Matematika15.wordpress.com

1 King’s Learning Be Smart Without Limits

LEMBAR AKTIVITAS SISWA – DIFFERENSIAL (TURUNAN)

Nama Siswa : ___________________

Kelas : ___________________

Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013):

3.21 Memahami konsep turunan dengan menggunakan konteks matematik atau

konteks lain dan menerapkannya.

3.22 Menurunkan aturan dan sifat turunan fungsi aljabar dari aturan dan sifat

limit fungsi.

3.23 Memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah dunia nyata dan

matematika yang melibatkan turunan dan memeriksa kebenaran langkah-

langkahnya.

3.24 Memahami konsep turunan dan menggunakannya untuk menganalisis

grafik fungsi dan menguji sifat-sifat yang dimiliki untuk mengetahui fungsi

naik dan fungsi turun.

3.25 Menerapkan konsep dan sifat turunan fungsi untuk menentukan gradien garis

singgung kurva, garis tangen, dan garis normal.

3.26 Memahami konsep dan sifat turunan fungsi terkait dan menerapkannya

untuk menentukan titik stasioner (titik maximum, titik minimum dan titik

belok).

3.27 Menganalisis bentuk model matematika berupa persamaan fungsi, serta

menerapkan konsep dan sifat turunan fungsi dalam memecahkan masalah

maximum dan minimum.

4.16 Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam

memecahkan masalah nyata tentang turunan fungsi aljabar.

4.18 Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam

memecahkan masalah nyata tentang fungsi naik dan fungsi turun.

4.19 Merancang dan mengajukan masalah nyata serta menggunakan konsep dan

sifat turunan fungsi terkait dalam titik stasioner (titik maximum, titik

minimum dan titik belok).

4.20 Menyajikan data dari situasi nyata, memilih variabel dan

mengomunikasikannya dalam bentuk model matematika berupa persamaan

fungsi, serta menerapkan konsep dan sifat turunan fungsi dalam

memecahkan masalah maximum dan minimum.

A. PENGERTIAN DIFERENSIAL (TURUNAN)

Turunan fungsi atau diferensial didefinisikan sebagai laju

perubahan fungsi sesaat dan dinotasikan f ’(x).

a)ha(

)a(f)ha(f

x

y

h

)a(f)ha(f

x

y

Limitkan kedua ruas (perubahan h mendekati nol)

)a('fh

)a(f)ha(flim

x

ylim

0h0h

f’(a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a

Contoh :

f(x) = 4x + 1 f’(2) = …….

f’(2)= h

)2(f)h2(flim

0h

= h

)12.4()1)h2(4(lim

0h

= h

h4lim

h

91h48lim

0h0h

= 44lim0h

Definisi turunan (rumus)

Misal fungsi f memetakan x ke y atau y = f(x), x sebagai variabel

bebas dan y sebagai variabel terikat. Turunan y = f(x) terhadap x

adalah:

Notasi turunan

Notasi lain dari turunan: d

dx f(x) atau

df

dx atau

dy

dx

Contoh:

Tentukanlah turunan fungsi-fungsi berikut terhadap x.

Jawab:

Matematika15.wordpress.com

2 King’s Learning Be Smart Without Limits

B. ATURAN-ATURAN DARI TURUNAN (RUMUS-RUMUS)

Jika U dan V adalah fungsi dalam x, sedangkan k dan n adalah

konstanta, maka dari definisi turunan diperoleh rumus sebagai

berikut:

No y atau f(x) y’ atau f ’(x) atau

𝐝𝐲

𝐝𝐱

1 k (konstanta) 0

2 kx k

3 xn n. xn−1

4 k.xn k.n. xn−1

5 U ± V (Penjumlahan/pengurangan

fungsi) U’ ± V’

6 Un n. U n – 1

. U’

7

U.V (perkalian antara fungsi) U’.V + U.V’

U.V.W

U’.V.W +

U.V’.W +

U.V.W’

8 U

V (Pembagian antara fungsi)

U′ . V − U.V′

V2

9

y = f(u) dan u = g(x)

dy

dx=

dy

du.

du

dx

(Aturan Berantai)

y = f(u) , u = g(v) , dan v =

h(x)

dy

dx=

dy

du.

du

dv.

dv

dx

10 (fog)(x) = f(g(x)) (komposisi

fungsi) f‘ (g(x)) . g’(x)

Langkah-langkah penyelesaian turunan:

Perhatikan soal apakah soal perlu disederhanakan atau

dijabarkan

Perhatikan bentuknya: apakah U + V, Un, U.V,

U

V, turunan

berantai, atau komposisi fungsi. Kemudian gunakan

rumus yang sesuai dan rumus dasar (1 – 4)

Contoh:

Tentukanlah turunan fungsi-fungsi berikut:

a. f(x) = 3. x23

b. f(x) = x3− 3x2+2x

x

c. f(x) = (6x – 3) (5x + 2)

d. f(x) = 4x

x−5

e. f(x) = x2 + 3

Jawab:

Matematika15.wordpress.com

3 King’s Learning Be Smart Without Limits

Latihan 1

1.

Jawab:

2.

Jawab:

3.

Jawab:

4.

Jawab:

5.

Jawab:

6. Jawab: 7. Jawab: 8.

Jawab:

9.

Jawab:

Matematika15.wordpress.com

4 King’s Learning Be Smart Without Limits

10.

Jawab: 11. Jawab: 12. Jawab: 13. Jawab:

14.

Jawab: 15.

Jawab: 16. Jawab:

Matematika15.wordpress.com

5 King’s Learning Be Smart Without Limits

17. Jawab: 18.

Jawab: 19. Jawab:

C. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA

1. Menetukan Gradien Garis Singgung

Dik:

P = titik singgung

g = garis singgung

h = garis normal (garis yang tegak lurus (⊥) dengan garis singgung)

Jika kurva y = f(x) disinggung garis g di titik (x1,y1), maka

gradien garis singgung g adalah:

Persamaan garis singgung g melalui melalui titik tersebut

adalah:

Persamaan garis normal atau garis h melalui titik P(x1,y1) dan

tegak lurus garis g adalah:

Contoh:

Tentukanlah gradien garis singgung kurva f(x) = x2 + 3x = 4 pada

titik (2,14).

Jawab:

Contoh:

Tentukanlah persamaan garis normal kurva y = 3x2 – 4x dititik (1,-

1).

Jawab:

m = f ‘ (x1) atau m = 𝑑𝑦

𝑑𝑥

x = x1

y – y1 = m(x – x1)

y – y1 = −1

m (x – x1)

Matematika15.wordpress.com

6 King’s Learning Be Smart Without Limits

1. Sifat-sifat gradien garis singgung

Jika: garis g ≡ y = mx + c1

Garis h ≡ y = mx + c2

Garis g // h (sejajar) → mg = mh

Garis g ⊥ h (tegak lurus) → mg = −1

mh

Contoh:

Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = 1

4 x

2 = x – 4 yang

tegak lurus dengan garis -2x – 6y + 7 = 0

Jawab:

Latihan 2

1.

Jawab: 2.

Jawab: 3. Jawab:

4.

Jawab: 5.

Jawab:

6.

Jawab:

7.

Jawab:

Matematika15.wordpress.com

7 King’s Learning Be Smart Without Limits

8.

Jawab:

9.

Jawab:

10.

Jawab:

11.

Jawab:

12.

Jawab:

13.

Jawab:

14.

Jawab:

15.

Jawab:

Matematika15.wordpress.com

8 King’s Learning Be Smart Without Limits

16.

Jawab:

17.

Jawab:

18.

Jawab:

19.

Jawab:

20.

Jawab:

21.

Jawab:

22.

Jawab:

Matematika15.wordpress.com

9 King’s Learning Be Smart Without Limits

D. FUNGSI NAIK, FUNGSI TURUN, DAN STASIONER

1. Fungsi Naik

Garis singgung membentuk sudut

lancip dengan sb x positip maka

tangen sudutnya positif atau gradien

(m) > 0 dimana m = f‘ (x) maka syarat

fungsi naik adalah :

2. Fungsi Turun

Garis singgung membentuk sudut

tumpul dengan sumbu x positip maka

m < 0 maka syarat fungsi turun adalah :

Contoh:

Jawab:

3. Titik Stasioner

Titik stasioner adalah titik tempat fungsi berhenti naik atau turun untuk

sementara (titik bergradien sama dengan nol)

Garis singgung sejajar sb x maka gradien m = 0 maka syarat titik

stasioner adalah :

dari f’(x) = 0 akan diperoleh nilai–nilai x

Mis : x1 dan x2 maka :

f(x1) dan f(x2) disebut nilai stasioner (nilai kritis)

[x1, f(x1] dan [x2,f(x2)] disebut titik stasioner (titik kritis)

4. Jenis-jenis titik Stasioner

TITIK A TITIK STASIONER MAX

Koord. Titik max [x1, f(x1)]

f(x1) = nilai max

Syarat :

TITIK B TITIK STASIONER MIN

Koord. Titik min [x2, f(x2)]

f(x2) = nilai min

Syarat :

TITIK C TITIK STASIONER BELOK

Koord. Titik belok [x3, f(x3)]

f(x3) = nilai belok

Syarat :

Langkah penyelesaian :

1. Syarat stasioner f’(x) = 0

2. Substitusi. x1 dan x2 pada f”(x)

f”(x) < 0 (max)

f”(x) > 0 (min)

3. Titik belok : f”(x) = 0

f ‘ (x) > 0

f ’ (x) < 0

f’(x) = 0

f” (x1) < 0

f” (x2) > 0

f’’ (x) = 0

Matematika15.wordpress.com

10 King’s Learning Be Smart Without Limits

Contoh:

Jawab:

Contoh:

Latihan 3

1.

Jawab:

2.

Jawab:

3. Jawab: 4. Jawab: 5. Jawab:

Matematika15.wordpress.com

11 King’s Learning Be Smart Without Limits

6.

Jawab: 7. Jawab: 8. Jawab: 9. Jawab:

10. Jawab: 11. Jawab: 12. 13. Jawab:

Matematika15.wordpress.com

12 King’s Learning Be Smart Without Limits

14.

Jawab: 15.

Jawab: 16.

Jawab: 17. Jawab:

18. Jawab: 19. Jawab: 20.

Jawab:

Matematika15.wordpress.com

13 King’s Learning Be Smart Without Limits

E. PENERAPAN TURUNAN

Contoh:

Contoh:

Contoh:

Latihan 5 1.

Jawab: 2. Jawab: 3. Jawab:

Matematika15.wordpress.com

14 King’s Learning Be Smart Without Limits

4. Jawab: 5. Jawab: 6. Jawab:

7.

Jawab: 8. Jawab:

"Fokus pada kelebihanmu.. bukan kekuranganmu”