

a.Hitung dan

b. Selidiki apakah ada, jika ada hitung limitnya

2. Diketahui , hitung ( bila ada ) :

3. Diketahui , hitung ( bila ada )

a. b. c.

LGxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim

0,)(lim

)()(lim

)(lim)(lim

GxgLxfaxax

)(limdan)(lim

GLxgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim

Sifat limit fungsiMisal

(limit dari f , g ada dan berhingga)

axxfxf ))(lim())((lim

,n bilangan bulat positif

5. bila n genap L harus positif

222 )1(1

1sin)1()1(

)()()( xhxgxf

1sin)1(lim 2

LxhLxfcxcx

)(limserta)(lim

11sin)1(lim 2

Prinsip Apit

Misal untuk x disekitar c dan

Contoh Hitung

Karena 1)1

1sin(1

dan 0)1(lim 2

x0)1(lim, 2

Limit Fungsi Trigonometri

1sinlim.10

1coslim.20

1tanlim.30

Contoh

4sin3lim

2tan54sin3lim

22tanlim5

4sinlim3

2tanlim5

4sinlim3

x 0 ekivalen dgn 4x 0

Soal Latihan

t sin1coslim

t sec2sincotlim

t 23tanlim

t sec43sinlim

Hitung

x 2sintanlim

atasarahdari0)(dan0jika,)( xgLi

Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga

Limit Tak Hingga

maka,0)(limdan0)(limMisal

xgLxfaxax

bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLii

bawaharahdari0)(dan0jika,)( xgLiiiatasarahdari0)(dan0jika,)( xgLiv

Ctt : g(x) 0 dari arah atas maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)positif.

g(x) 0 dari arah bawah maksudnya g(x) menuju 0 dari nilai g(x)negatif.

021lim 2

11lim 2

Contoh Hitung

11lim 2

x sinlim

a. 021lim 2

x,g(x)=x-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena x 1 dari kiri berarti x lebih kecil dari 1, akibatnyax-1 akan bernilai negatif

Sehingga

b. akan menuju 0 dari arah atas, karena x -1 dari kiri berarti x lebih kecil dari -1, tapibilangan negatif yang lebih kecil dari -1 jika dikuadratkan lebih besar dari 1 sehingga bernilai positif

1)( 2 xxg

Sehingga

xx sinlim

danf(x)=sinx

Jika x menuju dari arah kanan maka nilai sinx menuju 0 dari arahbawah(arah nilai sinx negatif)

sehingga

Karena

Limit di Tak Hingga

a. jika |)(|00 LxfMxM

atau f(x) mendekati L jika x menuju tak hingga

Contoh Hitung

4252lim 2

)2()1(

4252lim 2

521lim

)(lim jika |)(|00 LxfMxM

atau f(x) mendekati L jika x menuju minus tak hingga

Contoh Hitung

4252lim 2

3lim 2)

33(3lim

xxxxxxxxx

Contoh Hitung

3lim 2

Jawab :Jika x , limit diatas adalah bentuk ( )

xxxxxx

)1()1(lim

3||2 xx

)11(1lim

Soal Latihan

limx x 2 2

)1(lim xxx

xx 1 2

Hitung

ada)(lim xfax

)()(lim afxfax

Kekontinuan Fungsi

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a jika

(i) f(a) ada

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka f dikatakantidak kontinu di x=a

º f(a) tidak ada

f tidak kontinu di x=a

Karena limit kiri(L1) tidaksama dengan limit kanan(L2)maka f(x) tidak mempunyai limitdi x=a

Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a

f(a) f(a) ada

)(lim xfax

Tapi nilai fungsi tidak sama denganlimit fungsi

Fungsi f(x) tidak kontinu di x=a

f(a) ada

)(lim xfax

)()(lim afxfax

f(x) kontinu di x=2

Ketakkontinuan terhapus

Ketakkontinuan kasus (i) bisa dihapusdengan cara mendefinisikan nilai fungsidititik tersebut = limit fungsia

contoh

Periksa apakah fungsi berikut kontinu di x=2, jika tidak sebutkanalasannya

xfa. b.

2,12,1

)( 2 xxxx

Jawab :

a. Fungsi tidak terdefinisi di x=2 (bentuk 0/0) f(x) tidak kontinudi x=2

b. - f(2) = 3

42lim)2(

)2)(2(lim24lim

)2()(lim2

Karena limit tidak sama dengan nilai fungsi, maka f(x) tidakkontinu di x=2

c. 312)2( 2 f-

- 31lim)(lim22

31lim)(lim 2

3)(lim2

)2()(lim2

Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2

Kontinu kiri dan kontinu kanan

Fungsi f(x) disebut kontinu kiri di x=a jika

)()(lim afxfax

Fungsi f(x) disebut kontinu kanan di x=a jika

)()(lim afxfax

Fungsi f(x) kontinu di x=a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di x=a

Contoh : Tentukan konstanta a agar fungsi

2,)( 2 xax

Kontinu di x=2

)2()(lim2

1412)2( 2 aaf

Jawab :Agar f(x) kontinu di x=2, haruslah

f kontinu kiri di x=2

)2()(lim2

aaxxfxx

2lim)(lim22

1412)2( 2 aaf

2 + a = 4a – 1-3a = -3

a = 1f kontinu kanan di x=2

141lim)(lim 2

Selalu dipenuhi

1. Diketahui

1,221,1

selidiki kekontinuan fungsi f(x) di x = -1

Soal Latihan

2. Agar fungsi

2,321,

xxxbax

kontinu pada R, maka berapakah a + 2b ?

3. Tentukan a dan b agar fungsi

bxaxxf

kontinu di x = 2

Kekontinuan pada interval

• Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x) kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut.

• Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila :

1. f(x) kontinu pada ( a,b )

2. f(x) kontinu kanan di x = a

3. f(x) kontinu kiri di x = b

Bila f(x) kontinu untuk setiap nilai x R maka dikatakan f(x) kontinu ( dimana-mana ).

• Teorema 3.2• Fungsi Polinom kontinu dimana-mana• Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya• Misalkan , maka

– f(x) kontinu di setiap titik di R jika n ganjil– f(x) kontinu di setiap R positif jika n genap.

Contoh : tentukan selang kekontinuan

Dari teorema diatas diperoleh f(x) kontinu untuk x-40 atau x4.

f(x) kontinu kanan di x=4

Sehingga f(x) kontinu pada [4, )

n xxf )(

4)( xxf

)4(04lim)(lim44

fxxfxx

f xx x

( )| |

941)(2

24)( xxxf

A. Carilah titik diskontinu dari fungsi

B. Tentukan dimana f(x) kontinu

Soal Latihan

Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposisi

• Teorema Limit Fungsi Komposisi:Jika dan f(x) kontinu di L, maka

• Teorema kekontinuan fungsi komposisi:Jika g(x) kontinu di a, f(x) kontinu di g(a), maka fungsi kontinu di a.Bukti

karena f kontinu di g(a)= f(g(a)) karena g kontinu di a= (fog)(a)

)()(lim))((lim Lfxgfxgfaxax

))(( xgf

))((lim))((lim xgfxgfaxax

))(lim( xgfax

4313cos)( 2

xxxxxf

))(()( xhgxf

4313)( 2

xxxxxh dan g(x) = cos x

Contoh Tentukan dimana fungsi

kontinu

Jawab :

Fungsi f(x) dapat dituliskan sebagai komposisi dua fungsi atau

dengan

Karena h(x) kontinu di R-{-4,1} dan g(x) kontinu dimana-mana makafungsi f(x) kontinu di R-{-4,1}

LIMIT KONTINUITAS -...

Documents

Transcript of LIMIT KONTINUITAS -...

LIMIT FUNGSI - eko.staff.uns.ac.id · Pengertian Limit (Limit Satu Sisi) Limit fungsi di titik tertentu tidak ada bila Limit kiri dan limit kanan ada, tetapi berbeda, atau Limit kiri

LIMIT FUNGSI - yudarwibkl.files.wordpress.com · LIMIT FUNGSI A. Pengertian Limit B. Limit Berhingga dari Fungsi Aljabar Kelas X , Semester 2 Materi W10a . A. Limit Berhingga dari

LEMBAR AKTIVITAS SISWA LIMIT FUNGSI A. PENGERTIAN LIMIT ... · PDF fileNAMA : KELAS : LEMBAR AKTIVITAS SISWA – LIMIT FUNGSI A. PENGERTIAN LIMIT FUNGSI Limit Fungsi memuat pengertian

LIMIT FUNGSI untuk SMA/MA - learning4man.weebly.comlearning4man.weebly.com/.../1/6/5/2/16527750/modul_limit_fungsi.pdf · Limit Fungsi Trigonometri Aplikasi Limit Fungsi. LIMIT FUNGSI

Betz limit

LIMIT FUNGSI - eko.staff.uns.ac.ideko.staff.uns.ac.id/files/2012/08/Materi-ke-5-2015.pdf · Pengertian Limit (Limit Satu Sisi) Limit fungsi di titik tertentu tidak ada bila Limit

Limit Terjemahan

Limit Trigono

Limit di Tak Hingga; Limit Tak Hinggapeople.usd.ac.id/~ydkristanto/wp-content/uploads/2018/02/08-Limit-di... · Limit Tak Hingga & Asimtot Garis 𝑥𝑥= 𝑎𝑎merupakan asimtot

Liquid Limit

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI,LIMIT KHUSUS,DISKONTINUITAS DAN KONTINUITAS

Limit Switch

LIMIT FUNGSI

Kuliah ke-5 2014 - eko.staff.uns.ac.id · Pengertian Limit (Limit Satu Sisi) Limit fungsi di titik tertentu tidak ada bila Limit kiri dan limit kanan ada, tetapi berbeda, atau Limit

Limit-Limit Trigonometripeople.usd.ac.id/.../2018/02/07-Limit-Limit-Trigonometri.pdf1 cos𝑥𝑥 Karena limit fungsi-fungsi “terluar” di atas untuk x mendekati 0 sama dengan 1,

BAB 5. LIMIT - · PDF fileMATEMATIKA DASAR Ilham Saifudin Outline 1 Limit Deﬁnisi Limit Limit -limit satu sisi Presisi limit Teorema limit Penyelesaian limit Limit tak hingga Limit

LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI - eko.staff.uns.ac.ideko.staff.uns.ac.id/files/2012/08/Kuliah-ke-5-2014.pdf · Pengertian Limit (Limit Satu Sisi) Limit fungsi di titik tertentu tidak

Angka Penting (Significant Figures) Limit Deteksi (Limit of Detection)

Math_2_2 LIMIT

Fungsi Limit