Kalkulus II

KALKULUS II

Prof.Dr.Ir.SRI REDJEKI MT

MATERI YANG AKAN DIBERIKAN

1. FUNGSI TRANSENDEN A. LOGARITMIK DAN EKSPONENSIAL B. FUNGSI LOGARITMIK DAN FUNGSI EKSPONENSIAL C. FUNGSI INVERS D. FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI E. TURUNAN DAN INTEGRAL FUNGSI INVERS/TRIGONOMETRIK

2. TEKNIK INTEGRASI A. INTEGRASI PARSIAL DAN INTEGRASI FUNGSI TRIGONOMETRI B. INTEGRASI FUNGSI RASIONAL PECAHAN PARSIAL C. TEKNIK-TEKNIK INTEGRASI YANG LAIN

2. APLIKASI-APLIKASI INTEGRAL TERTENTU A. MENGHITUNG LUAS BIDANG DATAR B. MENGHITUNG ISI BENDA C. PANJANG SUATU KURVA PADA BIDANG

LogaritmikLogaritmik LogaritmaLogaritma adalah operasi adalah operasi matematika

yang merupakan kebalikan dari eksponen yang merupakan kebalikan dari eksponen atau atau pemangkatan..

Rumus dasar logaritma:Rumus dasar logaritma: bbcc= a ditulis sebagai = a ditulis sebagai bblog a = c (b disebut log a = c (b disebut

basis)basis) Beberapa orang menuliskan Beberapa orang menuliskan bblog a = c log a = c

sebagai logsebagai logbba = ca = c Dalam aljabar, logaritma didefinisikan Dalam aljabar, logaritma didefinisikan

sebagai pangkat. Lebih tepatnya jika b > 0 sebagai pangkat. Lebih tepatnya jika b > 0 dan b ≠ 1, maka untuk x positif dan b ≠ 1, maka untuk x positif didefinisikan didefinisikan ““loglogbbxx ””

(baca, logaritma berbasis b dari x) sebagai (baca, logaritma berbasis b dari x) sebagai pangkat untuk b yang menghasilkan x. pangkat untuk b yang menghasilkan x.

Kegunaan logaritmaKegunaan logaritma

Logaritma sering digunakan untuk Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari sebagai solusi dari integral. Dalam . Dalam persamaan persamaan bbnn = = xx, , bb dapat dicari dapat dicari dengan dengan pengakaran, , nn dengan dengan logaritma, dan logaritma, dan xx dengan dengan fungsi eksponensial..

Contoh:Contoh:

LogLog1010 100 = 2 100 = 2Sebab 10 harus berpangkat 2 untuk Sebab 10 harus berpangkat 2 untuk

menghasilkan 100. menghasilkan 100. Dengan cara Dengan cara sama,sama,

LogLog22 8 = 3, 8 = 3, karena 2karena 233 = 8 = 8

LogLog1010 1/1000 = -3,karena 10 1/1000 = -3,karena 10-3-3 = = 1/10001/1000

Umumnya jika y = logb x, maka y merupakan pangkat untuk b yang harus menghasilkan x, jadi x = by. Kebalikannya, jika x = by, maka y = logb x, sehingga pernyataan :Y = logb x dan x = by adalah ekivalen. Dengan mensubsitusikan setiap persamaan diperoleh :

logb by = y dan blogb x = x (1.1) Logaritma yang pertama kali dipelajari adalah

logaritma dengan basis 10, yang disebut logaritma umum (common logarithmsi). Untuk logaritma seperti itu biasanya basis tidak secara eksplisit dirujuk dan ditulis “log” tidak “log10”. Jadi, (1.1) menjadi:

Log 10x = x dan 10log x = x

logba= x dan logb c = y (1.2)

TEOREMA

a). Logb 1 = 0 b) logb b = 1

c). Logb ac = Logb a + Logb c d) logb a/c = logb a – logb c

e). Logb ar = r Logb a f) logb 1/c = -logb c

Akan dibuktikan (a) dan (c),

Bukti (a). karena b0 = 1, maka logb 1 = 0

Bukti (c). Misalkan

x = logb a dan y = logb c

Jadi, bx = a dan by = cOleh karena itu,ac = bxby = bx+y atau ekivalen dengan

logb ac = x+y

selanjutnya, dari (1.2)logb ac = Logb a + Logb c

Bilangan e logaritma naturalLogaritma yang paling penting dalam

aplikasi adalah yang disebut logaritma natural; ini mempunyai basis irrasional tertentu yang ditunjukkan dengan e.

e ~ 2,718282

Diturunkan menjadi :

Tabel 1.1.2

1 2 2,000000

10 1,1 2,593742

100 1,01 2,704814

1.000 1,001 2,716924

10.000 1,0001 2,718146

100.000 1,00001 2,718268

1.000.000 1,000001 2,718280

Standar untuk mengartikan logaritma natural dari x adalah ln x

dan tidak log e x. jadi ln x itu merupakan pangkat untuk e yang harus menghasilkan x, contoh :

ln 1 = 0 (karena e0 = 1) Secara umum: a. y = ln x dan x = ey ekivalen ln e = 1 (karena e1 = e) b. ln ex = x dan e ln x = x ln 1/e = -1 (karena e-1 = 1/e) ln (e2) = 2 (karena e2 = e2)

Teorema : 1.1.2

Bukti ;Misalkan y = logb x. Jadi

by = xLoga by = Loga x

y Loga b = Loga x

Contoh soal:1. Nyatakan :Kedalam penjumlahan, pengurangan dan

perkalian:

Contoh Soal 2:Tulis dalam bentuk logaritma tunggal:a. 2 log 5 + log 8 – log 2 = Log 52 + log 8 – log 2 = Log 25 + log 8 – log 2 = Log 25.8 – log 2 = Log 200/2 = log 100 = 2b.1/3 ln x – ln(x2 +1)+5 ln(x-2)= ln x1/3 – ln(x2+1) + ln(x-2)5 = Ln

Contoh 3;a. log x = -3, x = 10-3 = 0,001b. ln(2x-3) = 7, 2x-3 = e7, x = ½(e7+3)c. 2x = 3, log 2x = log 3 x log 2 = log 3 x = log3/log2 = 1,585d. e2x = 81, ln e2x = ln 81 2x = ln 92

2x = 2 ln 9 x = ln 9 = 2,197225

TIPE LAIN DARI PERSAMAAN LOGARITMIK DAN EKSPONENSIAL.Metode – metode yang digunakan dalam contoh – contoh sebelumnya dapat

dimodifikasi untuk menyelesaikan tipe – tipe lain logaritmik dan eksponensial. Contoh 1.1.5 Selesaikan untuk x.

Penyelesaian. Kalikan kedua sisi dengan 2 pada persamaan yang diberikan, diperoleh

Kalikan kedua sisi dengan ex diperoleh :

Ini jelas persamaan kuadrat yang samar; ini dapat diliat dengan menulis ulang persamaan

menjadi :

Dan misalkan u = ex, maka

u2 – 2u – 3 = 0

penyelesaian untuk u adalah

(u – 3) (u + 1) = 0, yang menghasilkan u = 3 dan u = -1

ex = 3 atau ex = -1

tetapi ex tidak dapat negative,sehingga nilai ex = -1 diabaikan; jadi

ex = 3

ln ex = ln 3

x = ln (3) ~ 1,098612

Fungsi logaritmik dan fungsi eksponensialPERAN LOGARITMA NATURAL DALAM

KALKULUSPada sub bab ini akan diperlihatkan logaritma

dan pangkat dari sudut pandang fungsi. Untuk b > 0, bx disebut fungsi eksponensial berbasis b dan logb x disebut fungsi logaritma berbasis b. dalam kasus dimana b = e, ex

disebut fungsi eksponensial natural dan ln x = logb x disebut logaritma natural.

Fungsi logaritma natural mempunyai peran khusus dalam kalkulus yang dapat memotivasi pendiferensialan f (x) = logb x, dimana b sembarang basis. Dengan mengasumsikan bahwa fungsi logb x dapat didiferensialkan, oleh karena itu kontinu untuk x > 0.

)(ln xx

TURUNAN DAN INTEGRAL YANG BERKAITAN DENGAN Ln X

Jika u(x)>0, dan fungsi u dapat dideferensilkan di x, maka diperoleh :

Diferensiasi LogaritmikContoh : Turunan dari ; Turunan Pangkat Irrasional x: y=xr

1)(log

d 1)(ln

)ln()(ln

lnlnln

Turunan dan Integral yang berkaitan dengan bx

Untuk memperoleh turunan dari bx, andaikan y = bx, gunakan diferensiasi logaritmik :

Ln y = ln bx = x ln b1/y dy/dx = ln b, dy/dx = y ln b = bx ln bJadi : dlm kasus khusus b=eLn e= 1, shg ;

Jika u fungsi x yg terdiferensial, maka diperoleh :

d xx ln)( xx ee

d uu ln)( dx

d uu )(

Integral Fungsi EksponensialRumus Integral yg terkait dgn turunan-turunan

Contoh :1.

2.Tentukan nilai :

3. Tentukan nilai :

ln edueu

dxe x2

2/1)1( dxee xx

Untuk menyajikan persoalan-persoalan yang lebih rumit, kita memerlukan perluasan fungsi-fungsi yang dapat dipakai.

Fungsi Logaritma NaturalFungsi Logaritma Natural (disingkat ln), ditulis f(x)=ln

x, didefinisikan sebagai,

Daerah definisi (Df) dan Daerah nilai (Rf) fungsi iniadalah Df = (0,+∞) dan Rf = R.Fungsi ini ada hubungannya dengan fungsi logaritmayang telah dipelajari pada sekolah lanjutan.

Grafik dari fungsi f(x)=ln x adalah,

Teorema 1 (Turunan Fungsi Logaritma Natural)

dx (ln x ) = 1

x > 0 ;

2. d (lnu) = 1 . du = u ′

, u ( x ) > 0, u ′ ada .

u u udx

Teorema 2 (Sifat Logaritma Natural). Jika a, b > 0 dan r є Q dan r ≠ -1, maka

1. ln 1 = 0; 2. ln a.b = ln a + ln b; 3. ln a/b = ln a – ln b; 4. ln ar = r.ln a.

Contoh 1.

1 − x ) = ln(1 − x ) − ln(1 + x ) = − 1 − 1 = 2

dx 1 + x 1 − x 1 + x x 2 − 1

∫ − ∫ 2

= − du

⎢ x 3 ⎥

Setiap bentuk turunan itu ada rumus integralnya. Akibatnya dari teorema 1, diperoleh

u = ln u

u ≠ 0.

Contoh 2. Hitung dx . −1 x

Jawab. Misalkan u=10-x2, du=-2x dx, maka

= − 1

1 1 ln u

+ C = − 1 ln 10 − x 2 + C ∫ 10 − x 2 2 ∫ u 2 2

Menurut Teorema dasar kalkukus diperoleh,

3 x ∫ 2 dx = ⎡ 1 ln 10 − 2 ⎤ = 1

ln 9. −1 10 − x ⎣ 2 ⎦ −1 2

Fungsi Balikan (Invers).Misalkan fungsi y=f(x), dengan x є Df dan y є Rf. Bila f

dapat dibalik, maka diperoleh fungsi x= f -1(y). Fungsi f -1 disebut balikan (invers) dari fungsi f.

Sebagai contoh, jika y=f(x)=x3-1, maka x=f-1(y)=

Tidak semua fungsi mempunyai balikan. Sebagai contoh, jika y=f(x)=x2 tidak mempunyai balikan, kecuali kalau daerah definisinya dibatasi.

Teorema 3. Eksistensi Fungsi Balikan.Jika fungsi f monoton murni pada daerah

definisinya, maka f mempunyai balikan.

Langkah-langkah mencari inver fungsi y=f(x),1. Nyatakan x dengan y dari persamaan y=f(x);2. Nyatakan bentuk dalam y sebagai f-1(y)→x= f -1(y);3. Ganti y dengan x dan x dengan y dari x= f -1(y),

diperoleh y= f -1(x).

Contoh 3. Tentukan rumus untuk f -1(x) bila y=f(x)=x/(1-x).

Jawab.Langkah1: y = x/(1-x)↔(1-x).y=x

↔x(1+y)=y↔x=y/(1+y); Langkah2: f -1(y) = y/(1+y);Langkah3: f -1(x) = x/(1+x);

Bila f mempunyai balikan f -1 maka f -1 juga memiliki balikan f sehingga diperoleh,

f -1(f(x)) = x dan f(f -1(y)) = y.

Jika f mempunyai balikan, maka

x = f-1(y) ↔ y = f(x). Catatan. Lambang f-1 bukan berari 1/f.

Grafik fungsi y=f-1(x) adalah pencerminan grafik y=f(x) terhadap garis y=x. Sebagai

y = 3 x + 1

contoh, grafik fungsi y=f-1(x)= 3

adalah pencerminan grafik x + 1

y = x 3 − 1

Jika fungsi f dan g memenuhi dua kondisi:f(g(x)) = x, untuk setiap x dalam domain gg(f(x)) = x, untuk setiap x dalam domain fmaka dapat dikatakan bahwa, f invers dari g dan g invers dari f, atau dengan kata lain, f dan g adalah merupakan fungsi-fungsi invers.

Contoh ; fungsi f(x) = 2x dan g(x) = 1/2 x adalah fungsi invers sebab : f(g(x)) = f(1/2x) = 2(1/2x) = xg(f(x)) = g(2x) = ½.2x = xjadi : untuk f(x) = 1/2x, f-1(x) = 2x dan, g(x) = 2x, g-1(x) = 1/2xdapat dikatakan bahwa suatu fungsi hanya mempunyai satu invers (tunggal)

Turunan Fungsi Invers.(Halaman pembetulan)

Karena grafik f dan f-1 merupakan pencerminan satu dengan lainnya pada garis y=x, secara intuitif jelas bahwa jika grafik f-1 tidak mempunyai sudut, maka grafik f juga demikian. Hubungan antara turunan-turunan dari f dan f-1 dapat diperoleh sebagai berikut:

Misalkan (x0,y0) titik pada grafik f-1 dan andaikan f dapat diturunkan pada y0 dan f’(y0) tidak nol.

Hubungan ini bila dinyatakan dalam turunan-turunan, akan diperoleh;

(f -1)’(x0) = 1/f’(y0) dan (f -1)’(x0) = 1/f’(f -1(x0)), untuk lebih mudah, y = f -1(x) sedemikian hingga x = f(y)Jadi : dy/dx = (f-1)’(x) dan dx/dy = f’(y)= f’(f -1(x))Atau :

dydxdx

Contoh soal:Fungsi f(x) = x5 + 7x3 + 4x + 1 mempunyai invers:a. dapatkan turunan dari f -1 dengan menggunakan

rumus turunan fungsi inversb. dapatkan turunan dari f -1 dengan differensial

implisitPenyelesaian :a. jika dimisalkan y = f -1(x), maka: x = f(y)=y5 + 7y3 + 4y +1 , diperoleh:

4215 24 yy

yydydxdx

b. pendiferensialan secara implisit terhadap x, menghasilkan :

Yang sama dengan jawaban (b)

)4215(1

147()(

Fungsi Eksponen Natural.Bilangan e adalah suatu bilangan real yang

merupakan jawaban tunggal dari persamaan ln x = 1. Nilai hampirannya adalah e = 2,71828……….

Fungsi eksponen natural adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh persamaan f(x) = ex.

Teorema 5. (Hubungan Fungsi ln dengan exp). Fungsi f : R → (0,+∞), f(x) = ex adalah invers dari

fungsi g : (0,+∞) → R, g(x) = ln x.Bentuk lain dapat ditulisy = ex↔ x = ln y.

Karena antara exp dan ln adalah fungsi-fungsi yang saling invers, maka grafik y = ex adalah grafik y = ln x yang dicerminkan terhadap garis y = x. (Seperti gambar di samping).

Teorema 6 (Sifat Exponen Natural). Jika a, b є R, maka

1. e0 = 1; 2. ea.eb = ea+b; 3. ea/eb = ea-b; 4. (ea)b = ea.b.

Teorema 7 (Turunan Fungsi Eksponen Natural)

dx (e x ) = e x ;

dx (eu ) = eu du

= eu u';

u' ada.

Contoh 5.

dx (e x 2 ln x ) = e x 2 ln x

d (x 2 ln x ) = e x 2 ln x ⎜ x 2 dx ⎝ 1 ⎞ + 2 x ln x ⎟ = x ⎠ xe x ln x (1 + ln x 2 )

d (e x cos x ) = e x (− sin x ) + (cos x )e x

dx = e x (cos x − sin x )

Akibatnya, rumus integral fungsi eksponen natural,

Cedue uu

Contoh 6. ∫ x 2e

− x 3

dx = − 1 ∫ e − x 3

(−3x

2dx ) = 1 − x 3

3 + C.

(Misalkan u = -x3, sehingga du = -3x2)

Latihan.

A. Tentukan turunan fungsi berikut.

1. y = x2 esin x; 2. y = ln (1 - ex)/(1 + ex).

B. Hitung nilai integral berikut. 3

1. ∫ 2 dx

; 2. dx ∫ e x −1

Fungsi Eksponen UmumFungsi eksponen dengan bilangan dasar a>0 dan

peubah bebas real x didefinisikan sebagai,f(x) = ax = ex ln a.

Akibatnya, ln ax = x ln a.

Teorema 8. (Sifat-sifat eksponen umum).1. a0 = 1, a>0; 5. a-x = 1/ax, a>0,

x,yЄR;2. a1 = a, a>0; 6. (ax)y = axy, a>0,

x,yЄR;3. ax.ay = ax+y, a>0, x,yЄR; 7. (ab)x= ax.bx,a,b>0,

yЄR;4. ax/ay = ax-y, a>0, x,yЄR; 8. (a/b)x= ax/bx,a,b>0,

Teorema 9.(Turunan fungsi eksponen Umum).

d 1. dx

(a x ) = a x ln a, a > 0;

d 2. dx

(au ) = (au

ln a)u';

u' ada.

Akibatnya diperoleh,

au ∫ audu = ln a

+ C, a > 0, a

≠ 1.

axxfungsifdenganBedakanCata )(:tan

Fungsi Logaritma Umum

Jika a>0 dan a ≠ 1, maka fungsi logaritma dengan bilangan dasar a, ditulis

y = f(x) = a log x.

Didefinisikan sebagai invers dari fungsi eksponen dengan bilangan dasar a, ax.

Hubungan kedua fungsi ini ditentukan oleh relasi

y = a log x ↔ x = ax.

Teorema 10.(Hubungan logaritma dengan log. Natural)

1. a log x = ln x / ln a, a>0, a ≠ 1;

2. a log e = 1/ln a; ln a = 1/a log e, a>0, a ≠ 1.

Teorema 11.(Sifat-sifat Logaritma).

Jika a>0 dan a ≠ 1 dan x,y>0, maka

1. alog x.y = alog x + alog y; 4. alog 1 = 0;

2. alog (x/y) = alog x - alog y; 5. alog a = 1.

3. alog xy = y alog x;

Teorema 12.(Turunan fungsi Logaritma Umum).

dx (a log x ) = a log e

a > 0, a ≠ 1, x > 0;

dx (a logu) = ( log e).u'

a > 0, a ≠ 1,u > 0, u'

Contoh 7.

dx (2 x ln x ) = (2 x ln x

ln 2).⎜ x . 1

⎞ + ln x ⎟ = ⎠ (1 + ln x ).(ln 2).2 x ln x

(3 log(cos x ) = log e .

d cos x dx

(cos x ) = log e . (− sin x ) =

cos x − 3 log e . tan x

3. ∫ 4 x

x 2dx = 1 ∫ 4 x (3 x 2dx ) = 1 ∫ 4 u du = 4u 4 x

1 + C = + C 3 3 3 ln 4 3.ln 4

Latihan. A. Hitung turunan berikut.

1. 2xy = xy2; 2. 2log xy = xy2.

B. Hitung Integral berikut.

1. ∫ 3ln x

dx ; e 2

2. ∫ 3 log

Masalah Laju Perubahan Sederhana

Misalkan suatu populasi yang besarnya setiap saat berubah bergantung pada waktu t. Bila laju perubahan populasinya setiap saat sebanding dengan besarnya populasi saat itu, maka masalah yang muncul dinamakan Masalah Laju Perubahan Sederhana. Untuk menyelesaikan masalah ini, misalkan P(t)

= besarnya populasi pada saat t, maka dP/dt = laju perubahan populasi pada saat t.

Karena diketahui dP/dt sebanding P, terdapat konstanta k ≠ 0, sehingga

P’ = dP/dt = kP, k ≠ 0. (*) Jika k > 0, maka populasi bertambah, k < 0 berkurang.

Selanjutnya akan diselesaikan persamaan (*). dP/P = k dt, k ≠ 0 dan P > 0 ∫ dP/P = ∫ k dt ln P = kt + C1, C1 konstanta sebarang. P = e kt + C1 = C e kt , C > 0.

Ini berarti, populasinya berubah secara eksponen terhadap t.

Contoh 8. Laju pertumbuhan penduduk suatu kota pada setiap saat berbanding lurus dengan jumlah penduduknya pada saat itu. Bila jumlah penduduk kota itu bertambah dari 1,2 juta jmenjadi 1,8 juta jiwa dalam kurun waktu 20 tahun, tentukan lamanya waktu yang diperlukan sehingga penduduk kota itu bertambah dari 1,2 juta menjadi 2,7 juta jiwa.

Fungsi Trigonometri Balikan.

Balikan dari Sinus diperoleh dengan membatasi daerah definisinya pada selang [-π/2, π/2], sehingga

x = sin-1 y ↔ y = sin x dan -π/2 ≤ x ≤ π/2.

y = sin x y = sin −1 x

Grafik y = sin x dan grafik y = sin-1 x.Fungsi y = f(x) = sin-1x mempunyai Df = [-1, 1]danRf = [-π/2, π/2].

Teorema : y = sin-1x ekivalen dgn sin y=x

Jika : -1≤ x ≤ 1 dan -π/2 ≤ y ≤ π/2 Contoh Dapatkan :a. sin-1(1/2) b. sin-1(-1/√2) c. sin-1(-1) Penyelesaian:a. misalkan y = sin-1(1/2), persamaan ini

ekivalen dengan, sin y = ½, -π/2 ≤ y ≤ π/2 Jadi dicari sudut yg mempunyai sinus ½, yaitu

sudut y = π/6.Jadi : sin-1(1/2) = π/6.b.y = sin-1(-1/√2) ekivalen dgn sin y = (-1/ √2),

diperoleh sudutnya = - π/4c. y = sin-1 (-1) ekivalen dengan sin y = -1,Diperoleh sudutnya = - π/2

Balikan dari Cosinus diperoleh dengan membatasi daerah definisinya pada selang [0, π], sehingga

x = cos-1 y ↔ y = cos x dan 0 ≤ x ≤ π.

y = cos x

y = cos −1 x

Grafik y = cos x dan grafik y = cos-1 x.

Fungsi y = f(x) = cos-1x mempunyai Df = [-1, 1] dan Rf = [0, π].

Balikan dari Tangen diperoleh dengan membatasi daerah definisinya pada selang (-π/2, π/2), sehingga

x = tan-1 y ↔ y = tan x dan -π/2 < x < π/2.

y = tan x

y = tan −1 x

Grafik y = tan x dan grafik y = tan-1 x.

Fungsi y = f(x) = tan-1x mempunyai Df = R dan Rf = (- π /2, π/2).

Balikan dari Secan diperoleh dengan membatasi daerah definisinya pada selang [0,π/2)U (π/2,π], sehingga

x = sec-1 y ↔ y = sec x dan 0 ≤ x ≤ π, x ≠ π/2.

y = sec x y = sec −1 x

Grafik y = sec x dan grafik y = sec-1 x.Fungsi y = f(x) = sec-1x mempunyai Df = R – [-

1,1]dan Rf = [0, π] –{π/2}.

Teorema 13. (Turunan Balikan fungsi Trigonometri)

1. d (sin −1 x ) = 1

, − 1 < x < 1; 3. d (tan −1 x ) 1

dx 1 − x 2 =

dx 1 + x 2

2. d (cos −1 x ) = − 1

, − 1 < x < 1; 4. d (sec −1 x ) = 1

, x > 1 dx 1 − x 2 dx x x 2 − 1

Akibatnya, diperoleh integral berikut, 1

1. ∫ 1 − x 2

dx = sin −1 x + C

2. ∫ 1 + x 2 dx = tan x + C

3. ∫ x

x 2−1 = sec −1 x + C

Contoh-contoh soal;1.Dapatkan dy/dx jika,a. y = sin-1 (x3) b. y =sec-1 (ex)Penyelesaian :a.

2. Hitung Misalkan ;u=√3x, du = √3 dx, menghasilkan :

Fungsi Hiperbolik dan Balikannya.

Fungsi Hiperbolik diperoleh dari campuran fungsi ex

dan fungsi e-x. Fungsi sinus hiperbolik, cosinus hiperbolik dan empat fungsi hiperbolik lainnya, didefinisikan sebagai berikut.

sinh x = 1 (e x

2 − e − x )

cosh x = 1 (e x

2 + e − x )

tanh x = sinh x

cosh x

coth x = cosh x

sinh x

sec h x = 1

cosh x csc h x = 1

sinh x

Berlaku hubungan : cosh2 x – sinh2 x = 1

y = sinh( x )

y = cosh( x )

Teorema 14. (Turunan fungsi hiperbolik)

d (sinh x ) =

(tanh x ) = dx

cosh x

sec h2 x

d (cosh x ) =

(coth x ) = dx

sinh x

− csc h2 x

d (sec h x ) =

dx − sec h x. tanh x

d (csc h x ) =

dx − csc h x.coth x

Balikan Fungsi Hiperbolik.

Dengan cara membatasi daerah definisi fungsi hiperbolik pada suatu himpunan tertentu agar fungsinya satu-kesatu, maka dapat didefinisikan balikan fungsi hiperbolik sebagai berikut.

x = sinh-1y ↔ y = sinh x

x = cosh-1y ↔ y = cosh x, x ≥ 0

x = tanh-1y ↔ y = tanh x

x = coth-1y ↔ y = coth x, x ≠ 0

x = sech-1y ↔ y = sech x, x ≥ 0

x = csch-1y ↔ y = csch x

Karena fungsi hiperbolik dapat dinyatakan sebagai fungsi eksponen, maka balikannya dapat dinyatakan sebagai fungsi logaritma natural.

Teorema 14. (Balikan fungsi hiperbolik dalam logaritma)

sinh−1 x = ln ( x + x 2 + 1.

cosh −1 x = ln ( x + x 2 − 1, x > 1.

tanh −1 x = ln 1 + x

1 − x

, − 1 < x < 1.

coth −1 x = ln x + 1

, x ∉ [−1, 1]. x − 1

sec −1 h x = ln (1 + 1 − x 2

≤ 1.

Pembuktian rumus sinh-1xx = sinh y = atau ey -2x –e-y = 0

Kalikan persamaan dengan ey, diperoleh:e2y -2xey – 1 = 0ey =

Karena ey >0, maka yang minus diabaikaney = x + √x2 + 1

Dengan mengambil nilai ln nya :ln ey = ln (x + √x2 + 1, y = ln (x + √x2 + 1sinh-1x = ln (x + √x2 + 1

442 22

Rumus-rumus turunan:

1)(sinh

1)(cosh

1)(tanh

1)(coth

1)(sec

1)(csc

Bentuk Integralnya:

tanh-1u + C, jika |u| <1 coth-1u + C, jika |u| >1

)1(,cosh1

Cuchuu

PEMAKAIAN INTEGRAL TERTENTU

1. MENGHITUNG LUAS BIDANG DATAR A. LUAS DAERAH ANTARA GRAFIK Y=f(X) DAN

SUMBU X DARI X=a HINGGA X=b

S = | |dxxfb

B. LUAS DAERAH DIANTARA DUA GRAFIK, y1=f1(X) dan y2=f2(x)

dxxfdxxf )()( 21

)(11 xfy

)(22 xfy

)0,(aA )0,(bB

C. Luas daerah diantara dua C. Luas daerah diantara dua kurva yang berpotongankurva yang berpotongan

S = S = b

dxxfdxxf )()( 21

)0,(aA )0,(bB

)(11 xfy

)(22 xfy

D. Luas daerah yang dibatasi oleh 3 buah grafik

• S = c

dxxfxfdxxfxf )()()()( 2321

)(11 xfy

)(22 xfy

)(33 xfy S

)0,(aA )0,(bB )0,(cC

E. Luas antara grafik x=v(y) dan grafik x=w(y)

dyyvyws )()(

Beberapa Contoh Soal 1. Hitung luas daerah antara grafik y = x2+1 Terhadap sumbu x dari x=-1 dan x=2 2. Hitung luas daerah antara grafik y1 =x+6 dan y2

=x2 3. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik y =

sinx dengan sumbu x dari x=0 s/d x=2π 4. Hitung luas daerah antara grafik y1=2-x2 dan

grafik 23

2. Menghitung luas benda dari 2 2. Menghitung luas benda dari 2 buah grafik y1=f(x) dan y2=f(x) buah grafik y1=f(x) dan y2=f(x)

dengan sumbu xdengan sumbu x Contoh ;Contoh ; Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh

x=yx=y22 dan y=x-2 terhadap sumbu x. dan y=x-2 terhadap sumbu x.

1,1 1A

Menghitung luas benda dari grafik x=f(y) dengan sumbu y

Contoh ; Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh x=y2

dan y=x-2 terhadap sumbu y.

3. MENGHITUNG VOLUME BENDAMENDAPATKAN VOLUME DENGAN

IRISAN; CAKRAM DAN CINCIN

1. IRISAN CINCIN

2. IRISAN CAKRAM

A. Menghitung VOLUME BIDANG PERPOTONGAN YG TEGAK LURUS SUMBU -X

Perhatikan gambar benda dibawah ini yang dibatasi oleh dua bidang datar tegak lurus sumbu x di titik x=a dan x=b

xuntukxxSV

B. Volume Benda Putardengan metode cakram

Misalkan y=f(x) tak negatif dan kontinyu pada (a,b) dan R adalah luas yg batas atasnya adalah grafik y=f(x), batas bawahnya sb x, sisi2nya dibatasi x=a s/d x =b. Bila diputar thdp sb x, terjadi suatu benda padat berupa lingkaran. S= A(x)=πr2 = πy2=π[f(x)]2

dxxf 2)]([

Menentukan volume benda Menentukan volume benda dengan metode cakramdengan metode cakram

► Contoh ; dapatkan volume benda padat yg Contoh ; dapatkan volume benda padat yg didapat dari daerah dibawah kurva y= didapat dari daerah dibawah kurva y= pada selang (1,4) diputar terhadap sb xpada selang (1,4) diputar terhadap sb x

► V = V = ► ► = y= = y=

dxxf 2)]([

dxxdxxxy

C. Menentukan volume benda dengan metode C. Menentukan volume benda dengan metode cincincincin

Misalkan akan dihitung volume benda antara grafik Misalkan akan dihitung volume benda antara grafik y=f(x) dan g=f(x) terhadap sumbu-x.y=f(x) dan g=f(x) terhadap sumbu-x.

Karena bidang perpotongan pada x mempunyai jari-Karena bidang perpotongan pada x mempunyai jari-jari dalam g(x) dan jari2 luar f(x) maka luasnya jari dalam g(x) dan jari2 luar f(x) maka luasnya adalah ;adalah ;

A(x)= A(x)= ππ[f(x)][f(x)]22 –– ππ[g(x)][g(x)]22==ππ{[f(x)]{[f(x)]22-[g(x)]-[g(x)]22}} Sehingga Volume benda putarnya ;Sehingga Volume benda putarnya ; V = V =

dxxgxf })]([)]({[ 22

a b baxx

)(xfy )(xfy

)(xgy )(xgy

Contoh: menentukan volume benda Contoh: menentukan volume benda padat dengan metode cincinpadat dengan metode cincin

Dapatkan volume dari benda padat yang Dapatkan volume dari benda padat yang dibentuk bila daerah antara grafik f(x)=1/2+xdibentuk bila daerah antara grafik f(x)=1/2+x22 dan g(x)=x yang terletak antara selang (0,2) dan g(x)=x yang terletak antara selang (0,2) terhadap sumbu-xterhadap sumbu-x

V= = V= =

dxxgxf })]([)]({[ 22 2

222 }]2

1{[ dxxx

242 ]54

xxdxxdxxxx

Menentukan volumen benda padat dengan Menentukan volumen benda padat dengan irisan cakram dan cincin terhadap sumbu yirisan cakram dan cincin terhadap sumbu y

)(yfu )(yfu

dyyuV 2)]([

Volume benda padat dengan Volume benda padat dengan irisan cincin terhadap sumbu yirisan cincin terhadap sumbu y

)(yux )(yux )(yvx )(yvx

dyyvyuxV })]([)]([{ 22

Contoh soal : Contoh soal : volume benda diputar terhadap volume benda diputar terhadap

sb ysb y Dapatkan volume benda yang diputar Dapatkan volume benda yang diputar

terhadap sb-y dari grafik; y= dan y=2, terhadap sb-y dari grafik; y= dan y=2, x=0x=0

5])([)]([

ydyyxyvV

Panjang suatu kurva pada bidang Menghitung panjang busur dari suatu kurva

bidang dengan integral tertentu Hanya memperhatikan kurva2 yang

merupakan grafik suatu fungsi Panjang Busur jika f’ kontinyu pada suatu selang dimana Y=f(x) adalah kurva mulus

Masalah panjang busur Andaikan f adalah fungsi mulus pada selang (a,b). Dapatkan panjang busur L dari kurva y=f(x) pada

selang (a,b)

)(xfy y

Bagilah lintasan fungsi f=y(x) menjadi n bagian seperti gambar dibawah ini, dari selang (a,b) Misalkan P0,P1,………Pnadalah titik-titik pada kurva yang koordinat-x nya adalah a, x1,x2…..xn-1,b dan hubungkan titik tsb dengan segmen garis lurus.Bentuk segmen tersebut adalah lintasan polygonal atau sebagai pendekatan dari kurva y=f(x)

0P1P 2P nP

1x 2x nx

Diambil satu segmen bagian dari lintasan polygonal tsb yaitu : selang-k = Lk

dengan teorema nilai tengah, ada titik antara dan

atauxfxx

kk )(')()(

kkkk xxfxfxf )(')()( 1

1kx kx)(

)( kxf

)( 1kxf 1kP

kL )()( 1 hhk xfxfy

:)( ditulisdapatjadi

kkk xxfL

2)]('[1

kkk xxfL 2)]('[1

kkx xxfL

2max )]('[1lim

dxxfLb

a 2)]('[1

Berarti panjang dari seluruh lintasan polygonal adalah ;

222 )]()([)()()(( kkkkkk xfxfxyxL

Rumus Panjang Busur

Jika f adalah fungsi mulus pada (a,b) maka panjang busur L dari kurva y = (x) dari x=a, x=b didefinisikan ;

Untuk kurva dlm bentuk x=g(y) dengan g’ kontinyu pada (c,d) panjang busur L dari y=c ke y=d adalah:

dy 2)(1dxxfLb

a 2)]('[1

dxdyygL 22 )(1)]('[1

Contoh SoalContoh Soal1. Dapatkan panjang busur dari kurva 1. Dapatkan panjang busur dari kurva

y=xy=x3/23/2

Dari (1,1) ke (2,2Dari (1,1) ke (2,2√2), terhadap sumbu-x √2), terhadap sumbu-x dan terhadap sumbu-ydan terhadap sumbu-y

2. Dapatkan panjang busur dari kurva 2. Dapatkan panjang busur dari kurva y=2x dari (1,2) ke (2,4) terhadap sumbu-y=2x dari (1,2) ke (2,4) terhadap sumbu-x dan sumbu-yx dan sumbu-y

Integral tak WajarAturan ‘Hopital

Yang disebut Integral tak wajar:1. Integral yang Integrannya menjadi tak hingga

dalam selang integral a≤x≤b

Menjadi tak terhingga pada x=1 (tak kontinyu)

2. Integral pada selang –selang tak terhingga Sebab b=∞

dxxfdxxf )()( lim

Cara menyelesaikan Integral tak wajar

• A1)Fungsi f(x) diskontinyu di x=a

• Dgn Integral tertentu =luas daerah • yg dibatasi oleh garis x=a, x=b, grafik y=f(x)

dan sumbu x

integral tak wajar• Dibuat substitusi x=a+є, menjadi wajar

ax ax bx bx

dxxfL )(

)(lim0

A2)Fungsi f(x) diskontinyu di x=b

Dgn Integral tertentu =luas daerah yg • dibatasi oleh garis x=a, x=b, grafik y=f(x) dan sumbu x

• integral tak wajar

• Dibuat substitusi x=b-є, menjadi wajar

ax ax bx

dxxfL )(

)(lim0

A3)Fungsi f(x) diskontinyu di x=c, (a<c<b)

• Dibuat substitusi x=c+ , dan x=c- menjadi wajar

ax ax bx

dxxfL )(

1cx2cx

dxxfdxxfL2

)(lim)(0

B1)Fungsi f(x) diskontinyu di x=a=∞

• Dgn Integral tertentu =luas daerah • yg dibatasi oleh garis x=a, x=b, grafik y=f(x) dan

sumbu x

integral tak wajar• Dibuat substitusi a=∞, menjadi wajar

ax bx bx

dxxfL )(

dxxfL )(lim

B2)Fungsi f(x) diskontinyu di x=b=∞

• Dgn Integral tertentu =luas daerah • yg dibatasi oleh garis x=a, x=b, grafik y=f(x) dan

sumbu x

integral tak wajar• Dibuat substitusi b=∞, menjadi wajar

dxxfL )(

dxxfL )(lim

B3)Fungsi f(x) diskontinyu di x=a=∞ dan x=b=∞

• Dibuat substitusi x=a=∞, dan x=b=∞ menjadi wajar

dxxfL )(

dxxfdxxfL )(lim)(lim

Bentuk tak Tentu Tipe Bentuk tak Tentu Tipe 0/00/0

Aturan LAturan L’’HopitalHopital Untuk setiap limit ;Untuk setiap limit ;

dandan

Penyebut dan pembilangnya keduanya Penyebut dan pembilangnya keduanya mendekati nol, limit seperti ini sebagai mendekati nol, limit seperti ini sebagai bentuk tak tentu tipe 0/0.bentuk tak tentu tipe 0/0.

Limit ini dapat mempunyai harga bilangan Limit ini dapat mempunyai harga bilangan riil atau divergen.riil atau divergen.

Istilah tak tentu adalah bahwa limit tidak Istilah tak tentu adalah bahwa limit tidak dapat ditentukan tanpa beberapa kerja dapat ditentukan tanpa beberapa kerja tambahantambahan

sinlim

Teorema Aturan LTeorema Aturan L’’Hopital bentuk 0/0Hopital bentuk 0/0

Misalkan limit menyatakan salah satu limitMisalkan limit menyatakan salah satu limit

Dan anggap bahwa lim f(x)=0 dan lim g(x)=0 Dan anggap bahwa lim f(x)=0 dan lim g(x)=0

Jika lim mempunyai niai berhingga Jika lim mempunyai niai berhingga L, L,

atau jika limit ini +atau jika limit ini +∞ atau -∞ maka lim∞ atau -∞ maka lim

limlimlimlimlim ,,,, xxaxaxax

)('lim

Langkah-langkah Aturan L’Hopital

• Langkah 1;periksa bahwa berbentuk tak

• tentu, jika tidak, tidak dpt digunakan• Langkah 2;diferensialkan f dan g secara

terpisah• Langkah 3;tentukan .Jika limit ini berhingga, +∞, atau -∞, maka itu =

Contoh : dan

)('lim

2sinlim

SOAL UJIAN QUIS

• 1. Hitung luas bidang datar dr fungsi ;• F(x)=x2 + 2 dengan g(x)=x+4• 2.Hitung volume benda yg diputar terhadap sb x

dari: y=x+1, x=3, y=0• 3.Hitung panjang busur dari y=x3/2 thdp sbx, dr titik

(1,2) dan (2,4)• 4.Apakah Integral2 dibawah ini termasuk integral

tak wajar?selesaikan!

• A. dx • B.

2 ln xdxx

Kalkulus II

Documents

Transcript of Kalkulus II

DIKTAT MATA KULIAH KALKULUS II · Materi Kalkulus II: 1) Bilangan Kompleks 2) Integral Tak Wajar 3) Barisan dan Deret Tak Hingga 4) Pengantar Diferensial Parsial 5) Persamaan Diferensial

KALKULUS I

Kalkulus Bab II _grafik Persamaan

Kalkulus Bab II Fungsi Dan Grafik

Tugas kalkulus ii

Kalkulus II UAS

Kalkulus - wgmworldgenerationofmath.weebly.comwgmworldgenerationofmath.weebly.com/uploads/1/0/5/3/10537527/... · Kalkulus 1 Kalkulus Topik dalam kalkulus Teorema dasar Limit fungsi

Materi kalkulus II

terjadinya kalkulus

Modul KALKULUS MULTIVARIABEL II · PDF fileModul KALKULUS MULTIVARIABEL II Oleh Ayundyah Kesumawati, S.Si., M.Si. (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

BAB II kalkulus 1.doc

Kalkulus 1

kalkulus 3

72879039 Buku Ajar Kalkulus II

kalkulus integral

KALKULUS VISUAL BAGIAN II - personal.fmipa.itb.ac.id · Kalkulus merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi hampir semua Program Studi dan Sekolah di Institut Teknologi Bandung.

Kalkulus BAB II - Fungsi

TUGAS KALKULUS

Kalkulus ppt

Makalah Kalkulus II "Integral" Oleh, MANSUR AMRIATUL (07 241 075)